Rozszerzona metoda oceny niepewności pośrednich pomiarów wieloparametrowych i układów do tych pomiarów. Część 1. Wpływ korelacji i niepewności funkcji przetwarzania – zależności podstawowe / PAR 3/2019 / 2019 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Aut

Zezwala się na korzystanie z artykułu na warunkach licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0

1. Wprowadzenie

W 1993 r. w międzynarodowym przewodniku wyznacza-nia niepewności pomiarów o angielskim akronimie GUM [1] wprowadzono nowe pojęcie „niepewność” do oceny dokładno-ści pomiarów. Pojawiła się wówczas niejednolitość z dotych-czas stosowanym opisem dokładności przyrządów, urządzeń i systemów pomiarowych przez błędy pomiarowe. Producenci aparatury pomiarowej podają nadal maksymalny dopusz-czalny błąd przyrządu MPE (ang. maximum permissible

error) [3]. Przy założeniu równomiernego rozkładu odchy-Autor korespondujący:

Zygmunt Lech Warsza, zlw1936@gmail.com

Artykuł recenzowany

nadesłany 14.08.2019 r., przyjęty do druku 27.09.2019 r.

Rozszerzona metoda oceny niepewności

pośrednich pomiarów wieloparametrowych

i układów do tych pomiarów

Część 1. Wpływ korelacji i niepewności funkcji przetwarzania –

zależności podstawowe

Zygmunt Lech Warsza

Sieć Badawcza Łukasiewicz – Przemysłowy Instytut Automatyki i Pomiarów PIAP, Al. Jerozolimskie 202, 02-486 Warszawa

Jacek Puchalski

Główny Urząd Miar, ul. Elektoralna 2, 00-001 Warszawa

Streszczenie:

Dwuczęściowa praca przedstawia dotychczasowe wyniki prac autorów dotyczące

wyznaczania niepewności pośrednich pomiarów wieloparametrowych. W niniejszej części 1.

omówiono zależność współczynnika korelacji dwu wielkości od względnego stosunku ich odchyleń

od estymatorów menzurandu o niepewnościach typów A i B oraz zależność macierzy kowariancji

pośrednio wyznaczanego menzurandu wyjściowego przy skorelowaniu wielkości menzurandu

wejściowego. Zaproponowano szerszy model matematyczny niż rekomendowany w Suplemencie

2 Przewodnika GUM. Uwzględnia on niepewności i korelację zarówno mierzonych wielkości

wejściowych jak i ponadto parametrów funkcji ich przetwarzania. Może służyć do oceny dokładności

nie tylko samych pomiarów wieloparametrowych ale i układów realizujących takie pomiary.

W części 2. zostanie omówiony przykład zastosowania modelu rozszerzonego do opisu pośrednich

pomiarów parametrów dwójnika poprzez czwórnik pasywny z uwzględnieniem niepewności

i skorelowania jego elementów.

Słowa kluczowe: pomiary wielowymiarowe, multimenzurand, propagacja wariancji, macierz kowariancji, niepewność, współczynnik korelacji, skorelowania odchyleń

o niepewnościach typów A oraz B, niepewności funkcji przetwarzania

leń od estymatora wartości mierzonej, z przedziału ± tego błędu wyznacza się odchylenie standardowe jako składową niepewności typu B pomiarów tym przyrządem.

Rekomendowana w Suplemencie 2 [2] do przewodnika GUM metoda wyznaczania niepewności pomiarów pośrednich wieloparametrowych powstała głównie z potrzeby jednolitego opisu dokładności pomiarów w obszarze miar i innych pomia-rów laboratoryjnych. Jednak dotyczy ona tylko przypadków, w których funkcję przetwarzania wyników tych pomiarów realizuje się obliczeniowo z dokładnością o niepewnościach zwykle pomijalnych w praktyce, czyli wystarczająco dokład-nie [5]. Metoda ta dokład-nie obejmuje wielu pośrednich pomiarów wieloparametrowych realizowanych całkowicie instrumen-talnie przez wyspecjalizowane wieloparametrowe przyrządy lub systemy pomiarowe. Ich dokładność zależy zarówno od niepewności i korelacji wielkości bezpośrednio mierzonych na wejściu, jak i od nierozpatrywanych dotychczas niepewno-ści parametrów układu realizującego funkcję przetwarzania pozyskiwanych danych oraz od parametrów torów przesyłu sygnałów. Pierwszy z autorów zainicjował w [8] opracowa-nie takiego rozszerzenia metody podanej w Suplemencie 2, aby za pomocą niepewności, można było jednolicie

szaco-wać dokładność wieloparametrowych pomiarów pośrednich wykonywanych zarówno kilkoma osobnymi przyrządami z obliczeniami realizowanymi zewnętrznie, jak i wyspecjali-zowanych zintegrowanych instrumentalnych układów i sys-temów pomiarowych realizujących w pełni cały proces tych pomiarów. Wpływ korelacji wielkości bezpośrednio mierzo-nych omówili autorzy szczegółowo [9–13]. Poniżej przedsta-wia się rozszerzoną metodę oceny niepewności, która w opisie dokładności wyników pośrednich pomiarach wieloparametro-wych uwzględnia zarówno niepewności i korelacje multimen-zurandu mierzonego na wejściu.

2. Podstawowy model matematyczny

pośrednich pomiarów

wieloparametrowych

Estymatory y₁, y₂, …, y_m wartości elementów (ang. observables) mierzonego pośrednio m-wymiarowego menzurandu Y = [Y₁,

Y₂, …, Y_m]T _{wyznacza się z estymatorów x}

1, x2, …, xn mierzonych bezpośrednio n-wielkości menzurandu X = [X₁, X₂, …, X_n]T _wg

ogólnego wzoru [2]:

Y = F(X) (1)

gdzie: F(X) – wielowymiarowa funkcja przetwarzania menzu-randu X w określonych warunkach wpływających na pomiary. W metodzie podanej w Suplemencie 2 przewodnika GUM funkcję F(X) traktuje się jako dokładną. Dotyczy to przypad-ków, gdy operacje przetwarzania wyników pomiarów X wyko-nywane są z odpowiednio dużą precyzją, np. na komputerze zewnętrznym lub też zastosowanym w systemie pomiarowym.

Niniejszy tekst dotyczy przetwarzania wyników pomiarów. Dalej będą więc stosowane estymatory x_i, y_j wartości X_i, Y_j

i = 1, ..., n, j = 1, ..., m parametrów metrologicznych elementów

menzurandów X, Y.

Niewielkie przyrosty ∆x_i i ∆y_j liczone jako odchylenia od esty-matorów x_i, y_j (dawniej zwane błędami pozornymi) powiązane są macierzową zależnością liniową wynikającą z różniczki zupełnej:

(2) gdzie: 1 1 11 1 1 1 1 , n n m mn m m n y y S S x x S S y y x x ∂ ∂      _∂ ∂ _  _{  }   ≡ _{=  }  _{  }   _{∂ ∂ }   _{∂ ∂}    S          _ czyli j ji i y S x ∂ = ∂ (2a)

Przyrosty ∆x_i i ∆y_j pojedynczych wartości elementów menzu-randów X i Y są liczbami mianowanymi. Natomiast przy opisie dokładności przyrządów i układów pomiarowych czułości S_ji, zdeterminowane i losowe odchylenia ∆x_i, ∆y_j oraz niepewności

u_xi, u_yj są funkcjami zależnymi od wartości x_i. Propagację niepew-ności w pośrednich pomiarach wieloparametrowych opisuje się łącznie dla wszystkich wielkości macierzowo. Z różniczki zupełnej wielowymiarowego równania (1) wynika zależność (3):

U_Y = S(X)·U_X (X)·S(X)T ₍₃₎

w której U_X, U_Y są macierzami kowariancji menzurandów

X i Y. Ich elementy wyznacza się dla estymatorów x_i i y_j wszystkich wartości X_i i Y_j obu menzurandów. Macierze te są następujące: 2 1 1 1 2 1 1 , x x n n xn xn xn x xn u u u u u u ρ ρ       =       X U      (3a) 2 1 1 1 2 1 1 . y y m y yn y m ym y ym u u u u u u ρ ρ       =       Y U      (3b)

Wariancje, jako kwadraty standardowych niepewności u_xi,

u_yj znajdują się na głównych przekątnych obu macierzy kowa-riancji, zaś współczynniki korelacji r_xik (i, k = 1, ..., n, i ≠ k) oraz r_yjl (j, l = 1, ..., m, j ≠ l) występują w wyrazach niediagonalnych symetrycznie względem tych przekątnych jako iloczyny z nie-pewnościami. Współczynniki te mają istotne znaczenie, gdy oszacowane wartości i niepewności menzurandu Y będą następ-nie użyte wspólnastęp-nie.

W opisie dokładności wielu przyrządów i układów pomia-rowych stosuje się też niepewności względne u_reli. Przyrządy cyfrowe i przetworniki o liniowej charakterystyce) mają stałą czułość S w całym zakresie pomiarowym (X_{i max} –X_i0 ). Moduł ich maksymalnego dopuszczalnego błędu MPE [3] można przedstawić jako sumę, tj.:

|Δ_Xi |_max = |Δ_{Xi 0}| _max + |Δ_{(Xi –Xi 0)}|_max º|Δ_{Xi 0}|_max + e_Si (X_i –X_i0). gdzie: X_i0 jest początkiem zakresu dla X_i; .

Przy założeniu równomiernego rozkładu odchyleń w prze-dziale ±|Δ_Xi |_max, z odchylenia standardowego wyznacza się dla przyrostów (X_i –X_i0) sygnału wyjściowego lub odczytu przyrządu lub kanału pomiarowego względną niepewność

.

Przez proste podstawienia w całym pomiarowym zakre- sie otrzymuje się dla niepewności równanie (4) podobne do (3) [6]:

U_dY = S_d(X)·U_dX(X) · S_d(X)T ₍₄₎ w którym ( ) j i i j y x x y ∂  ≡ _∂      S Xδ dla i = 1, …, n oraz j = 1, …, m, a U_dX, U_dY – to macierze kowariancji. Niepewności względne _i xi, x i u x δ = _i yj y i u y δ = znajdują się w tych samych miejscach w macierzach U_dX, U_dY jak niepew-ności bezwzględne u_xi, u_yj w macierzach U_X, U_Y. Można też niepewności bezwzględne odnosić do zakresu oraz stosować wzory niejednorodne, aby z nich, np. wyznaczać bezpośrednio niepewności względne lub vice versa.

W ogólnym przypadku pośrednich pomiarów wieloparame-trowych, poprzez przetworzenie danych pomiarowych wielkości

X_i jako elementówmenzurandu X, wyznacza się estymatory wartości y_j oraz estymatory ich niepewności u_yj i współczynni-ków korelacji r_yjl (j, l = 1, ..., m, j ≠ l) dla wszystkich elementów menzurandu Y. Otrzymuje się je po przetworzeniu wielokrotnie powtórzonych surowych wartości obserwacji pomiarowych

uzy-skanych w danych warunkach otoczenia przyrządów i otocze-nia obiektu mierzonego, stałych lub zmieotocze-niających się, w tym w określony sposób. Znane, niepożądane wpływy koryguje się przez poprawki. Tak skorygowane dane pomiarowe traktuje się już jako losowe i przetwarza się je statystycznie.

Dla przejrzystości dalszego wywodu przytoczy się pokrótce zasady oceny dokładności pomiarów wg przewodnika GUM [1]. Do tego celu służy niepewność rozszerzona U(P) o określo-nym prawdopodobieństwie pokrycia P, np. 95% lub 99%. Jest to połowa szerokości symetrycznego przedziału wokół estyma-tora wartości mierzonej, np. wartości średniej dla obserwacji w próbce. Jeśli funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa jest znana, np. funkcja Gaussa dla rozkładu normalnego, to nie-pewność rozszerzoną U wyznacza się analitycznie z odchylenia standardowego średniej z danych próbki i współczynnika roz-szerzenia k_P dla określonego P. Dla rozkładów danych pomiaro-wych otrzymywanych eksperymentalnie niepewność rozszerzoną

U wyznacza się numerycznie metodą Monte Carlo wg

Suple-mentu 1 do GUM.

Dla każdej wielkości mierzonej będącej elementem multimen-zurandu podstawą do wyznaczenia niepewności rozszerzonej

U jest wg GUM [1] niepewność standardowa u zdefiniowana

jako odchylenie standardowe rozkładu wypadkowego dla splotu dwóch statystycznie niezależnych rozkładów odchyleń od esty-matora wartości tej wielkości o standardowych niepewnościach typu A i typu B, oznaczonych odpowiednio jako u_A i u_B. Pierw-szy z tych rozkładów opisuje statystycznie rozrzut eksperymen-talnie otrzymanych wartości obserwacji pomiarowych. Drugi jest rozkładem hipotetycznym, który randomizuje przewidywane zmiany wyników różnego pochodzenia, czyli dodatkowe odchy-lenia, w tym zwykle stałe albo wolnozmienne w trakcie kolejnego eksperymentu gromadzenia wyników pomiarów, lecz nieznane co do wartości. Odchylenia te mogą pojawiać się jako losowe w dłu-gim okresie użytkowania przyrządu lub systemu pomiarowego wskutek przypadkowo zmiennych, ale dopuszczalnych warunków otoczenia, innych niż przy kalibracji przyrządu i w pomiarach kontrolnych oraz jako skutek zmian wewnętrznych parametrów. W modelu matematycznym zastosowanym w GUM [1] przy-jęto założenie, że zbiory wartości opisanych oboma rozkładami odchyleń typu A i B są nieskorelowane, gdyż tak zwykle jest w praktyce. Wówczas dla każdej wielkości mierzonej x_i standar-dowa niepewność u_i rozkładu wypadkowego jako ich splotu i jej składowe u_Ai i u_Bi jako odchylenia standardowe obu rozkładów,

są sumą geometryczną:

2 2

A B

i i i

u = u +u (5)

Estymator x_i wartości X_i i jego niepewność składową u_Ai wyznacza się statystycznie z próbki danych, np. jako wartość średnią dla rozkładu normalnego [1] lub inną dla znanych roz-kładów [7].

Niepewność składową u_Bi szacuje się zaś na podstawie subiek-tywnej wiedzy o przewidywanych zakresach i rozkładach wiel-kości wpływających oraz ich oddziaływaniach. Wprowadzenie

u_Bi jest równoznaczne z dodaniem zbioru dodatkowych odchy-leń. Niepewność u_Bi randomizuje spodziewane oddziaływania tych wpływów, których wartości bieżące w przeprowadzanych pomiarach nie są znane i brakuje informacji, aby obliczyć dla nich poprawki i skorygować wartość estymatora. W znanych warunkach pracy o ograniczonym zakresie zmian wielkości wpływających, można przyjąć mniejszą wartość niepewności składowej u_B niż to wynika z danych producenta dla pełnego zakresu dopuszczalnych warunków pracy przyrządu oraz bada-nego obiektu [4, 7].

W pomiarach wieloparametrowych, z danych pomiarowych wyznacza się niepewności u_Axi dla każdej z bezpośrednio mie-rzonych wielkości x_i menzurandu X. Dla danych mierzonych

zbyt gęsto uwzględnia się autokorelację [6] oraz szacuje się heu-rystycznie niepewności u_Bxi i oblicza się standardowe niepew-ności złożone u_i wg wzoru (5). Następnie tworzy się macierz kowariancji U_X. Rozrzuty wartości obserwacji dla każdego ele-mentu x_i zależą zarówno od wpływów warunków otoczenia na układ pomiarowy i obiekt badany, jak i od zmian parametrów wewnętrznych. Jeśli wielkości x_i multimenzurandu są skorelo-wane, to ich współczynniki korelacji wyznacza się z wyników synchronicznie poprowadzonych pomiarów lub z wiedzy o bada-nym procesie. Skorelowania występują dla zbiorów odchyleń opisanych niepewnościami tylko jednego typu: A bądź B. Ich współczynniki korelacji oznaczymy, podobnie jak niepewności składowe, odpowiednio indeksami dolnymi A i B. Elementy mul-timenzurandu wejściowego X w ogólnym przypadku mogą być w różnym stopniu skorelowane. Dotyczy to zarówno współczyn-nika r_A, jak i r_B. Wpływają one na dokładność wyników pomiaru elementów menzurandu wyjściowego Y wyznaczanych pośrednio z pomiarów X. Współczynniki korelacji r_A można wyznaczyć eksperymentalnie, jeśli poprowadzi się pomiary menzurandu X tak, by obserwacje mierzonych wielkości uzyskiwać synchronicz-nie i w znanych chwilach. Wyniki heurystycznych oszacowań niepewności typu B i współczynników korelacji r_B mogą być zróżnicowane, gdy mierzy się różne wartości, na różnych zakre-sach jednego miernika lub różnymi przyrządami pomiarowymi. W ocenie skorelowania odchyleń opisanych niepewnościami typu B trzeba w jak największym stopniu wykorzystać pozyskaną wiedzę o takich pomiarach i nawet, jeśli jest to celowe, wykonać też uzupełniające eksperymenty.

Wartości wyznaczanych pośrednio estymatorów y_i dla wiel-kości Y_i (obserwabli) menzurandu Y oraz macierz kowariancji

U_Y z niepewnościami i współczynnikami korelacji uzyskuje się ze wzorów (1)–(4). Rozważania na przykładzie menzurandu 2D (n = m = 2) przedstawiono w kolejnym rozdziale.

3. Skorelowane pomiary 2D

Pomiary dwuelementowego (2D) menzurandu X = [X₁, X₂] są szczególnym przypadkiem pomiarów wieloparametrowych opisywanych ogólnie wzorami (1)–(4). Stosuje się je, gdy kilka wielkości mierzonych jest ze sobą powiązanych w obiek-cie pomiarowym lub przez oddziałujące na nich wielkości zewnętrzne. W pomiarach dwuparametrowych (2D) niepew-ności dwu wielkości X₁ i X₂, oznaczone jako u_x1 i u_x2 są sumami geometrycznymi niepewności składowych typu A i B opisa-nymi równaniami: 2 2 2 1 1 1 x A B u =u +u (6a) 2 2 2 2 2 2 x A B u =u +u (6b) W ogólnym przypadku wyniki pomiarów X₁, X₂ mają różne wartości niepewności u_1A i u_2A oraz u_1B i u_2B. Jeśli eksperymenty te odbywają się w jednakowych lub podobnych warunkach wpły-wających, to wielkości mierzone X₁, X₂ mogą być skorelowane. Zbiory wartości ich odchyleń opisane niepewnościami składo-wymi każdego typu, tj. u_1A, u_2A oraz u_1B, u_2B, mogą być wów-czas powiązane ze sobą współczynnikami korelacji o wartościach 1 > r_A > –1 oraz 1 > r_B > –1. Przykładem jest tu skorelowanie napięć i prądów mierzonych dla tego samego obiektu, w tych samych warunkach i przy zasilaniu z niestabilizowanej sieci elek-trycznej.

Niepewności i skorelowania odchyleń wielkości x_1, x₂ menzu-randu 2D ilustruje rys.1.

Aby w pomiarach 2D wyznaczyć standardowe niepewności u_y1,

u_y2 i współczynnik korelacji r_y1,2 wykorzysta się macierzowy zapis prawa propagacji wariancji (3) lub (4). Jeśli wnioski z pomiarów mają dotyczyć warunków badania oraz użytkowania obiektu

innych niż podczas kalibracji przyrządu, to oprócz niepewności standardowych u_1A, u_2A, wyznaczonych z bieżących rozrzutów wartości obserwacji, trzeba też uwzględnić przewidywane zmiany niepewności u_1B, u_2B.

Macierz kowariancji wg wzoru (3a) dla menzurandu 2D ma następujące postacie:

(7)

Z ostatniej postaci macierzy U_x1,2 we wzorze (7) wynika, że można ją przedstawić jako sumę

U_x1,2 = U_x1,2A + U_x1,2B (7a) Na głównej przekątnej macierzy U_x1,2 występują niepew-ności zgodne z regułą sumowania wariancji wg (6a) i (6b), czyli dla kwadratów niepewności typu A i typu B obu mie-rzonych wielkości.

Współczynnik korelacji między wielkościami x₁ i x₂ opisują wzory (9): 1 2 1 2 1 2 1 2 1,2 _{2 2 2 2} 1 2 1 2 1 1 2 2 . A A A B B B A A A B B B x x x x x A B A B u u u u u u u u u u u u u u u u ρ ρ ρ ρ ρ = + = + + + (8)

Jeśli dla stosunków niepewności składowych i standardowych

u_x1, u_x2 przyjmie się oznaczenia:

1 2 1 2 1 2 0 B 1, 0 B 1 B B x x u u k k u u ≤ ≡ ≤ ≤ ≡ ≤

to z wzorów (6a, 6b) otrzymuje się

2 1 1 1 1 1 , A A B x u _{k k} u ≡ = − (9a) (9b) Powyższe stosunki niepewności spełniają warunek

2 2 2 2 _{1, 1, 2} iB iA iB iA xi xi u u _{k k i} u u     + = + = =        

Zaś po przekształceniach otrzymuje się prostszą postać wzoru (8)

2 2

1,2 1 1 1 2 1 2 .

x A kB kB Bk kB B

ρ = ρ − − +ρ (10)

Rys. 1. Niepewności składowe menzurandu 2D i współczynniki korelacji: ρA oraz ρB między zbiorami odchyleń obserwacji pomiarowych obu wielkości o niepewnościach uA oraz zbiorami odchyleń o niepewnościach uB szacowanych heurystycznie

Fig. 1. Uncertainties of type A and B of the 2D measurand and correlation coefficient ρA – between sets of observed data deflections of uncertainties

uA and ρB – of heuristic deflections uB

Rys. 2. Zależności współczynnika korelacji dwu wielkości ρy1,2 = f(k1B, k1B) dla trzech współczynników korelacji ρA, ρB składowych ich odchyleń o niepewnościach typu A lub B

Fig. 2. Relations of correlation coefficient of two quantities ρy1,2 = f(k1B, k1B) for three pairs of correlation coefficients ρA, ρB of their deviation components with uncertainty type A or B

Zależności współczynnika korelacji

(

2 2

)

1,2 1 , 2

y f k kB B

ρ = dla

róż-nych wartości par współczynników r_A, r_B przedstawione są na rysunku 2. Są to skośnie przebiegające i przecinające się płasz-czyzny krzywoliniowe. Z analizy w [9 -13] wynika, że największą wartość współczynnika r_y1,2 w całym zakresie k_1B ma krzywa o r_A = 1, r_B = 1, gdy k_1B = k_2B. Zbadano też rzadziej występu-jące w praktyce pomiarowej przypadki o ujemnych współczyn-nikach korelacji r_A < 0, r_B < 0.

Korelacja między wynikami pomiarów dwu skojarzonych wielkości, w tym tej samej wielkości mierzonej dwoma różnymi miernikami lub na dwóch różnych zakresach, czyli o różnych nie-pewnościach u_B, zależy od wartości tych niepewności. Jest ona tym większa, im większa jest niepewność pomiaru typu B w sto-sunku do niepewności typu A wyników wielkości mierzonych.

4. Niepewności składowe menzurandu

wyjściowego

Y

Przy stosowaniu przyrządów i układów pomiarowych w róż-nych warunkach otoczenia i przy różnym losowym rozrzucie obserwacji pomiarowych może być niezbędne wyodrębnienie wartości niepewności składowych u_A i u_B dla wielkości Y_i men-zurandu wyjściowego Y oraz współczynników skorelowania r_A, r_B dla par odchyleń tych wielkości. Przedstawi się to na przy-kładzie 2D menzurandu X = [X₁, X₂]T _{o postaciach macierzy}

U_x1,2 wg (7), tj. dla 2 1 1,2 1 2 1,2 ₂ 1,2 1 2 2 x x x x x x x x x u u u u u u ρ ρ     =     U gdzie: 2 2 2 1 1 1 , x A B u =u +u 2 2 2 2 2 2 , x A B u =u +u 1 2 1 2 1,2 1 2 . A A A B B B x x x u u u u u u ρ ρ ρ = +

Składowe macierze kowariancji U_x12A, U_x12B wg (7a) dla zbio-rów odchyleń wielkości wejściowych o niepewnościach u_iA oraz

u_iB (i = 1, 2) wynoszą odpowiednio: 2 1 1 2 12 ₂ 1 2 2 A A A A x A A A A A u u u u u u ρ ρ     =     U (11a) 2 1 1 2 12 ₂ 1 2 2 B B B B x B B B B B u u u u u u ρ ρ     =     U (11b)

W ogólnym przypadku w pomiarach wieloparametrowych o dowolnej liczbie n wielkości mierzonych i m wielkościach pośrednio wyznaczanych, macierze kowariancji U_X i U_Y można przedstawić jako dwie sumy:

U_X = U_XA + U_XB (12a)

U_Y = U_YA + U_YB (12b) Składniki obu macierzy kowariancji znajduje się po lineary-zacji funkcji Y = F(X) przez macierz S wg wzorów (uprosz-czono zapis S i U_X, nie podkreśla się możliwości występowania zależności od X): T = A Y XA U SU S (12c) i ₌ T B Y XB U SU S (12d)

Macierz kowariancji U_Y menzurandu wyjściowego można wyznaczać dwojako, tj.:

− oszacować, jak poprzednio U_X = U_XA + U_XB i z niej bezpośrednio otrzymać U_Y (rys. 3a) lub

− najpierw wyznaczyć z macierzy U_XA i U_XB wyjściowe macierze składowe U_YA i U_YB (rys. 3b).

Otrzymuje się:

(13) (14)

Rys. 3. Schematy przetwarzania niepewności w wieloparametrowych pomiarach pośrednich i dwa sposoby a, b wyznaczania wyjściowej macierzy kowariancji UY i jej macierzy składowych UYA, UYB wg macierzowego prawa propagacji wariancji

Fig. 3. Schemes of uncertainty processing in multi-parameter indirect measurements and two methods: a, b for determining the output covariance matrix UY and its component matrixes UYA, UYB according to the matrix law of variance propagation

Oba sposoby są równoważne. Sprawdzono to numerycznie dla modelu o 2D menzurandach X i Y.

Z macierzy jako składników macierzy U_Y we wzorze (14) można wyznaczyć niepewności składowe elemen-tów menzurandu wyjściowego i współczynniki korelacji zbiorów odchyleń każdego z typów A i B. Na przykład dwuelementowy menzurand wyjściowy Y ma macierz kowariancji

2 2 1 1 1 2 1 2 1,2 _{2 2} 1 2 1 2 2 2 . y A y B yA y A y A yB y B y B y yA y A y A yB y B y B y A y B u u u u u u u u u u u u ρ ρ ρ ρ  + +    =  _{+ +}    U (15) Tę macierz można podzielić na następujące macierze skła-dowe typu A i B:

(16) Na rysunku 3 podano schematy a i b przetwarzania niepewno-ści wejniepewno-ściowych i wyznaczania wyjniepewno-ściowej macierzy kowariancji jako sumy jej macierzy składowych wg macierzowego prawa pro-pagacji wariancji w pomiarach pośrednich wieloparametrowych. Ogólnie w tych pomiarach macierz kowariancji jest sumą prze-twarzanych oddzielnie macierzy kowariancji odchyleń wielkości wejściowych o niepewnościach A i B.

Przykład.Niepewności menzurandu 2D w postaci sumy i róż-nicy wielkości X_1, X₂ T 1 1 2 1 2 2 1 1 = . 1 1 X X X X X X           ⋅ = =_ + − _  ₋        Y S X (17)

Z zależności (3), (6a, b) i (8) wynika, że dla estymatorów

x₁, x₂ o parametrach typu A wyznaczonych z pomiarów oraz typu B wyznaczonych heurystycznie otrzymuje się:

(1 2)

(

)

2 0 2 A 1A 2A B 1B 2B x x u + = u + ρ u u +ρ u u (18) (1 2)

(

)

2 0 2 A 1A 2A B 1B 2B x x u ₋ = u − ρ u u +ρ u u (19) gdzie: 2 2 2 2 2 0 1A 1B 2A 2B u =u +u +u +u oraz (1 2 1 2) 1 2 1 2 2 2 1 2 , x x x x x x x x x x u u u u ρ + − + − − = (20)

Rozpatrzone zostaną cztery przypadki szczególne wzorów (18) i (19):

a. Współczynnik korelacji wielkości wejściowych r_x1,2 = 1, gdy r_A = 1, r_B = 1 i 1 2 1 2 . A A B B u u u =u Wówczas: (1 2) 2 2 2 0 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 x x u + = u + u u = u +u + u u =u +u (1 2) 2 2 2 0 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 x x u − = u − u u = u +u − u u = u −u

Przy uwzględnieniu całkowitej korelacji wielkości mierzonych, z geometrycznego sumowania niepewności otrzymuje się proste zależności algebraiczne, tj. dla sumy tych wielkości sumę ich niepewności, a dla różnicy – moduł różnicy tych niepewności. b. Nie ma skorelowania między x₁, x₂, tj. r_x1,2 = 0

Niepewności sumy i różnicy są jednakowe i wynoszą

(x x1 2) (x x1 2) 0.

u + =u − =u

c. Odchylenia o niepewnościach u_1A, u_2A nie są skorelowane gdy (r_A = 0; 1 > r_B ≠ 0) (1 2) 2 0 2 B 1B 2B, x x u + = u + ρ u u (1 2) 2 0 2 B 1B 2B. x x u ₋ = u − ρu u

Niepewność sumy wielkości wejściowych jest większa niż poprzednio i osiąga maximum dla r_B = 1. Zaś dla różnicy tych wielkości niepewność jest wówczas najmniejsza. d. Pomiary obu wartości x₁, x₂ wykonuje się tym samym, lub

zbliżonym przyrządem albo czujnikiem i w tych samych warunkach. Wówczas współczynnik korelacji r_B → 1 i można przyjąć r_B = 1. Wartości obserwacji nie są skorelowane (r_A = 0). Wypadkowe niepewności u_B sumy i różnicy wynikają wówczas z kwadratów dwumia-nów (u_1B ± u_2B) i należy stosować następujące wzory

(1 2)

(

)

2 2 2 1A 2A 1B 2B , x x u ₊ = u +u + u +u (1 2)

(

)

2 2 2 1A 2A 1B 2B . x x u − = u +u + u −u

Podobne postacie wzorów otrzymuje się dla niepewności względnych iloczynu i ilorazu x₁, x₂.

Z eksperymentalnych danych pomiarowych wyznaczyć można jedynie współczynnik korelacji r_A. Uzyskuje się go z wartości synchronicznie pobieranych obserwacji pomiarowych dwu wielko-ści x₁, x₂ w stałych warunkach wpływających. Jeśli takich pomia-rów nie wykonano, lub nie są one możliwe, to należy przyjąć, że zbiory odchyleń obu wielkości mierzonych mają najbardziej niekorzystny przypadek współczynnika korelacji r_A, tj. dający największą niepewność składową.

Oszacowanie wartości współczynnika r_B jest heurystyczne i opiera się głównie na wiedzy oraz subiektywnym doświadczeniu wykonującego pomiary. Gdy brakuje informacji jak oszacować liczbowo jego wartości, należy przyjmować najbliższą z wartości krańcowych 1, 0, –1.

5. Model pomiarów

n

-parametrowych

rozszerzony o wpływ niepewności

funkcji przetwarzania

U

_P

≠ 0

5.1. Ogólny przypadek skorelowania

W ogólnym przypadku estymatory wartości, niepewności i współczynników korelacji elementów y_j mierzonego pośrednio wieloparametrowego menzurandu Y zależą też od niepewności parametrów p_i układu realizującego wielowymiarową funkcję przetwarzania F(X). Parametry tego układu można opisać

ogól-nie k-wymiarowym wektorem P. Mogą one podlegać zmianom deterministycznym i losowym w zależności od warunkach pomia-rów, użytych egzemplarzy przyrządów i zastosowanej procedury pomiarowej. W każdym z eksperymentów pomiarowych reali-zacje funkcji F(X) mogą odbiegać od jej postaci znamionowej. Opisuje to zmodyfikowane ogólne równanie (1) dla wartości menzurandu Y oraz równanie (22) dla jego przyrostów:

Y = F(X, P) (21) ∆Y = ∆F(X, P) = S_X,P·[∆X, ∆P]T ₍₂₂₎

gdzie: S_X,P o wymiarze [m ×(n+k) ] jest macierzą linearyzu-jącą funkcję (21).

Dla przetwarzania danych pomiarowych wg funkcji (21) prawo propagacji wariancji ma postać ogólną:

T

, = , ⋅ , ⋅S ,

Y P X P X P X P

U S U (23) gdzie U_X,P, U_Y,P – wyjściowa i wyjściowa macierze kowariancji oraz macierz wrażliwości S_X,P.

Macierz czułości S_X,P ze wzoru (23) linearyzująca funkcję

F(X, P) spełnia zależności: , =   X P P S S S (23a) T T , _T     =     X P P S S S (23b)

Zrandomizowane odchylenia od estymatorów wartości elemen-tów menzurandu wyjściowego Y powstają jako wynik sploelemen-tów rozkładów odchyleń menzurandu X i odchyleń parametrów P układu realizującego funkcję F(X, P). Ich macierze kowarian-cji sumują się.

Macierz kowariancji U_Y wynika z linearyzacji funkcji Y =

F(X, P) i w ogólnym przypadku opisana jest następującym

równaniem propagacji:

(24)

w którym:

• macierze czułości odpowiednio o rozmiarach: S [m × n] i S_p[m × k], tj.: 1 1 1 1 n m m n y y x x y y x x ∂ ∂  _{∂ ∂}      =     ∂ ∂   _{∂ ∂}    S      (24a) (24b)

• macierze kowariancji wielkości wejściowych o rozmiarze [n × n] i parametrów układu [k × k] 2 1 1 1 2 1 1 , x x n n xn xn xn x xn u u u u u u ρ ρ       =_{ }     X U      (24c) 2 1 1 1 2 1 1 . p p k p pk k pk p pk u u u u u u ρ ρ       =_{ }     p U      (24d)

gdzie u_pi – niepewności parametrów układu przetwarzającego; r_pij , (i ≠ j, i, j = 1, ..., k) – współczynniki korelacji miedzy nimi, • macierz „kowariancyjna” korelacji między wielkościami

wej-ściowymi X i parametrami P układu przetwarzającego o roz-miarze [n × k] 1 1 1 1 1 1 1 1 . x p x p x pk x pk xnp xn p xnpk xn pk u u u u u u u u ρ ρ ρ ρ       =       U      (24e)

gdzie r_xipj (i = 1, ... , n, j = 1, .., k) – współczynniki korelacji wielkości wejściowych i parametrów układu,

Po wprowadzeniu oznaczenia ₌ T P

V SUS oraz przekształce- niach T₌

(

T

)

T₌

( )

T₌ T T

P p p

V SUS S US S U S równanie (24) przyjmuje prostszą postać:

T T T

= + + +

Y X p p p

U SU S S U S V V (25)

5.2. Przypadek nieskorelowanych wielkości

wejściowych z parametrami układu

przetwarzania

Rozpatrzymy przypadek prostszy, często występujący w prak-tyce pomiarowej, w tym w diagnosprak-tyce technicznej schematów elektrycznych, gdy odchylenia mierzonych wielkości X oraz odchylenia parametrów P układu przetwarzającego pomiary nie są ze sobą skorelowane (np. znajdują się w innych miej-scach i oddziaływania wielkości zewnętrznych wpływających na każde z nich nie są ze sobą powiązane). Wówczas V = VT

= 0 i rozszerzona macierz kowariancji menzurandu wejścio-wego U_X,P o wymiarze [(n + k) × (n + k)] ze wzoru (24) ma dwa bloki równe 0, tj.:

[ ] [ ]     =     0 0 X X,P p U U U (26)

gdzie przez U_X, U_P oznaczono odpowiednio macierze kowarian-cji wielkości wejściowych X o wymiarze [n × n] i parametrów

P układu o wymiarze [k × k].

Dla niewielkich przyrostów otrzymuje się

gdzie macierz S o wymiarze [m × n] i macierz S_P o wymiarze [m × k] wynikają z linearyzacji funkcji F(X, P) odpowiednio po zmiennych wejściowych w punkcie X i po parametrach układu.

Obie macierze kowariancji U_X i U_P są symetryczne, a odchy-lenia elementów typu A każdej z nich w ogólnym przypadku mogą ze sobą korelować niezależnie od skorelowania odchyleń z niepewnościami typu B.

Równanie propagacji wariancji, dla U_X,P wg (26) przyjmuje postać T T T T [ ] [ ]           =_{ }⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅         0 0 X Y,P P X P P P P P U S U S S S U S S U S U S (28) Podobną postać macierzy kowariancji otrzymuje się dla nie-pewności względnych, tj.:

T T

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Y,P P P P

Uδ S U Sδ δ δ Sδ Uδ Sδ (29)

W przypadku pomiarów pośrednich wieloparametrowych, gdy parametry układu P i wielkości mierzone X nie są skorelowane, wzór (26) upraszcza się do postaci (28) i z niego wynika wzór (29) dla niepewności względnych. Wyjściowa macierz kowarian-cji U_Y,P staje się wówczas sumą tylko dwu wyrażeń. Pierwszy składnik zależy od niepewności menzurandu wejściowego X tak, jak w ujęciu klasycznym wg GUM-S2 [2]. Drugi składnik dotyczy niepewności i współczynników korelacji parametrów P układu realizującego funkcję przetwarzania F(X, P).

Wyznaczanie macierzy kowariancji U_Y,P menzurandu wyjścio-wego Y należy przeprowadzać osobno dla odchyleń opisanych niepewnościami typu A i typu B. Dla niepewności bezwzględ-nych otrzymuje się wówczas wzór:

(30) oraz dla niepewności względnych – wzór (31):

(31) Stosowanie wzorów (29) i (30) ma dodatkową zaletę dla pomiarów tym samym układem w różnych warunkach wpływa-jących. Wystarczy jedynie odpowiednio dostosować macierze

U_XB, U_PB opisujące niepewności typu B.

6. Podsumowanie części 1.

Opracowano model matematyczny opisu propagacji niepew-ności w pomiarach pośrednich wieloparametrowych i opisu niepewności układów realizujących takie pomiary. Jest to roz-szerzenie modelu rekomendowanego w Suplemencie 2 GUM [2]. Uwzględnia on zarówno niepewności jak i skorelowanie wielko-ści mierzonych na wejwielko-ściu oraz parametrów wielowymiarowej funkcji przetwarzania.

Estymatory wartości wielkości wyjściowych są takie, jak w Suplemencie 2, gdyż wynikają ze wzoru (1). Natomiast nie-pewności i współczynniki korelacji wyznaczanych pośrednio wiel-kości wyjściowych jako elementów menzurandu Y opisane są nową macierzą kowariancji U_YP i w ogólnym przypadku są inne.

W ogólnym przypadku, gdy funkcja przetwarzania realizowana jest w układzie pomiarowym obarczonym niepewnościami otrzy-mano czteroskładnikowe równanie (24) dla wyjściowej macie-rzy kowariancji. Jeśli parametry funkcji przetwarzania nie są

zależne i nie są skorelowane z wartościami wielkości mierzonych na wejściu układu, otrzymuje się prostsze dwuskładnikowe rów-nanie macierzy kowariancji dla niepewności bezwzględnych (28) i jego wariant (30) z wydzielonymi macierzami dla odchyleń typu A i B. Pierwszy składnik jest taki jak w Suplemencie 2 [2] Przewodnika GUM. Równania wyjściowej macierzy kowarian-cji (29) i (31) otrzymane dla niepewności względnych mają też podobną strukturę.

W części 2. artykułu zostanie przedstawiony przykład ilu-strujący zastosowanie rozszerzonej metody do wyznacza-nia niepewności pomiarów pośrednich wieloparametrowych z uwzględnieniem niepewności i korelacji parametrów P układu realizującego funkcję przetwarzania. Będą to często występu-jące w pomiarach przemysłowych i w diagnostyce technicznej, pomiary za pośrednictwem układu o strukturze czwórnika. Część 2. będzie zawierać też wnioski końcowe.

Bibliografia

1. JCGM100:2008, Evaluation of measurement data – Guide to the expression of uncertainty in measurement.

2. JCGM102:2011, Supplement 2 to the ‘GUM – Extension to any number of output quantities‘.

3. EA-4/02 M: 2013 Wyznaczanie niepewności pomiaru przy wzorcowaniu (Evaluation of the Uncertainty of

Measure-ment in Calibration).

4. Dorozhovets M., Warsza Z.L., Udoskonalenie metod

wyzna-czania niepewności wyników pomiaru w praktyce. „Przegląd

Elektrotechniki”, Nr 1, 2007, 1–13.

5. Warsza Z.L., Ezhela V.V., Zarys podstaw teoretycznych

wyznaczania i numerycznej prezentacji wyników pomia-rów pośrednich wieloparametrowych. „Pomiary Automatyka

Kontrola”, Vol. 57, Nr 2, 2011, 175–179.

6. Warsza Z.L., Zięba A., Niepewność typu A pomiaru o

obser-wacjach samo-skorelowanych. „Pomiary Automatyka

Kon-trola”, Vol. 58, Nr 2, 2012, 157–161.

7. Warsza Z.L., Metody rozszerzenia analizy niepewności

pomiarów. Monografia, Oficyna Wydawnicza PIAP,

War-szawa 2016.

8. Warsza Z.L. Part 1; Warsza Z.L., Puchalski J., Part 2, Mat. Konf. (CD): Problems and Progress of Metrology, ppm ’18 Szczyrk 04–06 June 2018 r. Series: Conferences No. 22, Metrology Commission of Katowice Branch of the Polish Academy of Science, ISBN 978-83-7880-541-0.

9. Warsza Z.L., Puchalski J., Udoskonalona metoda

wyznacza-nia niepewności w pomiarach wieloparametrowych. Część 1. Podstawy teoretyczne dla skorelowanych wielkości mie-rzonych. „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 23, Nr 1, 2019, 47-58, DOI: 10.14313/PAR_231/47.

10. Warsza Z.L., Puchalski J., Udoskonalona metoda

wyzna-czania niepewności w pomiarach wieloparametrowych. Część 2. Przykłady pomiarów wielkości skorelowanych, „Pomiary Automatyka Robotyka”, R. 23, Nr 2, 2019, 29-37, DOI: 10.14313/PAR_232/29.

11. Warsza Z.L., Puchalski J., Vector method of estimation the

uncertainties of correlated multi-measurands. Proceedings

(Conference Digest) of Quantum and Precision Metrology QPM 2019 Conference Krakow, Poland, 17-19 June 2019, ISBN 978-83-939486-5-9 SIV 4.

12. Warsza Z.L., Puchalski J., Wektorowa metoda wyznaczania

niepewności w pomiarach wieloparametrowych o skorelowa-nych składowych typu A oraz B menzurandów, „Przemysł

Chemiczny”, Nr 7/2019, 1061–1068.

13. Warsza Z.L.,Puchalski J., Niepewność wieloparametro-wych pomiarów wielkości skorelowanych. Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdań-skiej, Nr 65, 2019, 101-108.

dr inż. Jacek Puchalski

j.puchalski@gum.gov.pl

Absolwent Wydziału Fizyki Tech-nicznej i Matematyki Stosowanej (1986 r.) oraz Wydziału Elektro-niki (1988 r.) PolitechElektro-niki Warszaw-skiej. W latach 1987–1995 asystent na Politechnice Warszawskiej, w 1995 r. obronił pracę doktorską. Kolejne 10 lat pracował w branży nowych tech-nologii w firmach produkujących i importujących kasy rejestrujące.

Przygotowywał i uczestniczył w certyfikacji nowych modeli kas w Minister-stwie Finansów oraz prowadził szkolenia i serwis urządzeń fiskalnych. Od 2006 r. pracuje w Głównym Urzędzie Miar. Zajmował się zatwierdzeniem typu i oceną zgodności taksometrów elektronicznych i mierników prędkości w ruchu drogowym, a obecnie jako główny metrolog rozwija metody mate-matyczne szacowania niepewności pomiarowych.

doc. dr inż. Zygmunt Lech Warsza

zlw1936@gmail.com

Absolwent Wydziału Elektrycznego Politechniki Warszawskiej 1959, dok-torat 1967, docent od 1970. Praca: Instytut Elektrotechniki 1958–1963 i 1994–1995, Politechnika Warszawska 1960–1970, Politechnika Świętokrzyska 1970–1978 (organizator i dziekan Wydziału Transportu w Radomiu), Orga-nizator i kierownik: Ośrodka Aparatury Pomiarowej w Instytucie Meteorologii

i Gospodarki Wodnej 1978–1982 oraz Zakładu Automatyzacji i Pomiarów w Instytucie Chemii Przemysłowej 1983–1992. Doradca Ministra Edukacji Narodowej 1992–1995, Politechnika Radomska 1983–2002. Obecnie główny specjalista w Przemysłowym Instytucie Automatyki i Pomiarów PIAP. Autor ponad 340 publikacji, 6 monografii, kilkudziesięciu prac badawczych i kon-strukcyjnych, 11 patentów oraz promotor 2 doktorów. Prezes Polskiego Towa-rzystwa Metrologicznego. Członek stowarzyszenia PolSPAR oraz Akademii Metrologii Ukrainy.

Abstract:

In the part 1 of article, the current results of the work are briefly presented regarding

the impact of correlations in sets of deviations from estimators of directly measured quantities with

uncertainty of types A and B on the accuracy of indirectly determined parameters of output

multi-memeasurands. An extended mathematical model of the method contained in Supplement 2

of the GUM Guide was presented. This new extended model takes also into account

the uncertainties of the processing function in multiparameter measurements and can also be

used to describe the accuracy of instruments and systems that perform such measurements.

Part 2 presents examples of using the extended method to describe intermediately measured

parameters of a two-terminal net through a four-terminal network, considering the uncertainties of

its elements.

Keywords: multivariate measurements, multimeasurand, propagation of variances, covariance matrix, vector propagation of uncertainties, correlation coefficient,

correlations of deviations of type A or type B, uncertainties of processing function

Extended Method for Evaluation Uncertainties of Indirect

Multi-Parameter Measurements and of Circuits for these

Measurements

Part 1. Influence of Correlation and Uncertainties of Processing Function –

Basic Formulas