Krzywe i powierzchnie Béziera

Grafika Komputerowa. Krzywe Béziera

Aleksander Denisiuk

Polsko-Japo ´nska Akademia Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55

80-045 Gda ´nsk

Krzywe Béziera

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

2 / 36

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Splajny

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa



_{Krzywe Béziera}



_{Pierre Bézier — Renault: 1968, 1974}



_{Paul de Casteljau — Citroën: 1959, 1963}

Krzywe Béziera trzeciego stopnia

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

4 / 36

Figure VII.1: A degree three Bezier urve q(u). The urve is parametri ally

dened with 0  u  1, and it interpolates the rst and last ontrol points with

q(0) = p

0

and q(1) = p

3

. The urve is \pulled towards" the middle ontrol

points p 1 and p 2 . At p 0

, the urve is tangent to the line segment joining p

0

and p

1

. At p

3

, it is tangent to the line segment joining p

2

and p

3 .

Krzywe Béziera trzeciego stopnia

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Figure VII.2: Two degree three Bezier urves, ea h dened by four ontrol

points. The urves interpolate only their rst and last ontrol points, p

0

and

p

3

. Note that, just as in gure VII.1, the urves start o, and end up, tangent

Krzywe Béziera trzeciego stopnia

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

6 / 36



q(u) = B

₀

(u)p

₀

+ B

₁

(u)p

₁

+ B

₂

(u)p

₂

+ B

₃

(u)p

₃

,

_gdzie



B

_i

(u) =

3

i

u

i

_{(1 − u)}

3−i

_{— wielomiany Bernsteina,}



n

m

= C

m

n

=

_m

_!(n−m)!

n

!

— symbol Newtona



B

₀

(u) = (1 − u)

3

,

B

₁

(u) = 3u(1 − u)

2



B

₂

(u) = 3u

2

(1 − u),

B

₃

(u) = u

3



3

P

i=0

B

i

(u) =

3

P

i=0

3

i

u

i

_{(a − u)}

3−i

_{= u + (1 − u)}

3

= 1

Wielomiany Bernsteina (stopnia 3)

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

7 / 36

Wielomiany Bernsteina (stopnia 3)

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

8 / 36

B

₀

′

(0) = −3, B

₁

′

(0) = 3,

B

₂

′

(0) = 0,

B

₃

′

(0) = 0

B

₀

′

(1) = 0,

B

₁

′

(1) = 0, B

₂

′

(1) = −3, B

₃

′

(1) = 3

q

′

(0) = 3(p

1

− p

0

),

q

′

(1) = 3(p

₃

− p

₂

)

Algorytm de Casteljau

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Figure VII.4: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree

three Bezier urve. This illustrates the u = 1=3 ase.

r

i

= (1 − u) · p

i

+ u · p

i+1

,

s

i

= (1 − u) · r

i

+ u · p

i

+1

,

Algorytm de Casteljau (

_{u =}

1

₂

)

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

10 / 36

Figure VII.5: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree

three Bezier urve is the basis for nding the new points needed for re ursive

subdivision. Shown here is the u = 1=2 ase. The points p

0 ;r 0 ;s 0 ;t 0 are the

ontrol points for the Bezier urve q

1

(u) whi h is equal to the rst half of the

urve q(u), i.e., starting at p

0 and ending at t 0 . The points t 0 ;s 1 ;r 2 ;p 3 are

the ontrol points for the urve q

2

(u) equal to the se ond half of q(u), i.e.,

starting at t 0 and ending at p 3 .

r

i

=

p

i

+ p

i

+1

2

,

s

i

=

r

i

+ r

i

+1

2

,

t

0

=

s

₀

+ s

₁

2

,

q(1/2) = t

0

=

1

8

p

0

+

3

8

p

1

+

3

8

p

2

+

1

8

p

3

Podział krzywej

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Figure VII.5: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree

three Bezier urve is the basis for nding the new points needed for re ursive

subdivision. Shown here is the u = 1=2 ase. The points p

0 ;r 0 ;s 0 ;t 0 are the

ontrol points for the Bezier urve q

1

(u) whi h is equal to the rst half of the

urve q(u), i.e., starting at p

0 and ending at t 0 . The points t 0 ;s 1 ;r 2 ;p 3 are

the ontrol points for the urve q

2

(u) equal to the se ond half of q(u), i.e.,

starting at t

0

and ending at p

3 .

Twierdzenie 1. Niech

q(u)

b ˛edzie krzyw ˛

a Béziera o punktach

kontrolnych

p

₀

,

p

₁

,

p

₂

,

p

₃

. Wtedy

q

₁

(u) = q(u/2)

b ˛edzie Krzyw ˛

a

Béziera o punktach kontrolnych

p

₀

,

r

₀

, s

₀

,

t

₀

,

q

₂

(u) = q((u + 1)/2)

b ˛edzie krzyw ˛

a Béziera o punktach

t

₀

,

s

₁

, r

₂

,

p

₃

.

Zag ˛eszczanie (recursive subdivision)

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

12 / 36

Figure VII.4: The de Casteljau method for omputing q(u) for q a degree

three Bezier urve. This illustrates the u = 1=3 ase.

Twierdzenie 2. Niech

q(u)

b ˛edzie krzyw ˛

a Béziera o punktach

kontrolnych

p

₀

,

p

₁

,

p

₂

,

p

₃

. Wtedy

q

₁

(u) = q(u

₀

u)

b ˛edzie Krzyw ˛

a Béziera

o punktach kontrolnych

p

₀

,

r

₀

, s

₀

,

t

₀

,

q

₂

(u) = q(u

₀

+ (1 − u

₀

)u)

Renderowanie krzywych Béziera w postaci ci ˛

agu odcinków

prostych

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa



kq(

1

2

) −

1

2

(p

0

+ p

3

)k < ε

,



kp

₀

− p

₁

− p

₂

+ p

₃

k

2

< (8ε/3)

2

_,



p

₁

, p

₂

≈∈ p

₀

p

₃

Wła ´sciwo ´s ´c otoczki wypukłej

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

14 / 36



_{Krzywa Béziera zawiera si ˛e w otoczce wypukłej swoich punktów}

kontrolnych

Figure VII.6: The onvex hull of the ontrol points of the Bezier urves shrinks

rapidly during the pro ess of re ursive subdivision. The whole urve is inside

its onvex hull, i.e., inside the quadrilateral p

0 p 1 p 2 p 3

. After one round of

subdivision, the two sub urves are known to be onstrained in the two onvex

Krzywe Béziera sklejane

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Figure VII.7: Two urves, ea h formed from two Bezier urves, with ontrol

points as shown. The urve in part (a) is G 1

- ontinuous, but not C 1

- ontinuous. The urve in part (b) is neither C 1

- ontinuous nor G 1

- ontinuous.

Compare these urves to the urves of gures VII.5 and VII.6 whi h are both

C 1 - ontinuous and G 1 - ontinuous.

q

₁

′

(1) = q

₂

′

(0) ⇒ p

1,3

− p

1,2

= p

2,1

− p

2,0

Zagadnienie interpolacji

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

16 / 36



Dane s ˛

a punkty

p

₀

, . . . , p

_m

i w ˛ezły

u

₀

, . . . , u

_m

.



_{Okre´sli´c parametryzowan ˛}

_{a krzyw ˛}

_a

q(u)

_{tak, ˙zeby}

q(u

_i

) = p

_i

dla

i = 0, . . . , m

.



Krzywa odcinkowo-wielomianowa (trzeciego stopnia).



_{Sklejanie krzywych Béziera.}

Splajny Catmulla-Roma

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa



_{Dane s ˛}

_{a punkty}

P

₀

, . . . , P

_m

_{i w ˛ezły}

u

_i

= i

_dla

i = 0, . . . , m

_.



_{Okre´sli´c parametryzowan ˛}

_{a krzyw ˛}

_a

q(u)

_{tak, ˙zeby}

q(i) = P

_i

dla

i = 1, . . . , m − 1

.



_{Krzywa Catmull-Rom składa si ˛e z}

m − 2

_{krzywych Béziera.}



_{Punkty kontrolne wybiera si ˛e tak, ˙zeby krzywa była klasy}

C

1

_.

Splajny Catmulla-Roma

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

18 / 36

Figure VII.22: Dening the Catmull-Rom spline segment from the point p

i to the point p i+1 . The points p i , p i , and p + i

are ollinear and parallel to

p i+1 p i 1 . The points p i , p + i , p i+1 , and p i+1

form the ontrol points of a

degree three Bezier urve, whi h is shown asa dotted urve.

l

i

=

1

2

(p

i

+1

− p

i−

1

),

p

±

i

= p

i

±

1

3

l

i

Syngularno ´s ´c splajnu Catmulla-Roma

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Figure VII.23: Two examples of Catmull-Rom splines with uniformly spa ed

Krzywe Béziera dowolnego stopnia

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

20 / 36

q(u) =

k

X

i=0

B

_i

k

(u)p

i

B

_i

k

(u) =

k

i



u

i

(1 − u)

k−i

,

k

X

i

=0

B

_i

k

(u) =

k

X

i

=0

k

i



u

i

(1 − u)

k−i

= u + (1 − u)

k

= 1,

q

′

(0) = k(p

₁

− p

₀

),

q

′

(1) = k(p

k

− p

k−

1

).

Krzywe Béziera dowolnego stopnia

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

21 / 36

(a) Degree one

p 0 p 2 p 1 (b) Degree two p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 ( ) Degree eight

Figure VII.9: (a) A degree one Bezier urve is just a straight line interpolating

Podwy˙zszenie stopnia

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

22 / 36

ˆ

P

₀

= P

₀

P

ˆ

k

+1

= P

k

ˆ

P

i

=

i

k + 1

P

i−

1

+

k − i + 1

k + 1

P

i

Powierzchnie Béziera

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Powierzchnie Béziera trzeciego stopnia

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

24 / 36

q(u, v) =

3

X

i

=0

3

X

j

=0

B

i

(u)B

j

(v)p

i,j

=

=

3

X

i=0





B

i

(u)

3

X

j

=0

B

j

(v)p

i,j





=

=

3

X

j

=0

B

j

(v)

3

X

i=0

B

i

(u)p

i,j

!

,

(u, v) ∈ [0, 1] × [0, 1]

Przekrój powierzchni Béziera

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Figure VII.12: A degree three Bezier pat h and some ross se tions. The ross

se tions are Bezier urves.



q(u, v) =

3

P

i

=0

B

i

(u)

3

P

j

=0

B

j

(v)p

i,j

!



r

_i

=

3

P

j

=0

B

j

(v)p

i,j

,

s

j

=

3

P

i

=0

B

i

(u)p

i,j

Graniczne linie powierzchni Béziera

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

26 / 36

Figure VII.11: A degree three Bezier pat h and its ontrol points. The ontrol

points are shown joined by straight line segments.



v = 0,

u ∈ [0, 1]

_{: granica „przednia”,}

p

_i,

₀



u = 0,

v ∈ [0, 1]

_{: granica „lewa”,}

p

_0,j

Pochodne cz ˛

astkowe powierzchni Béziera

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

∂q

∂v

(u, 0) =

3

X

i

=0

3B

i

(u)(p

i,

1

− p

i,

0

)

∂q

∂v

(u, 1) =

3

X

i

=0

3B

i

(u)(p

i,

3

− p

i,

2

)

∂q

∂u

(0, v) =

3

X

i

=0

3B

j

(v)(p

1,j

− p

0,j

)

∂q

∂v

(1, v) =

3

X

i=0

3B

j

(v)(p

3,j

− p

3,j

)

Sklejane powierzchnie Béziera

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

28 / 36

Figure VII.13: Two Bezier pat hes join to form a single smooth surfa e. The

two pat hes q

1

and q

2

ea h have sixteen ontrol points. The four rightmost

ontrol points of q

1

are the same as the four leftmost ontrol points of q

2

. The

Wymierne krzywe Béziera

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

p

i

= (x : y : z : w)

,

q(u) =

X

i

B

_i

k

(u)p

i



_{współrz˛edna}

w

_{pozwala na powi ˛ekszenie wagi punktu kontrolnego}



_{modelowanie krzywych sto˙zkowych}



rzut perspektywiczny krzywej wymiernej jest zawsze krzyw ˛

a wymiern ˛

a



_{punkty kontrolne mog ˛}

_{a by´c umieszczone w niesko ´nczono´sci}

Powi ˛ekszenie wagi punktu kontrolnego

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

30 / 36

q(u) =

X

i

B

_i

k

(u)(w

i

p

i

: w

i

) ∼

X

i

w

i

B

_i

k

(u)

P

j

w

j

B

i

k

(u)

p

i

Figure VII.16: A degree three, rational Bezier urve. The ontrol points are

the same as in the left-hand side of gure VII.2 on page 156, but now the

ontrol point p

1

is weighted 3, and the ontrol point p

2

is weighted only 1=3.

The other two ontrol points have weight 1. In omparison with the urve of

gure VII.2, this urve more losely approa hes p

1

, but does not approa h p

2

Okr ˛

ag

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Figure VII.17: The situation of Theorem VII.9. The middle ontrol point is

a tually a point at innity, and the dotted lines joining it to the other ontrol

points are a tually straight and are tangent to the ir le at p

0

and p

2 .

q(u) = (1 − u)

2

p

₀

+ 2u(1 − u)p

₁

+ u

2

p

₂

=

= 2u(1 − u) : (1 − u)

2

− u

2

: (1 − u)

2

+ u

2

∼

∼



2u(1 − u)

(1 − u)

2

+ u

2

,

(1 − u)

2

− u

2

(1 − u)

2

+ u

2



Krzywe sto˙zkowe

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

32 / 36

Twierdzenie 3. Niech

T

₀

i

T

₂

b ˛ed ˛

a stycznymi do krzywej sto˙zkowej

C

w punktach

p

₀

i

p

₂

,

p

₁

b ˛ezie punktem przeci ˛ecia

T

₀

i

T

₂

. Wtedy istnieje

waga

w > 0

taka, ˙ze wymierna krzywa Béziera o punktach kontrolnych

(p

0

: 1)

,

(p

1

: w)

,

(p

2

: 1)

generuje odcinek krzywej

C

pomi ˛edzy

p

0

a

p

₂

.

Figure VII.18: A portion of a bran h of a oni se tion C is equal to a rational

quadrati Bezier urve. Control points p

0

and p

2

have weight 1 and p

1

gets

Krzywe sto˙zkowe

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

Figure VII.19: Two ways to dene ir ular ar s with rational Bezier urves

Półokr ˛

ag jako krzywa trzeciego stopnia

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

34 / 36

Okr ˛

ag o promieniu 2

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

(p

₀

, p

₁

, p

₂

) 7→ (p

∗

₀

= M p

₀

, p

∗

₁

= M p

₁

, p

∗

₂

= M p

₂

)

Figure VII.17: The situation of Theorem VII.9. The middle ontrol point is

a tually a point at innity, and the dotted lines joining it to the other ontrol

points are a tually straight and are tangent to the ir le at p

0

and p

2 .

Bryła obrotowa

Splajny

Krzywe Béziera

Algorytm de Casteljau

Krzywe Béziera sklejane

Krzywe Béziera

dowolnego stopnia

Powierzchnie Béziera

Wymierne krzywe

Béziera

Bryła obrotowa

36 / 36

Figure VII.21: (a) A silhouette of a surfa e of revolution (the ontrol points

are in x;y;z- oordinates). (b) The front half of the surfa e of revolution. This

example is implemented in the SimpleNurbs progam.

(−2 : 1 : 0 : 1)

(0 : 0 : 2 : 0)

(2 : 1 : 0 : 1)

(−

3

₂

:

1

₂

: 0 : 1)

(0 : 0 :

₂

3

: 0)

(

3

₂

:

1

₂

: 0 : 1)

(−3 : 0 : 0 : 1)

(0 : 0 : 3 : 0)

(3 : 0 : 0 : 1)

(−2 : −1 : 0 : 1) (0 : 0 : 2 : 0) (2 : −1 : 0 : 1)