macierze,

Macierz o wymiarach m × n. A =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn     

Mat_{m×n(R) – zbiór macierzy m × n o współczynnikach} rzeczywi-stych. Analogicznie określamy Mat_{m×n(Z), Matm×n(Q) itp.}

Wiersze macierzy A: h a₁₁ a₁₂ . . . a_1n i, h a₂₁ a₂₂ . . . a_2n i, ... h a_m1 a_m2 . . . a_mn i. Kolumny macierzy A:      a₁₁ a₂₁ ... a_m1      ,      a₁₂ a₂₂ ... a_m2      , . . . ,      a_1n a_2n ... a_mn      .

Działania na macierzach Dodawanie.      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      +      b₁₁ b₁₂ . . . b_1n b₂₁ b₂₂ . . . b_2n ... ... ... b_m1 b_m2 . . . b_mn      = =      a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ . . . a_1n + b_1n a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂ . . . a_2n + b_2n ... ... ... a_m1 + b_m1 a_m2 + b_m2 . . . a_mn + b_mn      .

Krócej: h a_iji m×n + h b_iji m×n = h a_ij + b_iji m×n . Przykład: " 1 2 1 3 4 −4 # + " 3 2 1 4 −3 3 # = " 4 4 2 7 1 −1 # .

Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach m × n, suma jest też macierzą m × n.

Własności dodawania macierzy.

Dla dowolnych macierzy m × n zachodzą równości

A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

A + 0_m×n = A

Macierz zerowa: 0_m×n =      0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . 0     

Macierzą przeciwną do macierzy A = ha_iji

m×n jest macierz −A =     

−a₁₁ −a₁₂ . . . −a_1n −a₂₁ −a₂₂ . . . −a_2n

... ... ...

−a_m1 −a_m2 . . . −a_mn

     .

Mnożenie macierzy przez liczbę. c ·      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      =      ca₁₁ ca₁₂ . . . ca_1n ca₂₁ ca₂₂ . . . ca_2n ... ... ... ca_m1 ca_m2 . . . ca_mn     

Mnożąc dowolną macierz przez liczbę otrzymujemy macierz o tych samych wymiarach.

Własności mnożenia macierzy przez liczbę.

Dla dowolnych macierzy A, B o wymiarach m × n i dowolnych liczb α, β zachodzą równości

α(A + B) = αA + αB,

(α + β)A = αA + βA,

(αβ)A = α(βA),

1 · A = A, (−1) · A = −A,

Mnożenie macierzy.

Iloczynem macierzy 1 × n i macierzy n × 1 jest macierz 1 × 1:

h a₁ a₂ . . . a_ni ·      b₁ b₂ ... b_n      = ha₁b₁ + a₂b₂ + . . . + a_nb_ni . Przykład: h 1 2 3 4i ·      −1 0 1 7      = h1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7i = h30i.

Iloczynem macierzy m × n i macierzy n × 1 jest macierz m × 1:      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      ·      b₁ b₂ ... b_n      =      a₁₁b₁ + a₁₂b₂ + . . . + a_1nb_n a₂₁b₁ + a₂₂b₂ + . . . + a_2nb_n ... a_m1b₁ + a_m2b₂ + . . . + a_mnb_n      . Przykład:    1 2 3 4 2 3 4 5 0 1 0 −1   ·      −1 0 1 7      =    1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7 2 · (−1) + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 7 0 · (−1) + 1 · 0 + 0 · 1 + (−1) · 7    =    30 37 −7   .

Iloczynem macierzy m × n i macierzy n × k jest macierz m × k:      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      ·      b₁₁ b₁₂ . . . b_1k b₂₁ b₂₂ . . . b_2k ... ... ... b_n1 b_n2 . . . b_nk      = =      c₁₁ c₁₂ . . . c_1k c₂₁ c₂₂ . . . c_2k ... ... ... c_m1 c_m2 . . . c_mk      , gdzie c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + . . . + a_inb_nj.

Własności mnożenia macierzy.

Dla dowolnych macierzy (odpowiednich wymiarów) zachodzą rów-ności:

(AB)C = A(BC) dla A ∈ Mat_{m×n(R), B ∈ Matn×k(R), C ∈} Mat_k×l(R),

(A + B)C = AC + BC dla A, B ∈ Mat_{m×n(R), C ∈ Matn×k(R),} A(B + C) = AB + AC dla A ∈ Mat_{m×n(R), B, C ∈ Matn×k(R),} (cA)B = A(cB) = c(AB) dla A ∈ Mat_{m×n(R), B ∈ Matn×k(R),} c ∈ R,

Macierz zerowa. A · 0_n×k = 0_m×k, 0_k×m · A = 0_k×n dla A ∈ Mat_m×n(R). Macierz jednostkowa: I_n =         1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1         ∈ Mat_n×n(R), A · I_n = I_m · A = A dla A ∈ Mat_m×n(R).

Macierz skalarna: c · I_n =         c 0 . . . 0 0 0 c . . . 0 0 ... ... ... ... 0 0 . . . c 0 0 0 . . . 0 c         ∈ Mat_{n×n(R), c ∈ R,}

Macierz diagonalna:         c₁ 0 . . . 0 0 0 c₂ . . . 0 0 ... ... ... ... 0 0 . . . c_n−1 0 0 0 . . . 0 c_n         ∈ Mat_{n×n(R), gdzie} c₁, . . . , c_{n ∈ R.} Macierz A = ha_iji

i,j=1,...,n ∈ Matn×n jest diagonalna ⇔ aij = 0

     c₁ 0 . . . 0 0 c₂ . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . c_m      ·      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      =      c₁a₁₁ c₁a₁₂ . . . c₁a_1n c₂a₂₁ c₂a₂₂ . . . c₂a_2n ... ... ... c_ma_m1 c_ma_m2 . . . c_ma_mn           a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      ·      c₁ 0 . . . 0 0 c₂ . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . c_n      =      c₁a₁₁ c₂a₁₂ . . . c_na_1n c₁a₂₁ c₂a₂₂ . . . c_na_2n ... ... ... c₁a_m1 c₂a_m2 . . . c_na_mn     

Macierz o wymiarach n × n nazywamy kwadratową.

Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Spośród macierzy kwadratowych wyróżniamy macierze górnotrójkątne i dolnotrój-kątne. Macierz górnotrójkątna:         a₁₁ a₁₂ . . . a_1,n−1 a_1n 0 a₂₂ . . . a_2,n−1 a_2n ... ... ... ... 0 0 . . . a_n−1,n−1 a_n−1,n 0 0 . . . 0 a_nn         , gdzie a_{ij ∈ R.}

Macierz dolnotrójkątna:         a₁₁ 0 . . . 0 0 a₂₁ a₂₂ . . . 0 0 ... ... ... ... a_n−1,1 a_n−1,2 . . . a_n−1,n−1 0 a_n1 a_n2 . . . a_n,n−1 a_nn         , gdzie a_{ij ∈ R.} Macierz A = ha_iji

i,j=1,...,n ∈ Matn×n(R) jest dolnotrójkątna ⇔

Niech A ∈ Mat_{m×n(R) będzie dowolną macierzą:} A =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      .

Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz

AT =      a₁₁ a₂₁ . . . a_m1 a₁₂ a₂₂ . . . a_m2 ... ... ... a_1n a_2n . . . a_mn      , AT ∈ Mat_n×m(R).

Przykłady. 1. Jeśli A = " 1 2 3 4 5 6 # , to AT =    1 4 2 5 3 6   .

2. Macierzą transponowaną do macierzy diagonalnej jest ta sama macierz.

3. Macierz transponowana do macierzy górnotrójkątnej jest ma-cierzą dolnotrójkątną, i na odwrót.

Symbolicznie możemy zapisać: AT = hb_iji

n×m, gdzie bij = aji dla

i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.

Dla dowolnych macierzy A, B i dowolnej liczby c zachodzą rów-ności

(A + B)T = AT + BT, A, B ∈ Mat_m×n(R), (cA)T = cAT,

Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli AT = A,

Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeśli AT = −A.    1 2 3 2 4 5 3 5 6    – symetryczna,    0 1 −3 −1 0 2 3 −2 0    – antysymetryczna,

Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + AT jest sy-metryczna, a macierz A − AT jest antysymetryczna.

Zadanie. Przedstawić dowolną macierz kwadratową w postaci sumy macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej. Uza-sadnić, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi          a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + . . . + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + . . . + a_2nx_n = b₂ ... a_m1x₁ + a_m2x₂ + . . . + a_mnx_n = b_m można zapisać jako równanie macierzowe

     a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      ·      x₁ x₂ ... x_n      =      b₁ b₂ ... b_m     

Przyjmując oznaczenia A =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn      , b =      b₁ b₂ ... b_m      , x =      x₁ x₂ ... x_n     

możemy dany układ zapisać w postaci

Ax = b,

Macierz A nazywamy macierzą układu równań. A =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn     

Macierz [A|b] nazywamy macierzą rozszerzoną układu równań. [A|b] =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_m1 a_m2 . . . a_mn          b₁ b₂ ... b_m     

Przekształceniami elementarnymi wierszy macierzy nazywamy:

– pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,

– zamianę dwóch wierszy,

Metoda eliminacji Gaussa.

Za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzamy macierz rozszerzoną [A|b] do zredukowanej postaci górnoschodkowej.

Przy przekształceniach elementarnych tej macierzy nie zmienia się zbiór rozwiązań układu równań Ax = b.

Postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej                    0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . ∗ ∗ . . . ∗ ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . ... ... . . . ... 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . ... ... . . . ... 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0                        ∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ ? 0 ... 0                   

Zredukowana postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej               0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . ... ... ... . . . ... 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . ... ... ... . . . ... 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0                   ∗ ∗ ∗ ... ∗ ? 0 ... 0              

Niech A ∈ Mat_{n×n(R) będzie macierzą kwadratową.}

Macierz B ∈ Mat_{n×n(R) nazywamy odwrotną do macierzy A, jeśli} AB = BA = I_n.

Oznaczenie macierzy odwrotnej: A−1.

Przykłady. 1. Macierzą odwrotną do A = " 1 a 0 1 # jest macierz " 1 −a 0 1 # . " 1 2#

3. Macierzą odwrotną do macierzy diagonalnej: A =         c₁ 0 . . . 0 0 c₂ . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . 0 0 0 . . . c_n         ,

gdzie c₁, . . . , c_n 6= 0, jest macierz

A−1 =         c−1₁ 0 . . . 0 0 c−1₂ . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . 0 0 0 . . . c−1_n        

Załóżmy, że macierz kwadratowa A ∈ Mat_{n×n(R) jest odwracalna} (tzn. posiada macierz odwrotną). Niech _{b ∈ R}n.

Wówczas układ równań

Ax = b

ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wyraża się wzorem