Znajdowanie najkrotszych drog najnizszych drzew

ZNAJDOWANIE NAJKRÓTSZYCH DRÓG oraz

NAJNIŻSZYCH i NAJKRÓTSZYCH DRZEW

WSTĘP DO OBLICZEŃ NA GRAFACH

Maciej M. Sysło

Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu

syslo@ii.uni.wroc.pl

2

Algorytm, algorytmika

Algorytm

– opis rozwiązania krok po kroku postawionego

problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu

Pierwszy algorytm –

algorytm Euklidesa

300 p.n.e

algorytm

od

Muhammad

ibn Musa al-Chorezmi

IX w.

Algorytmika

– dziedzina zajmująca się algorytmami i ich

własnościami

Algorytmy a informatyka

Informatyka –

jedna z definicji:

dziedzina wiedzy i działalności

zajmująca się algorytmami

Donald E. Knuth:

Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś,

zanim nie nauczy tego – kogoś innego.

W rzeczywistości,

człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę,

zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera.

Ralf Gomory (IBM):

Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów

jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami)

Grafy i algorytmy

Plan:

• Przykłady pojawiania się grafów

– siatki wielościanów

– mosty królewieckie – figury jednobieżne – malowanie map

– drzewa w informatyce – sieci dróg

– cykle Hamilton

• Przykłady trudnych problemów

– szukanie trasy objazdu

• Problemy, które mają efektywne algorytmy

– szukanie najniższych drzew – krótkich kodów – komputerowe reprezentacje grafów

– problemy najkrótszych dróg – problem najkrótszego drzewa

Grafy – przykłady występowania – wielościany

informatyka +

6

Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów:

Podał zależność między liczbą wierzchołków. krawędzi i ścian w wielościanach Spłaszczony sześcian Ściany Krawędzie Wierzchołki Sześcian Wzór Eulera:

Liczba wierzchołków + liczba ścian = 2 + liczba krawędzi

Grafy – przykłady występowania – grafy Eulera, 1

informatyka +

7

Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów:

1736: Problem mostów Królewieckich

Czy istnieje droga, która zawiera każdy most (każdą krawędź) dokładnie raz? Do każdego wierzchołka, z wyjątkiem dwóch, tyle samo razy musimy wyjść, ile razy wchodzimy

Grafy – przykłady występowania – grafy Eulera, 2

informatyka +

8

Leonhard Euler (1707-1783) – Ojciec Teorii Grafów:

1736: Problem mostów Królewieckich

Figury unikursalne, jednobieżne

Kolorowanie map

informatyka +

9

Problem czterech kolorów (1852):

Czy każdą mapę można pomalować 4 kolorami?

1976: K. Appel. W. Haken i J. Koch (programista)

Pierwszy dowód – z wykorzystaniem komputera

Drzewa w informatyce

informatyka +

10

Drzewa – grafy spójne bez cykli

Drzewa obliczeń

Drzewo algorytmu

(6 + 3)*(5 – 3*4) (x2+ y2)/(a – b)

Zastosowanie: ONP

Odwrotna Notacja Polska Jan Łukasiewicz (1920)

Drzewa w algorytmice – wyłanianie zwycięzcy

informatyka +

11

Bartek Romek Bolek Witek Tome k

Zenek Tolek Felek

Bartek Witek Tome

k Tolek

Bartek Tome

k Tome

k

Porównania – mecze _{Ośmiu zawodników: 7 meczy}

A jak znaleźć drugiego najlepszego zawodnika w

turnieju?

informatyka +

12

Bartek Romek Bolek Witek Tome k

Zenek Tolek Felek

Bartek Witek Tome

k Tolek

Bartek Tome

k Tome

k

Czy jest nim Bartek? Bo przegrał z

Tomkiem?

Ale Bartek nie grał z drugą połową!

???

???

Tylko dwa

Sieci dróg samochodowych, kolejowych, lotniczych …

Grafy Hamiltona

informatyka +

14

William R. Hamilton (1805-1865):

1859: cykl Hamiltona – przechodzi przez każdy wierzchołek dokładnie raz

Dwunastościan foremny

Siatka (graf)

Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 1

Problem: Znajdź najkrótszą trasę dla Premiera przez wszystkie

miasta wojewódzkie.

informatyka +

15

Rozwiązanie: Premier zaczyna w Stolicy a inne miasta może

odwiedzać w dowolnej kolejności. Tych możliwości jest:

15*14*13*12*11*…*2*1 = 15! (

15 silnia

)

W 1990 roku było: 48*47*46*…*2*1 = 48! (

48 silnia

)

Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 2

informatyka +

16

Na superkomputerze o mocy 1 PFlops – ile trwa obliczanie n!

15! = 1307674368000/10

sek. = ok.

0.01 sek.

48! = 1,2413915592536072670862289047373*10

_/10

₌

_3*10

_lat

25! = 15511210043330985984000000/10

_{sek. = 15511210043 sek. =}

= 179528 dni =

491 lat

Wartości funkcji n!

Rosną BARDZO SZYBKO

Prezydent Stanów

Zjednoczonych ma problem

ze znalezieniem najkrótszej

trasy objazdu Stanów.

Zastosowanie – najkrótsza trasa premiera, 3

informatyka +

17

Algorytmy przybliżone szukania rozwiązań:

1.Metoda zachłanna – najbliższy sąsiad – mogą być bardzo złe

2.Meta-heurystyki:

•

algorytmy genetyczne – krzyżowanie i mutowanie rozwiązań

•

algorytmy mrówkowe – modelowanie feromonów

Trudno sprawdzić, jak

dobre jest to rozwiązanie w stosunku do najlepszego, bo go nie znamy.

01110100111101100111010

Kody: ASCII

a:

01100001

b:

01100010

d:

01101100

k:

01101011

r:

01110010

Huffman

0

1110

110

1111

10

Krótkie kody – kompresja

Algorytm Huffmana:

Powtarzaj, aż zostanie jedna liczba:

Wybierz dwie najmniejsze częstości i dodaj ich sumę do ciągu

Litery i ich częstości

M.M. Sysło 19

Krótkie kody – kompresja

Kody

Krótsze dla często występujących liter

M.M. Sysło 20

M.M. Sysło 21

M.M. Sysło 22

Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów

jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań

(

szybszymi algorytmami

)

[Ralf Gomory, IBM]

23

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +

Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna):

• Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i porządkowanie informacji

• Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera.

• Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne.

Wykłady (Wszechnica Popołudniowa):

• Czy wszystko można policzyć na komputerze?

• Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. • Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu

informacji.

• Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych małżeństw

Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +

Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach:

• Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka programowania

• Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje • Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje

Kursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów:

• Przegląd podstawowych algorytmów • Struktury danych i ich wykorzystanie • Zaawansowane algorytmy

Tendencje – Wykłady

• Algorytmy w Internecie, K. Diks

• Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk • Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło