I ODEJMOWANIE MACIERZY

(1)

Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych operacji jest macierz o takich samych wymiarach jak składniki.

Elementy macierzy wynikowej są sumą odpowiednich elementów składników.

OPERACJE NA MACIERZACH – DODAWANIE

I ODEJMOWANIE MACIERZY

(2)

Mnożenie przez skalar (dowolną liczbę rzeczywistą) polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez tą liczbę.

Mnożenie przez skalar jest przemienne.

OPERACJE NA MACIERZACH – MNOŻENIE

MACIERZY PRZEZ SKALAR

(3)

Transpozycja macierzy polega na zamianie miejscami kolumn i wierszy macierzy, tak by pierwszy wiersz stał się pierwszą kolumną itd.

OPERACJE NA MACIERZACH –

TRANSPOZYCJA MACIERZY

(4)

Wynikiem mnożenia macierzy A

_nxm

B

_mxk

jest macierz C o wymiarze n

^x

k.

Każdy element macierzy C – c

_ij

jest równy iloczynowi skalarnemu i-tego wiersza macierzy stojącej po lewej stronie znaku mnożnie, przez j-tą kolumnę macierzy stojącej po prawej stronie znaku mnożenia.

OPERACJE NA MACIERZACH – ILOCZYN

MACIERZY

(5)

Wyznacznikiem nazywamy, takie odwzorowanie, które danej macierzy kwadratowej A = [a

_ij

]

_n×n

przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą.

Wyznacznik oznaczamy symbolicznie detA lub |A|.

OPERACJE NA MACIERZACH –

WYZNACZNIK MACIERZY

(6)

Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą dopełnień algebraicznych:

gdzie D – macierz dopełnień algebraicznych.

OPERACJE NA MACIERZACH – MACIERZ

ODWROTNA

(7)

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

(8)

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –

METODA CRAMERA

(9)

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –

METODA CRAMERA

(10)

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –

METODA CRAMERA

(11)

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH – METODA CRAMERA

Jeżeli |W| ≠ 0 to układ równań jest oznaczony – ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeżeli |W| = |W1| = |W2| =...= |Wn| = 0 to układ może być sprzeczny (brak rozwiązań) lub nieoznaczony

(nieskończenie wiele rozwiązań).

Jeżeli |W| = 0 oraz nie wszystkie wyznaczniki macierzy

pomocniczych są jednocześnie równe zeru, to układ jest

sprzeczny.

(12)

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH – METODA MACIERZY ODWROTNEJ

Układ równań liniowych:

można zapisać w postaci macierzowej:

Ax = b

gdzie:

(13)

A

^-1

· Ax = A

^-1

b

Wiedząc, że A

^-1

· A = I, otrzymujemy x = A

^-1

b

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH – METODA MACIERZY ODWROTNEJ

Jeżeli macierz A jest nieosobliwa to można znaleźć macierz odwrotną do niej A

^-1

.

Mnożąc obie strony równania przez A

^-1

otrzymujemy:

(14)

Popularne skróty klawiaturowe:

Ctrl + N – NOWY, PUSTY SKOROSZYT Ctrl + O – OTWIERANIE

Ctrl + S - ZAPISZ

Ctrl + A – ZAZNACZENIE BIEŻĄCEGO REGIONU/CAŁEGO ARKUSZA Ctrl + C – KOPIUJ

Ctrl + V – WKLEJ Ctrl + X - WYTNIJ Ctrl + F – WYSZUKAJ Ctrl + H – ZAMIEŃ

Ctrl + Z – COFNIJ POLECENIE Ctrl + Y – POWTÓRZ POLECENIE

EXCEL – SKRÓTY KLAWIATUROWE

(15)

Popularne skróty klawiaturowe:

Ctrl + B – FORMATOWANIE POGRUBIONE Ctrl + U – PODKREŚLENIE

Ctrl + I – KURSYWA

Nawigacja i zaznaczanie komórek:

Ctrl + pokrętło myszy – POWIĘKSZENIE (ZOOM)

Ctrl + PageUp – POPRZEDNI ARKUSZ W SKOROSZYCIE Ctrl + PageDown – NASTĘPNY ARKUSZ W SKOROSZYCIE Ctrl + Tab – PRZECHODZENIE MIĘDZY PLIKAMI EXCELA

Ctrl + KLAWISZ STRZAŁKI – PRZEJŚCIE DO KRAWĘDZI BIEŻĄCEGO OBSZARU DANYCH W ARKUSZU

SHIFT + KLAWISZ STRZAŁKI – ROZSZERZENIE ZAZNACZENIA O JEDNĄ KOMÓRKĘ

EXCEL – SKRÓTY KLAWIATUROWE

(16)

Ctrl + Shift + KLAWISZ STRZAŁKI – ROZSZERZENIE ZAZNACZENIA DO OSTATNIEJ NIEPUSTEJ KOMÓRKI W TEJ SAMEJ KOLUMNIE LUB W TYM SAMYM WIERSZU

Ctrl + Home – PRZEJŚCIE NA POCZĄTEK ARKUSZA Ctrl + End – PRZEJŚCIE NA KONIEC ARKUSZA

Ctrl + Spacja – ZAZNACZENIE BIEŻĄCEJ KOLUMNY SHIFT+ Spacja - ZAZNACZENIE BIEŻĄCEGO WIERSZA

Alt + Enter – Rozpoczyna nowy wiersz w bieżącej komórce Shift + Enter – Kończy wprowadzanie tekstu w komórce i

przechodzi do komórki powyżej

Ctrl + Enter – Kończy wprowadzanie tekstu w komórce i nie przechodzi do innej komórki/

Wypełnia zaznaczony zakres komórek bieżącym wpisem

EXCEL – SKRÓTY KLAWIATUROWE

(17)

Inne skróty klawiaturowe w programie Excel:

Strona internetowa pakietu Office:

http://office.microsoft.com/pl-pl/excel-help/skroty-

klawiaturowe-w-programie-excel-2010-HP010342494.aspx i pomoc programu Excel (F1).