Adam Góral
Identyfikacja okresu wahań
występujących w ekonomicznych
szeregach czasowych
Annales Universitatis Mariae Curie-Skłodowska. Sectio H, Oeconomia 20, 189-202
U N I V E R S I T A T I S M A R I A E C U R I E - S K Ł O D O W S K A L U B L I N — P O L O N I A
Vol. X X, 11 SECTIO H 1986
W ydział E k on om iczn y F ilii UMCS w R zeszow ie
A d a m G Ó R A L
Identyfikacja okresu wahań
występujących w ekonomicznych szeregach czasowych
Частотный анализ в идентификации периода колебаний, наблюдаемых в экономических временных рядах
Frequency Analysis in the Identification of the Period of Fluctuations Occuring in Economic Time Series
WSTĘP
A naliza okresow ości należy do najw ażniejszych problem ów zw iąza nych z badaniem ekonom icznych szeregów czasowych. U w zględnienie w ahań okresow ych w m odelach opisujących dynam ikę zjaw isk ekono m icznych w pływ a bowiem na w zrost stopnia dopasowania ty ch m odeli do danych em pirycznych 1. Poniew aż poddaw ane dotychczas badaniu eko nom iczne szeregi czasowe charak tery zo w ały się w ahaniam i o różnych okresach 2, szczególnego znaczenia nabiera zagadnienie identyfikacji ok re su w ahań. Bardzo przy d atną do tego celu w ydaje się być analiza p ro cesu losowego w dziedzinie częstotliwości. Z w ym ienionych powodów w p rac y omówiono najm ocniejszy test okresowości prostej, czyli te st F ishera. Podjęto rów nież próbę zw rócenia uw agi na rolę funkcji spek tra ln ej zarów no w e w stępnej ocenie okresu w ahań, jak i w ocenie isto t
1 Zob. np. Z. Z i e l i ń s k i : M eto dy analizy dynamiki i rytmiczności zja w isk gospodarczych. PWN, Warszawa 1979.
2 W warunkach gospodarki kapitalistycznej analizowano m. in. szeregi czasowe z następującym i cyklami: 40—60 lat (cykl Kondratieffa), 20—30 lat (cykl Kuznetsa), 15—20 lat (cykl charakterystyczny dla budownictwa niektórych krajów) i 2—4 lat (cykl Kitchina). W szeregach czasowych opisujących zjawiska ekonomiczne charak terystyczne dla gospodarki socjalistycznej analizowano głównie wahania sezonowe.
ności w ahań ó ' różnych okresach. Dużo m iejsca poświęcono problem ow i nie om aw ianem u dotychczas w polskiej lite ra tu rz e statysty cznej, a m ia nowicie tzw. okresow ości złożonej. U w agi teoretyczne poparto p rzy k ła dam i em pirycznym i w y k o rzy stu jąc szeregi czasowe analizow ane w p ra cach J. Steczkow skiego, A. Zeliasia 3 i Z. Zielińskiego 4.
KLASYCZNE METODY IDENTYFIKACJI OKRESU WAHAŃ WYSTĘPUJĄCYCH W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH
W większości p rac pośw ięconych badaniu dynam iki zjaw isk ekono m icznych analizow ane są w ahania okresow e o okresie ustalonym jed y nie na podstaw ie m ery to ry czn ej oceny zjaw iska opisyw anego przez dany szereg czasowy. N iew iele jest natom iast opracow ań prezentu jących m e to d y iden ty fik acji okresu w ahań. W polskiej lite ra tu rz e statystycznej ciekaw e uw agi odnośnie w ym ienionego pow yżej problem u zaw arto w p ra cach A. Sokołowskiego, K. S zym ano w icz5 oraz Z. Z ieliń sk ieg o 6.
W pierw szej ze w spom nianych p rac dokonano id entyfik acji okresu w ahań na podstaw ie analizy w ariancji. O m aw iana m etoda w ym aga podziału n elem entow ego szeregu czasowego kolejno na 2, 3, ..., n/2 rów ne części. Dla każdego z podziałów w eryfikow ana jest hipoteza o rów ności w a rto ści przeciętnych odpow iadających poszczególnym podgrupom .
W eryfikacja postaw ionej hipotezy dokonyw ana je st zgodnie z zasada m i jednoczynnikow ej analizy w a ria n c ji7. A utorzy m etody tw ierdzą, iż w przypadku, gdy dla danego podziału istnieją podstaw y do odrzucenia h ipotezy o równości w artości przeciętnych, m ożna sądzić, że w szeregu w y stępu ją w ahania, o okresie rów nym liczbie porów nyw anych średnich.
Z. Z ieliński sugeruje, iż do badania okresu w ahań w ystępujących w ekonom icznych szeregach czasow ych w ystarczające jest niekiedy za stosow anie testów niep aram etrycznych , w śród k tó ry ch na uw agę zasłu g uje test zgodności K endalla dla kilku zm iennych 8.
N ajw iększe znaczenie w id en tyfikacji okresu w ah ań przypisyw ane jest testow i R. A. F ish era 9. Poniżej om ówiona zostanie istota tego testu.
3 J. S t e c z k o w s k i * A. Z e l i a ś : Analiza wariancyjna i kowariancyjna w badaniach ekonomicznych. PWN, Warszawa 1982.
4 Z i e l i ń s k i : op. cit.
5 A. S o k o ł o w s k i , K. S z y m o n o w i e z: Analiza wariancyjna w bada niach stru ktu ry harmonicznej szeregu czasowego. Folia Oeconomica, XIX, 1976.
6 Z i e l i ń s k i : op. cit.
7 Zob. np. S t e c z k o w s k i , Z e l i a ś : op. cit., s. 134—147. 8 Zob. np. Z i e l i ń s k i : op. cit., s. 178— 180.
\
Załóżmy, że szereg czasowy {xt; t = l , 2 , ..., N} opisyw any jest przy
pomocy następującego m odelu: '
x t = f(t) + u t, t = l, 2, ..., N (1> gdzie:
f(t) — funkcja okresow a z okresam i będącym i podzielnikam i licz by obserw acji N,
u t — błąd losowy spełniający w arunki:
E(ut) = 0, E(ut2) = 52, E(utus) = 0 dla 1 7^ s
Z k ry te riu m W eierstrassa 10 w ynika, iż funkcję f(t) można w yrazić n a
stępująco:
n
f(t) = « „ + ][] [o, cos(2njt/N)+Pj sin(2njt/N)], (2)
j=x gdy N = 2 n + 1
lub
n
f(t) = «0+ V [otj cos (2njt/N)H-Pj sin(2njt/N )]+aN/2(—])*, (3)
gdzie N = 2n.
A m plituda drg ań odpow iadających j/N opisyw ana jest w om aw ianym p rzypad ku w zorem o postaci:
y /af+ Pf 5 j = 1, 2, n (4)
gdzie:
Rj — am plituda odpow iadająca j-te j częstotliwości, aj> Pj — w spółczynniki w ielom ianów (2) i (3).
W arto zaznaczyć, że harm onika z okresem 2 uwzględniona zostaje je dynie w przyp ad k u parzy stej liczby obserw acji. T. W. A nderson 11 doko
nał oceny p aram etró w a G, aN/2, aj, (3j m etodą najm niejszych kw adratów , uzyskując następujące zależności:
a0 = N ~1 ^ xt , (5)
t=i
10 Zob. A. S m o l u k : P odstaw y teorii aproksymacji i s.-junkcje. PWE, War szawa 1974.
11 T. W. A n d e r s o n : The Statistical Analysis oj Time Series, John Wiley and Sons, Nowy Jork 1971.
N a, = 2N~* ^ xt cos(2IIjt/N), j = 1, 2, n (6) t = i N bj = 2N -1 ^ xt sin(2ITjt/N), j = 1, 2, n (7) t = i N aN/2 = N ~1^ X t( - l ) ‘ . t= l
Na podstaw ie w zorów (4), (6), (7) uzyskiw ana jest ocena am plitu d y
Rj w form ie:
Rj = • j = 1» 2, n (8)
Hipotezę, że szereg czasowy {xt; t = l, 2,..., N} c h a ra k te ry z u je się b ra k iem w ah ań okresow ych m ożna zapisać w postaci:
H0 : f ( l ) = f (2) ... = f(N ) (9)
lub
H0: R1= R 2= ... = R n = 0. (10)
Jeżeli hipotezy alte rn a ty w n e p rzy jm ą form ę:
- , (i = 1,2, .... n;
Hi •" Rf >0» pozostałe R? = 0, j = 1 2 n)
to m ów im y o b ad an iu okresow ości p ro stej 12. W p rzypadku, gdy w hipo tezie a lte rn a ty w n e j zakłada się, iż a m p litu d y różnią się isto tn ie od 0 dla
dw óch lu b więcej częstotliw ości, to m am y do czynienia z analizą o k re -' sowości złożonej 13. H ipotezę ta k ą można przykładow o przedstaw ić w na stę p u ją cy sposób:
(j = l, 2,..., n)
Hjfc:R,2> 0 , R j> 0, A R? — 0. (k = l, 2,..., n)
^ (1 = 1, 2, ...,n)
T. W. A nderson 14 w ykazał, że najm ocniejszym testem okresow ości dla
h ipotezy głoszącej okresow ość p ro stą jest te st Fishera. Podstaw ę tego te s tu stanow i przy uw zględnieniu w cześniejszych oznaczeń sta ty sty k a o postaci:
S = m a x Yj, (11)
1 < j < n
12 W języku angielskim : sim ple periodicity. 18 W języku angielskim : compound periodicity. 14 A n d e r s o n : op. cit.
gdzie:
Y |= R ? / |] R ? . (12)
i = 1
H ipoteza zerow a jest w om aw ianym przypadku odrzucana, gdy w y znaczona z wzoru (11) w artość sta ty sty k i S przekroczy odczytaną z ta b li cy 1 w artość krytyczną g F.
Konieczność analizy okresowości złożonej w ynika z często spotykanej definicji w ahań okresow ych 1S, a mianowicie: w ahania okresow e o o kre sie P jednostek czasu stanow ią sum ę w ahań periodycznych, których n a j krótszą wspólną długością cyklu jest P jednostek czasu.
A. S ie g e l16 podkreśla, że praktycznie nie m a powodów, aby sądzić, iż
test F ishera ch a ra k te ry z u je się wysoką mocą w w arunkach hipotezy a l tern a ty w n ej dotyczącej okresowości złożonej. A utor proponuje więc, aby badania nad okresow ością złożoną prowadzić na podstaw ie sta ty sty k i utw orzonej z w szystkich większych od gF w artości Yj. Poniew aż z teo re tycznego p u n k tu w idzenia łatw o jest podać przykład, w k tó ry m w ystępo waniu okresowości złożonej tow arzyszy brak w edług testu F ishera okre sowości prostej, A. Siegel zw raca uwagę, iż rozw ażane zagadnienie może być badane na podstaw ie n astępującej statystyki:
n
(13) j=l
gdzie:
X — stała określona przez autora testu na podstaw ie ba dań heurystycznych,
(Yj — A.gF)+ — oznacza m a x [(Y j—XgF), 0]
Hipotezę o b rak u w ahań okresow ych odrzuca się na rzecz hipotezy o okresowości złożonej, gdy T przekroczy odczytaną z tab eli 1 w artość k rytyczną.
Dla X = 1 sta ty sty k a T może być uw ażana za m odyfikację testu F ishe ra do badania okresowości złożonej. Efektem w ielu badań przeprow adzo nych przez E. Siegela na szeregach sztucznie generow anych jest stw ie r dzenie, że w p rak ty ce najlepsze rez u lta ty uzyskiw ane są dla X=0,4. W y znaczone przez wspom nianego au to ra krzyw e mocy testu w zależności od X zw racają uw agę na fakt, że gdy hipoteza alternaty w na zakłada o kre sowość złożoną, moc testu jest znacznie wyższa dla X = 0,4 niż dla X = l.
16 Zob. S. G i e m b i c k i : W ybrane problem y analizy ekonomicznych szere gów czasowych. GUS, Warszawa 1974, s. 38.
lł A. S i e g e l : Testing for Periodicity in a Time Series. Journal of the Ame rican Statistical Association, nr 370, 1980.
Tab. 1 Wartości krytyczne tF dla TF i gF dla SF The critical values tF for TF and gF for SF
Poziom istotności n g F 0,,8 gF to ,8 0,6gF to,6 0,4gF to ,4 5 0,684 0,547 0,137 0,410 0,274 0,274 0,412 6 0,616 0,403 0,1,23 0,370 0,246 0,246 0,381 7 0,561 0,440 0,112 0,337 0,225 0,224 0,356 8 0,516 0,413 0,103 0,300 0,208 0,206 0,334 9 0,477 0,38(2 0,09155 0,286 0,103 0,191 0,316 10 0,445 0,356 0,0891 0*267 0,181 0,178 0,301 a = 0,05 15 0,335 0,268 0,0673 0,201 0,140 0,134 0,247 20 0,270 0,216 0,0546 0,162 0,116 0,108 0,213 25 0,223 0,182 0.0462 0,137 0,0997 0,0012 0,190 30 0,19« 0,158 0,0402 0,110 0,0880 0,0791 0,173 35 0,175 0,140 0,0357 0,105 0,0791 0,0701 0,160 40 0,157 0,126 0,0322 0,0944 0,0721 0,0630 0,150 50 0,131 0,105 0,0270 0,0788 0,0616 0,0525 0,133 5 0,780 0,631 0,158 0,473 0,315 0,315 0,473 6 0,722 0,577 0,144 0,433 0,280 0,289 0,433 7 0,664 0,532 0,133 0,399 0,266 0,266 0,399 8 0,6)15 0,492 0,123 0,360 0,246 0,246 0,372 9 0,573 0,458 0,115 0,344 0,220 0,229 0,349 10 0,536 0,429 0,107 0„322 0,214 0,214 0,329 a = 0,01 15 0,407 0,326 0,0814 0,244 0,164 0,163 0,262 20 0„330 0,264 0,0660 0,198 0,134 0,132 0,222 25 0,278 0,2'23 0,0557 0,167 0,114 0,111 0,194 30 0,241 0,193 0,0484 0,145 0,0993 0,0965 0,174 35 0,213 0,171 0,0428 0,128 0,0884 0,0854 0,159 40 0,192 0,153 0,0385 0,115 0,0799 0,0766 0,146 50 0,160 0,128 0,0321 0,0057 0,0673 0,0638 0,128
Źródło: A. S i e g e l : Testing for Periodicity in a Time Series. Journal of the Am e rican Statistical Associaton^, nr 370,. czerwiec 1980.
Dużą rolę w id en ty fikacji okresu w ah ań w ystępu jący ch w ekonom icz nych szeregach czasow ych może odgryw ać rów nież tzw . funkcja spek tra ln a. M ożliwości w ykorzystania tej fu nk cji do analizy okresow ości p ro cesów losow ych zostaną om ówione w następn ej części pracy.
FUNKCJA SPEKTRALNA
W BADANIU OKRESOWOSCI PROSTEJ I ZŁOŻONEJ
Niech {xt; t = l, 2,..., n} oznacza realizację stacjonarnego w szerszym sensie i ergodycznego procesu losowego {xt ; t = 0, ± 1, ±2, ...} z fu n k cją
7(t) = E[(X,-M )(X1+,- M ) ] , t = 0 , ±1= ± 2 , ... (14)
gdzie:
t — rząd funkcji autokow ariancji, M — w artość oczekiwana procesu {Xt }.
Pod pojęciem funkcji sp ek tralnej (widmowej) procesu {Xt } rozu m iana jest tran sfo rm ata F o u riera funkcji autokow ariancji, czyli:
OO
p ( f ) = y(k)e~i2nfk, —l / 2 < f < l / 2 (15)
k = — oo
gdzie: p(f) oznacza w artość funkcji spektralnej dla częstotliw ości f. Zgodny i asym ptotycznie nieobciążony estym ator funkcji p(f) p rzed staw iany jest często w następujący sposób:
m
p(f|) = y(0)+2 y(k) w (k) cos (2 n f jk), (16)
k = 1 gdzie:
y(k) oznacza w artość estym atora funkcji autokow ariancji w p u n k cie k uzyskaną z w zoru o postaci:
n —k y(k) = n - 1 ^ (xt—x)(xt+k—x ), (17) = 1 n x = n _ 1 ^ T x t , (18) t=i
m — p u n k t odcięcia funkcji autokow ariancji (k = = 0, 1, ..., m),
w(k) — funkcja wagowa, której tran sfo rm ata F o u rie ra nazyw ana jest oknem widm owym ,
fj = j/2m (j = 0, 1, m) —• częstotliwość, dla któ rej wyznaczana jest w a r
tość widm a.
Zapew nienie w ysokiej efektyw ności estym acji funkcji spektralnej w y m aga szeregu czasowego o dużej liczbie obserw acji ( n > 1 0 0) oraz w ła
ściwego doboru w artości p u n k tu odcięcia m i funkcji wagowej w(k) ł7. W ykorzystanie funkcji sp ek tralnej do analizy okresowości poprzedzo ne było przez długi okres zastosow aniem do tego celu tzw. funkcji
pe-17 Problemy te omawiane są m. in. w pracy G. M. J e n k i n s a: General Con siderations in the Analysis oj Spectra , Technometrics, vol. 3, nr 2, maj 1961.
rio d o g ra m o w e j18. W arto zaznaczyć, iż fun kcja periodogram ow a, która je st niezgodnym esty m atorem fu n k cji spek traln ej, może być przed sta wiona w n astęp u jący sposób:
n 2
I n( f ) = n " 1 ^ ] x , e - i2nft —l / 2 < f < l / 2 (19)
t = i lub
n — 1
In(f) = y(0)+2 ^ y(k) cos (2nfk), - 1 / 2 < f < 1 /2 (20) k = 1
gdzie:
{xt; t = 1, 2, ..., n} oznacza analizow any szereg czasowy, f jest czę stotliw ością,
y(k); k = l, 2, ..., n —1 oznacza ocenę w artości funkcji autokow a- rian cji w punkcie k.
O w ystępow aniu w ah ań okresow ych w badanym szeregu czasow ym św iadczą istotne w artości periodogram u dla odpow iednich częstotliw ości.
O dpow iedź na p y tan ie dlaczego fu n k cja w idm ow a spełnia ta k istotną rolę w analizie okresow ości procesów losow ych m ożna znaleźć m. in. w pracach L. D ziem bały i K. Z adory 19, C. W. J. G rangera 20, oraz M. N er- love’a 21.
L. D ziem bała i K. Z adora podkreślają, iż analizę okresow ości procesu losowego sprow adza się do poszukiw ania na w ykresie funkcji widm owej tak ich m iejsc, w k tó ry ch gw ałtow nie w zrasta w artość tej funkcji. Jeżeli ta k i w zrost jest obserw ow any w p un k tach fi, f2, f k, to m ożna wniosko wać, iż rozw ażany proces jest cykliczny o okresach l / f 1( l / f 2, l / f k. W przy p ad k u, gdy w całym przedziale (0, 1/2) fun kcja p(f) jest bardzo gładka, to w badanym procesie nie w y stęp u ją w ahania cykliczne.
M. N e rlo v e 22 stw ierdza, że sezonowość można zdefiniow ać jedynie p rzy w ykorzystaniu pojęcia „funkcja s p e k tra ln a ” . W spom niany autor pod pojęciem sezonowości rozum ie tę c h a ra k te ry sty k ę szeregu czasow e go, k tó ra pow oduje w zrost w artości funkcji sp e k tra ln e j dla częstotliw
o-18 D. R. Brillinger podkreśla w pracy pt. W riem iennyje riady (MIR, Moskwa 1980), że Shuster zastosował analizę periodogramową do badania okresowości już w latach 1894 i 1897.
19 L. D z i e m b a ł a , K. Z a d o r a : Zastosowanie analizy w id m o w e j do ba dan ia wahań cyklicznych. Przegląd Statystyczny, nr 19, 1971.
20 C. W. J. G r a n g e r : The Typical Spectral Shape of An Economic Va riable. Econometrica, vol. 34, nr 1, styczeń 1966.
21 M. N e r l o v e : Spectral Analysis oj Seasonal A d justm en t Procedures. Eco nometrica, vol. 32, nr 3, lipiec 1964.
ści sezonowych. C. W. J. G ranger 23 om aw iając problem typow ej dla eko nom icznych szeregów czasowych krzyw ej spektralnej, form ułuje praw o, k tó re również św iadczy o tym , iż okres w ahań zn ajduje odzw ierciedlenie w w artościach widm a. P raw o to brzm i następująco: „(...) jeżeli dokona m y dekom pozycji w ystępujących w ekonomicznych szeregach czasowych w ahań długookresow ych na składow e częstotliwościowe, to am plitu d y ty ch .składowych będą łagodnie zm niejszały się w raz ze zm niejszaniem się o k resu ” .
W arto w tym m iejscu zwrócić uw agę na fakt, iż m im o że rola analizy częstotliw ościow ej w ocenie w ahań okresow ych jest niepodw ażal na, to większość tego ty p u badań m a c h a ra k te r subiektyw ny. Często w y korzystyw ane jest bowiem stw ierdzenie, że w szeregu czasowym w y stę p u ją w ahania cykliczne w okresie T, gdy w artość funkcji sp ek traln ej lub periodogram ow ej w punkcie 1/T pow oduje istnienie w w ykresie w ym ie nionych fu n k cji tzw. „w ierzchołka”. W ydaje się, że nadanie tego typu badaniom obiektyw nego ch a ra k te ru należy ściśle powiązać z problem em badania istotności w artości funkcji spektraln ej. P roblem ten omówiony został już w 1961 roku przez E. J. H annana 24. W ym ieniony a u to r podjął próbę w eryfik acji hipotezy o niezależności zm iennych tw orzących dany proces losowy. Poniew aż k rzyw a sp ek tralna jest w przypadku procesu czysto losowego linią prostą rów noległą do osi częstotliwości, w eryfiko w ana hipoteza jest rów now ażna hipotezie (10) z testu Fishera. E. J. H an- nan 25 w ykazał, że sta ty sty k a o postaci:
fj = j/2m j — 1, 2, ..., m
In(fj) — w artość funkcji periodogram ow ej w punkcie fj, p(fj) — w artość fu n k cji spektralnej w punkcie fj,
c h a ra k te ry z u je się rozkładem asym ptotycznie zbieżnym do rozkładu sta ty sty k i Yj z testu Fishera. Podstaw ę podejm ow anych na podstaw ie roz ważanego testu decyzji stanow ią w artości następującej statystyki:
gdzie: p(fj) oznacza ocenę w artości funkcji spektraln ej w punkcie fj.
M G r a n g e r , op. cit.
24 E. J. H a n n a n : Testing for a Jump in the Spectral Function. Journal of the Royal Statistical Society, B, vol. 23, nr 2, 1961.
85 E. J. H a n n a n : Analiz wriemiennych riadow. Nauka, Moskwa 1964.
(21)
W p rzyp ad k u gdy uzyskana na podstaw ie określonego szeregu czaso wego w artość sta ty sty k i SH przekracza odczytaną z tablicy 1 w artość
krytyczn ą gF, hipotezę o brak u w ah ań okresow ych należy odrzucić. Przytoczone w drugiej części p racy tw ierdzenie T. W. A ndersona od nośnie m ocy testu F ish era dowodzi, iż test ten pow inien odgryw ać de cydującą rolę w badaniu okresowości pro stej. W ydaje się natom iast, że zw iązana z fu n k cją sp e k tra ln ą sta ty s ty k a K(fj) może być pom ocna przy k o n stru k cji testu służącego do w ery fik acji hipotezy o okresow ości złożo nej.
W ykorzystanie uw ag A. Siegela odnośnie sta ty sty k i TF prow adzi do w niosku, iż okresow ość złożoną m ożna badać na podstaw ie sta ty sty k i w yrażonej w następ u jący sposób:
m
T s = £ l K ( f , ) - X g F]+ , (23) j= l
gdziie: X zgadnie z w cześniejszym i uw agam i p rz y jm u je się na poziomie 0,4.
Poniew aż rozkład Ts jest asym ptotycznie zbieżny do rozkładu TF, h i poteza o b ra k u w ah ań okresow ych w danym szeregu czasowym jest od rzucana, gdy w artość sta ty sty k i Ts przekracza odczytaną z tablicy 1 w a r tość k ry ty czną.
BADANIA EMPIRYCZNE
P rzed staw ion y na ryc. 1 szereg odchyleń od tre n d u w skaźników w y korzystania tab o ru PK S w Szczecinie w poszczególnych m iesiącach lat 1965— 1972 analizow any b ył przez Z. Z ieliń sk ieg o 26. A utor ten w e ry fi kow ał hipotezę o w ystępow aniu w w ym ienionym szeregu w ahań sezo now ych na podstaw ie nieparam etrycznego testu K endalla. Test ten po zwolił stw ierdzić istotność analizow anych w ahań. Analogiczne badanie przeprow adzone zostanie p rzy w ykorzystan iu testów : F ish era i Hannana.. Postaw iono następ u jące hipotezy: .
H0 : R a = R2= ... R n, n = 48
Hj : . R j > 0 , Ri = 0 A i, j = l, 2,..., n.
Na podstaw ie wzorów: (5), (6), (7) i (9) wyznaczono dla każdego j =
= 1, 2, ..., n Oceny am p litu d Rj. W artość s ta ty sty k i S, k tó ra jest sp raw
Ryc. 1. Odchylenie od trendu wskaźników wykorzystania taboru PKS w Szczecinie w latach 1965—1972
Deyiiatiorss from trend of coefficients of using Polish Motor Transport (PKS) in Szczecin in 1965—1972
dzianem w teście Fishera, uzyskano z zależności (11) i (12) przyjm ując n = 48. W artość ta w yniosła 0,27. Poniew aż S przekracza odczytaną z ta blicy 1 dla a = 0,05 i n = 48 w artość k rytyczną gF (gF « 0 ,1 4 ) , to hipote zę H D należy odrzucić na rzecz alte rn a ty w y Hj, gdzie 27 j = 8. W idać więc,
że test F ishera potw ierdza sąd Z. Zielińskiego, iż w szeregu w ystępują w ahania o okresie rocznym . P ro stą okresowość przedstaw ionego na ryc. 1 szeregu, analizow ano rów nież p rzy pom ocy spektralnego testu Hannana. W artość sta ty sty k i SH okazała się jednak nieistotna 28 na poziomie isto t
ności a = 0,01 i dla m = 24.
Na ryc. 2 przedstaw iono szereg czasowy zaw ierający inform acje od nośnie skupu m leka przez spółdzielnie m leczarskie w woj. krakow skim w latach 1961— 1968. J. Steczkow ski i A. Zeliaś 29, w ykorzystując an ali zę w arian cji stw ierdzili istotność w ystępujących w danym szeregu w a h a ń sezonowych i trendu. W ykonując, analogiczne jak w poprzednim p rzypadku, obliczenia uzyskano n astęp u jące w artości S F i SH : SF « 0,38, Sh ~ 0»9. W artości te przekraczają odczytane z tablicy 1 w artości k ry tyczne 30 gF, co potw ierdza wniosek J. Steczkowskiego i A. Zeliasia.
27 Okazało się, że S = Y8.
28 s H = 0,11, a gF = 0,23.
29 S t e c z k o w s k i , Z e l i a ś : op. cit.
30 W tym przypadku wartości krytyczne dla SF oraz Sh odczytywane są odpo wiednio przy założeniu, że a = 0,05, n = 48 i a = 0,05, n = 24.
Rye. 2. Skup mleka przez spółdzielnie m leczarskie w woj. krakowskim w latach 1961—1968
Purchasing m ilk by co-operative qreamery in Kraków province in 1961— 1968
Podobne badanie zdecydow ano się przeprow adzić dla szeregu uzyska nego w w yniku elim inacji tre n d u w ystępującego w tzw. szeregach jedno- im iennych czasokresów 31. Do elim inacji tre n d u w ykorzystano różnicow a nie poszczególnych w arto ści szeregu wg n a stę p u jąc e j zależności:
Z ik= xi+i )k—x i(>k. i = 1, 2, ..., 7 (lata) j = 1, 2, 1 2 (miesiące)
S ta ty s ty k i S F, SH p rzy ję ły odpowiednio w artości: 0,11 i 0,56. W idać więc, że jed y nie test H annana pozw olił stw ierdzić, iż w szeregu {zik} w y stę p u ją istotne w ahania okresow e.
W arto zaznaczyć, że w rozw ażanych przyp adk ach nie było potrzeb y w ykorzystyw ania testów dotyczących badania okresow ości złożonej. S to sow anie tych testów zaleca się wówczas, gdy w szeregu stw ierdza się
brak w ahań określonego ty p u . Może się bow iem okazać, że w artości sta
ty sty k Yj, K(fj), pomimo iż są nieistotne z p un k tu widzenia testów F i- sh era i H annana, to łącznie dają w artość TF oraz T s przekraczające od czytaną z tablicy 1 w artość krytyczną t^
ZAKOŃCZENIE
O dużej roli, jak ą można przypisać analizie procesów losowych w dziedzinie częstotliw ości decyduje niew ątpliw ie fakt, iż w ahania o kre sowe o okresie P należy traktow ać jako sumę w ahań periodycznych o okresach, k tó ry ch najkrótszą wspólną długością cyklu jest P jednostek czasu. P rezentow ane w pracy uw agi teoretyczne oraz badania em pirycz ne upow ażniają do sform ułow ania następujących wniosków:
1) badanie okresow ości p rostej należy prowadzić w oparciu o test
Fishera,
2) w y k res fu nk cji sp ektraln ej można jedynie w ykorzystać do w stęp
nej oceny okresu w ahań w ystępujących w danym szeregu czasowym, 3) obiektyw na ocena istotności „w ierzchołków ” w ystępujących w krzy w ej sp ek tralnej w ym aga zastosowania testu Hannana,
4) w sytuacji, gdy testy okresowości prostej prow adzą do odrzucenia hipotezy o w ystępow aniu w szeregu w ah ań okresow ych, badanie należy uzupełnić o analizę okresow ości złożonej na podstaw ie testu A. Siegela lub te stu zaproponow anego w pracy.
Na zakończenie w arto zaznaczyć, że obliczenia do niniejszej pracy w y konano w SCO CYFRONET — K raków na podstaw ie w łasnych p ro g ra mów. Р Е З Ю М Е В статье обращается внимание на роль частотного анализа в исследовании периодичности случайных процессов. Обсуждается наиболее мощный критерий простой периодичности — критерий Фишера, демонстрируются достоинства спектральной функции в идентификации периода колебаний, наблюдаемых в экономических временных рядах. Большое внимание уделено не обсуж дае мой в польской статистической литературе проблеме исследования сложной периодичности. Предлагается критерий, использующий значение спектральной функции для анализа этой проблемы. Теоретические замечания проверяются на основании анализа периодично сти временных рядов, описывающих экономические явления. S U M M A R Y
The work directs attention to the role of frequency analysis in investigating periodicity of stochastic processes. The most powerful test of simple periodicity has been discussed, that is Fisher’s test and advantages of spectral function have been
presented in identifying the period of fluctuations occurring in economic time series Much space has been devoted to the problem to investigating com plex periodicity, the problem w hich has not been discussed in Polish statistical litera ture. The author proposed a test taking advantage of the values of spectral function for the analysis of the problem.
Theoretical remarks have been verified on the basis of the analysis of perio d icity of time series describing economic phenomena.
