Bijdrage tot de theorie der binaire stelsels, in het bijzonder het optreden van vaste stof

o Nt _{rv o}

Bibliotheek TU Delft P 1020 3332

I'uimilippjijJirMWP"B<I "!''"•:-''• • ••" ' ~ iL.i^Jtv.iLMMLwiu

ijiji|PBF(piP^|pp;^pB5llipp|jlF-BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER BINAIRE STELSELS,

IN HET BIJZONDER HET OPTREDEN VAN VASTE STOF

BIJDRAGE TOT DE THEORIE DER

BINAIRE STELSELSJN HET BIJZONDER

HET OPTREDEN VAN VASTE STOF

PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING

VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN

DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN

DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL TE

DELFT, OP GEZAG VAN DEN RECTOR

MAGNIFICUS, IR. F. WESTENDORP.

HOOGLEERAAR IN DE AFDEELING

DER WERKTUIGBOUWKUNDE EN

SCHEEPSBOUWKUNDE VOOR EEN

COMMISSIE UIT DEN SENAAT TE

V E R D E D I G E N OP DONDERDAG

17 OCTOBER 1929, DES NAMIDDAGS

TE 3 UUR, DOOR

JAN HENDRIK KOERS

SCHEIKUNDIG INGENIEUR

GEBOREN TE D E I L

AAN MIJN OUDERS.

AAN MIJN VROUW.

Bij het verschijnen van dit proefschrift grijp ik gaarne de gelegenheid aan om mijn oprechten dank te betuigen aan allen, die tot mijn wetenschappelijke vorming meewerkten.

Deze dank geldt speciaal U, hoogleeraren van de Afdeeling der Scheikundige Technologie. U w gewaardeerde colleges en practica zullen mij steeds in dankbare herinnering blijven.

Hooggeleerde REINDERS, U ben ik in het bijzonder zeer verplicht voor het vertrouwen, dat U in mij stelde door mij tot U w assistent te maken en voor het vele, dat ik in dien tijd van U w lessen profiteerde.

Hooggeleerde D E HAAS, hooggeachte Promotor, veel dank ben ik ook U verschuldigd voor U w groote welwillendheid en de vele tijd, die U zoo vriendelijk was aan dit proefschrift te besteden.

Hooggeleerde SCHEFFER, hooggeachte Promotor, aan Uw voort-durende leiding en aansporing en U w nimmer verflauwende belangstelling is het te danken, dat dit proefschrift tot stand is gekomen. Het is mij een dankbare plicht op deze plaats te getuigen van mijn groote erkentelijkheid voor alles, wat U voor mij gedaan hebt. D e gevoelens van dankbaarheid, die mij jegens U vervullen zijn niet in woorden weer te geven.

INHOUD.

INLEIDING 13 D E E L I. DE POTENTIAALLIJNEN. HOOFDSTUK I. Algemeene beschouwingen 15 HOOFDSTUK II.

De potentiaallij nen van de tweede component in het

algemeen 19 HOOFDSTUK III.

De meetkundige plaats v^ = O, wanneer geen ont-menging voorkomt en de gas- en vloeistoftak van

(— ) = 0 niet in elkaar overgaan 22 VJ>t;/x

HOOFDSTUK IV.

De meetkundige plaats v^q = O, wanneer geen ont-menging optreedt. Haar algemeen verloop en snijding

met de as X = 1 23 HOOFDSTUK V.

De helling van V25 = O in de punten, waar de as x = 1

gesneden wordt 34 HOOFDSTUK VI.

De loop der potentiaallij nen van de tweede component 38 HOOFDSTUK VIL

De potentiaallij nen van de eerste component in het

algemeen en wanneer 2 bu grooter dan bg is . . . 41 HOOFDSTUK VUL

De meetkundige plaatsen Vip = 0 en Viq = O en de potentiaallij nen der eerste component, wanneer geen ontmenging voorkomt en de gas- en vloeistoftak van

( —) = 0 niet in elkaar overgaan 42

HOOFDSTUK IX.

De loop der potentiaallijnen van de eerste component, wanneer b2 grooter dan 2 bi2 is, of bj grooter dan ongeveer

5 bi is 49 HOOFDSTUK X.

De loop der potentiaallijnen van de tweede component,

wanneer —- = O in de figuur voorkomt 55 HOOFDSTUK XI.

De loop der potentiaallijnen van de eerste component,

wanneer — = O in de figuur optreedt 57 öx^

HOOFDSTUK XII.

De loop der meetkundige plaatsen bij temperaturen, waarbij de gas- en vloeistoftak van [^] = 0 met

V öu/x

elkaar samenhangen 58 HOOFDSTUK XIII.

De binodale lijnen 60 D E E L I L DE EVENWICHTEN V A S T — V L O E I S T O F

-GAS, WANNEER DE VASTE STOF DE TWEEDE COMPONENT IS.

HOOFDSTUK XIV.

Algemeene beschouwingen 61 HOOFDSTUK XV.

—- = O komt niet voor . . . 62 HOOFDSTUK XVI.

—r = o treedt in de figuur op 70 öx^

HOOFDSTUK XVII.

Raking van binodale B Fl aan binodale L Fl . . . 74 HOOFDSTUK XVIII.

Raking van binodale aan eigen nodenlijn en het

voor-komen van merkwaardige punten op de spinodale . . 76 10

HOOFDSTUK XIX.

De richting der nodenlijnen in de plooipunten en de

plaats der merkwaardige punten op de spinodale . . 79 HOOFDSTUK XX.

Overzicht van de te bespreken systemen 85 HOOFDSTUK XXI.

De systemen met stabiel quadruplepunt 87 HOOFDSTUK XXII.

Overgang der systemen met quadruplepunt in elkaar . 100 HOOFDSTUK XXIII.

De systemen met twee vloeistofphasen zonder

qua-druplepunt 108 HOOFDSTUK XXIV.

Het overgangsgeval, waar het quadruplepunt juist nog

voorkomt 112 D E E L III. H E T UITKRISTALLISEEREN VAN EEN

VERBINDING. HOOFDSTUK XXV. Algemeen overzicht 114 HOOFDSTUK XXVI. De meetkundige plaatsen Vsp =0 en Vsq =0 . . . . 117 HOOFDSTUK XXVII.

De loop der binodale vast-fluïde bij temperaturen lager

dan Tki 118

HOOFDSTUK XXVIII.

Temperaturen hooger dan de kritische temperatuur

der eerste component 122

INLEIDING.

W a n n e e r in een binair stelsel geen stabiele ontmenging in de vloeistofphase optreedt, zal in bepaalde gevallen besloten moeten worden tot metastabiele ontmenging. In alle stelsels, waarin een driephasenlijn S L G de kritische lijn snijdt, is een gedeelte van de laatstgenoemde niet stabiel *). Uit de loop van het stabiele gedeelte der kritische lijn, zal echter soms ter ongedwongen verklaring van deze loop, aangenomen moeten worden, dat in het niet-stabiele gedeelte keerpunten voorkomen, dus ontmenging optreedt. Voorbeelden van dergelijke systemen zijn het door BüCHNER'') onderzochte systeem diphenylamine-koolzuur en het door SCHEFFER ^) onderzochte stelsel zwavelwaterstof-ammoniak.

Beide onderzoekers hebben er op gewezen, dat er een geleidelijke overgang moet bestaan tusschen de systemen, waarbij stabiele ontmenging optreedt en de laatste met metastabiele ontmenging, waarbij SCHEFFER *) wijst op het stelsel ass. orthoxylidine-koolzuur, waarmee, in het geval, dat de vaste stof een verbinding is, het overgangsgeval waarschijnlijk benaderd kan worden.

D e bedoeling van deze studie is theoretisch het bestaan van een dergelijk overgangsgeval na te gaan.

•) BAKHUIS ROOZEBOOM. Die heterogenen Gleichgewichte II. 1. 378 e.v. (1904). 2) Dissertatie Amsterdam 1905; Zeitschr. physik. Chem. 54, 665 (1906) en 56, 257 (1906); BAKHUIS ROOZEBOOM, Die heterog. Gleichgew. II. 2. 163. (1904).

') Dissertatie Amsterdam 1909; Zeitschr. physik. Chem. 71, 214 en 671 (1910). Verslag Akad. Amsterdam. 27, 987 (1919).

«) Verslag Akad. Amsterdam 27, 310 (1918).

DEEL L

DE POTENTIAALLIJNEN. H O O F D S T U K I.

ALGEMEENE BESCHOUWINGEN.

Voor coëxistentie van twee phasen in een binair stelsel is noodig, dat voldaan wordt aan de voorwaarden, dat de volgende grootheden voor beide phasen gelijk zijn:

' 7)y)\ I Tiyh

<)v/x. T \ 'öx/v. T

Hierin stelt y) voor de vrije energie van het systeem, een grootheid, die als volgt afhangt van T, n en x:

rp = fpdv+ R T [ ( 1 — x ) l n ( l —x) + x In x] + Ax+ B^)

Temperatuur, ( ^ ) ^ _ ^ , ( ^ ) ^ _ ^ en

^-R stelt hier en in het vervolg steeds voor de gasconstante voor

1 grammolecuul van het mengsel.

A en B zijn uitsluitend temperatuurfuncties en p=f (v.x.T). De verandering van f met de temperatuur is niet na te gaan, daar in A en B niet te bepalen constanten voorkomen. Voor een bepaalde temperatuur is echter met gegeven toestandsvergelijking het y-vlak te construeeren als f{v.x). Om twee coëxisteerende phasen te vinden, kan men in het v, x-vlak voor bepaalde tempe-ratuur de projectie teekenen van de bundels krommen:

— ) _ = constant, p-lijnen; — o^ = constant, q-lijnen; en

\ iV/X. l \ 'dx/v. 1

y>— II — ^ — X — I ^ = constant, potentiaallijnen.

\ 7)v/x. T \ Tix/v. T

Wanneer door twee punten dezelfde p-, q- en potentiaallijn gaat, stellen deze punten coëxisteerende phasen voor.

Voor de berekening en toepassing van deze lijnen kunnen we de beide laatste termen, Ax + B, van f = f(v.x. T) buiten

be-^) V. D. WAALS-KOHNSTAMM; Thermodynamik II blz. 60 e.v.; Thermostatik I blz. 179 e.v.

in beide phasen weg. Ditzelfde geldt voor de

potentiaal-/7)y)\

schouwing laten, daar ze voor I — geen bijdrage opleveren, \ 'öv/x. I

terwijl ze weliswaar voor I — „ een bijdrage, n.l. A, opleveren, \ 'dx/v. T

maar daar deze laatste als zuivere temperatuurfunctie in beide phasen gelijk is, valt ze bij gelijkstelling van de waarden van

1)x/v. T

lijnen. Hiervoor levert Ax + B de waarde B op, welke weder in beide phasen gelijk is. We kunnen dus in het vervolg gebruik maken van de betrekking:

y> ==fpdv+RT[{l—x)ln{l — x) +xlnx] (1)

Het onderzoek der p- en q-lijnen is in hoofdzaak reeds verricht door V. D. WAALS ^). De potentiaallijnen zijn door hem vrijwel

buiten beschouwing gelaten en toch zijn deze van veel belang, daar ze ons iets kunnen leeren omtrent de loop der binodalen, die een tweephasenevenwicht van vast met vloeistof of gas aan-geven. Uit de algemeene differentiaalvergelijking ^) voor coëxistee-rende phasen:

{v^-%)-iv,-v,)[^^^^-'^''' """^^J^Jv.T dT+

+

{Vi—Vi) ^ , +(X2—Xi) ö*y) (f2—l^l) ÖDj ÖXj + (X2—Xi) , Suj ö x i üXi' [dxjhin. {V2—V1) ÖDl ÖX] dxx = O, volgt n.l.: + (X2—Xl) {Vi—Vi) -—2 + (X2—Xl) 'bV^ öUjöXi

Wanneer de tweede phase de eerste component in vaste toestand voorstelt en we verwaarloozen het volume van de vaste stof, dan is:

') V. D. WAALS-KOHNSTAMM; Thermodynamik II; Thermostatik II.

') V. D. WAALS-KOHNSTAMM; Thermodynamik II blz. 196; Thermostatik II blz. 84.

Xg = o en 1*2 = o en krijgen we:

Vi 1 - + Xl — 4 (dvA _ ^^1 '^Xi axi^

\d^J bin.

SFl „ ^> , ^ ^V

Dl -t" Xl

ÖVi^ 'dVi t)Xi

terwijl uit de betrekking: ip •—vi — 1 T - — x ( — j -j-== constant,

dv

voor --— van de potentiaallijnen van de eerste component, dezelfde

dx

waarde gevonden wordt.

Dit is ook onmiddellijk duidelijk, daar de moleculaire thermo-dynamische potentiaal van de vaste eerste component bij bepaalde temperatuur en bij f = O (d.w.z. wanneer het volume der vaste stof verwaarloosd wordt) een constante wordt. Alle fluide phasen, welke met de vaste stof coëxisteeren, zullen dus diezelfde mole-culaire potentiaal moeten hebben en op een potentiaallijn van die component moeten liggen. D e binodalen vast-fluide zijn dus potentiaallij nen.

D e binodale eerste component-fluïde valt dan samen met een potentiaallijn der eerste component: v*—vi—j j^—xl — ) j . = constant. D e binodale tweede component-fluïde met een potentiaal-lijn der tweede component: y V ( j 'T^ - | - ( 1 — x ) (—) j . = constant.

Door KORTEWEG ^) is aangetoond, dat de binodale lijn en de nodenlijn (d. i. de lijn, die de coëxisteerende phasen met elkaar verbindt) toegevoegde middellijnen in de indicatrix van een p u n t van het f-vlak zijn, waarbij onder de indicatrix in een punt van een gebogen vlak verstaan wordt, de kromme, die men verkrijgt door snijding van een weinig, evenwijdig met zich zelf, verplaatst raakvlak, met het gebogen vlak. O p het stabiele deel van het V-vlak is de indicatrix een ellips, binnen de spinodale, dat is op het labiele gedeelte, een hyperbool, op de spinodale een parabool.

») Arch, néerl. 24, 57 en 295 (1891).

M e n kan dienovereenkomstig spreken van elliptische, hyperbolische en parabolische punten op het y-vlak.

Door SCHEFFER ^) zijn in verband hiermee regels afgeleid voor de ligging van binodalen en nodenlijnen t. o. v. elkaar in een bepaald punt van het y-vlak, waardoor meerdere binodalen gaan. In de indicatrix van een elliptisch punt zullen twee paar toegevoegde middellijnen elkaar scheiden, in die van een hyperbolisch punt niet, terwijl in die van een parabolisch punt de binodalen samen moeten vallen, terwijl de beide nodenlijnen nog elke willekeurige richting t. o. v. elkaar kunnen hebben. Door SCHEFFER ") is, alleen met behulp van deze regels, reeds een overzicht gegeven van den loop der binodalen en noden bij het in de inleiding genoemde overgangsgeval. Een volledig inzicht is echter alleen te verkrijgen door beschouwing van den loop der binodalen vast-fluïde in het algemeen.

Als toestandsvergelijking zal daarbij gebruik gemaakt worden

van die van V A N DER W A A L S :

a en b zullen als onafhankelijk van volume en temperatuur aangenomen worden. Zonder deze aanname worden de bereke-ningen te ingewikkeld en onoverzichtelijk en het is ook op deze manier mogelijk een inzicht te verkrijgen in de loop van ver-schillende meetkundige plaatsen, dat qualitatief voldoende juist is om er algemeene conclusies uit te trekken.

a en b hangen wel af van x ^):

a^ = fli (1 — x)^ + 2ai2 x(l — x) -|- Ü2X^ b, = bi(l — xY + 2bi2 x ( l — x)+ b,x^

dl en bi stellen de a en b voor van de eerste component, fla en b2 evenzoo van de tweede component, terwijl a^ en bi2 twee nieuwe grootheden zijn, die op de een of andere manier van üi en üi en van bi en b2 afhangen. Met eenige benadering mogen we aannemen*):

') Verslag Akad. Amsterdam 27, 631 e.v. (1918). ") Verslag Akad. Amsterdam 27, 637-640 (1918).

') v. D. WAALS-KOHNSTAMM; Thermodynamik II blz. 122; Thermostatik II blz. 4. *) v. D. WAALS-KOHNSTAMM; Thermodynamik II blz. 123; Thermostatik II blz. 5.

bi2 =

<^T, + W,

3

, terwijl de ervaring er op wijst, dat 012

üi + a2

voldoet aan O < ai2 < — - — ^). Voor de gevallen, dat hieraan niet voldaan werd, bleek, dat het systeem niet binair was, maar dat o. a. door chemische omzettingen of ontledingen zich tevens andere stoffen vormden.

. db

De componentenkeus is in het vervolg zoodanig, dat -r-positief is.

HOOFDSTUK II.

DE POTENTIAALLIJNEN VAN DE TWEEDE COMPONENT IN HET ALGEMEEN.

De punten waar de moleculaire potentiaal van een der com-ponenten een bepaalde grootte bezit, vormen op het y-vlak een lijn, die door VAN DER WAALS potentiaallijn is genoemd. Laat

men de waarde van de potentiaal geleidelijk veranderen van — 00 tot + 00, dan ontstaat voor elk der componenten aldus een bundel potentiaallijnen, die in projectie het geheele v, x-vlak opvult. De ligging van deze bundel, geldende voor de tweede component, wordt aangegeven door de vergelijking:

V^v (—)x. T + (1 — x) (—jv. T = constant (2)

Uit verg. (1) volgt, dat bij groote volumina, waar de wetten van de verdunde gassen doorgaan, de waarde van ip nadert tot:

— R T I n i; -f- R T [ (1 — x) l n ( l — x) + x l n x ] en die van de potentiaal van de tweede component tot:

R T l n - + RT.

V

Voor constante potentiaal krijgt men dus: x = u / ( T ) .

') v. D. WAALS-KOHNSTAMM; Thermodynamik II blz. 125; Thermostatik II blz. 7.

D e potentiaallijnen naderen derhalve bij groote volumina in het V, x-diagram tot rechten wijzende naar x = O en v = 0.

Uit de toestandsvergelijking volgt, dat de waarde van de potentiaal van de tweede component bedraagt: •

-[Xi — RT In- -f RT v+{l—x) ,db

dx

2a 1—X da

(3)

V V dx

O p de u-as van de eerste component, waar x = O, heeft n^ dus in het algemeen een negatief, op de lijn v = b een positief oneindig groote waarde. In het p u n t u = b, x = O is de waarde onbepaald, d. w. z. alle potentiaallijnen gaan door dit punt.

Tevens laat zich bewijzen, dat alle potentiaallijnen van de tweede component in het punt v = b, x = O aan de v-d& raken. Uit verg. (2) volgt voor de helling van de potentiaallijnen in de V, x-projectie: ö^V \dx/i«2 ÖUÖX ( l - x ) 'b'^ip ÖX^ ( l - x > 'bV ÖX (4)

Vult men hierin d e waarden voor de tweede differentiaal-quotiënten volgens de toestandsvergelijking in:

öV RT _ 2 a S > RT db öu" {v—bY v^ 'bv'hx {v—hfdx

^ RT RT jdbY RT d^b

öx" ~ x ( l — x ) (v—by\dx. x(l—x) (v— dan wordt de helling in v

/dv\ /db \dx'M2 v=b, x = 0

+

dx V—b dx^ b, X = 0:

{v-bf

2_da

v" dx V dx^ v=b ' x = 0 bx + db\

dih =0

(5)

O m deze waarde te leeren kennen, maakt men de limiet op

{y — by

van bij nadering langs een bepaalde potentiaallijn tot

i» = b, X = 0. M e n vindt dan door gebruik te maken van verg. (3):

x = 0 20

In Hieruit volgt:

(v^by

Daar nu: u = b x = 0 db (t;—b)ln(u—b)-hb-(-T-T^—b (v — b) In (v — b) v = ^,^h + eindig x = 0

O, is het tweede lid van

de laatste vergelijking positief oneindig en oneindig groot.

dv

(v-by

v^b

^"s x=0 De waarde van \-rjy=i, x=0 wordt dus volgens verg. (5)

dx

y " 2

eveneens oneindig. De potentiaallijnen raken dus in v=b, x = 0 aan de u-as.

Vergelijking (4) laat zich gemakkelijk transformeeren in:

(—]

/dv\ \dx'q /dv\ Viq /dvX ^dx' /i2 ^^ ^ (dv\ \dx'p Vip ^dxlp' v-F(l—x) (6) dx'p

•'^i-£)q'''

waarin Vzq en Vzp respectievelijk aanduiden v + (1

[dv\

V + (1 — x) IT") • Het is duidelijk, dat Vaq en v^p de stukken

aangeven, die van de v-as der tweede component worden afge-sneden door de raaklijnen aan de q- en p-lijnen, die door het beschouwde punt van de fluïde phase gaan.

Uit verg. (6) volgt nu, dat de potentiaallijnen op de meet-kundige plaats Viq = O een horizontale, op Vip = O een verticale raaklijn hebben. Deze meetkundige plaatsen zullen we in de volgende hoofdstukken bespreken.

(dv\ (dv\

Op de spinodale lijn, waar l-j-j = I-r")

(dv\ ldv\ is: Viq = V _{2P en is} dv\ dxl Ui ^dx! p \dx/q' 21

Indien Vig = 0 en U2p = O elkaar snijden, is in het snijpunt

•j-j = {-j-j en het snijpunt ligt derhalve op de spinodale.

Hier wordt (— , zooals uit verg. (4) volgt, tweewaardig. Dit

^dx'/X2

levert een dubbelpunt bij twee reëele, een geïsoleerd punt bij twee imaginaire wortels van -r-l .

\dx'/U2

HOOFDSTUK III.

DE MEETKUNDIGE PLAATS u^p = O, WANNEER GEEN

ONTMENGING VOORKOMT EN DE GAS- EN

VLOEI-STOFTAK VAN (—) = O NIET IN ELKAAR OVERGAAN.

ÖU/X

W e vinden deze meetkundige plaats door uit v ~ O, x = 1 raaklijnen aan de isobaren te trekken. In de raakpunten is V2p —0. Wanneer we voorloopig alleen die toestanden en temperaturen beschouwen, waarbij — - ) = O, d. w. z. mogelijke ontmenging

y'bx^'v

in de vloeistofphase, en merkwaardige punten op — = 0 , niet \ bV'X

in de figuur voorkomen, dan volgt Uap = O ongeveer de lijn — = 0 , met dien verstande, dat rechts van het snijpunt van

bv'x

laatstgenoemde lijn met — = O, Von = O buiten — = 0 ligt, links van het snijpunt er binnen. Verder wordt de u-as van de tweede component door Ujp = O gesneden in hetzelfde punt als door — = 0 .

\öu/x

Voor het middelste gedeelte der isobarenfiguur wordt de loop dezer lijnen t. o. v. elkaar aangegeven door fig. 1.

In het rechter gedeelte der isobarenfiguur ligt Uap = O, behalve

in X = 1, totaal buiten (— = 0.

ÖU/X

In het linkergedeelte der isobarenfiguur ligt ze ' ()p\ / Fig. 1. totaal binnen - ^ 1 = 0 VSu/x behalve weer in x = l, waarbij de

mogelijk-heid bestaat, dat U2p=0 de as x = 0 niet meer bereikt, maar uit één gesloten tak bestaat, op dezelfde manier als in het rechter deel der iso-barenfiguur voor

-^) = O het geval t)u/x

kan zijn. Dit loslaten van de rand x = O kan eveneens plaats hebben in het middengedeelte der isobarenfiguur.

HOOFDSTUK IV.

DE MEETKUNDIGE PLAATS Ua, = O, WANNEER GEEN

ONTMENGING OPTREEDT. HAAR ALGEMEEN

VERLOOP EN SNIJDING MET DE AS x = 1.

We vinden deze meetkundige plaats door uit u = 0 , x = l raak-lijnen aan de q-raak-lijnen te trekken. In de raakpunten is U25 = 0. In het linkergedeelte der isobarenfiguur, waar —) = 0 niet

Vöx/u

voorkomt, zal, zooals direct uit den loop der q-lijnen volgt, U2g = O ontbreken. Zoodra echter — = 0 optreedt, kan ook

\ ÖX/U

V2q = O voorkomen. In het algemeen zullen dan op elke q-lijn

twee punten U25 = O voorkomen of geen enkel. D e meetkundige plaats U20 = O blijft dan steeds rechts van — ) = O en bereikt

V öx/u

de rand x = O niet, daar voor x = O, -;-) oneindig is en u i t :

\dx/q

U25 = u -|- (1 — x) (— 1 voor X = O volgt, dat dienten-gevolge U2g ook oneindig is. V2q = O wordt dus steeds een links-gesloten tak in de figuur.

O m de verdere loop van U2g = O te vinden, zullen we de waarden van U2g bepalen voor x = 1. Uit bovenstaande vergelijking voor U2g volgt:

(^] =v(—] +(1—x) —•

'''V öx/u V bx'V bx^ l)^1p Voor X = 1 is (1 — x) — - = RT, dus: öx^ (^) = u ( ^ ) • bx'v V öx/u

Voor — = O is het tweede lid positief en Uag dientengevolge ^ Sx/u

00. Voor kleinere u-waarden is (— j positief, het tweede lid positief en U2g ook positief.

Voor u = 00 is — = 0 . Voor v\—) vinden we echter met Vöx/u Vöx/u behulp van de toestandsvergelijking:

(bp\ r R T db 1 da\ , „ , j

u — = u —- r V . hetwelk nul wordt voor *> bx'v (u—by dx v^ dx

u = co. Het tweede lid van verg. (7) is dan positief. Voor groote u-waarden nadert U20 — tot +RT en aangezien — dan

Vöx/u \ï)x/u klein negatief is, nadert voor u = 00, V2q tot negatief oneindig.

/ ö p \

Voor u-waarden, tusschen — = O en u = 00 kan wegens de V3x/u

M-'-=^^^-)-+^^ (^)

negatieve waarde van I — het tweede lid van verg. (7) negatief worden, maar dan gezien het bovenstaande, slechts tusschen twee eindige volumegrenzen. Aangezien — dan negatief is,

V öx/u is V2q positief.

Op de as X = 1 heeft Ujg van kleine u-waarden af, achter-eenvolgens de volgende waarden: positief; stijgend tot 4- co op

bp\

— = 0 ; daarna vanaf — oo stijgend tot een maximumwaarde,

ÖX/U

om te dalen tot negatief oneindig in u = oo.

Het is nu mogelijk, hoewel niet noodzakelijk, dat deze maximum-waarde positief is. In dat geval komt op de as x = 1, de maximum-waarde

V2q = O tweemaal voor en de meetkundige plaats v^q = O wordt

dan een kromme, loopende rechts van — == O en de as x = 1

Vöx/U

tweemaal snijdende.

In het rechter deel der isobarenfiguur zijn dan nog verschillende standen mogelijk van U2g = O t. o. v. (— j = 0. Daar voor x = 1

b^ip (^P\

Vip = O en —- = — I — = 0 samenvallen, geeft een onderzoek

öu^ Vöu/x

naar deze standen tevens een aanwijzing over den loop van

Viq = 0 t. o. V. Uap = 0.

Ö^V" RT la öu" (v — by

Uit verg. (7) volgt:

da db / u \2 (8)

RT Tx^^Tx\—b) ^ ^

-^""'^^^^ 1 = V — = ( 9 ) u öu öx 3u ()x

We zullen nagaan, waar deze waarden nul worden voor x = 1. Daar v alleen oo wordt voor u = b, kunnen we, wat de

öu öx

tweede vorm betreft, volstaan met de teller. We stellen T=aTk, 25

8 a

waarin RTft = — y en T^, a en b de waarden zijn, geldende 27 o

voor de tweede component. Vermenigvuldigen we verg. (8) nu met (u — by— dan krijgen we:

a

(y — by - —!- = — a — 2 - = A

a öu^ 27 \ u / u

Vermenigvuldigen we verg. (9) met —u dan ontstaat:

bVöx a öV (f2g);c=l ^ 1 da _, —V — = aC = B . öuöx a a dx Hierin is C = — 27 1 db / u \2 V b dx \v—b/ b V

W e moeten nu opzoeken de waarden van —, waar A en B nul o

worden voor bepaalde waarden van a, — -— en -r T'

a dx b dx

a varieert van O tot 1. Alleen waarden van ^li tot 1 zijn in

aan-merking genomen.

1 db\ l bi2\ - . b2 _ . bi2 1 7 - ; - , = 2 1 —•-;— . Voor — = oowordt -r- = — en voor

b d x / x = l \ bi' bi ba 8 — = 1 wordt-r- = 1.

Oi ba

1 db . . 1 db — —-varieert dus van O tot 1,75. Voor ba = 27bi is —-;- =

b dx b dx

ongeveer 1.4. Grootere waarden zullen wel zelden voorkomen. 1 da\ l ai2\ 1 da .

——) = 2 1 - ); ^12 ) O, dus — ^ is maximaal 2 en,

a dx'x = l ^ a2' a dx

daar we ons bevinden in het rechter deel der isobarenfiguur, minimaal 0.

1 da . ,

— ^ - varieert dus van O tot 2.

a dx

Bij elke waarde van a behooren twee bepaalde waarden van u, waar A nul wordt. Deze zijn te vinden uit tabel 1, waar voor verschillende u-waarden, de waarde van a, die A nul maakt, opgegeven is. 26

TABEL 1. u 1 b 1.5 b 2 b 2.5 b 3 b 3.25 b 4 b a 0 0.5 0.84 0.97 1 j 0.995 0.95 ! u 5 b , 6 b 10 b i 11 b 12 b a 0.86 0.78 0.55 0.51 0.47 1 db De waarden van C voor verschillende waarden van—-r- en v

b dx vinden we in tabel 2. TABEL 2. u = l u = 1 . 5 u = 2 u = 2 . 5 u = 3 b b b b b u = 3 . 1 5 b u = 3 . 2 5 b u = 3 . 5 u = 4 u = 6 u = l l b b b b 1 db

bTx-'

onbepaald 0.59 0.89 0.96 1.04 1.19 1.78 3.26 0.25 oo 1.11 0,89 0.95 1.06 1.12 1.18 1.32 1.88 3.35 0.50 oo 1.78 1.19 1.22 1.27 1.33 1.45 1.99 3.44 0.75 oo 1.48 1.39 1.43 1.47 1.58 2.10 3.53 1 0 0 3.11 1.78 1.56 1.58 1.62 1.71 2.20 3.62 1.25 oo 3.78 2.07 1.72 1.74 1.76 1.84 2.31 3.71 1.50 0 0 4.44 2.37 1.98 1.89 1.89 1.91 1.98 2.42 3.80 1.60 oo 1.956 1.951 1.952 1.75 oo 2.67 2.06 2.04 2.05 2.11 2.52 3.89 1 flh

Bij bepaalde — - - krijgt C bij toenemende u, steeds een minimum-b dx

1 dfi

waarde. Alleen voor — -— = O blijkt dit niet uit de tabel. Zooals b dx

uit de tabel volgt, wordt deze minimum C-waarde bij toenemende 1 db , .^

— — grooter en verschuift tevens naar grootere u-waarden. Bij

b dx

bepaalde - -r- volgt uit: b dx C = 27 1 db b dx Vu—b + • öC ÖU _8_ 27 2u db dx O of b (u—b)=' öC Voor de minimum C-waarde geldt: —

öu

(v — b)' = 2 b u -r-. Hieruit volgt:

dx

Bij •;—— = 1.33, ligt u bij 3b, b dx

is r v " ) 1-33, dan is u > 3b en b dx

is — -;- < 1.33, dan is u < 3b.

b dx

Bovendien is het duidelijk, dat voor —-— b dx

bij u = b ligt en dat de minimum C-waarde hoogstens kan liggen bij de u-waarde, welke voldoet aan de vergelijking:

(v —b)3 = 2b''u X 1.75, waaruit volgt u = 3.25b.

O het minimum

EERSTE GEVAL a = 1.

Bij de kritische temperatuur van de tweede component is a = 1. A wordt dan nul voor u = 3b.

I. Ujg = O komt niet voor.

1 da

Hiervoor is noodig, dat B altijd positief is. — - moet dus altijd

a dx

kleiner zijn dan C. Wanneer bij gegeven—-—, —— kleiner is

b dx a dx

dan de correspondeerende minimum C-waarde, wordt aéin de 28

voorwaarde voldaan. Dit geval zal voor kunnen komen bij elke waarde van - - - , maar daar het bedrag der minimum C-waarde

b dx

bij grooter wordende — — toeneemt, zal dit geval zeker bij groote b dx 1 db , , . 1 da , — — en kleine — -;- voorkomen. b dx a dx xr , , , ^db ^^^ 1 da „ „ 1 db , .,, I d a Voorbeelden: -— = 0.25, - — = 0.8 en-— = 1.33, - -r- = b dx a dx b dx a dx 1.3. Zie fig. 2.

In I zit ook het geval dat men niet in de rechterzijde van de isobarenfiguur is. Immers al is - -r- positiefen-— positief,

a dx bdx

. . . 1 da behoeft men nog niet aan de rechterzijde te zijn. Juist als - —

a dx

klein is, is dit niet noodig.

II. Beide snijpunten van Uag = O met x = 1 liggen bij u < 3b. - — moet grooter gekozen worden dan de minimum C-waarde,

adx ^ ^

welke moet liggen bij u < 3b en - — moet kleiner zijn dan de

a dx

C-waarde voor u = 3b. ,- — zal dus zeker kleiner moeten zijn

bdx

.. . 1 db 1 da

dan 1.33. Dit zal vooral voorkomen bij kleine ,- -r-en voor - —

b dx a dx

tusschen zeer bepaalde grenzen.

Voorbeeld: p ^ = 0.25, ~ = 1. Zie fig. 2.

bdx adx

III. Eén snijpunt bij u < 3b, het andere bij v > 3b. 1 da ..

- — moet grooter zijn dan de G-waarde voor u = 3b. Vooral

a dx

Fig. 2.

bij kleine — -— en groote —— zal dit voorkomen.

b dx a dx

1 r 1 , , 1 db 1 da „ . .,.

V o o r b e e l d : - - - = 0.25, - — = 1.3. Zie fig. 2.

b dx a dx

IV. Beide snijpunten liggen bij u > 3b. 1 da

— -— moet grooter gekozen worden dan de minimum C-waarde,

a dx

die in tegenstelling met II, moet liggen bij u > 3b. Daar dit alleen 1 db

geschiedt, wanneer r i " ) l-^^ is, kan dit geval alleen

voor-b dx

, , .. 1 db 1 da ,

komen bij groote — --- en —-—- moet dan tevens zeer groot zijn.

b dx a dx

Voorbeeld: - — = 1.60, --^ == 1.954. Zie fig.- 2. b dx a dx

In figuur 2 zijn deze gevallen grafisch toegelicht. Op de verticale as zijn afgezet de C-waarden voor verschillende waarden van — -7- en tevens gestippeld verschillende waarden van — —-. Op

bdx s ^t' adx ^

de horizontale as zijn afgezet de waarden van u. TWEEDE GEVAL a — 0.5.

Uit tabel 1 volgt, dat bij a = 0.5, A nul wordt bij u = 1.5b en u = 11 . . . b. Er kunnen zich nu, wat de ligging van U2g = O betreft, de volgende gevallen voordoen:

V. U2g = O komt niet voor.

Voor dit geval moeten we — kleiner kiezen dan de minimum-a minimum-a dx

C-waarde, welke bij bepaalde - -— behoort. Dit geval zal zich bij b dx

, 1 db 1 da

elke — — voor kunnen doen, wanneer — -— maar klein genoeg is.

b dx a da

Zeker zal dit dus voorkomen bij groote — -— en kleine - -r- •

b dx adx

1 db 1 1 da 1 da

Voorbeeld: f-^- = 0 . 5 - - ^ < 1.14 of - ^ < 0.57.

b dx a a dx a dx

VI. Beide snijpunten van U2g = O met x = 1 liggen bij u <1.5 b. De minimum C-waarde moet nu liggen bij u < 1.5b en

;-a ;-a dx

moet dan grooter dan deze minimum C-waarde, maar kleiner dan de C-waarde voor u = 1.5 b, gekozen worden. Voor de

db

minimum C-waarde geldt: (u—b)'= 2 bu-;-. Voor u = 1.5 b dx

, L. . Idb 1 Idb j , , . j 1 •• volgt hieruit - -r- = —• ,- — moet dus kleiner dan —- zijn en

^ bdx 24 bdx 24 - — moet dan nog tusschen zeer bepaalde nauwe grenzen liggen.

a dx

VII. Eén snijpunt bij u < 1.5 b en het andere tusschen u = 1.5 b en u = 11 b.

11 da

— moet grooter gekozen worden dan de C-waarde bij

a adx

u = 1.5 b en kleiner dan de C-waarde bij u = 11 b. Warmeer we ,- — niet te hoog kiezen, daar bij hooge .- — de C-waarde voor

bdx o dx

u = 11 b kleiner is dan voor u = 1.5 b, zal dit geval gemakkelijk voor kunnen komen.

1 db 11 da 1 da Voorbeeld: - - = 0.5, 1.78 < - - - < 3.44 of 0.89 < - - < 1.72.

b dx a adx adx

VIII. Eén snijpunt bij u < 1-5 b en het andere bij u > 11 b. r- moet grooter gekozen worden dan de C-waarde voor a adx

u = 1.5 b en u = 11 b. Daar de C-waarde voor u = 1.5 b bij Idb , , Idb .

groote - -^ grooter dan 4 wordt, mag - — niet te groot genomen

bdx bdx

worden en moet - — in elk geval groot zijn.

adx

Idb Ida

Voorbeeld: - — = 0.5, - - > 1.72.

bdx adx

IX. Beide snijpunten tusschen u = 1.5 b en u = 11 b. ;- moet grooter gekozen worden dan de minimum C-waarde

a adx

en kleiner dan de C-waarde voor u = 1.5 b en u = 11 b. De

minimum C-waarde moet dus liggen tusschen u = 1.5 b en . . L j - , . , •• ^ db j 1 . u = 11 o en dit zal het geval zijn, wanneer - -— grooter dan —is,

b dx 24 1 db 1 da

Voorbeeld: - - - = 0.5, 0.57 < - -p < 0.89.

bdx adx

Vergelijk de vier voorbeelden van V, VII, VIII en IX! X. Eén snijpunt tusschen u = 1.5 b en u = 11 b, het andere bij u > 11 b.

— moet nu grooter gekozen worden dan de C-waarde

a adx

voor u = 11 b en kleiner dan de C-waarde voor u = 1.5 b. Hiervoor is noodig in tegenstelling met VII, dat de C-waarde voor u = 1.5 b grooter is dan die voor u = 11 b. Dit geval eischt dus groote

1 db 1 da - — en groote - —.

bdx adx

Voorbeeld: -^ = 1.50, 1.90 <^-^<2. (22).

bdx adx

XI. Beide snijpunten bij u ) 11 b.

De minimum C-waarde moet dan liggen bij u > 11b, en dit is onmogelijk, daar afgeleid is, dat het minimum hoogstens bij u = 3.25 b kan liggen.

DERDE GEVAL a TUSSCHEN 0,5 EN 1.

We kunnen de verschillende mogelijkheden vinden door ver-gelijking van het eerste en tweede geval.

V. Zal altijd bij voldoend kleine - -— voor kunnen komen.

adx

VI. Zal des te gemakkelijker voor kunnen komen, naarmate a

Idb .

grooter is en eischt altijd, dat - — kleiner dan 1.33 is en dat b dx

I d a .

-— ligt tusschen zeer bepaalde vrij enge grenzen.

adx

VII. Zal des te gemakkelijker voorkomen, naarmate a kleiner . I d b .. I d a , , .. .., is. r — mag met te groot zijn. -— kan nog tusschen vrij wijde

b dx adx

grenzen variëeren.

VIII. In tegenstelling met VII is de gunstigste voorwaarde 1 da

voor dit geval een groote a en een niet te kleine -—, die grooter

adx Idb

zal moeten zijn, naarmate - — grooter is.

b dx

Idb

IX. Zal vooral bij kleine a en groote - — voor kunnen komen,

bdx

daar de grenzen waartusschen - — gekozen moet worden zich

adx

dan verwijden.

vr T-- 1 1 •• 1 Idb Ida A. Eischt altijd groote - — e n zeer groote - - ; - .

bdx adx

XI. Zal alleen voor kunnen komen bij groote a. Voor de I d b

maximale waarde v a n r — = 1.75, ligt de minimum C-waarde

bdx

bij u = 3.25 b. D e punten waar A nul wordt, moeten dus liggen bij volumina kleiner dan 3.25 b. Uit tabel 1 blijkt, dat a dus

,. 1 1 da grooter dan 0.995 moet zijn en dan moet bovendien — nog

a adx

grooter zijn dan de minimum C-waarde, die reeds in de buurt van 2 ligt.

Resumeerende blijken alle typen te kunnen voorkomen en wel gemakkelijk I, I I I , V, VII, V I I I , IX, terwijl de typen IV en X I vrijwel uitgesloten zijn.

HOOFDSTUK V.

D E H E L L I N G V A N uag = O I N D E P U N T E N , W A A R D E A S X - 1 G E S N E D E N W O R D T .

Deze helling is als volgt te vinden:

'ö^tp i^y) 7>^y) V (1 — x) /du\ öx^ öuöx öx^ . a g = U - h ( l - x ) y ^ = U - ( 1 - X ) ^ = ^ u — ! - - ( l - x ) ^ = 0 (10) Suöx 'hv'iX

Uag is dus nul wanneer:

(1 — x) —

öu öx Sx Hieruit volgt:

'ö^y) 'ö^y) S^y

du\ öu 3x^ Sx^ Sx^ dx/U2g = 0 ö^y , 'ö^f ^^ ^ i^f _{v—TZ (1—x)-} (11)

ÖU ÖX ÖU^ öx öu 3x^

Wanneer men hierin de vroeger reeds gegeven waarden voor 'è^ip 'è^rp

— - en substitueert en bovendien:

ix^ öu öx

a«y _ RT d% 2RT fdb\<i dMl_

"~(v—bydx^~(v—by\dx' "^dx^ü^

'ÖV'ÖX^ a y RT(i—2x) 7>x^~ x\l—xy 3RT d^bdb 2RT /db\^ (u—b)MxMx (u—b)^vdx 2RT db da 1 2 (u—•b)^dx d x u ' öu^öx

komen in de teller a en zijn afgeleiden naar x niet voor, terwijl in de noemer behalve u-, T-, x- en b-waarden voorkomt:

da 1 d^a 1

dx u^ dx'* u^"

Met behulp van verg. (10) zijn de afgeleiden van a uit de noemer te elimineeren, waardoor men krijgt:

du\ _ dx'V2q = O (u—b)= -(u-b) h— — ) — — dx^ dx dx^

-<-^>iË)-<-)(£)'

(u—b) = ux +(u—b) (1—x) v dx^

v+b , Jdb\^ db

^ ^ ( 1 - x ) - +2b

dx/ dx -(12)

Voor 1 wordt dit:

(dv dx/vsa = O

= +

d'b fdb\ 29 x = l (v—b)' dx (13)

Teller en noemer van het tweede lid van verg. (13) beide bepalen Voor groote- en kleine u, hebben beide het teeken van

-;-\dx/u2g = O du

hetzelfde teeken en is -— positief, bij tusschenliggende u-waarden dx

negatief. Om na te gaan, waar deze u-waarden ongeveer liggen,

db d^b

zullen we bij verschillende waarden van -— en -r-. nagaan, voor dx dx^

welke waarden van u teller en noemer van het tweede lid van 35

voor b2 verschillende getallen aannemen, bia, -r-, \dx/x = 1

verg. (13) nul worden. Waar we alleen het teeken van teller en noemer willen bepalen, doet de absolute waarde niets ter zake en zullen we voor het gemak bi als volume-eenheid kiezen en dan

db\ d'b

zijn dan met behulp van de veronderstelling in het einde van Hoofdstuk I te berekenen.

Voor ba kiezen we achtereenvolgens 1.1^, 1.2^, 1.3^ 2^, 3* en oo. Het resultaat dezer berekening is in tabel 3 samengevat, waarbij

(db\ 11 db\ 1 d-'b

tevens _{dx'x=Q' ^bdx'x=.l ^2dx'} en — -r— uitgerekend zijn.

bi2 =

W,

+

i^bi

f) =2(bia-bi).a =2(b2.

-bl2).

l d b \ b dx'x=l 2 1 —

dx^

=2(bi + b2-2bia)=(^') - f f l .

TABEL 3.

bl bi 1. 1.331 1.728 2.197 8. 27. 0 0 bi2 1. 1.158 1.331 1.521 3.375 8. oo /db\ \dx'x=0 0 0.315 0.662 1.042 4.75 14. oo

Vdx4=i

0. 0.347 0.794 1.352 9.25 38. 0 0 \bdxJx=i 0. 0.26 0.46 0.62 1.16 1.407 1.75 d% dx^ 0. 0.032 0.132 0.310 4.5 24. oo Id^'b bidx' 0. 0.024 0.076 0.14 0.56 0.889 1.5

In tabel 4 zijn voor verschillende u-waarden te vinden het teeken of de waarden van de teller van verg. (13) gedeeld door

b^, dus ( -—11 — I -—11P ^ — ( ^ +11 II $]^

'^^^

(b7

u \ 1 d^ bj / b2 dx^ u b dx/x=i 36

TABEL

4. éff(c.-. /^^^^'^

u = l b2 u = 1 . 5 ba U = 2 ba U=2.5 ba u = 3 ba u = 3 . 2 5 b a u = 3 . 5 ba u = 4 b2 b 2 = l 0

+

+1

-1-+

+

+

+

b2=1.331 — 0.14 — 0.06 + 0.77

+

+

+

+

+

ba=2.197 — 0.77 — — 0.29 + 1.82

+

+

+

+

b a = 8 _ — — ' — 2.17 + 1.50

+

+

+

ba = 2 7 _ — — — — 1.70 + 0.98

+

+

b2= oo _ — — — — — 5.00 — 1.91 + 7.19

Om te vinden, waar de noemer nul wordt, is voor verschillende u-waarden berekend de waarde van:

K - '

^v lldb\ ^. , , ^ 2 ; - T T . ; Zie tabel 5. bo \ b d x / x = l TABEL 5. _{O ' e r M<-_ ^ . ^ t ' v ^}

' A

u = l b2 u = 1 . 5 ba u = 2 ba u = 2 . 5 ba U = 3 ba u = 3 . 2 5 ba u = 3 . 5 bi b 2 = l 0

+

+1

+

+

+

+

b2 = 1.331 — 0.52 — — 0.04 + 2.08

+

+

+

b2=2.197 — — 1.48 + 0.28

+

+

+

ba = 8 — — — 2.42 + 1.04

+

+

ba=27 — — — — 0.44 + 2.24

+

ba= oo — — — — 2.50 + 0.02

+

Uit deze tabellen volgt, dat er slechts een zeer klein gebied is, waar — negatief wordt. Voor ba = 1.331 b.v. vlak

\dx/uag = 0 *=1

om u = 2 ba heen, voor ba = 27 tusschen u = 3 ba en u = 3.25 ba. In elk geval ligt dit gebied bij u kleiner dan 4 b.

Daar het punt, waar de noemer nul wordt, hetzelfde punt is, waar de grootheid C uit het vorige hoofdstuk minimaal is, liggen beide snijpunten van U2g = O met x = 1, om dit punt heen en kan in hoogstens één van deze beide snijpunten

\\j f

^ ' /

^ \^ NiO TcO n-0 . T^o »--0

T=o De mogelijke ge-vallen zijn in fig. 3 ,^^0 aangegeven.

In het algemeen zal de loop van U2g=0 zijn, zooals in B of G aan-gegeven is. Bij groote b2-waarden hebben we één der gevallen A of B, bij kleine bj-waarden C of D. Of dan A of B, respectievelijk C of D voorkomt, wordt dan tevens nog door de a-waarden bepaald.

M.q-0/ D du dx negatief zijn. Fig. 3

HOOFDSTUK VI.

DE LOOP DER POTENTIAALLIJNEN VAN DE TWEEDE

COMPONENT.

We weten reeds, dat alle potentiaallijnen van de tweede component door het punt x = 0 , u = b gaan en daar aan de u-as raken (zie hoofdstuk II). Op de lijn U2p=0 loopen de potentiaal-lijnen verticaal en op U2g=0 horizontaal, terwijl de loop van deze beide laatste lijnen bekend is.

Er heeft geen teekenwisseling van ( —) plaats, du\

dxVa

wanneer

dx' I = 0 , zooals oppervlakkig beschouwd zou volgen uit:

— = — (-r- (verg. 6), want dan is tevens Uag oneindig en

dx' Hz Uap ^dx'p

het product eindig, zooals gemakkelijk uit verg. (4) volgt:

du\ ÖU ÖX 'bx^

dxIfXi ö > öV

u — - — (l—x) _{ÖU^ ÖU ÖX} /'du\ . . 7)hp

Wanneer [—) = O, is weliswaar nul, maar in het algemeen

\dx'p öu öx

n j ''V '>V . . . . . j (dv\ . ,. zullen dan — - en — - niet nul zijn en is dus -;- eindig.

öu^ öx^ \dx'/J2 Het teeken van -;- is in deze punten, evenals trouwens in

^dx'/j.2

andere te vinden uit de stelling der toegevoegde middellijnen^). Een p-lijn en de lijn x = constant, zijn toegevoegde middellijnen in de indicatrix. Een potentiaallijn en de lijn naar x = l, u = 0 eveneens. N u valt de laatste niet samen met de lijn x = c o n s t a n t , wanneer -—) = 0 . D e p-lijn en de potentiaallijn zullen dus

\dx/p

evenmin samenvallen en -;- is in het algemeen niet nul. Vdx//^2

Voor het rechter deel der isobarenfiguur zullen we nu den loop der potentiaalliinen aangeven. Nemen we kleine r —

V b d x / x = l en groote ) , dan komt Uag = O voor en snijdt beide

^adx/x — 1

takken van Uap=0. U2p=0 loopt buiten (— j = 0 , de spinodale in elk geval buiten — ) = 0 en gedeeltelijk buiten Uap=0. De

V öu/x

verschillende lijnen zijn in fig. 4 aangegeven, waarbij de helling van Uag = O in X = 1 positief genomen is, hetgeen niet nood-zakelijk is, maar wegens de kleine r T wel het meest

\b dx/x = 1

') SCHEFFER, Recueil des Travaux Chim. des Pays Bas 42, 634 (1923).

waarschijnlijk, vooral bij het grootste volume. Dat de loop der potentiaallijnen moet zijn als in fig. 4, volgt uit het teeken van

Fig. 4

-— in de verschillende gebieden. A wordt een dubbelpunt,

^dx//i2

B een geïsoleerd punt.

Met andere stand van Uag=0 t. o. v. U2p=0, volgt de loop der potentiaallijnen gemakkelijk uit fig. 4. Vooral het punt B zal kunnen ontbreken, zooals uit de beschouwingen in hoofdstuk IVblij kt.

In het linker gedeelte der isobarenfiguur ontbreken in elk geval A en B en wordt de loop der potentiaallijnen als in het linker gedeelte van fig. 4, alleen met dit verschil, dat— = O

\ ÖU/X

tusschen U2p=0 en de spinodale in ligt, met de spinodale als buitenste lijn.

H O O F D S T U K V I I .

DE POTENTIAALLIJNEN VAN DE EERSTE COMPONENT IN HET ALGEMEEN EN WANNEER 2 bia

GROOTER DAN ba IS.

Uit verg. (3) volgt door x door (1 — x) en (1 — x) door x te vervangen:

„ ^ , 1—X RT I db\ 2a xda ,^,. /^l = R T l n -+ r T ^ - x y + - J - (14)

u—b u—b\ dx' V vdx Voor X = 1 is //i negatief oneindig.

Voor u = b hangt de waarde van //.i af van het teeken van -X - - ) , . Is dit positief, dan is ^i positief oneindig. Voor

dx/v=b

u — X - - , = bi — (bi +ba — 2 bi2)x*.

dx'v=b

Voor kleine x-waarden is dit zeker positief, daar (bi+ba — 2 b^) bij de aanname in hoofdstuk I steeds positief is. Voor de maximale

^\ dx'v=b

x = l

zoowel positief als negatief zijn.

Beschouwen we eerst het geval, dat 2 b^ > ba, dan is voor u = b, |Mi altijd positief oneindig.

Voor u = b, X = 1 wordt de waarde van Hi onbepaald of m. a. w. alle potentiaallijnen gaan door dit punt. Uit verg. (4) en (6) volgt door letterverwisseling:

b^f 7)hp (dv\ V + x — - V—x\—]

dv\ bvix iix^ \dx/q /du\ Uig (dv

x-waarde, x = 1 wordt: (u — x — ) , = 2 b^ — ba en dit kan

dxVi <> V "^ V (dv\ ^dxlp Vip \dxlp

V—--\-X u — X

-7-öu^ öu öx \dx'p

Hierin stellen Uig en Uip de stukken voor, die door raaklijnen, respectievelijk aan de q- en p-lijnen, afgesneden worden van de u-as der eerste component.

Op volkomen dezelfde wijze, als voor de tweede component is afgeleid, volgt nu, dat in u=b, x = l alle potentiaallijnen raken aan de u-as. De loop der potentiaallijnen der eerste component 41

hangt weer ten nauwste samen met de meetkundige plaatsen Uig=0 en Vip—O, daar alleen hier teekenwisseling van

-r-^dx/fii

plaats heeft en niet zooals reeds voor de tweede component is afgeleid, wanneer

-^ \dx/p = 0.

HOOFDSTUK VIII.

DE MEETKUNDIGE PLAATSEN uip=0 EN Uig=0 EN DE

POTENTIAALLIJNEN DER EERSTE COMPONENT,

WANNEER GEEN ONTMENGING VOORKOMT

EN DE GAS- EN VLOEISTOFTAK VAN

^] =0 NIET IN ELKAAR OVERGAAN.

t)u/x

D E MEETKUNDIGE PLAATS Uip = 0.

Deze heeft een dergelijk verloop als Uap = O, alleen ligt ze binnen (— | wanneer Uap = O er buiten ligt en omgekeerd. Bovendien wordt nu de u-as van de eerste component en niet die van de tweede component gesneden in (— |

In het rechter- en middengedeelte der isobarenfiguur is het mogelijk, dat Uip = O de as x = 1 niet bereikt.

D E MEETKUNDIGE PLAATS Uig = 0.

Uit den loop der q-lijnen volgt, dat Uig = O, in tegenstelling met Uag = O, altijd in de figuur optreedt en loopt van u = b, X = 1 af naar een punt op de as x = O, waar (— ) positief is.

[dv\

Dit is als volgt te bewijzen: Vult men in Ujg = u ^ x -;- de

^dx'q

waarde van -r- volgens de toestandsvergelijking in, dan ^dx'q krijgt men: RT RT /db\^ R T ^ _1 dM x(l—x) (u—by vdx/ u—b dx^ u dx^ Uig=U-X ^^ ^^ ^^^ (15) (u—b)^ dx u* dx R T , , , , 1—X Voor x = l geldt: Uig = u _{R T db 1 da}

(u—b)^dx u* dx

Voor u-waarden slechts weinig grooter dan b, is de noemer van de laatste term positief. Voor x = 1 en kleine u-waarden is Uig dus negatief oneindig.

db

Voor u = b is: Uig = b — x —

dx

Voor u = b en X = 1 zijn voor Uig dus alle waarden mogelijk, die inliggen tusschen negatief oneindig en b — x —. Daar we

dx

db . . . .

voorloopig alleen het geval beschouwen, dat b — x — positief is, dx

is dus in u = b, X = 1 ook de waarde Uig = O mogelijk of m. a. w. de meetkundige plaats Uig = O gaat door u = b, x = 1.

Tevens volgt uit:

/du\ - (ip\ /Sp\ ö>

^^'="-nd;^Jq °f ^^-^ \Vxlv=iVx>v~'^^

voor de rand x = O Uig — = f — —R T. ^' V öx/u V Sx/u

Wil Uig nul zijn, dan moet het tweede lid nul worden en dit zal altijd het geval kunnen zijn bij een bepaalde positieve waarde van — In het linker gedeelte der isobarenfiguur zal deze

Vöx/u.

/ap\

..

positieve waarde in liggen tusschen u = b, waar — positief oneindig is en u = oo, waar — nul is. In het rechterdeel

vöx/u

der isobarenfiguur vinden we deze positieve waarde van — VöX/ V tusschen de punten u = b, waar — positief oneindig is, en

Vöx/u

het punt waar — ) = O de as x = O, snijdt. Hieruit volgt nu,

\'dx'V

dat in het rechter deel der isobarenfiguur Ujg = O naar kleine u-waarden gedrongen wordt. De mogelijkheid bestaat nu, dat Uig = 0 Uip = O heelemaal niet snijdt, één tak of beide takken van de laatste snijdt. We zullen nagaan, of deze mogelijkheden alle drie kunnen voorkomen.

Wanneer — = O en Uig = O elkaar in hetzelfde punt van Vbu/X

de as X = O snijden, moet voldaan worden aan de voorwaarden:

RT 2a ^^ V db dal „ ^ = O en — RT- — - - + - - - + R T = 0 (u—by v^ (v—b)^dx dxv of RT 2a da 2a db „ _ = O e n — - - = - r + R T u (u—b)^ u' dx u dx

Wanneer we T — aTk stellen dan is RT = — - a en gaan de 27 b

beide laatste vergelijkingen over in:

{'" — V

8 ^ \b~ I , _ , I d a 8 u b / l d b \ , , — a = 2 --——(16) en - r - = - a - — 2 - ,--- (17) 27 vV adx 27 b uVbdx/

u 8 Voor elke waarde van - is dan uit verg. (16) — a te berekenen

b 27 (vergelijk ook tabel 1). Wanneer we deze waarde substitueeren in verg. (17), krijgen we het verband tusschen - -— en - -—

a dx b dx

waaraan voldaan moet worden, willen u,o = O en — = 0 elkaar in hetzelfde punt van de as, x = O snijden. In tabel 6 zijn voor verschillende u-waarden, deze berekeningen vereenigd:

| | ) r ' - ^ •*.ƒ j | l ^ , ^ M , . j j , . y . . v = I b i u = 2bi u = 3bi u = 4bi u = 5bi v = 6bi u = 7bi u = 8bi u = 11 bi TABEL 6. 8 — a 27 0. 0.2500 0.2963 0.2813 0.2560 0.2315 0.2099 0.1914 0.1503 1 da a dx 0 . - 2 0.500 — 1 0.889 — 0.667 1.125 — 0.500 1.280 — 0.400 1.389 — 0.333 1.469 — 0.286 1.531 — 0.250 1.653 — 0.182 I d b bdx 1 db b

Tx

Idb b dx 1 db bdx 1 db b dx Idb b dx 1 db b dx I d b bdx 1 db bdx Idb Ida

Groote - -r- geeft dus kleine waarden voor p en

om-bdx adx

gekeerd.

Idb Voor Uig = O en x = O volgt voor bepaalde a en - — uit :

_ _ l d a _ _ 8 V _%^ / u \2 / l db\ _

adx ~ 2 7 " b ~ ~ 2 7 ° Vu—b/ Xidxl'

Ida

adx _ 8 a 16a bu lldb\ Dv ^ 2 7 b "*" ^ (u—b)« Vb dx/

Dit is dus altijd positief.

Kies — grooter dan de tabelwaarde voor bepaalde 7 -—en voor

adx bdx

bepaalde a in u > 3 b, dan treedt dubbele snijding op.

Kies -;- grooter dan de tabelwaarde voor bepaalde - —

adx bdx Ida .

en voor bepaalde a in u < 3 o, maar kleiner dan — in u> 3 b

adx

bij dezelfde a, dan heeft men enkele snijding.

Kies —kleiner dan de tabelwaarde voor bepaalde7-— en

adx b dx

voor bepaalde a in u < 3 f', dan treedt geen snijding op. We zien hieruit, dat alle drie mogelijkheden voor kunnen komen. Uit verg. (12) volgt door letterverwisseling:

du\ _ dx/Uig=0 +(u—b) (1-x)^ dbd^b_ en dx dx''' dx^ db\^ Idh^ 3 - ( u + b ) ( - ) +2x(^^^ - ( 1 8 ) (v—by , ,,b d% v+b (db-v" ^,db (u—b)-x— X — + 2 b u(l—x) u dx^ u Vdx/ dx Uit de vergelijking voor Uig = O volgt, dat op u = b in x = 1:

db (v — b)2 /db\^

— RTv^ + RT^ '- + RT(-) = 0 ,

dx 1 — X Vdx/ waaruit we kunnen afleiden:

(v — bydb/ db\ . . . . . . . . = -r \v —] ; hetgeen positiet eindig is, positiet, daar

1 — X dx V dx/

, ^ db . ^ . . ^ .

in ons geval b in x = 1 positiet is. dx

Hieruit volgt dan:

u —b (u —b)» (v — by ^ ; = + 00, T. ^ = + 00 en = 0. 1 — X (1 — x)" 1 — X Uit verg. (18) volgt dan voor u = b, x = 1:

(v—by (v—by dv\ (1—xy (i—xy dx/uig = o db (dby dbl db\

v=6,x=l 2 b ^ - 2 y 2-^b--J

-00. 46

De lijn Uig = O raakt dus in u = b, x = 1 aan de u-as van de tweede component.

Uit verg. (13) of ook uit verg. (18) volgt:

d% IdbY _ (^_{,)3 + (^;_b) b — + (u+b) ( - )

/dv

vdx/uig = o

x = 0 ( u - b ) ' 2 b db dx

dv

Alleen de teller bepaalt het teeken van I -r- Voor groote Vdx/ Uig = 0.

x=0

U-waarden wordt -— negatief, voor kleine u-waarden positief. dx

Met behulp van tabel 3 is voor enkele waarden van ba voor i 4J4 ,} verschillende u het teeken van de teller te vinden. Zie tabel 7.

/ .

TABEL 7.

u = l bi u = 1 . 5 b i u = 2 bi u = 2 . 5 b i u = 3 bi u = 3 . 5 bi u = 6 bi u = 7 bi ba = l 0 — —1 — —8 — —125 —216 b2=1.331 +0.198 +0.139 —0.670 — — — — — ba = 1.728 +0.876

+

+0.446 —1.643 —5.983 — — — ba =2.197 + 2 . 1 7

+

+ 2 . 5 7 + 0 . 8 9 —3.04 — — — b2=8 + 4 5 . 1

+

+

+

+

+

+ 5 5 . 4 ^ —8.5 Idb

We zien uit deze tabel, dat, naarmate ,- -;- grooter wordt, het

bdx dv

gebied waar — positief is, zich uitbreidt naar grootere u-waarden. dx

D E POTENTIAALLIJNEN DER EERSTE COMPONENT.

Uit hetgeen in hoofdstuk VI gezegd is over den loop der potentiaallijnen der tweede component, volgt met de gegeven

bespreking van Ujg = O en Uip = O den loop der potentiaallijnen der eerste component. Een mogelijk geval geeft fig. 5.

Fig. 5.

Het is ook mogelijk, dat alleen A in de figuur voorkomt en B ontbreekt, of dat beide ontbreken, welk laatste geval zich vooral in het rechter deel der isobarenfiguur zal voordoen.

H O O F D S T U K IX.

DE LOOP DER POTENTIAALLIJNEN VAN DE EERSTE COMPONENT, WANNEER b2 GROOTER DAN 2 bi2 IS,

OF ba GROOTER DAN ONGEVEER 5 bi IS.

In hoofdstuk VII is afgeleid, dat in dit geval op u = b een punt voorkomt, waar b — x -— nul is. Voor kleinere x-waarden is

dx

op u=b, b — X -r- positief, voor grootere x-waarden negatief. dx

Uit verg. (14) volgt, dat op u = b en x ^ O en x 7Ï: 1:

Hl =—RT\n(v — b) + ^ ( b — x ^ ] o f :

u-b V dx'

db

(t; — b ) ^ i = — R T (u —b) In (u — b) + R T ( b — x , V dx De eerste term van het tweede lid is nul voor u = b, dus:

(x,_b)/^i = + R T ( b - x £ )

Is voor kleine x-waarden b — x -— positief, dan 'is fii + 0 0 . Is b — X — nul, dan is iii onbepaald.

dx

Is voor groote x-waarden b — x — negatief, dan is ^1 — 00. Alle potentiaallijnen gaan nu dus door een punt op u = b, waar b — X — nul is. Wanneer men bij een x-waarde, grooter dan

dx

in het bovengenoemde punt, een lijn x = constant trekt, zal deze lijn niet alle potentiaallijnen snijden. Voor kleine u-waarden vanaf u = b is de eerste term van verg. (14) zeer groot positief en de tweede zeer groot negatief van hoogere orde. HI is dus zeer groot negatief. Bij stijging van u wordt u — x j-nul. Dit zal, wanneer

db .

de betreffende x-waarde weinig grooter is dan in b = x —, plaats hebben bij een u-waarde weinig grooter dan b. De eerste term

is dan weliswaar afgenomen, maar nog altijd groot. De tweede term is nul. D e totale waarde van Hi is dus groot positief. Bij ver-dere stijging van u neemt Hi voorloopig zeker af.

Meer naar rechts wordt het punt u = x -r- pas bij grootere dx

u-waarden bereikt en is dientengevolge de totale waarde der potentiaal bij gelijke u dan kleiner, temeer daar x ook grooter is en dit tevens van invloed is op de eerste term. Groote positieve waarden der potentiaal kunnen dan nooit meer bereikt worden. Uit het bovenstaande volgt, dat een lijn x = constant en weinig grooter dan x, welke aan b = x — voldoet, zal raken aan een

dx

potentiaallijn bij een u-waarde iets grooter dan u = b of m. a. w.

db

de meetkundige plaats Uip = O moet in de buurt van b = x — vlak bij V = b loopen.

D E LOOP VAN Uig = O, WANNEER ba > 5 bi.

In Hoofdstuk V I I I is afgeleid, dat voor u = b u i g = b — x -r-,

dx

waaruit volgt, dat Uig = O in dit geval loopt door een punt op u = b, waar b = x-r- •

dx

Uit verg. (18) volgt voor u = b:

Vdx/u i g - 0 V = b ( ^ _ M ( 3 x - — dxdx^

, d^b\ , ,Jdb\'' ^ (dbY

(u—b)x — -u dx^

v+b^fdby ^^^db

V Vdx/ dx (v-b) 3x dbd^ dxdx^ d b \ 2 _ d ^ dx' dx^

--£)VI)

d^b ldb\i dx' Vdx db dbb / db dx u V dx W a n n e e r nu tevens b = x - p , volgt uit verg. (15):

dx 50

limiet u — ö db v — X-— dx db^ dx d ^ ^ d ^

D i t ingevuld in bovenstaande vergelijking levert

db^ dx ( - ) = Vdx/^^^=0 v = b

db d^b (dbY

3x h — • d x dx^ Vdx/ b — dx^*

W dx"

d b x d x u L '^'^ (dbV

^ d^^ + Idx)

<^b m

dx V dx* of d _{aar x} du\ dx'Viq = o dx = b = u.

(-f

Vdx/ db d^b (19) dx dx* db d*b

X-— = 2(bi2 — bi), hetgeen positief is en kleiner dan -— ,

dx dx^ dx

1 d*b . . .

d a a r — positief is. In het punt, waar Uig= O de lijn u = b snijdt, dx"

db . (dv\

IS — dus positief en grooter dan —.

Vdx/utg = 0 ^ ^ dx

D E LOOP VAN Uip = O, WANNEER b» > 5 bi.

U i t Ujn = u — X _i/ip dv

dx = U +

X-Su öx

b^tp

öu"

volgt door invullen van

de waarden der differentiaalquotiënten:

RT ( db\ 1/ da ^ \v — X — + - - X -; 2 a V, (u — b ) * dx dx 'ip RT 2 a (20)

(v—hy

db

O p u = b is Uip = b — X — , dus nul, wanneer deze laatste waar-dx

de nul is. Uip = O gaat dus door hetzelfde punt van v—b als Uig= 0.

O p X = o is Uip onbepaald in - ^ = 0 , daar teller en noemer Vöu/x

van verg. (20) beide nul worden. Elke waarde van Uip voldoet

Cdp\

dan aan de vergelijking, daar we het punt x = O, — = 0 Vöu/X

langs elke willekeurige richting kunnen naderen. Uip = O gaat dus door de beide punten op x = O, waar — = 0 .

V öu/x '

_ , 1 ,,• 1 T < ^ ^ d b

O p X = 1 zal, wanneer daar toevallig ook b = x —, u — x — = dx dx u — b zijn. Uip is dan nul in u = b en in de beide punten, waar:

da 2a

RT

dx , RT 2ai2

°^ u

= ~T

v—o v' X = 1

Deze vergelijking heeft twee wortels voor u grooter dan b of twee imaginaire wortels. Alle drie de wortels der vergelijking:

= O liggen, wanneer ze reëel zijn bij

. db ^

u > --- en dus, wanneer in x = 1, dx

db

dx negatief is, zeker bij

Fig. 6.

u > b. Het is echter mogelijk, dat twee wortels samenvallen en imaginair worden, d. w. z. twee takken van Uip = O vereenigen zich en trekken zich in de figuur terug. Fig. 6 geeft een mogelijk geval, wanneer op u = b een

db

punt o = X — voorkomt. dx

Komt dit punt niet voor, dan ontbreekt de tak I. I en I I kunnen één tak vormen; dit zal vooral plaats kunnen hebben in het linker deel der isobarenfiguur, zooals uit deze figuur zelf 52

volgt, terwijl in het rechter gedeelte, zooals reeds eerder op-gemerkt is, II en I I I samen kunnen vloeien.

W e zullen nu nog bepalen de helling van Ujp = O in u = b. Uit verg. (20) is af te leiden voor u = b en Ujp = constant, dus ook voor u = b en Uip = 0:

/du\ _db ^ Vdx/Uip=0 dx dx*

v=b

Deze waarde is positief en grooter dan —, maar kleiner dan

/du\

(dv\

-r- in hetzelfde punt, want:

Vdx/uio = 0 ^ 'Viq v=b / d b \ 2 _ / ^ \ i /dbY db d^b W ' V dx*/ , W + X — dx dx* db_ ^ '^_ ^ dx dx* dx dx* en de laatste vorm stelt voor — Zie verg. (19).

Vdx/uig = O

v=b

db DE HELLING DER POTENTIAALLIJNEN IN U = b = X —.

In hoofdstuk V I I is afgeleid: ö*y) + X 1 * ^ = ^ " /du\ Su öx 3x* \dx'fij ()*v b^y) V — - + x öu* SuSx

W e moeten de waarde hiervan bepalen, wanneer u nadert tot b en tot X -;-. Invullen met de toestandsvergelijking levert:

dx RT dbl db\ RT d^b . ,. (dv^ (V bydxV ''dx) \ bdx* + " " ^ ' ^ u = b du\ db ^dx'fii dx u = b RT ( db\ (u—by V dx' d?b "dx* db v — x-j dx (21)

f3

De waarde van

db dx

moet bepaald worden, langs een potentiaallijn u = b naderende.

Uit verg. (14) volgt:

db RT V — X— dx = Hl db RT In 1 — X 2a xda Voor v = b e n u = x - - wordt R T In dx V — b termen achter het gelijkteeken eindig.

TC V—b u u dx l — x oneindig, de andere Fig. 7. 54

Dus db 1 U X -— . dx limiet •— V—b _""^^db = — co V = X — dx

De laatste term van het tweede lid van verg. (21) wordt dien-tengevolge nul en:

/du\ _ db

\dx'fii dx v=b

Alle potentiaallijnen raken dus aan de lijn u = b in het punt

db V = X —-.

dx

Een mogelijk geval wordt weergegeven door fig. 7. Tak I en II uit fig. 6 vormen hier één geheel.

HOOFDSTUK X.

DE LOOP DER POTENTIAALLIJNEN VAN DE TWEEDE COMPONENT, W A N N E E R - ^ = O IN DE FIGUUR

öx* VOORKOMT.

Op de loop der p-lijnen heeft deze meetkundige plaats geen invloed, dus evenmin op de loop van Uap = 0.

5*^

a. LINKER GEDEELTE DER ISOBARENFIGUUR. —- = O ligt bij

t)X*

positieve waarden van — .

^ V öx/u

Uag = o kan nu voorkomen. Dit zal het geyal zijn, als de helling ö*y)

"öx*

is dit echter niet. Wanneer Uag = O optreedt, zullen op elke

ö*y)

enkel, uitgezonderd de twee grensgevallen, die elk één punt voor U2g = O opleveren en wel in het buigpunt der betreffende q-lijn.

55 der q-lijnen binnen -^-^ = O groot genoeg negatief is. Noodzakelijk

3*V

U2g = O zal dan een gesloten kromme, binnen — - = O gelegen, ö X *

worden. M e n kan nu nog twee gevallen onderscheiden en wel óf U2g = O snijdt U2P = O niet, óf U2g = O snijdt Uap = O wel. In het eerste geval ligt Uag = O geheel buiten of geheel binnen Uap = 0. O p de potentiaallijnen heeft dit deze invloed, dat binnen Uag = O in de u-richting terugloopende gedeelten ontstaan.

Wanneer Uag = 0 Uap = O snijdt, ontstaan twee snijpunten, waarvan het ééne een dubbelpunt, het andere een geïsoleerd punt voor de potentiaallijnen wordt. Het verschil met fig. 4 is echter, dat nu beide merkwaardige punten op de vloeistoftak van U2p = O liggen. Het rechterpunt wordt een geïsoleerd punt, het linker-een dubbelpunt.

a*y

ix*

b. RECHTER GEDEELTE DER ISOBARENFIGUUR. ^ ^ = O ligt bij

negatieve waarden van Vöx/u

Behalve de reeds in hoofdstuk IV besproken meetkundige plaats Uag = O, komt nu bovendien in elk geval een meetkundige

. ci*y)

plaats Uag = O voor, die buiten — - = O omloopt. Deze kan één

Sx*

geheel vormen met de vroeger reeds besproken tak, kan er echter ook niet mee samenhangen. O p de loop der potentiaallijnen heeft deze meetkundige plaats dezelfde invloed als onder a. besproken is. W a n n e e r Uag = 0 U2p= O niet snijdt, wordt een mogelijke loop

der potentiaallijnen, zooals in fig. 27 geteekend is. Zie voor het geval, dat wel snijding optreedt o. a. fig. 31 en fig. 36. Hoewel deze figuren gelden voor het geval, dat de dwarsplooi de rand X = O niet meer bereikt, zullen ze de bedoeling van het boven-staande duidelijk maken.

c. MIDDENGEDEELTE DER ISOBARENFIGUUR. ö*^ ,. fdp

„ — O snijdt — = 0 niet. W e krijgen dan één der ge-öx* Vöx/u

vallen a. of b.

•i^T"*'-^ "-^"V''"^''^'''!^"*''^- "•'"••'1 - '/•'• •!• " • •- ^—i ' •—• '• e "»•" w j , u j i i . jifjiiii^^nm I. II ™iy9f~^

Dhp .. / i)p\

— - = O snijdt — = 0 wel. U2g = O k o m t n u zeker voor e n 5x* \3x/u

/ öp\ i^y) loopt bij negatieve waarden van — buiten — - = O, bij

posi-V ö x / U ÖX*

tieve waarden er binnen, één gesloten tak vormend of samen-hangend met de vroeger reeds besproken tak van Uag = 0.

D e invloed, die dit heeft op de loop der potentiaallijnen is weer dezelfde als onder a. besproken is.

HOOFDSTUK XI.

DE LOOP DER POTENTIAALLIJNEN VAN DE EERSTE

COMPONENT, WANNEER ^ = O IN DE FIGUUR

öx* O P T R E E D T .

O p de loop van Ujp = O heeft deze meetkundige plaats geen invloed.

a. L I N K E R DEEL DER ISOBARENFIGUUR.

ö*y 0*^)

Uit Uig = O volgt: u h X—- = 0. öuöx 5x*

ö*y)

In het linker deel der isobarenfiguur is negatief. Voor öuöx

ö*y Uig = O moet dus voldaan worden aan de voorwaarde, dat —

öx* S*y

positiefis of m. a. w. Uig = O blijft altijd b u i t e n — ^ = Oomloopen. In hoofdtrekken blijft de loop van Uig = O onveranderd, alleen de vorm zal zich iets wijzigen.

b. RECHTER DEEL DER ISOBARENFIGUUR.

Behalve d e reeds voorkomende meetkundige plaats Uig = O

(Dp\ . . .. '

die bij kleinere volumina dan — = 0 ligt, is het mogelijk, Vöx/u