Uittreksel van algemene theorie van de bewegingen van een schip in zeegang

Rapport No.

86.

LABORATORIUM VOOR

SCHEEPSBOUWKUNDE.

TECHNISCHE HOGESCHOOL DEIFT

UITTREKSEL -VAN ALGEMENE THEORIE VAN DE

BEWEGINGENVAMEEN SCHIP IN ZEEGANG.

1CSEL VAN ALGEMENE TBEORE VN DE BVEGINGEN VAN LEN

_{R.MR u..aaau}

Vol.0 A. Iz'ilofl'

i88.

Rjot N2. 86.

.ab9rptoriue voor 8aha.iJouwkund..

Vsrt1in

1O....1 92.

1.3. iu, vy et e.ssqn.t.]..i n 4e eia1çt.

D. volgend. us.nst.lssls worden g.bruikt i

san vast asssnst.3s.l O ,

ein aseen.t.1.sl O vaarvan ¿ usn v.nvijdig sijn lait

die van het suit geno.ad. etilici. R.t punt O ii hit swaart.L punt ven

hit sehip.

ein aun hut sohip verbond.n aa..nat.ls.l OzyX.

Voor diac assen worden ¿e hoofdtraaghòidaassui g.no..n. Un vea dise essen staat J.. hit aidd.11ang.vlak (ii syaetri.vluk) de beide

ander. liggen in dat visk.

W. aak.n eon klein. toot door nan t. ias.n dat de dwaredoorands

op 4L ook ein

.netri.vlak is. Hi.rdoor nijn dan de ¿rie hoofdtraag. hsida&assn bspasld. (ei. figuur i).

-2-E.n siliskeurig punt M van bet scliip h..ft

td0V

Oxys sen

vaste plaste, bspaa].d door de coordinstantrek OPQM. D. plut. ven M t.o.v. h.t vante aesenstalesi wordt bepanid door O17M. We most

en nu de 000z'dinaten uitdrukk.n in

t

en de variabelen

X. 7, 5.

De stand van Oxys t.e.v, O, 11wordt bapsald door 4.

plut. van bet punt O en 4. riobtingen van de aseen. O h..ft aie abaolute coordimaten D. riohtingecosintaae.n tuasert

de sisen van de atilsels Oxysin O mija ali voigt:

2

Projeoti. van 4. coordinatsatrek OPQN op elk der assen gist t dan de volgand. bstr.kkinguS

.'+a1z+b1y+o1a

(7 ₁

n

+ *2* + by +

c2s

Tassen 4e 9

riohtingsoosinus.sn bietean

6 b.trekkingen. Hat i. sanvoudiger os i.p.v. Os. b.tr.kking.n t. g.bruik.n, d. hocken van Euler 1 t. vo.rsn sa de 7iehtingsoosinaslen in des. hocken

e uit t. drukksn. Dc stand van bet assankruis O z y s

t.ov. O

wcrdt in one lavai aie voigt vutgelsgd.

W. uit vari list gavai dat bud. stalsius eaa.nvall.n

dear-as wordt L. y-dear-as sea hock 9r verdraaid

&a.n 4. x-se n ko.k

_Oj

t.n.i.ott. 4e z-a. esa bock

' i y vrijw.l g.lijk san 4e atsaphoek, is de gi.rho.k

.

4. alingerhoek. (si. figuur 2)

*

a

y

b b1 b2

-3

'j,

D. riahtingeao.iziutn de

assen

en zys worden nu

uitg.drukt in

functi..

sn

de

Eulersa )ioúan. *ierbij sakin w.

gabruik sn da volgendo f oriul. uit de baldri.hosksa.ting

(si. fig. 3).

sos s z coi b co. e + sin b ein o co. L.

(ri].off

g.bruikt i.p.v. 9

da ho.k 9 _{+ 01, of}

O- "f')

C4

Toap.s.ing van dais forsv.1. op Is volgsnda

boldri.koskrnt:

LaC, CDE, aCT, GflA, DZG, B?C3, AM, TøF, p.fts

a

= co. (x) a coscosp

_.in.irnyco.e

* coe4cosI) + iifl+sin() sinO1

Cl * COB (xe) a

ein4einG

a

a

einøoie1

co. (x)

a øomain,

sinfooeqcosO

a

.'oos.sinqi + i oos' sin O

b

a

(y) a

..ain400s

co.

einipcoa O

a

CO.4, + CO8

b1 a COB

a øoefsin9 a

s coefcoa

b2 a eoa

a ein4einq, - coe4coacoaø

a iiflßiflP + 0014 oo*qiainØ

C

a co. (z

) a ain.inO a

z eincom

a1 a co. (z ') u obi B

a

_i

a coi (z) a coapsfn8 a

coi 9coa e.

De hoekaneiheden lange de xyz..a.e.n

zijn reap. p, q,

r.

Uit de ontbinding van 1', _{O ,}

f

Voigt

uit fig.,, 2

e _I e

p a

+ IjICO Bi im

f a y.mneemn4 + 6coe f

s

q

4t10

coa'

Osin

-

ji cosif sinO

- Oain 4

r-

'if +4coa

J

We aullen nu de formules a

benaderen, door r..kaontwikkeling

toe

te passen op de

gsniom.triach.

functiea van 8, y en f

Daarto. besahouerni w. .r.t de orde van

grootte van dez.

hoeken

de stamphoek ial niet meer dan loo bedragen,

f de gierhosk ial niet meer dan

50

bedragen

9

de slingerhoelc ial 2O

of meer

kunnen

worden.

Nu ii 100 a 0,l75 rad, sIn 100 5 O1735, coi 10° a 0,98, Dus tot 100 kunnon w. zeggen ein aLf -r

coair= 1.

Ana].00gvoor 4.

-5-)

Yoor

200

sin

200 _ 0,3142

001

200

- 0,9140

20 0,349 rad (0 49)2

.120°uil-

II

.0,939,

du. $

sino1.

_lO2

COI

nocien sin 0( coso - I de serate benadering; d.ze geldt tot i?iut voldo.nd. nauwk.urigh.id in sin 01 01 coI Oc

s I

-d. tw..-d. b.na-d.ring, deis gsldt s.kcr tot 01

20.

De twee

_besa4,r1

veer

de foraulea 2 .i.t er dan ala voigt uit

(hierbij is voir alle hocken to.g.paat corn

0. -

I

r

eat ik .ni

zins inoons.quent

vmd).

X

1i._Ç

12

0i2

7

-I

I

'I,

_.91

Voor de hoekaniiheden vind.n wa

e+4

j

rs

- OP

Da fr1

b.QØ crini «oMti

*

1

4

7

-Z 4) 6

-d. hoekans]hsden

Pôj

r-

4 .1 Di b.w.ging.v.rg.lijking.n luidsas 2 2 2 a

z

_{i M}

_n

.

z

(8)

M is de .sa van bit schip.

In d RL stun do o*tbondsun van do krachten langi

u..

D bewsitni orn hit i.aart.punt goefti

A + (C B) qr

Z

(yZ - s!)

Bft+(A_C)rpui

(aX-xZ)

(9)

o

f

+ (B

A) pq - Z (z! - yX)

A i. hit hoofdtrugh.idsaorn.nt (sa Ox) au.

In bat RL atoan de resuitirends sosintan di. op hit sokip wirkan.

In hat g.val van de .ait.

b.nadsring worden di virgslijkingin$

M4s_Z*

_'>.1

3--(sX-xZ)

d2 It

M

°.ZZ

_J

dt

De .tjt.)çoAtjiij .r4t as ichool

D. langte sa van hit achip sackt sen bask c( act 6. riahting vains 4. golven lopin. D. positi. van hit sohip Ugt vast t.o.1v.

hit absslats auan.t.ls.l 8,

'

doer 4e coordinaten van

en de Bul.ns hocken y, O,

, welk. t.w.a. vnij-'

vil da hoiken voox' .tupsn, slingarin en gimen cija. Virg. lo

kun-nsa opg.lost wordarn indian de r.ebt.z'l.d.n uitg.drukt kunasa wordin

t.

' °

bun afgalsiden nzt,

-7-,

7

Op bet uohip wirken de

volg.nd. krachten:

.t gewickt

4. waterdruk

4e weerstand van bet water t.g.n b.w.ging.n.

D yolteids hiotk.ss wordt iia

D. druk di. op enig punt vs.0 hit ohespsoppsrlak uitgsosf.ztd wordt t. deulfd. dis in bet oorr..pond.z.nd. punt van de go].f

(dl.. trochohaal vsrond.retsld wordt) sou optrsdrnt.

flier Wordt du. 4e invlo.4 van bet cohip op de golf verwair.

hoed (Des. is trouwens niet te b.r.ksn.n). In esiste b.ntid.riug lieft d.c. hypothese asnh.iding tot 4. volg.nde .rking.n*

1) D. opusart.. kisoht die sin volua-slsaat atd.rvtndt ver houdt sich tot de inhoud xt3g als .ssrbij AK di .ingt. van 4. noruaci .n £0 de strani van 4. roloirkil van dis

tro-ohds is w.lks door hit ppervlak van bet bssakouwde .l.a.at

gast.

Di trocked. kan b.nad.r4 worden door ian

Ist syst.sa van de oppsrvlakkan van gshijke dick kas vsrvan werden door san etilici syhindrisahe opp.rvlakk.n .vsnwijdig san hit vrij. opp.rvlsk van hit watsi.

We sisen nu hit visk O san in hit viak van bit ongisteard. wateroppervisk.

\hi.rms. rlch.coa. h.r.and

N

H.t golfoppervisk is aus

-

r

ooa

2iUsr

T

w.rkelijks golfperiod. ala achip stil

ugt

T

_- aohijnbar. period, jadien _sohip vaart.

t wordt

gu.k.nd

vanaf 4. _{passage van}

_sin

hollow

door

de a 01

Nu ii A1

'211i5

dusi

1iroos2T(

- . (12)

Stl

(13)

¿ans

S1

_roos27t(41+s.iN?)

D.

nor.al

in hit punt

,

b.eft tot verg.lijkiags

1*

?2i_I,

D.

iohting.aosiauaaen

aiju

in opwa*rts riobting gerek.nd

Nu

iii

en

s

duas

oos(n

_-

c)1

.inU

- a

pltr

_La

271'r

_sinU

-

a

_''2

_r

_À2 A

en'.

15

coe(n

-27Cr/A 2ein U

i+1t2r2

_u

I

ooa(n

s1)

- -

--.

-

--r+

2Rr

À1

coa(n - - -i--- ein U

J

We berekenen

nu . Voor de grootate golfh.11ing 9 geidt

We kunnen met goede benadering

zeggen:

AC

AC'

-

Io

-y,

I

N.a.n we ioif act hoogt. h en lengt. i en i/h 20, dañ je

2 hR

i

A en h 2x' dus L..

i5

_aus 21Cr

27Cr

-(Xriioff z.gt dat dit veer grete goiven ong.ve.r i., koat

over-sen

et i/h

22).

Dit is klein van de le orde in vergelijking met onze andere

be-naderingen, kwadraten en

derde

machten

van

2

zijn due te

verwaar-losen, due

co.(nd)1)

2iVr

u

16

s

s

Verdir ii R Nu is:

AN R + r coo U R(1 +

W. krijgen nu de volgendi uitdrukking.nZpdv,

Hf3dv en Zpdv

voor di kracht die op dv wirkt t.p.v. ' ( te

onverschillig

i.v.a. de g.na.kte hpoth..e)

i

g(1 27tr _{U)oo. (n j1)} 4' _{g ein U}

E g(1 + co. U)oo.

2

Z g(i + _{coi U)cos (ni)} ..g(l + 111

₀₀₀

_U)

D. reaultanten worden:

g sin V dv

P,2

)fndv{rg[.inudv

19

(

fzdv

s

.'g3V + g j°

fao.

U dv

Bepaald

ao.ten du. word.0 ¿sin U dv en

coo U dv

daartoe

in xys uitdrukken. I.v.a. de richtingecosinuesen (6) krijgsn we:

+ X

yj+ .i,

-

10 -cos U) 1

'j0+x+yse1

20 I Duawordts

'

zJ

U

s 2T

₊

.2.)+(t +

- )+(L

_-

_{)+ +(f.} Nu sijn

42

en

42

kleiner dan en

De integralen

J

sin U dv en

f 008

U dv worden steeds ver-meuigvuldigd wet de factor w.lke klein io.

gel,nU

',18

/

s

Verdir worttt opgemerkt dat an

42

zek.r niet groter zijr&

dan en

4-.

Denken es one sin U en cae U in

e.0

reeks

onteik-'z _g

held en urasnigvuldigd ..t dan int.r.as.r.n in de uitkoast on. alleen 4. teraen di. grot.r of g.lijk mijn aan de cents orde, d.c... w. kunn.n in U direct 4. termin van de rste orde veglaten want dem. given bij v.raeuigvuldiging met asnielding tot ter-man van de tweeds orde.

W. n.aen dua'

U a 27C(u

₊

f

-2lrt

sin 13 - (sin

21x

A1 _A2 A1

iLL)001

z

-Coo.

___

005

___

-sin.

2flX j?Y)5j27tt

"2

008

13 a (ocs co. - min sin _{) co.}

A1

A2

+ c.

luz

+ . !Tx

QT7)

A1 _'1

Beschouwen we (19) dan is bet dus voldo.ude os de folgende

integra-Len te kennen: 'i

¡

21&x 2lzy COi

008

dv A1 12

fcoa.in2LZd,

_À2

13

fsinao.LLLav

i

a

J

sin sin dv

Dem. integralen strekkin mich uit over hit gshsl. ondergedompelde volume; dit volumi kan verdoeld worden in 2 tukk.n n.1. bet deple-aiment van hit sehip V en bet variabel. 4..]. V tussen de CWL en hit aoa.ntan. oppsxv1a van hit wat.r dus

De b.nsk.ning van de integralen is direct aogelijk.

12

A. Joe

Vo

4di

fui

«L

cos2Z'dv. I4zk051

dxf

dy = dx h ,

p

ir

f

A2 o

- 12

diJinL1

dxJ

oos

-dy

(27)

L is da halva L.ngte; h i. da di.pgang; y i. di

ordinast van hit op.

parviak bij da

000z'dinatn X an s.

D. integralmii

sin

2r

¿v sn

Jein 9x

_.

_{2f: dv}

sijn nul,

o*d..ts

7 cou

LLZ

f_

D. int.gral.n

(SO.

U dv in 'etn U dv xu]]en gem tersan van

di serata ords

given maar

alisan van 2e of 3. en hogar. orde, iva.we

O ais en Diarom wordt alisen

Vt berakand di.

in

voorkomt. Dit volune bs.ft b.trekking

op hat

diii van hit sohip dat viek bij de WL ugt.

De schaipawandan worden

daar varondarat.ld loodr.oht te sian du. sen oilindrjath echip (si.

da

publisatia ovar staspen). Hat volu*s tu*een hat vrije

vloai-itof opp.rvlak en de OWL (= viak roy) wor'dt nu berekend. Hat vrij.

oppaz'v].ak is t.ov. de IlLs

r oes U (ii. 14),

dus hit valuais

+L _+7o

V=Jdxfijd7

-L _7o

ordinaat van de OWL t.pv. x.

ordiniat van vrij. opperviak t.p.v. zy Yanaf *07

pos

naiv banedan, 'du. bij Vt)O seat

hat

-taken gebruikt

worden.

7

We coetin nu ein uitdrukking voor s

_{vinden. Er i.ldt$}

't -

X %p + 7

+ z

U

- 27

4

t

-

).('

toi)]

Substitu.r.n «

r aos U n e.tt.n we

i.p.v. z, dan

krijg.n we ten.lott.i

çXP+7ø't+Z1IPrCO.27t[(4*.+ 1*4+(.

+

&)(J.. -

r

8

act bihoud van di 1. orde teraan wordt diti

al *

+ Z4

-

+ r oca 271(t

+

f; -

(2k)

du. z

Vt

+L

a

_{_fdxf}

('i.

0+xq i.7

e1)dyi.rfdxfcoa2li

Yo +L

.L

.7

a L-

P1_r4°dxJf

OI

₀₁₂

1r('4).m.1n

2

*

_o"

_'p81'

f

21T

_{aoa2 W(-ì)}

A.2

fÌjn217nap2/rx OO.Up.

2ì21

_2Z

_eina1tt)dx

(sin

ein

*

_{8_}

)81..ra

_aoe2tt

-r b,,

sinL!.t

waarirt:

_{+ L}

S a

2jdz

_{opperviak CWL}

81 a

2jxy0dx

a

_{statiech zomint orn dwareeohespee as.}

a I

L.ja2!Ç/hI

00$

dx

z

)dx

einY' dz

(26)

1k

-(25)

14 -We krijg.n nut

!

R

viiItOF:

1t

J

Pi

__2:

zof.in U dv_2gp

f'

.A

i2it)

(27) e- psi.

g'

iOp r )jfl21 t) +

J

Pia krijg.n

flu aJs

bewegiugevergelijkingen

!

425k

21rr[B'CO.2t

-

_AsintPJ

_uRg

dt

!&

_!2t

_a

:

['21z.'t

-

A,.iut

j

dt

V

_d2

-

"

+ r(so0«.t.

(aooRit

+

We mullen nu di bswegingiv.zg.lijking.n voci' de

otatie at].i..

din. D. go..ntn di. in het RL voorkomen bestaan uit tw.e d.l.n,

u.].

di. afkometig van de watsrdruk en di. van d. waterw.retand.

D. .rat.n sijni

a

_-

mT)dv

X, Y u Z zijn de krachtù

in.x--,

j;

(eX xZ)4v

3

m-ikcitting

di. op can volume .1..

- p

f

(xY - yX)4v

J

m.ntje dv werken.

W. hadden de.. krachten al t.o.v. hit sbao]ut. aeminkruis (mi. 18)

24.t d gelineari.a.rd. cocinuisen van no. 6 krijg.n we van

i a

' + + a2Z

Y - b .+ b1E + b2Z de vóli.nde uitdruking.n

Z o + o1E + c2Z

z

Lggjn _L

g.in U + g(1 .

co. U)*e'

a 15

)

* 15

-r

g.in U-

geinU.g(1.s.

_couU)

z _2 iqsth U+

_cocU)

2

Alu aerate bsnadsring voigt hi.ruiti

2irr

de 1* orde).

A2

ijn klein van

I

Aj

29 2

J

I

dus:

'i

!fi 2r00

U)+ z(arr

fool)]

dv

*J7dv.&,f

mdv 2rf,o.su dv

fc

sin U dv (o)

V V

av

M1

_2r1

_U)-z(.'.l

27tr005 U)]

_dv

w1

*J[xeinu_

_dv

*Oifxdv_ 4f

dv3fIfx

ein U dv +

2 f7stnUdv32)

Ook hier meer de eplituing f .f +f

_{invoeren. We sien onmid41}

luk dat

'4'xdv.

O,

fydvui

_O,

¡mdv - aV0, a

_{GP' (afutand Otot}

drukkingepunt).

J0

V0

J'

mdv vermenigvuldiga met sen factor van de le orde van groot-te lev it 2e aids t.rasn en wordt du, verwaarloa.d.

,fxdv

wordt nu berekend met behuip van (24)

Nu is:

+L ₊₇ +L _+7o

f

z dv -

..fxdx f

(*0tx-yO1)dy

u.rfx

dmf

cou

2Tl'(-t-4)

dy

-L +y -L

- 16

a 03

00*

2+b.

ein

waarina

+L

j.,

-

2

Ix2r

dx - traagh.idaaom.nt CVL oa dwarssab.ep.e ai. -o

2y

ein o.,.

2g7

Jx.tn

Oein1dx.

L. 2 Zvineo i 0 +L +y Vt s.L +L

_+.

lt -

_dx.

¿f

_y.,coe ° + 3-;;sin 2

.jn2fl(-'

_+)dx

(bij de

uitw.rking to.paes.ns

coeuoos

a

_{.2Iin*(+13)sin+(._/3)}

ein

+.inß - 2.in4(+f3)oosf(O(./3)

Uiteohrijven van dez. vors ..fts

f

yv'.

O1K.,_r{(d.

s.

t(,

À2i).jfl2t

_(3k)

waurins

x0 -

.f7dx_

traagh.iduomeut CWL to.v. langeacheepee as.

-

L°

21ry0

2ir7.,

d1 coa

A2

en waren x'e.ds g.d.!inie.z4

-Q

D. integralen coi U dv worden al].e

v.z.nigvuldtgd

ist

4. )d.eine grootbed.n

Ï,

dasrom behoeven dez.

ints-gra]..n alisen b.rsk.nd te ordn voor bet integretieg.bied V0.

G.vond.n wordts g, _eL J'

XO0$UdTaJ4mJZdxfoo.2fl(-..--.)dy.

o

-L

-y

co.

+

lin

icD.;_

co

j

ysinU*v..Ic.;_:FA4;,)oOI2t4

siinU&v

F'

f

vo

f

V

o

I'' ''

-ve

w&mrins

h +L

z ein U dv.

y cas U dv

-Verdor i.:

h +L

V

2f fr

dxdz

col

Çt;

lin

sin

o -L

3

.ffx

sin

b .L

A htL

cl

-

g1

D

.4Ç7

òL

-4gIcm

sin

E1

-4th

+L *

I

sin

FI

o

¿L

71Y

p

A2 211 y

X2

2 ÏLY

sin

oca

¡fA

dx di.

lin

dxds.

I

co.

¶zx

dxdm.

I

sin

dx di.

I

00$

sin

dxds.

A1

o fL

n +L

aV - 2f ¡ ejd*ds.

o

fr.

D. gevonden waarden voor L1, M, n N

b.weging.vergelijkingen given nui

2tt

(D

2?

18 -(35) (36)

27t

(37) ).in 21Zt

r

(38) gssub.titu..rd in di COI CO.

429

A

1.(g[L1

J

I(g[_fyd,+ A1fzdv.. 21'flcc,UdV

+

dt

If V

:

ft

sin U dv

{_01K+r

(d.; ..b )coa&r_(C.;

t).i21tt}]

[*vJ_frog{D',i1')aos 27t

(c.;

+

-

18

?A

).ixiLf.t].

2f

pg

co.

2t]

rj

4201

A _

.Plf_9i(K0_aY0)+r(h.;oo.2t

+

{r(H'CO.Z1t

'

2

wwini

_A

g.;uo_4a

X

I

h1.d1-b0

V.rd.re vsr.envoudigtng krijgen w. door t. st.].3..ni

- 2?Z' _{- O de grootst. golfhelling P - gV0.} Samengenomen:

d0

s

aiz';']00.

alt

+ 429

PCr0) 0- pg

27cr

_.;}

co.

+ 4.(3 g

[.'!'li + x

G1

A2

I j

T

r

27T I

au-r

IP'

27

42 9

Ai-fr

waariu N.; *

r.-A

k

+frZi1

_+.,.G1

11j2ft

P(r0..&) OiR P(r

- a)

sinO(

(N.;

co.

+

j

r5

A

,i

a)Li ''Ti

a)

_-

4

G.; 4.

g.;]Ev.nto voorl I

girt t. en dt I +

* (g

+