Tomasz Kaczmarek, Wpływ liniowego migotania na generację solitonu podstawowegoSesja: Światłowody w sieciach telekomunikacyjnych.Politechnika Świętokrzyska

Pełen tekst

(1)www.pwt.et.put.poznan.pl. Tomasz Kaczmarek Politechnika wi tokrzyska Al. 1000lecia P. P. 7 25-314 Kielce e-mail: tkaczmar@tu.kielce.pl. 2005. Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 8 - 9 grudnia 2005. Wpływ liniowego migotania na generacj solitonu podstawowego Streszczenie: W celu zbadania wpływu liniowego migotania na proces generacji solitonu podstawowego, okre lono czasow zmienno obwiedni impulsu w funkcji odległo ci propagacji. W tym celu nieliniowe równanie Schrödinger zostało rozwi zane numerycznie dla zespolonego warunku pocz tkowego przy u yciu widmowej metody dwukrokowej. W celu obliczenia ustalonej warto ci szczytowej modułu amplitudy, dokonano filtracji warto ci szczytowej jako funkcji odległo ci.. 1.. WPROWADZENIE. Dotychczas w literaturze po wi conej solitonom nie pojawiła si zale no analityczna przy pomocy której krytyczn warto parametru mo na oszacowa migotania impulsu supergaussowskiego okre lonego rz du. Pojawiały si natomiast wzmianki o warto ci krytycznej dla impulsów supergaussowskich do czwartego rz du wł cznie. Niniejszy artykuł stanowi pod tym wzgl dem pewien przełom, gdy zaprezentowano w nim analityczn zale no pomi dzy rz dem impulsu supergaussowskiego (do siódmego rz du wł cznie), a mu krytyczn warto ci parametru odpowiadaj c migotania. Słowo solion opisuje impuls w kształcie funkcji secans hiperboliczny, który w nieliniowym wiatłowodzie bezstratnym mo e rozchodzi si bez zmiany kształtu. Istnienie solionów w wiatłowodach i ich wykorzystanie w systemach telekomunikacji optycznej było sugerowane ju w 1973 roku [1], natomiast w 1980 roku zostały zaobserwowane eksperymentalnie [2]. Mo liwo zastosowania solionów do transmisji długodystansowej została zaprezentowana po raz pierwszy w 1988 roku w eksperymencie, w którym straty wiatłowodu zostały skompensowane przy pomocy wzmocnienia Ramana [3]. Od tego czasu dynamiczny post p lat dziewi dziesi tych zmienił soliton optyczny w praktycznego kandydata dla nowoczesnej telekomunikacji wiatłowodowej [4,5,6]. Istnienie solitonu w wiatłowodzie jest rezultatem równowagi pomi dzy dyspersj pr dko ci grupowej (DPG) oraz samomodulacj fazy (SMF). Oba te zjawiska działaj c niezale nie na impuls optyczny rozchodz cy si w wiatłowodzie stanowi ograniczenie wydajno ci systemów telekomunikacji optycznej. Matematyczny opis solitonu wykorzystuje nieliniowe równanie Schrödingera (NRS), które jest spełnione przez obwiedni impulsu A(z , T ) w obecno ci zarówno DPG jak i SMF. Równanie wiatłowodu to w przypadku bezstratnego jednodomowego przyjmuje nast puj c posta [4] ∂ A β2 ∂2 A 2 i − +γ A A = 0, (1) 2 ∂z 2 ∂T. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. przy czym β 2 uwzgl dnia efekty dyspersji drugiego jest rz du, parametr nieliniowy γ = 2πn 2 λAsk zdefiniowany przy pomocy nieliniowego współczynnika załamania n2 , długo ci fali λ , oraz skutecznego przekroju poprzecznego rdzenia Ask , z oraz T s odpowiednio współrz dn przestrzenn i czasow . Korzystnie jest zapisa to równanie w znormalizowanej postaci w prowadzaj c w tym celu nowe znormalizowane zmienne [4] T z A , (2) ξ= , τ = , U= T0 LD P0. przy czym T0 jest miar szeroko ci impulsu, P0 jest jego moc szczytow , natomiast LD = T02 β 2 jest tzw. długo ci dyspersyjn . Równanie (1) przyjmuje w zwi zku z tym nast puj c form [4] ∂U 1 ∂ 2U 2 i − sgn (β 2 ) + N2U U = 0. (3) ∂ξ 2 ∂τ 2 Parametr N jest zdefiniowany nast puj co [4] N 2 = γP0 LD = γP0T02 β 2 . (4) Reprezentuje on bezwymiarow kombinacj parametrów impulsu oraz wiatłowodu. .Rozwa aj c przypadek anomalnej DPG przez przyj cie, e sgn (β 2 ) = −1 oraz wprowadzaj c u = NU jako znormalizowan amplitud powszechne jest zapisanie NRS w postaci kanonicznej [4] ∂ u 1 ∂ 2u 2 i + + u u = 0. (5) ∂ξ 2 ∂τ 2 Równanie to zostało rozwi zane analitycznie przy pomocy odwrotnej metody rozpraszania (OMR) [7,8]. Rozwi zanie analityczne w postaci funkcji secans hiperboliczny oznacza, e je li impuls o tak opisanej amplitudzie [4] (6) u (ξ = 0,τ ) = N sec h(τ ) zostanie wprowadzony do wiatłowodu, jego kształt nie ulegnie zmianie podczas rozchodzenia si , gdy N = 1 (Rys.1). Impuls optyczny, którego parametry spełniaj warunek N = 1 jest nazywany solitonem podstawowym. Istotn wła ciwo ci solionów optycznych jest ich zadziwiaj ca odporno na ró nego rodzaju zaburzenia. e solion podstawowy wymaga Mimo tego, specyficznego kształtu i odpowiedniej mocy szczytowej odpowiadaj cej N = 1 , mo na go wygenerowa nawet wówczas, gdy kształt impulsu oraz moc szczytowa odbiegaj od warunków idealnych.. 1/7.

(2) www.pwt.et.put.poznan.pl. 100. 75. ξ. 50. 25. Rys. 1. Ewolucja impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny w soliton, gdy N = 1 .. 0 -16. -8. 0. 8. 16. τ. 2.. METODA. Wpływ warto ci szczytowej mocy na proces formowania si solitonu mo na bada zarówno analitycznie, wykorzystuj c w tym celu teori perturbacyjn [9], jak i numerycznie u ywaj c na przykład widmowej metody dwukrokowej (WMD) [5]. W przypadku stosowania WMD u yteczne jest zapisanie równania (5) w nast puj cej postaci [5] ∂u (7) = (D + N )u , ∂ξ przy czym ró niczkowym. (. ). D = 0,5i ∂ 2 ∂τ 2 odpowiadaj cym. jest z. Rys. 2.b. Ewolucja impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny w soliton, gdy N = 1,1 (wykres konturowy).. operatorem dyspersj. 2. wiatłowodu, natomiast N = i u jest operatorem nieliniowym rz dz cym wpływem nieliniowo ci wiatłowodu na rozchodzenie si impulsu. Przy pomocy WMD mo na uzyska przybli one rozwi zanie przy zało eniu, e podczas rozchodzenia si pola optycznego na krótkim odcinku ∆ξ , efekty dyspersyjne I nieliniowe działaj niezale nie. Matematycznie mo na ten efekt zapisa nast puj co [5] u (ξ + ∆ξ ,τ ) = F −1 {exp[∆ξ D (iω )]F [exp(∆ξ N )u (ξ ,τ )]} , (8) przy czym F operacj transformaty Fouriera, D (iω ) jest okre lone z równania (9), przy czym operator ró niczkowy ∂ ∂τ zast piono przez iω ( ω jest pulsacj w dziedzinie cz stotliwo ci). Rysunki 2 oraz 3 przedstawiaj wyniki analizy numerycznej (przy pomocy WMD) wpływu warto ci szczytowej mocy na generacj solitonu. Obliczenia zostały wykonane w zakresie τ = − 80;80 dla liczby próbek w oknie analizy czasowej wynosz cej 1024 oraz dla ∆ξ = 0.008 .. Rys. 2.a. Ewolucja impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny w soliton, gdy N = 1,1 .. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. Rys. 3.a. Ewolucja impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny w soliton, gdy N = 0.9 . 100. 75. ξ. 50. 25. 0 -16. -8. 0. 8. 16. τ. Rys. 3.b. Ewolucja impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny w soliton, gdy N = 0,9 (wykres konturowy). Fizycznie, impuls dostosowuje swój kształt i szeroko podczas rozchodzenia si w wiatłowodzie i ewoluuje do solitonu podstawowego. Cz energii ulega rozproszeniu, jest to tzw. kontinuum. Kontinuum oddziela si od solitonu podczas zwi kszania si ξ i impuls ewoluuje w sposób oscylacyjny do formy solitonu podstawowego. Impuls ulega poszerzeniu natomiast widmo zw eniu, gdy N = 0,9 , natomiast impuls ulega zw eniu a widmo poszerzeniu, gdy N = 1,1 . Mo liwe jest okre lenie ustalonej warto ci szczytowej u max,ustalona generowanego solitonu podstawowego. W tym celu warto szczytowa modułu amplitudy jako funkcja odległo ci propagacji u max (ξ ). 2/7.

(3) www.pwt.et.put.poznan.pl powinna zosta poddana procesowi filtracji. Poniewa krzywa u max (ξ ) zmienia si w sposób oscylacyjny, mo liwe jest okre lenie nie tylko u max,ustalona solitonu ale. równie okresu oscylacji u max (ξ ) . W tym celu został. u yty filtr u redniaj cy ze zmiennym oknem. Filtr u redniaj cy funkcjonuje zgodnie z nast puj cym algorytmem [10] 1 j Fj = u (ξ i ) dla j < n , (9a) n i =0 max. Fj =. 1 j u (ξ i ) dla n i = j −n max. n ≤ j ≤ 101 ,. (9b). Fj =. 1 101 u (ξ i ) dla n i = j −n+1 max. j > 101 ,. (9c). próbk. zauwa y , e je li rz d m impulsu supergaussowskiego ulega zwi kszeniu (tzn. impuls charakteryzuje si coraz bardziej stromym zboczem narastania i opadania) ustalona warto szczytowa generowanego solitonu u max,ustalona oraz okres oscylacji z 0 warto ci szczytowej. modułu amplitudy u max (ξ ) ulegaj zmniejszeniu.. funkcji u max (ξ ) po. filtracji, n jest zmienn długo ci okna filtru. Je eli długo okna filtru jest dobrana odpowiednio, wówczas cz krzywej F (ξ ) okre lona równaniem (9b) jest najgładsza w zbirze krzywych przy zmiennym n, natomiast n jest w tym wybranym przypadku równe okresowi oscylacji u max (ξ ) . Poniewa krzywa u max (ξ ). 1.6. 1.2. jest skonstruowana tak, e niezale nie od kształtu oraz warto ci parametru N składa si ze 101 próbek, w zwi zku z tym wzgl dny bł d okre lenia okresu oscylacji jest nieco mniejszy ni 1%. W celu minimalizacji szacowania u max,ustalona generowanego solitonu. przy czym Fmax oraz Fmin s odpowiednio ostatnim zlokalizowanym na krzywej F (ξ ) (okre lonej przez równanie (9b)) maksimum i minimum lokalnym. Rysunki 2.a oraz 3.a przedstawiaj odpowiednio graficzn interpretacj funkcjonowania filtru u redniaj cego w przypadku, gdy N = 1,1 oraz N = 0,9 . Dla N = 1,1 ustalona warto szczytowa modułu amplitudy impulsu wynosi u max,ustalona = 1,198 dla długo ci okna filtru u redniaj cego n = 9 , która jest jednocze nie okresem oscylacji z 0 krzywej u max (ξ ) , w przypadku N = 0,9. u max,ustalona = 0,799. oraz. z 0 = 20 .. Wpływ. kształtu. impulsu na formowanie si solitonu mo na bada rozwi zuj c równanie (5) numerycznie. Rysunek 4 przedstawia ewolucj impulsu Gaussa w soliton, gdy pole pocz tkowe ma nast puj c form (11) u (ξ = 0,τ ) = N exp − τ 2m 2 , przy czym m = 1 oraz N = 1 . Nawet je li N = 1 , kształt impulsu ulega zmianie wzdłu wiatłowodu z powodu odchylenia od wymaganego dla solitonu podstawowego kształtu funkcji secans hiperboliczny. Interesuj c cech rys. 4 jest to, e impuls dostosowuje swoj szeroko i ewoluuje w sposób oscylacyjny (z okresem oscylacji wynosz cym z 0 = 18 ) do solitonu podstawowego (z ustalon warto ci szczytow modułu amplitudy. (. ). PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. 0.8. 0.4. 0.0 0. 40. 80. 120. ξ. Rys. 2.c. Graficzna interpretacja funkcjonowania filtru u redniaj cego; linia przerywana – ewolucja warto ci szczytowej modułu amplitudy impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny (tzn. kształt krzywej u max (ξ ) ),gdy N = 1,1 ; linia ci gła – rednia bie ca F krzywej u max (ξ ) . 1.0 0.8. F, IuImax. podstawowego, rodkowa cz krzywej F (ξ ) (okre lona zale no ci (9b)) jest filtrowana powtórnie. W tym celu ustalona warto szczytowa modułu amplitudy impulsu jest wyliczana przy pomocy nast puj cej relacji (10) u max,ustalona = 0,5(Fmax + Fmin ) ,. u max,ustalona = 0,840 ). Ten sam charakter. zmian ewolucyjnych mo na zaobserwowa w przypadku impulsów o bardziej stromych zboczach narastania i opadania, na przykład dla impulsu supergaussowskiego. Rysunek 5 przedstawia ewolucj impulsu supergaussowskiego pierwszego rz du ( m = 2 w równaniu (7)) w soliton podstawowy ( u max,ustalona = 0,730 , z 0 = 23 ), gdy N = 1 . Warto. F, IuImax. przy czym F j jest j-t. wynosz c. 0.6 0.4 0.2 0.0 0. 40. 80. 120. ξ. Rys. 3.c. Graficzna interpretacja funkcjonowania filtru u redniaj cego; linia przerywana – ewolucja warto ci szczytowej modułu amplitudy impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny (tzn. kształt krzywej u max (ξ ) ),gdy N = 0,9 ; linia ci gła – rednia bie ca F krzywej u max (ξ ) .. 3/7.

(4) www.pwt.et.put.poznan.pl. u max,ustalona ulega zmniejszeniu. Co wi cej dla ka dej warto ci parametru migotania C ustalona warto szczytowa u max,ustalona jest nieco wi ksza w przypadku migotania ujemnego i dodatkowo dla oscylacji. z0. warto ci. C > 1 okres. szczytowej. u max (ξ ). generowanego solitonu jest wi kszy w przypadku dodatniego migotania. Rys. 4. Ewolucja impulsu w kształcie funkcji Gaussa ( m = 1 ) w soliton, gdy N = 1 .. Rys. 6. Ewolucja impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny w soliton, gdy N = 1 oraz C = 0,5 . Rys. 5. Ewolucja impulsu w supergaussowskiego pierwszego rodzaju ( m = 2 ) w soliton, gdy N = 1 . 3. WYNIKI OBLICZE I DYSKUSJA. Aby rozchodzi si jako soliton podstawowy w wiatłowodzie, impuls pocz tkowy powinien by wolny od migotania. Wiele ródeł generuj cych krótkie impulsy optyczne cierpi z powodu zmiany cz stotliwo ci fali no nej w impulsie. Pocz tkowe migotanie mo e by szkodliwe dla rozchodzenia si solitonu dlatego, e zaburza równowag pomi dzy DPG a SMF. Wpływ pocz tkowego migotania na generacj solitonu podstawowego w przypadku, gdy impuls pocz tkowy ma kształt funkcji secans hiperboliczny mo na bada rozwi zuj c równanie (5) numerycznie dla amplitudy pocz tkowej w formie [5] (12) u (0,τ ) = N sec h(τ )exp − iCτ 2 2 , przy czym C jest tzw. parametrem migotania. Kwadratowa forma zmian fazy odpowiada liniowemu migotaniu tak, e zwi kszeniu cz stotliwo ci optycznej w czasie odpowiada dodatnim warto ciom parametru C , natomiast jej zmniejszenie odpowiada ujemnym warto ciom C . Rysunki 6 i 7 przedstawiaj odpowiednio ewolucj impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny ( N = 1 ) w przypadku, gdy C = 0,5 oraz C = −0,5 . Warto zaznaczy , e dla C = 0,5 warto natomiast dla C = −0,5 u max,ustalona = 0,849 ,. (. u max,ustalona = 0,851. ). (uzyskane wyniki s. w du ej. zgodno ci z [11]), ponadto w obydwu przypadkach z 0 = 17 . Wyniki wnikliwej analizy wpływu dodatniego i ujemnego migotania na generacj solitonu podstawowego z impulsu pocz tkowego w kształcie funkcji secans hiperboliczny, gdy N = 1 przedstawiono w tabeli 1 i 2. Na podstawie tych wyników mo na stwierdzi , e wraz ze zwi kszaniem si warto ci bezwzgl dnej parametru C ustalona warto szczytowa modułu amplitudy. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. Rys. 7. Ewolucja impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny w soliton, gdy N = 1 oraz C = −0,5 . Warto. parametru C , przy której u max,ustalona = 0 jest. tzw. krytyczn warto ci parametru migotania C kr i powinna by zgodna z t wyznaczon w [11]. Rysunki 8 oraz 9 przedstawiaj odpowiednio graficzn wizualizacj krzywej u max,ustalona = f (C ) dla danych z tabeli 1.a oraz 1.b. Na rysunku widniej równie warto ci krytyczne C kr dla dodatniej C kr + i ujemnej C kr − warto ci parametru migotania wyznaczone przy pomocy algorytmu ekstrapolacji ilorazowej [12]. Oszacowane warto ci krytyczne parametru migotania dla impulsu pocz tkowego w kształcie funkcji secans hiperboliczny przyjmuj nast puj ce warto ci w zale no ci od warto ci parametru N i tak: dla N = 1 C kr + = 1,626 ; C kr − = −1,635 , (13a) dla N = 1,25 C kr + = 2,460 ; C kr − = −2,478 , (13b) które to wyniki s w du ej zgodno ci z wynikami otrzymanymi w [11], ponadto wyznaczone zostały krytyczne parametru migotania dla warto ci nast puj cych warto ci parametru N , których zgodno trudno potwierdzi , gdy autor nie odnalazł ich w dost pnej literaturze dla N = 1,2 C kr + = 2,292 ; C kr − = −2,308 , (13c). 4/7.

(5) www.pwt.et.put.poznan.pl. dla N = 1,15 C kr + = 2,124 ; C kr − = −2,138 , dla N = 1,1 C kr + = 1,958 ; C kr − = −1,969 , dla N = 1,05 C kr + = 1,792 ; C kr − = −1,803 , dla N = 0,95 C kr + = 1,463 ; C kr − = −1,471 ,. (13d) (13e). dla N = 0,9 C kr + = 1,301 ; C kr − = −1,302 , dla N = 0,85 C kr + = 1,144 ; C kr − = −1,148 .. (13h) (13i). secans hiperboliczny, tzn. szukanie miejsca zerowego krzywej u max,ustalona = f (C ) .. (13f) (13g). 0.8 IuImax,stationary. Tab. 1. Wyniki analizy numerycznej wpływu dodatniego migotania na generacj solitonu z impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny dla N = 1 C z0 u. 1. 0.6 0.4 0.2. max,stationary. 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 1.125 1.25 1.375 1.5. 1 0.987 0.956 0.909 0.849 0.779 0.701 0.616 0.525 0.427 0.329 0.224 0.115. 13 13 15 17 20 26 34 46 69 117 255 936. Tab. 1. Wyniki analizy numerycznej wpływu ujemnego migotania na generacj solitonu z impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny dla N = 1 C z0 u max,stationary. 0 -0.125 -0.25 -0.375 -0.5 -0.625 -0.75 -0.875 -1 -1.125 -1.25 -1.375 -1.5. 1 0.988 0.957 0.911 0.851 0.781 0.704 0.620 0.530 0.435 0.335 0.231 0.122. 13 13 15 17 20 26 34 46 65 110 242 832. 1. IuImax,stationary. 0.8 0.6 0.4 0.2 Ccr+. 0 0. 0.4. 0.8. 1.2. 1.6. 2. C. Rys. 8. Graficzna interpretacja u ycia algorytmu ekstrapolacji ilorazowej w celu oszacowania C kr + w przypadku impulsu pocz tkowego w kształcie funkcji. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. Ccr0 -2. -1.6. -1.2. -0.8. -0.4. 0. C. Rys. 9. Graficzna interpretacja u ycia algorytmu ekstrapolacji ilorazowej w celu oszacowania C kr + w przypadku impulsu pocz tkowego w kształcie funkcji secans hiperboliczny, tzn. szukanie miejsca zerowego krzywej u max,ustalona = f (C ) . Wpływ migotania pocz tkowego na generacj solitonu podstawowego z impulsu w kształcie funkcji Gaussa oraz z impulsu supergaussowskiego mo na bada rozwi zuj c numerycznie równanie (5) dla amplitudy wej ciowej w nast puj cej formie [4] u (0,τ ) = N exp − τ 2 m 2 exp − iCτ 2 2 . (14) W rezultacie oblicze numerycznych uzyskano nast puj ce wyniki dla N = 1 oraz ∆ξ = 0.008 dla ró nych warto ci parametru m , który okre la rz d impulsu supergaussowskiego: dla m = 1 (impuls Gaussa) C kr + = 1,807 , C kr − = −1,824 , (15) dla m = 2 (impuls supergaussowski rz du 1) (16) C kr + = 2,731 , C kr − = −2,739 , dla m = 3 (impuls supergaussowski rz du 2) C kr + = 3,179 , C kr − = −3,187 , (17) dla m = 4 (impuls supergaussowski rz du 3) (18) C kr + = 3,391 , C kr − = −3,398 , dla m = 5 (impuls supergaussowski rz du 4) C kr + = 3,520 , C kr − = −3,529 , (20) dla m = 6 (impuls supergaussowski rz du 5) (21) C kr + = 3,587 , C kr − = −3,597 , dla m = 7 (impuls supergaussowski rz du 6) C kr + = 3,640 , C kr − = −3,641 , (22) dla m = 8 (impuls supergaussowski rz du 7) (23) C kr + = 3,667 , C kr − = −3,690 . Na podstawie uzyskanych rezultatów mo na stwierdzi , e przy braku pocz tkowego migotania ustalona warto szczytowa modułu amplitudy u max,ustalona zmniejsza si ,. (. ) (. ). gdy m ro nie od m = 1 dla impulsu Gaussa do m = 8 dla impulsu supergaussowskiego siódmego rz du i w ka dym przypadku jest mniejsza ni dla impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny (pod warunkiem, e N = 1 ). Tym niemniej warto krytyczna parametru migotania C kr zwi ksza si dla m rosn cego od m = 1. 5/7.

(6) www.pwt.et.put.poznan.pl. do m = 8 . Z punktu widzenia C kr mo na wyci gn wniosek, e najbardziej wra liwy na liniowe migotanie jest impuls w kształcie funkcji secans hiperboliczny (oczywi cie pod warunkiem, e N = 1 ) oraz, e gdy rz d impulsu supergaussowskiego ro nie wra liwo na migotanie zmniejsza si . Poniewa ró nice pomi dzy C kr zmniejszaj si w sposób monotoniczny istnieje mo liwo aproksymacji krzywej C kr = f (m ) funkcj hiperboliczn . W tym celu zestaw czterech równa nast puj cego typu (24) C kr = a + b ⋅ m −1 + c ⋅ m −2 + d ⋅ m −3 został rozwi zany numerycznie przy pomocy dobrze znanej techniki dekompozycji LU [12] i otrzymano nast puj ce rezultaty C kr + = 3,872 − 1,260 ⋅ m −1 − 3,288 ⋅ m −2 + 2,483 ⋅ m −3 , (25a) C kr − = −3,867 + 1,173 ⋅ m −1 + 3,462 ⋅ m −2 − 2,592 ⋅ m −3 , (25b) które przedstawiono lini ci gł odpowiednio na rys. 10 i 11. Analityczna posta funkcyjna zale no ci parametru migotania od rz du impulsu supergaussowskiego C kr = f (m) została przedstawiona po raz pierwszy. 4 3.6 3.2 Ccr 2.8 2.4 2 1.6 0. 2. 4. 6. 8. 10. m. Rys. 10. Krzywa C kr = f (m ) dla dodatniego migotania. -1.6 -2 -2.4 Ccr -2.8 -3.2 -3.6 -4 0. 2. 4. 6. 8. 10. m. Rys. 11. Krzywa C kr = f (m) dla ujemnego migotania. 4. DYSKUSJA ORAZ KONKLUZJE. Z punktu widzenia warto ci krytycznej parametru migotania C kr mo na stwierdzi , e pocz tkowe liniowe migotanie jest najbardziej szkodliwe dla impulsu w kształcie funkcji secans hiperboliczny (oczywi ci przy zało eniu, e N = 1 ). Wra liwo na pocz tkowe migotanie zmniejsza si , gdy rz d impulsu. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. supergaussowskiego ro nie. Co wi cej, warto krytyczn parametru migotania jako funkcj rz du impulsu supergaussowskiego C kr = f (m) mo na aproksymowa funkcj hiperboliczn . Tym niemniej z praktycznego punktu widzenia pocz tkowe migotanie powinno by minimalizowane na ile jest to tylko mo liwe. Jest to konieczne z tego wzgl du, e nawet je li migotanie nie jest krytyczne ( C < C kr ), cz energii impulsu ulega rozproszeniu w postaci tzw. kontinuum podczas procesu formowania si solitonu. Formowanie si kontinuum jest niepo dane nie tylko dlatego, e reprezentuje strat energii, ale równie systemu transmisji dlatego, e zmniejsza wydajno solitonowej.. SPIS LITERATURY. 1. A. Hasegawa, F. Tappert, Transmission of stationary. nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers I. anomalous dispersion, App. Phys. Lett. 23, 142-144 (1973). 2. L.F. Mollenauer, R.H. Stollen, J.P. Gordon, Experimental observation of picoseconds pulse narrowing and solitons in optical fibers, Phys. Rev. Lett. 45, 1095-1098 (1980). 3. L.F. Mollenauer, K. Smith, Demonstration of soliton transmission over more than 4000 km in fiber with loss periodically compensated by Raman gain, Opt. Lett. 13, 675-677 (1988). Soliton transmission over more than 6000 km in fiber with loss periodically compensated by Raman gain, ECOC’89, V.2, Gothenburg, 10-14 Sept. 71-78 (1989). 4. G.P. Agrawal, Fiber-Optics Communication Systems, Third Edition, Wiley-Interscience, New York 2002. 5. G.P. Agrawal, Nonlinear Fiber Opitcs, Third Edition, Academic Press, San Diego 2001. 6. E. Iannone, F. Matera, A. Mecozzi, M. Settembre, Nonlinear Optical Communication Networks, Wiley, New York, 1998. 7. V.E. Zakharov, A.B. Shabat, Exact theory of twodimensional self-focusing and one-dimensional selfmodulation of waves in nonlinear media , Sov. Phys. JETP 34,62-78 (1972). 8. T. Miwa, Mathematics of Solitons, Cambridge University Press, New York, 1999. 9. J. Satsuma, N. Yajima, Initial value problem sof one dimensional self-modulation of nonlinear waves in dispersive media, Prog. Theor. Phys. Suppl. 55, 284306 (1974). 10. T. Kaczmarek, “Generation of fundamental soliton in the presence of initial chirp”, Optica Applicata, 34, 241-248 (2004). 11. C. Desem, P.L. Chu, Effect of chirping on solution propagation in single-mode optical fiber, Opt. Lett. 11, 248-250 (1986). 12. W.H. Press, W.T. Vatterling, S.A. Teukolsky, B.P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77, Second Edition, Cambridge University Press 1996.. 6/7.

(7) www.pwt.et.put.poznan.pl. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. 7/7.

(8)