M ECH AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA
4, 18 (1980)
DRGANIA SPRĘ Ż YSTO LEPKOPLASTYCZNEJ POWŁOKI KULISTEJ WIESŁAW W O J E W Ó D Z K I , JAN U SZ S O K A L S K I ( WAR Z AWA)
1. Wprowadzenie
U wzglę dnienie efektów lepkoś ci, wzmocnienia m ateriał u i zm ian geometrii w kon -strukcjach obcią ż onych dynamicznie jest konieczne dla poprawnej oceny ch arakteru procesu deformacji, wielkoś ci odkształ ceń i naprę ż eń. P roblem t en był przedm iotem wielu prac teoretycznych i doś wiadczalnych. Obszerne prace WIERZBICKIEG O [1] i JON ESA [2] zawierają przeglą d dotychczasowych osią gnię ć w tej dziedzinie. P roblem deformacji cienkiej powł oki kulistej obcią ż onej wybuchem w jej wnę trzu był rozpatrywan y w kilku pracach. BAKER [3] przedstawił rozwią zanie dla powł oki z m ateriał u sprę ż ysto- plastycznego ze wzmocnieniem bez efektu lepkoś ci. Otrzymane teoretyczne wyniki po ró wn an o z ekspe-rymentalnymi osią gają c dobrą ich zgodnoś ć. W pracy SZCZEPIŃ SKIEGO [4] uwzglę dniają c duże odkształ cenia powł oki zbad an o oddzielny i ł ą czny wpł yw efektu wzm ocn ien ia i lep-koś ci m ateriał u n a wielia i lep-kość przemieszczeń. Stwierdzono, że uwzglę dnienie obu efektów daje duże zmniejszenie koń cowych odkształ ceń. Wyniki otrzym an e przez D U E F E Y [5, 6] wskazują , że również w zakresie mał ych deformacji powł oki wzmocnienie odkształ cen iowe i lepkość materiał u zmniejszają znacznie przemieszczenia. Stwierdzon o, że wpł yw lepkoś ci materiał u n a wielkość m aksym alnych przemieszczeń wzrasta gdy wartość im pulsu roś n ie. D la ustalonej wartoś ci im pulsu ciś nienia wpł yw ten maleje ze wzrostem czasu dział an ia impulsu. N ajwię ksze przemieszczenia powstają w przypadku obcią ż enia idealn ym im pul-sem ciś nienia. P odan e rozwią zanie analityczne odnosi się tylko do począ tkowego okresu deformacji nie dają c informacji o szybkoś ci tł umienia drgań w dalszym procesie odkształ -cenia.
W niniejszej pracy rozpatrywać bę dziemy cienką peł ną powł okę kulistą z m ateriał u sprę ż ystolepkoplastycznego obcią ż oną pojedynczym prostoką tn ym im pulsem ciś nienia bą dź też kilkoma prostoką tn ym i im pulsam i. Impuls jest skierowany radialn ie n a zewn ą trz powł oki. Rozpatrywany problem cechuje kulista symetria. Celem pracy jest an aliza cał ego procesu drgań w zakresie mał ych odkształ ceń, okreś lenie czasu począ tkowego uplastycz-nienia, zbadanie wpł ywu lepkoś ci m ateriał u i wielkoś ci impulsu n a podstawowe p aram et ry drgań. Badany bę dzie również wpł yw chwili przył oż enia powtórn ego im pulsu i obcią ż en ia cyklicznego n a wielkość przemieszczeń.
2. Równanie ruchu
Przyjmujemy równ an ia konstytutywne dla m ateriał u wraż liwego n a prę d ko ść od-kształ cenia, wyprowadzone przez PERZYN Ę [7] w nastę pują cej postaci:
636 W. WOJEWÓD ZKI, J. SOKALSKI
*«
=
t'
kkk =
(2.1) (&(F) dla F > 0<* (* )>- {
0 k *' x " w / 10 d l a F < 0 ,gdzie stj, ay oznaczają odpowiednio skł adowe tensora odkształ cenia i naprę ż enia, en,
Sij są dewiatorami tych tensorów, fx, K oznaczają odpowiednio moduł y odkształcenia
postaciowego i obję toś ciowego, k = aojy3, a0 jest statyczną granicą plastycznoś ci ma-teriał u, y współ czynnikiem lepkoś ci, a. J2 = - ^SuSij oznacza drugi niezmiennik dewiatora naprę ż enia. Kropką oznaczono róż niczkowanie wzglę dem czasu. Równania powyż sze opisują liniowe efekty sprę ż yste, statyczne uplastycznienie wedł ug warunku Hubera- Misesa, .izotropowe wzmocnienie materiał u oraz liniowy wpływ prę dkoś ci odkształ
cenia. W przej-ś ciu granicznym dla y = oo, \ / j2 = k otrzymuje się równania dla oś rodka sprę ż ysto -idealnie- plastycznego. W rozpatrywanym przypadku kulistej symetrii (o1 ,, = cre = a, % = e0 = e) z (2.1) otrzymujemy ]/ 3y (2.2) (2.3)
ś = —- — a + " - {a+ma0) dla dla
— o fo,
gdzie E jest moduł em Younga, v oznacza współ czynnik Poissona zaś m = + 1 dla ś ciskania i m = - 1 dla rozcią gania.
Równanie ruchu elementu powł oki, rys. 1, jest nastę pują ce (2.4) 2N =a(Qhw- q(t)),
Rys. 1 Element powł oki. D odatnie kierunki sił i przemieszczeń
A/ 2
gdzie Q jest gę stoś cią materiał u, h jest gruboś cią powł oki, N = / adz jest siłą podłuż ną
- A/ 2
na jednostkę dł ugoś ci, pozostał e wielkoś ci są okreś lone na rysunku. Przyjmujemy, że materiał powł oki jest nieś ciś liwy. Prę dkość odkształ cenia punktów powierzchni ś rodkowej wynosi e = —wja. Uwzglę dniają c (2.2) równanie ruchu (2.4) dla JiV| > No zapisujemy w nastę pują cej postaci
(2.5) w- ł - 2a,w- \ - a>2
D RG AN IA SPRĘ Ż YSTOLEPKOPLASTYCZNEJ POWŁ OKI 637
gdzie
( 2 > 6 ) 2 a =
" '
co jest czę stoś cią sprę ż ystych drgań wł asnych o okresie T = 27E/O>, zaś Qo = 2cr0A jest
noś noś cią graniczną powł oki. W fazie sprę ż ystej deformacji, \ N\ < A^ (No = o-0/j) ró wn an ie
ruchu m a postać
(2.7) w+co2w =—~q(t).
W ogólnym przypadku deformacji rozpatrywać bę dziemy nastę pują ce cztery fazy:
1 i 4 sprę ż yste gdy \ N\ < No i odpowiednio q ^ 0, q = 0, 2 i 3 sprę ż ystolepkoplastyczne
gdy |JV[ > NQ i odpowiedn io # # 0, # = 0. Z akł adam y, że jeś li przekrój powł
oki uplastycz-nia się t o jednocześ nie cał y w czasie odpowiadają cym uplastycznienie p u n kt ó w n a p o wierzchni ś rodkowej. D la cienkich powł ok wpł yw stopniowego uplastycznienia się przekro -ju na zachowanie powł ok jest zaniedbywalny, D U F F EY, K R I E G [8]. P rzy przejś ciu z jedn ej
fazy do drugiej muszą być speł nione warunki cią gł oś ci: przemieszczenia, prę dkoś ci oraz
sił wewnę trznych.
W dalszej czę ś ci zajmować się bę dziemy powł oką obcią ż oną prostoką tn ym im pulsem
ciś nienia o wielkoś ci Q i czasie dział an ia ti,
- 2 dlaO ^K ti, 0 dla t>ti,
Impuls jest rozł oż ony równom iernie n a cał ej wewnę trznej powierzchni i skierowan y
radialnie n a zewną trz powł oki. W zależ noś ci od wielkoś ci im pulsu / = Qti deform acja
powł oki może odbywać się w róż nych fazach. R ozpatrywać bę dziemy róż ne m oż liwoś ci.
3. Fazy sprę ż yste
Zajmiemy się najpierw sytuacją gdy w cał ym procesie deformacji \ N\ < No. R o z
-wią zanie równ an ia (2.7) w przypadku (2.8) m a postać
(2.9) w = Acoscot+Bsincot+C.
Wyznaczając stał e z warun ków począ tkowych w(0) = u>(0) = 0, vv(O) = ~Qlgh oraz z warunków cią gł oś ci dla t = ti, otrzymujemy
(2.10) w = L (l- coscot), £ = r~?> O«Ct<tf,
QllCti
(2.11) w = L[(coscoti —1) cos cot+sinwtisincot], t> ti.
Ze wzoru (2.10) wynika, że w czasie t = (n+l/ 2)T, n = 0, 1, 2, 3, . . . , przem ieszczen ia i sił y wewnę trzne są najwię ksze i wynoszą
w = —IQIghcn2
638 W. WOJEWÓD ZKI, J. SOKALSKI
0 * 10 2 0 3 0 4 0 5 0 60 70
Te 71.6*
Rys. 2. Z m ian a przemieszczenia w czasie w zakresie sprę ż ystym. Obcią ż enie impulsem ciś nienia: krzywa 1 - Q = 4,90 M P a ti = 100 / JS krzywa 2 - Q = 6,20 M Pa, ti = 100 fis,
D la f = nT, n «• 0, 1, 2, 3, ..., obcią ż ona powł oka osią ga najmniejsze odkształ cenia i siły wewnę trzne, w = 0, N = 0 zaś w = 0, w = —Q/ (>h, rys. 2. Analizują c (2.11) roz-patrzymy dwa skrajne przypadki. Przypadek pierwszy gdy ti — ( n + l/ 2) r, n = 0, 1, 2, 3, ... Mamy wówczas w = (2Q/ Qha>2)cos<ot i dla t = !T(«+ l)/ 2, n = 0, 1, 2, 3, ..., powłoka
osią ga ekstremalne przemieszczenia i siły wewnę trzne w— ±2Qlghco2
s N= ±Qa, zaś
w = 0, w = ±2QIQ1I. Przypadek drugi gdy ti = (n+l)T, n = 0, 1, 2, 3, ..., wtedy otrzy-mujemy w — w = w = N = 0. D o obliczeń numerycznych w całej pracy przyję to dane liczbowe zawarte w tablicy 1.
Uwzglę dniają c (2.10) (2.11) i warunek uplastycznienia w równaniu (2.3) otrzymujemy nastę pują ce wzory okreś lają ce czas począ tkowego uplastycznienia powł oki
Tablica 1. D ane liczbowe do obliczeń numerycznych. M ateriał M ię kka stal E [M Pa] 2,0594 • 105 V 0,3 [MPa] 206,9
e
[N s2 / cm*] 7, 65- 10- 5 10 100 200 400 427,36 500 1000 2000 20 000 a [cm] 10 i h [cm] 0,3D R G AN I A SP RĘ Ż YSTOLEP KOP LASTYC Z N EJ P O WŁ O K I 639 (2.12) 1 (2.13) ts = —a r c sin U) ts = —arccosli - ~) dla ts < ti, o> \ Q I
[
Qo sincoti I 1 - c o s coti _ [QoV ] 2Q l- coscoti ~ \ 2 \ 2QJ J d laN ajwię ksza wartość przemieszczenia w zakresie sprę ż ystym okreś lona z (2.10) wynosi
= —2QlQka>2
i wystę puje p o raz pierwszy w czasie TT/CO. Z atem najmniejszy p o
-w
czą tkowy im puls uplastyczniają cy powł okę wynosi Io = (Q0/ 2)(nla)) - (Qoj2)(T[2).
Jeż eli przył oż one obcią ż enie m a wartość mniejszą od Qo/ 2 to dla dowolnie dł ugiego czasu
jego dział ania powł oka nie uplastyczni się . W rozpatrywan ym szczegół owym przypadku
(tablica 1) Qo = 12,42 M P a. Wykres funkcji (2.12) przedstawion o n a rys. 3. C
zas pier-wszego uplastycznienia dla impulsów I > Io oblicza się ze wzoru (2.12) bą dź (2.13).
W przypadku dział ania wię kszych obcią ż eń gdy pojawiają się wielokrotn ie fazy sprę -ż ystolepkoplastyczne wówczas aby okreś lić cał y proces deformacji, do opisu faz czwartych musimy korzystać z równ an ia w postaci (2.9), a wystę pują ce trzy stał e okreś lać z warun ków cią gł oś ci n a gran icach faz.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q/ Qo
' Rys. 3. Czas pierwszego uplastycznienia powł oki w funkcji obcią ż enia, (wzór (2.12)).
4. Fazy sprę ż ystolepkoplastyczne
Zajmować się bę dziemy drugą i trzecią fazą ruchu, |N [ > No. Istnieją trzy rozwią
za-nia (2.5) w zależ noś ci od relacji wielkoś ci a i a>. N iech | = a/ co.
4.1. Przypadek słabego tłumienia, $ < 1, D la prostoką tn ego im pulsu ciś nienia (2.8) otrzy-mujemy
(2.14) w =
gdzie A, B, C stał e cał kowania. Jak widać, przemieszczenie (2.14) skł ada się z trzech czę ś ci: cyklicznej, liniowej i stał ej. Czę ść cykliczna jest wytł um ian a w czasie, szczególnie silnie dla wię kszych wartoś ci współ czynnika lepkoś ci y.
640 W. WOJEWÓD ZKI, J. SOKALSKI
Rozpatrzymy teraz sytuację gdy w drugiej fazie ruchu czę ść cykliczna jest prawie wy-tł umiona a przemieszczenie (2.14) moż na aproksymować czę ś cią liniową , która nie jest tł umiona i czę ś cią stał ą reprezentują cą trwał e przemieszczenie. Czę ść liniowa znika gdy obcią ż enie Q — Qo i przy dł ugim czasie jego dział ania w - *• C tzn. powł oka dą ży do sta-ł ego poży do sta-ł oż enia równowagi. G dy Q > Qo czę ść liniowa powoduje zwię kszenie przemiesz-czeń wraz ze wzrostem współ czynnika lepkoś ci. D la Q < Qo czę ść liniowa zmniejsza przemieszczenia. Kł adą c Q — 0 w wyraż eni u (2.14) dla drugiej fazy otrzymujemy odpo-wiedni opis ruchu fazy trzeciej.
N a rys. 4 przedstawiono przemieszczenia w przypadku dział ania niewielkiego obcią -ż enia. Zał o-ż ono współ czynnik lepkoś ci y — 400 s~ł
. Krzywa 1 odpowiada impulsowi g = 6,22 M Pa ti - 36 n% a krzywa 2 impulsowi Q = 6,22 MPa, ti = 100 / zs. Krzywa 2 jest niemal identyczna z krzywą 2 na rys. 2. Róż nica polega na mał
ym przekroczeniu gra-nicy plastycznoś ci materiał u. F aza sprę ż ystolepkoplastyczna pojawia się tylko jedno-krotnie. Jest to wpływ dł ugoś ci dział ania obcią ż eni
a na wielkość przemieszczenia. W przy-Rys. 4. Z m iana przemieszczenia w czasie. Przypadek sł abego tł umienia, y = 400 s"1
. Krzywa 1 — Q = 6,22 M P a, ti = 36 fis, krzywa 2- Q = 6,22 MPai ti = 100 (ts
padku krzywej 1 fazy sprę ż ystolepkoplastyczne pojawiają się wielokrotnie, są bardzo krótkie i nie wpływają w sposób istotny, dla t > ti na postać drgań. Liczby umieszczone przy poziomych kreskach tuż nad osią odcię tych, wyznaczają chwilowe poł oż eni a równo-wagi wokół których powł oka wykonuje oscylacje. Tym wartoś ciom odpowiada sił a N = 0. W powł oce powstają niewielkie odkształ cenie trwał e. N a rysunku podano również war-toś ci najwię kszych przemieszczeń w fazie sprę ż ystolepkoplastycznej i czas trwania tych faz. Wartoś ci te maleją z upł ywem czasu.
N a rys. 5 podano typowy wykres przemieszczenia, prę dkoś ci, przyś pieszenia i siły podł uż nej dla obcią ż enia impulsem Q = 14,71 MPa ti = 20 ^s. Przyję to y = 400 s"1.
D R G AN I A SP RĘ Ż YSTOLEP KOP LASTYC Z N EJ P O WŁ O K I 641
W czasie ts = 16,12 / zs powł oka uplastycznia się przechodzą c z fazy sprę ż ystej w fazę sprę ż ystolepkoplastyczną. Osią ga ona w tym czasie m aksym aln e przemieszczenia sprę -ż yste wynoszą ce 0,00703 cm. Stanowią one 0,023 gruboś ci powł oki. Sił a po d ł u -ż na osią ga wartość No «• 6207,6 N / cm . Po zdję ciu w 20 / us obcią ż enia, przemieszczenia i sił a podł
uż-na w dalszym cią gu narastają ale coraz wolniej. P o 22 / J,S (W 2 fis p o zdję ciu obcią ż enia) sił a podł uż na osią ga najwię kszą wartość N = 8625,9 N / cm po czym stopn iowo m aleje do wartoś ci No w chwili 35,4 /*s i wówczas nastę puje czwarta faza ruch u (odcią ż enie sprę
-ż yste). P o fazie czwartej nastę puje powtórnie trzecia faza ruchu ale przekroczen ie gran icy plastycznoś ci wystę puje przy ś ciskaniu. F azy trzecia i czwarta wielokrotnie się powtarzają . W miarę upł ywu czasu |JV| dą ży do No i t ak w chwili t = 2036 / us N = 6208,2 N / cm . Przemieszczenie osią ga najwię kszą wartość 0,013447 cm w chwili 30 ps. P rę dkość od-kształ cenia jest najwię ksza w chwili 18.3 / xs i wynosi 731,8 cm/ s. Wielkoś ci przemieszczeń (liczby przy poziom ych kreskach) okreś lają ce chwilowe poł oż enie równowagi stopn iowo
Q = U, 7 1 M Pa ti= 20 us - 1,227 - 1.213 10000 5000-0 - 5000-- 10000 20 0 4r\ rio - 6207 1- 6207
faza sprę ż ysta - 6737 faza sprezystolepkoptastyczna
Rys. 5. Zmiana przemieszczenia, prę dkoś ci, przyś pieszenia i sił y podiuż nej w czasie dla obcią ż enia impulsem
Q = 14,71 MPa ti = 20 / ts i dla y = 400 s"1
ulegają stabilizacji reprezentują c trwał e odkształ cenia. I tak w chwili t = 2018 ^ s trwał e ugię cie wynosi 0,00501422 cm. Róż nica mię dzy m aksym aln ym i odchyleniam i powł oki od poł oż enia równowagi powoli maleje do wartoś ci maksymalnej am plitudy drgań sprę -ż ystych wynoszą cej 0,007033 cm i n a przykł ad w chwili t = 2036 ,MS wynosi 0,0070341 cm . W skutek tł umienia dł ugoś ci faz sprę ż ystolepkoplastycznych maleją i okres drgań dą ży do okresu drgań sprę ż ystych T = 71,64 / AS. N p . w czasie okoł o 2000 / j,s wynosi on 71,6452 / j,s.
N a rys. 6 i 7 przedstawiono wpł yw lepkoś ci m ateriał u i wielkoś ci obcią ż enia n a prze-bieg drgań. D la współ czynnika lepkoś ci y = 400 s"1
i dan ych w tablicy 1, w chwili t = . = 20 ^s e - ^ ' = 1/ 5,15 a w chwili t = 800 ^s e~^' = 1/ (2,95 • 102 8
) . Widać, że czę ść cykliczna rozwią zania (2.14) jest już w począ tkowej fazie silnie wytł um ian a i dla duż ych
10 • w [ cmj Q=34,32MPa
- faza sprę ż ysta faza sprę zystolepkoplastyczna
Rys. 6. Przemieszczenie powł oki w funkcji czasu i współ czynnika lepkoś ci. Przypadek sł abego tł umienia. Obcią ż enie impulsem Q = 34,32 M Pa, ti = 20/ is.
10 - w [om} - 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 1 0 V 2 3 - 10,065 73,84 • +U^7*J- <- .V"33,02\- »t*- 2C,07Hi2,71 | - ^- 26^5- «- (-i - »- H- 29,77—* "8,307 4n - 8315 H H— 31,25—»J' I* - 32,16—M .K-W 1 - .055 3 '3 S
/ 'I
1328; I..B • 6,3T 17,32 •^ — 76,76-25,35- ł^i- f—14*——oy^>2177-; _ .'16.09 V '' u,bb J4 7 i "* T, ^ 25,27*L *- *u - 27/ ,8—«J . ^ 2 8 , 9 5 - ^ '* ^ ^ 4- 73,84 • ą eo t [JJS] 72,99 250 17,85 U'1 f c ia ' «\ / spr.lepkoplasf?- .. / U- 2 2,15- J 12,77 !- *- 24,01—>| *^—25,49—!§- ^«*- 26,6S ®y- «0. °«"iTlQ- 7a. 55M IM (,2) ( ) - / U O - " (j_- i4,71MpaRys. 7. Przemieszczenie powł oki w funkcji czasu, współ czynnika lepkoś ci i impulsu. Przypadek sł abego tł umienia.
D RG AN IA SPRĘ Ż YSTOLEPKOPLASTYCZNEJ POWŁ OKI 643
wartoś ci czasu praktycznie nie m a ż adnego wpł ywu n a postać przemieszczenia. D la m
a-ł ych wspóa-ł czynników lepkoś ci przebieg ta-ł um ien ia przebiega bardzo powoli. N p . dla
y = 10 s- 1
w chwili t = 20 fis e~Ę
"" = 1/ 1,04, a więc w tym przypadku tł um ien ie cyklicz-nej czę ść drgań jest m in im aln e i okres drgań sprę ż ystolepkoplastycznych jest bard
zo zbli-ż ony do okresu drgań sprę zo zbli-ż ystych. Jednocześ nie czę ść liniowa jest 40 razy m niejsza niż
dla y — 400 s~ł
i m ał o wpł ywa n a postać przemieszczenia. D la y = 1 0 s ~1
i f = 800 fis
e- S«" a 1/ 5,15, a więc jest t o wartość osią gana dla y — 400 s" 1
ju ż w chwili t ~ 20 fis. W czasie okoł o 1950 fis dł ugość fazy sprę ż ystolepkoplastycznej dla y = 400 s"1
wynosi 0,33 fis n atom iast dla y = 10 s'1
wynosi on a 13,25 fis, rys. 6. Reasum ują c, wzrost współ -czynnika lepkoś ci powoduje wzrost maksymalnych przemieszczeń i czasu ich pojawienia
się, wzrost odkształ ceń trwał ych, szybkie wytł um ienie faz sprę ż ystolepkoplastycznych
a w konsekwencji szybsze dą ż enie procesu do drgań sprę ż ystych, zmniejszenie wielkoś ci
sił wewnę trznych. Wzrost wielkoś ci obcią ż enia Q powoduje wzrost ekstrem aln
ych prze-mieszczeń i czasu ich wystę powania, wzrost odkształ ceń trwał ych i sił wewnę trznych.
Wpł yw wielkoś ci obcią ż enia Q n a postać drgań a zwł aszcza n a szybkość wytł um ian ia
faz sprę ż ystolepkoplastycznych jest bardzo mał y, rys. 7. Wraz ze wzrostem czasu trwan ia
obcią ż enia ti szczególnie dla wię kszych y przemieszczenia (2.14) dą żą do równ an ia prostej i dla |6I < 2o maleją, dla ]Q\ = Qo są stał e, zaś dla \ Q\ > Qo rosną.
4.2. Przypadek granicznego tł umienia, { = 1. D la obcią ż enia impulsowego (2.8) otrzym ujem y w fazie drugiej
(2.15) w .
gdzie A, B, C stał e okreś lone przez warunki cią gł oś ci. R uch n ie jest oscylacyjny. Pierwszy
czł on jest silnie wytł umiany już w począ tkowym okresie fazy sprę ż ystolepkoplastycznej.
Czł on drugi i trzeci jest identyczny jak w przypadku f < 1. Opis dla fazy trzeciej otrzym u-jemy podstawiając do (2.15) Q = 0. D la danych w tablicy 1 wielkoś ci f = 1 odpowiada współ czynnik lepkoś ci y = 427,36 s"1 . D rgania powł oki dla tego przypadku przedsta-wiono n a rys. 8. - 7 " _2 10 - w [ cm] 61 53 - 7,041 ^ 2 0 0 0 0 5 ^- 6,338 Q = 34, 32 M Pa ti= 47,5 .- i' / I / «'3 .• • '• .'- 3932 - 1
- £>^J - £ ^
3 S s v- 3,097 f aza - 2,255 sp r ę ż ystasp r ezyst olep k.op la s t yc zn a
0 ts=10 20 60 - f -80 100 120
Rys. 8. Przemieszczenia powł oki w funkcji czasu i współ czynnika lepkoś ci. Przypadek granicznego i silnego tł umienia. Obcią ż enie impulsem Q = 34,32 M P a, ti = 20/ is
644 W. WOJEWÓD ZKI, J. SOKALSKI,
4.3. Przypadek silnego tłumienia, f > 1. D la obcią ż enia prostoką tn ym impulsem (2.8) otrzy-m ujeym impulsem (2.8) otrzy-m y w fazie drugiej
(2.16) w = ^ e(- «+ ł /^ '
Stał e A, B, C są okreś lone przez warun ki cią gł oś ci. Jest to opis ruchu aperiodycznego. P ierwszy czł on okreś lony przez funkcję eksponencjalne jest silne wytł umiany w począ t-ko wym okresie fazy sprę ż ystolept-koplastycznej. Pozostał e czł ony liniowy i stał y są iden-tyczn e jak w przypadku sł abego tł um ien ia. N a rys. 8 przedstawiono zmianę przemiesz-czenia w czasie dla kilku współ czynników lepkoś ci m ateriał u. F azy sprę ż ystolepkoplas -tyczn e są silniej wytł um ian e niż w poprzedn im przypadku sł abego tł umienia. D rga-n ia korga-n strukcji szybko dą żą do drgań sprę ż ystych. N p . dla współ czyrga-nrga-nika lepkoś ci y = 20000 s""1
p o począ tkowej fazie sprę ż ystej faza sprę ż ystolepkoplastyczna wystę puje jed n o kro t n ie i dalsza odpowiedź konstrukcji jest czę sto sprę ż ysta, a przejś cie z fazy sprę
-ż ystolepkoplastycznej d o sprę -ż ystej (odcią -ż enie) wystę puje przy najwię kszej wartoś ci przem ieszczenia. Wn ioski dotyczą ce wpł ywu lepkoś ci i obcią ż enia podan e w przypadku sł abego tł um ien ia stosują się i w tym przypadku.
5. Obcią ż enie kilkom a prostoką tnymi impulsami ciś nienia
N a rys. 9 przedstawion o przemieszczenia powł oki (y = 400 s"1
) obcią ż onej dwoma jedn akowym i im pulsam i ciś nienia Q = 4,90 M P a ti = 36 / J.S. P od wpł ywem obcią ż enia Q < 2o/ 2 przył oż on ego w chwili począ tkowej powł oka nie uplastyczni się . Chwila przy-ł oż en ia drugiego im pulsu zosta. Chwila przy-ł a t a k d o bran a aby wektory prę dkoś ci i przyś pieszenia
impuls 1 Q=4,90MPa ti=36us
0 20 30 ' 40
Rys. 9. Z miana przemieszczenia w czasie. Obcią ż enie dwoma jednakowymi impulsami Q = 4,90 MPa
ti= 36/ zs- y = 400 s"1
D RG AN IA SPRĘ Ż YSTOLEPKOPLASTYCZNEJ POWŁOKI 645
przemieszczenia wywołane pierwszym impulsem był y zgodne z wektorami prę dkoś ci i przyś pieszenia wywołanymi przez drugi impuls. W rezultacie zostaje przekroczony wa-runek plastycznoś ci i powł oką przechodzi w fazę sprę ż ystolepkoplastycznej deformacji.
W dalszych rozważ aniach zbadano wpływ chwili przył oż enia powtórnego obcią ż enia na wielkość przemieszczenia powł oki. N a rys. 10 krzywa 1 obrazuje fragment przebiegu drgań powł oki (y = 400 s"1
) obcią ż onej pierwotnie w chwili począ tkowej impulsem Q = = 9,81 MPa przez okres ti = 20 ^s. Powł oka ta w chwili t = 100 ^s osią ga maksymalne lokalne przemieszczenia w stanie rozcią gania, a w chwili t = 135,5 / J,S w stanie ś ciskania. Nastę pnie taki sam impuls przykł adano powtórnie w róż nych chwilach czasu i badano deformację powł oki. Stwierdzono, że zmniejszenie przemieszczenia wystę puje gdy obcią
-110 - / - 0.092 130/ - 0, 09 impuls— |Q= 9,81MPa —impuls obcią ż enie impulsem w chwili 0 = 9,81 MPa począ tkowej sprę zystolepkoplastyczna
Rys. 10. Wptyw chwili przył oż enia powtórnego impulsu na wielkość przemieszczenia. Przypadek sł abego • tł umienia, y = 400 s"1
.
ż enię jest przykł adane w chwilach zawartych w przedziale czasu 100—117,5 jus. W tym przedziale czasu wektory prę dkoś ci i przyś pieszenia drgań wł asnych i wymuszonych mają przeciwne zwroty. W rezultacie drgania zostają w znacznym stopniu mechanicznie wytł umione. Siły wewnę trzne maleją do wielkoś ci \ N\ < No, a wię c w powł oce bę dą
wy-stę pować jedynie niewielkie drgania sprę ż yste. Odkształ cenia trwał e pozostają takie same jak przed wtórnym obcią ż eniem. Najwię ksze wytł umienie drgań wystą pi gdy powtórne obcią ż enie nastą pi 107,5 / ts tzn. w 7,5 p& po czasie osią gnię cia przez powł okę maksymal-nych odkształ ceń rozcią gają cych. N atomiast zwię kszenie przemieszczenia wystę puje gdy wektory prę dkoś ci i przyś pieszenia drgań wł asnych i wymuszonych dział aniem wtórnego obcią ż enia są zgodne. D la rozpatrywanej powł oki przemieszczenie zwię ksza się gdy pow-tórny impuls jest przył oż ony w chwili czasu pomię dzy 135,5 a 153,5 ,us. Najwię ksze prze-mieszczenie wystę puje gdy powtórny impuls jest przył oż ony w chwili t — 144 /xs tzn. w 8,5 (xs ( ~ T/ 9) po czasie odpowiadają cym maksymalnym odkształ ceniom ś ciskają cym. Obserwuje się wtedy znaczne zwię kszenie odkształ ceń trwał ych i faz sprę ż ystolepkoplas -tycznych. Również na rys. 11 przedstawiono wpływ chwili przył oż eni
a powtórnego ob-646 W. WOJEWÓD ZKI, J . SOKALSKI - 7 • i-B - 5 - 4 - 3 - 2 10 ?w[ć m| - 10,990 - 6,077 N = - 6296
- - 2£06 N- sił a podł uż na CN / crnl i ^ 3 5
MS- DD/ O - faza sprę ż ysta faza sprę ż ystolepkoplastyczna
60 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Rys. 11. Wpł yw chwili przył oż enia powtórnego impulsu na wielkość przemieszczenia i sił y podł uipej Przypadek silnego tł umienia, y = 500 i 1000 s"1
cią ż enia na wielkość przemieszczenia i dodatkowo na wartość sił y podł uż nej . Wyniki do-tyczą wię kszych impulsów i przypadku materiał u o silnym tł umieniu y = 500 i 1000 s"1
. Przemieszczenia trwał e są tu znacznie wię ksze niż przemieszczenia przedstawione na rys. 10. Stwierdzono, że wpł yw czasu przył oż enia wtórnego obcią ż enia na wielkość proporcji mię dzy przyrostami przemieszczeń trwał ych po pierwszym i wtórnym obcią ż eniu szybko maleje ze wzrostem obcią ż enia oraz bardzo mał o zależy od współ czynnika lepkoś ci. Chwila najbardziej niekorzystnego (najbardziej zwię kszają cego przemieszczenia), lub korzystnego przył oż enia drugiego impulsu zależy ogólnie od przedział u czasowego w którym nastą pi, od wielkoś ci obcią ż enia i współ czynnika lepkoś ci.
Obcią ż enie cykliczne. N a ostatnim rysunku 12 podano zmianę przemieszczenia po-wł oki w czasie, obcią ż onej pię cioma impulsami ciś nienia. Krzywe 1 (y = 400 s"1
) i 2 (y = = 1000 s"1
) odnoszą się do przypadku obcią ż enia pię cioma równymi impulsami (Q = = 14,71 M Pa, ti — 20 fis) o jednakowej dł ugoś ci cykli wynoszą cej 200 / j,s, zaś krzywa 3
(y = 400 s"1
) do przypadku gdy dł ugoś ci cykli nie są jednakowe. W przypadku impulsów o jednakowej dł ugoś ci cykli każ dy z impulsów rozpoczynał swoje dział anie przed osią-gnię ciem przez powł okę maksymalnych odkształ ceń w stanie ś ciskania. Powodował o to umiarkowane przyrosty przemieszczenia n a poszczególnych cyklach. N atomiast w dru-gim przypadku gdy dł ugoś ci cykli nie był y jednakowe każ dy z impulsów zaczynał dzia-ł ać w 9 / is p o osią gnię ciu przez powł okę maksymalnych odkształ ceń w stanie ś ciskania. Ten niekorzystny moment przył oż enia kolejnego impulsu został wybrany tak jak dla po-wł oki obcią ż onej dwoma impulsami. W rezultacie powł oka osią gnę ła na poszczególnych cyklach znacznie wię ksze przemieszczenia niż w pierwszym przypadku. W wyniku analizy obliczeń numerycznych dla przypadku dział ania kilku równych impulsów b jednakowej
D RG AN IA SPRĘ Ż YSTOLEPKOPLASTYCZNEJ POWŁOKI 647
1000
T) y^AOOs obcią ż enie pię cioma impulsami o jednakowej długoś ci cykli * f10O0 (3) f= f=10O0s - 1 " — o niejednakowej —• • — —• • — Q =14,71 M Po tl=20 HS
Rys. 12. Zmiana przemieszczenia w czasie. Obcią ż enie pię cioma jednakowymi impulsami o równych i nierównych dł ugoś ciach cykli.
dł ugoś ci cykli stwierdzono, że na cyklu przyrosty przemieszczeń .maksymalnych, przy-rosty przemieszczeń trwał ych, czasy osią gnię cia granicy plastycznoś ci i maksymalnego przemieszczenia na cyklu liczone od chwili przył oż enia kolejnego impulsu mają tendencję do stabilizacji. Ta stabilizacja został a osią gnię ta dla y = 400 s"1
już po drugim cyklu, natomiast dla y — 1000 s"1 jest ona mniej wyraź na. Podobne efekty wyraź ne j stabili-zacji dla y — 400 s"1 stwierdzono w przypadku gdy dla jednakowych impulsów dł ugoś ci cykli nie był y jednakowe. Literatura cytowana w tekś cie 1. T. WIERZBICKI, Dynamika powł ok lepkoplastycznych, Rozpr. Inż. 19, 4, 667—730, 1971. 2. N . JONES, Recent progress in the dynamic plastic behavior of structures, M assachusetts Institute of Tech-nology, Report N o . 78- 1.
3. W. E . BAKER, The elastic- plastic response of thin spherical shells to internal blast loading, J. Appl. M ech,. 27, 139- 144, 1960.
4. W. SZCZEPIŃ SKI, Plastic strain of a spherical shell under dynamic loading by internal presure. Arch. Mech. Stos. 16, 1207- 1214, 1964.
5. T. A. DUFFEY, Significance of strain hardening and strain rate effects on the transient response of elastic-plastic spherical shells, I n t. J. Mech. Sciences, 12, 1970.
6. T. A. DUFFBY, Influence of finite duration pressure pulse on the transient response of elastic-
plastic strain-rate- sensitive cylindrical and spherical shells, 1st Inter. Conf. o n Struct. M ech. in Reactor Tech., Vol. 3
648 W. WOJEWÓDZKI, J. SOKALSKI
7. P . PERZYN A, The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Quart. Appl. M ath., Vol. XX, 321- 322, 1963.
8. T . D U F F EY, R . KRIEG , The effects of strain hardening and strain rate sensitivity on the transient response
of elastic- plastic spherical shells, I n t . J. Mech. S c , 12, 811, 1970.
P e 3 K> M e
KOJI E E AH H il y n P y r O — BKSKOnJIACTKraECKOŚl C<S>EPH*IECKOft , OBOJIO^IKH
B pa6oTe n pe^craBH eH a n a n a s KOJieBaHHHj B n pen ejie ManLix fledpopMamm, RJKI nojiH oii TOHKOH ynpyro- BK3KortjiacTKl
iecKoit O6OJIOMKH. OSojio^qKa e e n . H arpyaceH a eflHHOTH COM flaBneHHJi H JIH HecKOJiBKHMH HMnyjitcaMH. npo6Jieiw xapaKTepn3yeTCH
OnpeflejieH O BenHMHHy nepBOH arajibnoro ninnyJIBCH flaBjieH iW nnaciH tpH mipyKimero o6onoMKy. H cc^e-floBaHo BjiHHHHe BS3KOCTH MaTepnajia Ha ocHOBHtie napaM eipbi Koxie6aHHS. PaccMaTpeHo TaKwe BUHH-HHe MOMeHTa npnJiOH<eHnH noBTopH oro HMiryjibca H rt m o m iecK o
ro HarpyjKeHUH Ha BejiBPiHHy nepe-S u m m a r y
OSCILLATION S O F ELASTOVISCOPLASTIC SPH ERICAL SH ELL
Oscillations of a complete thin elastoviscoplastic spherical shell is analysed in the range of small strains. The shell is subjected to a radial pressure impulse of rectangular shape or to several impulses. The magnitude of the initial impulse is determined resulting in the yielding of the shell. The influence of the viscosity of the material upon the basic parameters of vibrations is investigated. Also, the influence is considered of the instant of application of the second impulse and of the cyclic loading on the magnitude of deflections. POLITECHNIKA WARSZAWSKA
IN ST. MECH . KONSTRUKCJI INŻ YNIERSKICH
