Index of /rozprawy2/10392

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki. Rozprawa Doktorska. Chaos w Ujęciu Teorii Ergodycznej w Modelu Zaburzonej Erytropoezy mgr inż. Paweł J. Mitkowski. Promotor:. Prof. dr hab. inż. Maciej J. Ogorzałek AGH, Kraków 2011.

(2)

(3) i. Moim Rodzicom.

(4) ii ..

(5) iii. Bardzo dziękuję Panu Prof. dr hab. inż. Maciejowi Ogorzałkowi za opiekę naukową oraz życzliwą pomoc podczas pisania tej rozprawy doktorskiej.

(6) iv.

(7) Przedmowa Przedstawiona rozprawa doktorska jest związana z nową dyscyplina naukową biocybernetyką i inżynierią biomedyczną, która należy do obszaru nauk technicznych. Dyscyplina ta zawiera w sobie zagadnienia związane z medycyną, biologią, biomatematyką, czy też z cybernetyką uprawianą przez inżynierów. Ta rozprawa skupiona jest wokół problemów biomatematyki oraz numerycznego badania systemów dynamicznych. Myślą przewodnią są słowa matematyka Profesora Andrzeja Lasoty, które zamieściłem na początku pracy, a brzmią one: ”Wierzę, że matematyka jest po prostu strukturą naszego świata. Nie opisem tej struktury, ale samą strukturą”. Ta filozofia jest bardzo widoczna w wielu pracach A. Lasoty, pod wpływem których wybrałem tematykę badań. Bespośrednim punktem wyjścia stał się dla mnie artykuł (A. Lasota 1977) oraz klasyczna praca (M. Ważewska-Czyżewska i A. Lasota 1976). W rozdziale 1 przedstawiam podstawę filozoficzną mojej rozprawy doktorskiej tj. omawiam dwa często występujące podejścia do rozumienia czym jest matematyka, a co za tym idzie czym jest modelowanie matematyczne. Podaję również zasadę odwzorowań zwężających Stefana Banacha wraz z dowodem, który przeprowadza się metodami elementarnymi (na poziomie szkoły średniej) ponieważ określa ona fundamentalne zasady myślenia naukowego. Następnie w rozdziale 2 omówiam biologiczno-medyczne dane dotyczące układu dynamiki czerwonych krwinek (erytrocytów), szczególnie dokładnie opisując poszczególne etapy procesu erytropoezy, czyli produkcji erytrocytów. Dalej w rozdziale 3 podaje zestaw wybranych pojęć matematycznych, który ma nakierować czytelnika na ważne grupy zagadnień z punktu widzenia przedstawionych badań. W rozdział 4 przedstawiam idee badania chaosu na gruncie teorii ergodycznej, a w jego podrozdziale 4.2 prezentuje systematyczne omówienie teorii matematycznej dotyczącej chaosu w układach zachowujących miarę. Dodatkowo w rozdziale 4 zawarłem przykłady obliczeniowe pokazujące metodykę badań numerycznych na niskowymiarowych odv.

(8) vi wzorowaniach, która następnie w rozdziale 6 jest przeniesiona w odpowiedni sposób na układ nieskończenie wymiarowy będący głównym obiektem badań w tej rozprawie doktorskiej. W rozdziale 5 przedstawiam teorię klasycznego równania Lasoty-Ważewskiej niezbędną do zrozumienia zasad działania wspomnianego nieskończenie wymiarowego modelu. W rozdziale 6 zawarłem główne oryginalne wyniki, które dla poprawnego zrozumiane powinny być analizowane razem z wiadomościami zawartymi w rozdziale 4. Tematykę i cel rozprawy określiłem w podrozdziale 1.4 rozdziału 1, z kolei podsumowanie najważniejszych osiągniętych wyników opracowałem w rozdziale 7.. W czasie pracy nad rozprawą doktorską wiele osób udzieliło mi bardzo wartościowych konsultacji merytorycznych. Bardzo dziękuję Panu Profesorowi Antoniemu Leonowi Dawidowiczowi, Panu Profesorowi Ryszardowi Rudnickiemu, Panu Profesorowi Józefowi Myjakowi, Panu Profesorowi Michałowi Ramsowi, Panu Profesorowi Zbigniewowi Galiasowi oraz Panu Profesorowi Piotrowi Ruskowi za bardzo cenne uwagi i wskazówki z zakresu zagadnień matematycznych. Bardzo dziekuję Panu Profesorowi Aleksandrowi Skotnickiemu kierownikowi Katedry i Kliniki Hematologii CM UJ, Panu Profesorowi Andrzejowi Szczeklikowi kierownikowi II Katedry i Kliniki Chorób Wewnętrznych CM UJ, Pani dr Zofii Mitkowskiej, Pani dr Teresie WolskiejSmoleń oraz Pani dr Barbarze Sokołowskiej za bardzo cenne uwagi z zakresu medycyny. Bardzo dziękuję Panu Profesorowi Andrzejowi Białasowi oraz Pani Profesor Ewie Gudowskiej-Nowak za bardzo cenne wskazówki z zakresu fizyki..

(9) vii. Wierzę, że matematyka jest po prostu strukturą naszego świata. Nie opisem tej struktury, ale samą strukturą. — Profesor Andrzej Lasota. zaczerpnięte z (A. Lasota, A. Klimek 2005).

(10) viii.

(11) Spis treści Przedmowa. v. 1 Wprowadzenie 1.1 Matematyczne badanie struktury rzeczywistości . . 1.2 Fundamenty myślenia naukowego . . . . . . . . . . 1.2.1 Zasada odwzorowań zwężających . . . . . . 1.3 Modelowanie matematyczne w biologii i medycynie 1.4 Tematyka i cele rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dynamika układu krwinek czerwonych 2.1 Krew . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Erytrocyty . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Szpik kostny . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Erytropoeza czyli produkcja erytrocytów 2.4.1 Etapy rozwoju erytrocytu . . . . 2.4.2 Mechanizmy regulacji erytropoezy. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . .. 3 3 4 5 7 8. . . . . . .. 13 13 13 14 15 16 18. 3 Podstawy matematyczne 21 3.1 Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Miary i przestrzenie z miarą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Miara i całka Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Chaos i teoria ergodyczna 4.1 Zbiory Gibbs’a i symulacje ewolucji gęstości stanów 4.1.1 Operator Frobenius’a-Perron’a . . . . . . . . 4.1.2 Przykład aproksymacji ewolucji gęstości . . 4.2 Chaos dla układów zachowujących miarę . . . . . . 4.2.1 Ergodyczność . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 29 29 30 31 33 37.

(12) 2. SPIS TREŚCI. 4.3. 4.2.2 Mieszanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.3 Turbulencje w układach mieszających . . . . . . . . . . 51 Hipoteza Ulama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 5 Równanie Lasoty-Ważewskiej 5.1 Równanie McKendrick’a-Von Foerster’a 5.1.1 Metoda charakterystyk . . . . . 5.1.2 Metoda prostych . . . . . . . . 5.2 Sprzężenie zwrotne Lasoty-Ważewskiej 5.3 Zredukowny model Lasoty-Ważewskiej. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 55 55 57 58 64 66. 6 Równanie A. Lasoty z unimodalną regulacją 6.1 Równanie A. Lasoty dla erytrocytów . . . . . 6.2 Hipoteza A. Lasoty . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Weryfikacja obliczeniowa hipotezy A. Lasoty . 6.3.1 Wprowadzenie do analizy obliczeniowej 6.3.2 Określenie przestrzeni do analizy . . . 6.3.3 Własności ergodyczne układu . . . . . 6.3.4 Własności mieszające i turbulencje . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 69 70 75 78 78 89 92 99. 7 Uwagi końcowe. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 109.

(13) Rozdział 1 Wprowadzenie Rozpocznę tę rozprawę od omówienia dwóch zagadnień natury poznawczej, które wydają mi się fundamentem dla dalszych rozważań. Po pierwsze przedyskutuje dwie często przytaczane definicje matematyki, co jest tutaj ważne ponieważ rozprawa dotyczy modelowania matematycznego w biologii i medycynie. Następnie przedstawię ogólną filozofię prowadzenia badań naukowych, której strukturę można odnaleźć w zasadzie odwzorowań zwężających Stefana Banacha.. 1.1. Matematyczne badanie struktury rzeczywistości. Już wiele wieków temu (w czasach starożytnej Grecji, ale może i wcześniej) zauważono, że aby poznawać prawdziwą strukturę świata, w którym żyjemy trzeba badać ją poprzez geometrię i liczby (zob. np. R. Penrose 2010, W. Tatarkiewicz 1978, tomy 1-3). Intuicyjnie czujemy, że do analizy np. przestrzennej struktury rzeczywistosci naturalnie pasują pojęcia geometryczne takie jak figura, objetość, powierzchnia, odległość itp. Potrzeba też jakoś ilościowo określić ”wielkość” tych elementów w przestrzeni i tu liczby znajdują naturalne zastosowanie. We współczesnej matematyce mamy dużo więcej i dużo bardziej subtelnych struktur, które wydają się być rozwinięciami tych pierwotnych np. na różne skomplikowane przestrzenie. Pojęcia matematyczne na przestrzeni wieków były coraz to bardziej precyzowane, a co za tym idzie powstawały też całe nowe działy matematyki (teorie matematyczne), których źródłem jednak cały czas było i jest dążenie do coraz lepszego poznania 3.

(14) 4. ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE. struktury rzeczywistości. Często matematyka określana jest na dwa różne w swojej istotcie sposoby. Jedni uważają, że jest ona językiem do opisu świata, czyli ma podobną funkcję jak języki, którymi sie porozumiewamy np. język polski, angielski, hiszpański itd. Kiedy chcemy opisać nasze spostrzeżenia to dobieramy w tym celu odpowiednie słowa, choć wieokrotnie zdajemy sobie sprawę, że nasz opis nie oddaje całej złożoności i bogactwa zjawiska, które opisujemy. Tak, też w tym podejsciu traktowana jest matematyka, jako pewien język do przybliżonego opisu świata. Ale jest jeszcze jedno podejście do matematyki, zwane platońskim. Idzie ono dalej określajac matematykę jako po prostu strukturę świata, a nie tylko język do jej opisu. Przy takim założeniu badania matematyczne (np. modelowanie matematyczne dynamiki) staje się wyszukiwaniem struktur istniejących w otaczającej nas rzeczywistości. W kontraście do podejścia platońskiego istnieje w filozofii matematyki tzw. intuicjonizm, który w pewnym sensie podobny jest do pierwszej z wymienionych filozofii. Chodzi tu o intuicjonizm w rozumieniu holendreskiego matematyka Brouwera (zob. R. Penrose 1996, s. 134), według którego nie można mówić o istnienu matematycznych bytów w rzeczywistości dopóki nie poda się sposobu na ich skontruowanie.. 1.2. Fundamenty myślenia naukowego. Używając rozumowania matematycznego dowolny problem, który analizujemy może mieć jedno rozwiązanie, skończoną liczbę rozwiązań (ale więcej niż jedno), nieskończenie wiele rozwiązań, albo może nie mieć w ogóle rozwiązania. Warto przed przystąpieniem np. do skomplikowanych i czasochłonnych obliczeń komputerowych wiedzieć, czy problem, który badamy obliczenowo ma w ogóle rozwiązanie, albo ile tych rozwiązań powinniśmy się spodziewać. Takie rozumowanie wydaje sie być fundamentalne z punktu widzenia prowadzenia jakichkolwiek badań naukowych, rozumianych tutaj jako dochodzenie do prawdy o badanym zjawisku, czy obiekcie rzeczywistości. Esencję myślenia naukowego można znaleźć w zasadzie odwzorowań zwężających Stefana Banacha (zob. np. (W. Mitkowski 2006, s. 13), (J. Kudrewicz 1976, s. 43), (R. Rudnicki 2001, s. 94), (J. Musielak 1976, s. 196))..

(15) 1.2. FUNDAMENTY MYŚLENIA NAUKOWEGO. 1.2.1. 5. Zasada odwzorowań zwężających. Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną z metryką ρ (zob. Rozdział 3.1). Odwzorowanie F : X → X nazywamy odwzorowaniem Lipschitz’a ze stałą Lipschitz’a α > 0, jeżeli ∀x1 ∈ X ∀x2 ∈ X ρ(F (x1 ), F (x2 )) ≤ αρ(x1 , x2 ).. (1.1). Warunek (1.1) nazywamy warunkiem Lipschitz’a. Odwzorowanie F : X → X nazywamy zwężającym albo kontrakcją, jeżeli spełnia warunek (1.1) ze stałą α < 1. Punkt x∗ ∈ X nazywamy punktem stałym odwzorowanie F : X → X, jeżeli F (x∗ ) = x∗ . Twierdzenie 1 (Banacha) Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną zupełną (zob. Rozdział 3.1), a F : X → X odwzorowaniem zwężającym (kontrakcją). Wtedy istnieje dokładnie jeden punkt stały x∗ odwzorowania F . Dodatkowo, jeżeli xn+1 = F (xn ), n = 0, 1, 2, . . . , (1.2) to dla każdego x0 ∈ X. lim xn = x∗. (1.3). n→∞. i ρ(xm , x∗ ) ≤. αm ρ(x0 , F (x0 )). 1−α. (1.4). Dowód. Niech x0 będzie dowolnym punktem przestrzeni X oraz xn+1 = F (xn ) dla n = 0, 1, 2, . . . . Z warunku (1.1) wynikają następujące nierówności ρ(x1 , x2 ) = ρ(F (x0 ), F (x1 )) ≤ αρ(x0 , x1 ), ρ(x2 , x3 ) = ρ(F (x1 ), F (x2 )) ≤ αρ(x1 , x2 ) ≤ α2 ρ(x0 , x1 ), .. . ρ(xn , xn+1 ) ≤ αn ρ(x0 , x1 ) dla n = 0, 1, 2, . . . . Oszacujmy teraz odległość ρ(xn , xm ) dla n < m. Z nierówności trójkąta mamy ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + . . . + ρ(xm−1 , xm ) ≤ ≤ (αn + αn+1 + . . . + αm−1 )ρ(x0 , x1 ) ≤. αn ρ(x0 , x1 ). 1−α. (1.5).

(16) 6. ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE. Ponieważ α < 1, więc dla dowolnego ² > 0 istnieje n0 ∈ N (gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych) takie, że αn ρ(x0 , x1 ) < ² dla n0 ≤ n. 1−α. (1.6). Zatem (z (1.5) i (1.6)) ρ(xn , xm ) < ² dla n0 ≤ n, więc ciąg {xn } jest ciągiem Cauchy’ego (zob. Rozdział 3.1) (można również zapisać, że ρ(xn , xm ) → 0, przy n, m → ∞). Przestrzeń (X, ρ) jest zupełna, więc istnieje granica x∗ = limn→∞ xn . Mamy zatem ρ(x∗ , F (x∗ )) ≤ ρ(x∗ , xn ) + ρ(xn , F (x∗ )) ≤ ρ(x∗ , xn ) + αρ(xn−1 , x∗ ) → ∞ przy n → ∞. Czyli ρ(x∗ , F (x∗ )) = 0, więc x∗ = F (x∗ ). Przypuśćmy dodatkowo, że y ∗ = F (y ∗ ). Gdyby ρ(x∗ , y ∗ ) > 0 to mielibyśmy ρ(x∗ , y ∗ ) = ρ(F (x∗ ), F (y ∗ )) ≤ αρ(x∗ , y ∗ ) < ρ(x∗ , y ∗ ), co jest niemożliwe. Zatem ρ(x∗ , y ∗ ) = 0, czyli x∗ = y ∗ . To dowodzi jednoznaczności rozwiązania x∗ równania x∗ = F (x∗ ). Sprawdzimy jeszcze nierówność (1.4) z tezy Twierdzenia 1. Z (1.5) otrzymujemy ρ(xm , x∗ ) = lim ρ(xm , xn ) ≤ n→∞. αm ρ(x0 , x1 ). 1−α. (1.7). Zasada odwzorowań zwężających określa warunek jaki trzeba spełnić, żeby rozważany problem miał dokładnie jedno rozwiązanie. Dodatkowo podaje algorytm jak ”w praktyce” zbliżać się do tego rozwiązania oraz wyznacza oszacowanie odległości od rozwiązania w każdym kroku algorytmu. Zasada ta w zwięzły sposób określa istotę myślenia naukowego. Wyraźnie widać np. jak w zakresie poznania różnią się metody matematyki i metody algorytmiczne (np. metody nauk stosowanych). Tylko matematycznie jesteśmy w stanie dowieść istnienia rozwiązania. Dobrze zaprojektowane metody algorytmiczne mogą jedynie przybliżać nas do rozwiązania, jest jednak oczywiste, że w skończonym czasie (po skończonej liczbie iteracji) nigdy nie dojedziemy do dokładnego rozwiązania. Można by powiedzieć, że dokładnego rozwiązania nie da się ”dotknąć materialnie”, a jedynie sie do niego zbliżyć. W praktyce jednak wystarcza tylko to ”zbliżenie się” do rozwiązania, nie potrafimy.

(17) 1.3. MODELOWANIE MATEMATYCZNE W BIOLOGII I MEDYCYNIE7 przecież matematycznie określić całej struktury otaczającego nas świata, a pomimo to potrafimy konstruować wiele skomplikowanych urządzeń technicznych, które są pożyteczne. Wydaje się zatem, że obie drogi poznania ta eksperymentalna (fizyczna) i strukturalna (matematyczna) funkcjonujące razem są ważne.. 1.3. Modelowanie matematyczne w biologii i medycynie. Przejdźmy teraz do zagadnień, których ta rozprawa bezpośrednio dotyczy, to znaczy do modelowania matematycznego procesów biologicznych i medycznych. Wyróżnia się kilka etapów modelowania (zob. (R. Rudnicki w druku, s. 7) i także (M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 155), (U. Foryś 2005),(J. D. Murray 2006)): 1. Określenie założeń biologiczno-medycznych za pomocą pojęć matematycznych. 2. Podanie odpowiedniego modelu matematycznego, np. funkcja, równanie różniczkowe itp. 3. Zbadanie własności modelu za pomocą metod matematycznych i/lub numerycznych. 4. Interpretacja biologiczno-medyczna wyników teoretycznych (matematycznych i numerycznych). 5. Porównanie wyników teoretycznych z pomiarami rzeczywistymi. Ewentualna korekta modelu w celu lepszego dopasowania do danych rzeczywistych. Ewentualna propozycja nowych badań eksperymentalnych w celu dalszej weryfikacji modelu. Specjaliści od biomatematyki dość często podkreślają (zob. np. (R. Rudnicki w druku, s. 7 i dalej), (M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 155), (U. Foryś 2005, s. 17)), że umiejętne uproszczenie modelu jest zabiegiem kluczowym w procesie modelowania. Istotą bowiem nie jest zastąpienie skomplikowanego rzeczywistego procesu biologiczno-medycznego równie skomplikowanym modelem.

(18) 8. ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE. matematycznym, ale wyłowienie najistotniejszych przesłanek biologicznomedycznych i zawarcie ich w możliwie prostym modelu matematycznym (czasami zredukowanym z bardziej złożonego), który da się następnie skutecznie badać metodami matematycznymi. Redukcja modelu (zob. R. Rudnicki w druku, s. 7) prowadzi do częściowego opisu badanego zjawiska, nie oddającego w pełni całej jego złożoności. Jednak taki zredukowany model, gdy jest dobrze skonstruowany, może pokazywać istotną strukturę (np. dynamiczną) tkwiącą w badanym procesie rzeczywistym, która np. jest odpowiedzialna za jakiś jego konkretny charakter zmian w czasie.. 1.4. Tematyka i cele rozprawy. A. Lasota (1977) zauważał, że nieregularne przebiegi obserwowane w wynikach pomiarowych rzeczywistych procesów biologiczno-medycznych mogą być związanie nie tylko z dużą złożonością tych procesów i niedoskonałościami metod pomiarowych, ale również z samą strukturą tych układów. Innymi słowy mówiąc rzeczywiste procesy biologiczo-medyczne mogą przy pewnych warunkach po prostu być chaotyczne, to znaczy mogą ”zawierać” strukturę matematyczną generującą chaos. Zauważmy, że w zależności od przyjęcia jednego z dwóch opisanych wyżej w Rozdziale 1 podejść do matematyki proces modelowania matematycznego będzie rozważany jako opis tej struktury za pomocą języka matematycznego, albo jej bezpośrednie poszukiwanie w układzie. A. Lasota uważał, że taką matematyczną strukturą ”odpowiedzialną” za chaos w systemach biologicznych mogą być miary niezmiennicze o nietrywialnych własnościach ergodycznych (zob. Rozdział 4), możemy także powiedzieć, że układ wykazuje nietrywialne własnosci ergodyczne. Sformalizował on takie podejście dla zaproponowanego przez siebie modelu zmian ilości krążacych w krwiobiegu krwinek czerwonych, stawiając hipotezę o nietrywialnych własnościach ergodycznych tego modelu (zob. Rozdział 6). Model ma postać równania różniczkowego z opóźnieniem, w którym przy odpowiednim doborze parametrów można zadać funkcję produkcji erytrocytów w formie unimodalnej (z jednym gładkim maksimum, funkcję unimodalną precyzyjnie określamy w definicji 22). Taki charakter zależności intensywności produkcji erytrocytów od ich ilości w krwiobiegu medycznie odpowiada warunkom patologicznym zaistniałym w organizmie, możliwy jest także gdy organizm znajdzie się w stanie bliskim śmierci (M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 165-167). Normalna erytropoeza (produkcja erytrocytów) charakteryzuje.

(19) 1.4. TEMATYKA I CELE ROZPRAWY. 9. się zależnością monotonicznie malejącą i przy tym założeniu konstruowano i badano bardzo wiele modeli matematycznych między innymi klasyczny model Lasoty-Ważewskiej, o którym szeroko będziemy pisać w dalszej częsci rozprawy. W tej rozprawie interesuje nas nieregularna dynamika modelu z unimodlaną erytopoezą i to w formie takiej, że układ ma trzy punkty stacjonarne (różnice między badanym modelem, a innymi modelami biologicznymi z unimodalnymi nieliniowościami przedstawione są w rozdziale 6). Konkretnie chcemy obliczeniowo weryfikować hipotezę A. Lasoty, która w języku teorii ergodycznej stawia problem istnienia chaotycznych rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych z opóźnieniem. Dodatkowo wydaje się ona być uogólnieniem (na tę klasę równań) wcześniejszej hipotezy S.M. Ulama (1960) o nietrywialnych własnościach ergodycznych odwzorowań odcinka [0, 1] w siebie (zob. Rozdziały 4.3 i 6). Ważne jest, że ta klasa równań ma bardzo duże zastosowania w modelowaniu procesów biologicznych. Znane są dowody istnienia rozwiązań okresowych takich równań (zob. S-N. Chow 1974, J.L Kaplan i J.A. Yorke 1977), (zob. także M. Ważewska-Czyżewska 1983, R. Rudnicki w druku), natomias jak do tej pory poza szczególnymi przypadkami (H. O. Walther 1981) mało można powiedzieć o istnieniu chaotycznych rozwiązań w precyzyjnie określonym sensie dla równań różniczkowych z opóźnieniem w ogóle. Badania zachowań chaotycznych będziemy prowadzić metodami numerycznymi, mamy zatem świadomość, że uzyskane wyniki mogą stanowić jedynie wskazanie pewnego typu chaosu i w sensie matematycznym nie będą dowodem na jego istnienie. Z punktu widzenia nauk technicznych wydaje się nam jednak, że przygotowane obliczenia będą cennym przykładem jak za pomocą eksperymentu numerycznego można badać istnienie pewnych struktur matematycznych ”odpowiadajacych” za chaos określony w konkretny sposób. Dla matematyków z kolei uzyskane wyniki numeryczne mogą stanowić wskazanie własnosci dynamicznych modelu, które następnie można próbować udowadniać narzędziami czystej matematyki. Obecnie bardzo mocno rozwijane są dowody matematyczne wspierane komputerowo (zob. np. W. Tucker 1999, Z. Galias i P. Zgliczński 1998, Z. Galias 2003). Możliwe, że badania numeryczne, przeprowadzone w tej rozprawie mogą stanowić wstępną analizę do zastosowania takich ścisłych metod obliczeniowych używanych przez matematyków. Z punktu widzenia biologiczno-medycznego numeryczne uzyskanie rozwiązań wskazujących na nietrywialne własności ergodyczne modelu (a co za tym idzie wskazujących na istnienie rozwiązań chaotycznych w określonym sensie) będzie sugerowało, że przy zaburzonej odpowiedzi erytropoetycznej w formie unimodalnej, mogą wystąpić nieregularne zmiany ilości.

(20) 10. ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE. krążących w krwiobiegu erytrocytów. Z kolei takie nieregularne zmiany oznaczają mocne zaburzenie funkcjonowania całego układu krwinek czerwonych, który gdy działa prawidłowo ma bardzo silną tendencję do utrzymywania ich ilości na stałym poziomie (M. Ważewska-Czyżewska i A. Lasota 1976, s. 24). Oprócz analizy numerycznej chaosu będziemy chcieli rozszerzyć interpretację biologiczno-medyczną badanego równania między innymi poprzez podanie znaczenia jednego z parametrów tego równania, który według naszej wiedzy nie był interpretowany w literaturze, a od którego wartości zależy, czy odpowiedź erytropoetyczna ma charakter prawidłowy fizjologicznie (monotonicznie malejący), czy jest zniekształcany do zależnosci unimodalnej. Poszczególne cele rozprawy można sformułować następująco: • znalezienie zależności na intensywność odpowiedzi erytropoetycznej (stopień pobudzenia układu) przy unimodalnej funkcji produkcji erytrocytów zadanej w równaniu (6.5), • podanie interpretacji bilogiczno-medycznej jednego z parametrów równania (6.5) (potęgi s), który według naszej wiedzy nie był interpretowany w literaturze. Następnym celem jest weryfikacja obliczeniowa hipotezy A. Lasoty dotyczącej nietrywialnych własności ergodycznych równania (6.5), czyli w szczególności: • omówienie najważniejszych narzędzi matematycznych teorii ergodycznej stosowanych do badania zachowań chaotycznych, • zaprojektowanie odpowienich eksperymentów obliczeniowych na niskowymiarowych odwzorowaniach (jedno, dwu i trójwymiarowych), dla których istnienie własności ergodycznych jest udowodnione matematycznie, w celu numerycznego znalezienia ”symptomów” chaosu wynikającego z własnosci ergodycznych. • odpowiednie zastosowanie metodyki zaprojektowanej na niskowymiarowych odwzorowaniach do badania numerycznego nieskończenie wymiarowego modelu (6.5) na odpowiednio wybranych podprzestrzeniach przestrzeni nieskończenie wymiarowej, • wyznaczenie zakresu parametrów, dla których równanie (6.5) wykazuje nietrywialne własności ergodyczne,.

(21) 1.4. TEMATYKA I CELE ROZPRAWY. 11. • podanie, na podstawie przeprowadzonej analizy obliczeniowej i w oparciu o informacje dostępne w literaturze, ewentualnych uwarunkowań biologiczno-medycznych, które mogą spowodować, że układ krwiotwórczy będzie wykazywał nietrywialne własności ergodyczne, a co za tym idzie zachowania chaotyczne..

(22) 12. ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE.

(23) Rozdział 2 Dynamika układu krwinek czerwonych Wiadomości biologiczno-medyczne opracowane w tym rozdziale zaczerpnąłem przede wszystkim z następujących książek i artykułów: (M. WażewskaCzyżewska 1983, M. Ważewska-Czyżewska i A. Lasota 1976, A. Lasota i inni 1981, M.C. Mackey i J.G. Milton 1990, J.I.O Craig i inni 2010, R. Rudnicki 2009, J. Keener i J. Sneyd 1998). Korzystałem również z informacji dostępnych w Wikipedii.. 2.1. Krew. W skład krwi wchodzą dwa główne elementy; płynne osocze, stanowiące około 55% całkowitej jej objętości i zawieszone w osoczu składniki komórkowe (około 40% objętości). Składniki komórkowe dzieli sie na trzy kategorie: erytrocyty (czerwone krwinki), leukocyty (białe krwinki) i trombocyty (płytki krwi).. 2.2. Erytrocyty. Erytrocyty (czerwone krwinki) mają kształt małych dwustronnie wklęsłych dysków o średnicy około 8µm. Transportują one tlen z płuc do tkanek oraz dwutlenek węgla w przeciwnym kierunku. Zawierają białko zwane hemoglobiną (czerwony barwnik krwi), który odpowiada za wymianę gazową pomiędzy 13.

(24) 14. ROZDZIAŁ 2. DYNAMIKA UKŁADU KRWINEK CZERWONYCH. tkankami a płucami. Nie posiadają jądra komórkowego ani mitochondriów, są elastyczne i mogą przechodzić przez małe naczynia kapilarne. Krwinki czerwone nie dzielą się i nie mają mechanizmu, który mógłby naprawić powstające w nich z czasem uszkodzenia. U zdrowego człowieka czas ich życia wynosi około 120 dni, po czym ulegają zniszczeniu głównie w śledzionie (rzadziej w wątrobie). Organizm musi zatem stale produkować nowe erytrocyty, aby zastąpiły te, które uległy rozpadowi. W warunkach chorobowych krwinki czerwone mogą ginąć po krótszym czasie co powoduje tzw. niedokrwistość (anemię). Występują również schorzenia, w których niszczone są młode erytrocyty lub nawet ich prekurosy (komórki, z kórych powstają) co prowadzi to do nieefektywnej erytropoezy. Erytropoeza to proces produkcji krwinek czerwonych, będzie o nim mowa w dalszej części. U dorosłego człowieka jeden mm3 krwi zawiera 4.2-5.4 miliona erytrocytów, natomiast u noworodka około 7 mln.. 2.3. Szpik kostny. Szpik kostny jest miękką, silnie ukrwioną, gąbczastą tkanką znajdującą się wewnątrz jam szpikowych kości długich oraz w małych jamkach w obrębie istoty gąbczastej kości. U zdrowego dorosłego człowieka stanowi około 5% masy ciała. Są dwa rodzaje szpiku kostnego; tzw. szpik kostny żółty składający się głównie z komórek tłuszczowych (ten rodzaj szpiku jest hematologicznie nieczynny) oraz tzw. szpik kostny czerwony, w którym powstają erytrocyty, leukocyty i trombocyty. Po porodzie szpik kostny czerwony wypełnia wszystkie kości. Z wiekiem zostaje zastąpiony przez szpik żółty i u osób dorosłych szpik czerwony występuje jedynie w kościach mostka, kręgosłupa, miednicy, żeber, obojczyków, czaszki, ramiennych i udowych. Ilość czerwonego szpiku kostnego może się zwiększać przy zapotrzebowaniu na komórki krwiotwórcze. W szpiku kostnym znajduje się grupa hematopoetycznych komórek macierzystych, w literaturze angielskojęzycznej zwanych hemopoietic stem cells (HSC) lub pluripotential hemopoietic stem cells (PPSC) oraz grupa komórek dojrzałych, które są wykorzystywane w przypadku zwiększonego zapotrzebowania na elementy morfotyczne. Prawidłowy szpik kostny ma charakterystyczną organizację; występują tu tzw. ”gniazda” prekursorów erytrocytów gromadzące się wokół centralnie położonego makrofaga, który magazynuje żelazo, znajdują się tu rownież duże komórki zwane megaka-.

(25) 2.4. ERYTROPOEZA CZYLI PRODUKCJA ERYTROCYTÓW. 15. riocytami produkujące i uwalniające do naczyń płytki krwi oraz w pobliżu beleczek kostnych występują komórki odpowiedzialne za produkcję białych krwinek. Dojrzałe komórki wędrują z jam szpikowych w kierunku zatok naczyniowych. Najnowsze badania sugerują (J.I.O Craig i inni 2010, s. 929), że szpik kostny zawiera komórki macierzyste, które mogą przekształcić się w komórki inne niż krwiotwórcze, np. w komórki nerwowe, mięśniowe, szkieletowe, kardiomiocyty (komórki mięsnia sercowego), komórki wątrobowe i śródbłonka naczyniowego.. 2.4. Erytropoeza czyli produkcja erytrocytów. W organizmie człowieka zdrowego, przebywającego w stałych warunkach (M. Ważewska-Czyżewska i A. Lasota 1976, s. 24), istnieje silna tendencja do utrzymywania ilości krążących erytrocytów na stałym poziomie. Zmniejszenie tej ilości powoduje uruchomienie procesu tworzenia erytrocytów w szpiku kostnym zwanego erytropoezą. Generalnie zmiana ilości krwinek czerwonych w krwiobiegu powoduje pobudzenie lub zahamowanie ich produkcji (M. Ważewska-Czyżewska i A. Lasota 1976, s. 26). Odpowiedź układu (np. w postaci wzrostu ilości erytrocytów po ich uprzednim spadku) pojawia się po czasie potrzebnym na przekształcenie niezróżnicowanej komórki szpiku kostnego w dojrzały erytrocyt. Można zatem interpretować układ produkcji krwinek czerwonych jako układ ze sprzężeniem zwrotnym z opóźnionym argumentem. Czas potrzebny na produkcję dojrzałego erytrocytu według (M. WażewskaCzyżewska i A. Lasota 1976, s. 23), (M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 162) wynosi 3-4 dni, według (M.C. Mackey i J.G. Milton 1990, s. 6), (M.C. Mackey 1997, s. 156), jest to przeciętnie 5.7 dnia, natomiast według (J. Keener i J. Sneyd 1998, s. 491), czas ten wynosi 5-7 dni, i jest nie krótszy niż 5 dni, nawet przy wysokim stopniu pobudzenia produkcji krwinek czerwonych. Te różnice czasowe mogą wynikać z tego, że różnie określany jest moment w ciągu erytropoezy, od którego ten czas zaczyna się liczyć (zob. szczegółowy opis etapów erytropoezy zamieszczony poniżej). Np. A. Lasota i inni (1981, s. 151) jako ten moment startowy podają sygnał pobudzający produkcję erytropoetyny w wyniku spadku koncentracji tlenu w tętnicach. Schematycznie jest to widoczne na Rysunku (2.1). Erytropoeza u dorosłego zdrowego człowieka przebiega w szpiku kostnym. W przypadku płodu przebiega w innych miejscach w różnych etapach jego.

(26) 16. ROZDZIAŁ 2. DYNAMIKA UKŁADU KRWINEK CZERWONYCH. rozwoju. U osób dorosłych ze znacznymi zaburzeniami struktury i funkcjonowania szpiku kostnego może przebiegać w wątrobie lub śledzionie.. 2.4.1. Etapy rozwoju erytrocytu. Komórki macierzyste Najmłodszą komórką prekursorową erytrocytu jest niezróżnicowana hematopoetyczna komórka macierzysta szpiku kostnego (PPSC). Ta komórka ma zdolność do samoodnawiania się oraz do przechodzenia w linie produkcji erytrocytów, leukocytów i trombocytów. W stanie ustalonym większość komórek PPSC jest w fazie spoczynku G0 lub w fazie aktywnej cyklu komórkowego G1 . Z fazy G0 PPSC mogą przejść do cyklu podziału komórkowego, lub mogą różnicować się do prekursorów jednej z linii różnicowania i dojrzewania komórek krwi. My zajmiemy się linią czerwonych krwinek. Komórki progenitorowe Różnicowanie się prekursorów linii erytrocytów przebiega w kilku etapach (M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 25 i dalej); jako najmniej zróżnicowaną określa się primitywną komórkę BFU-E (ang. primitive burst-forming unit-erythroid) i w kolejnych etapach rozwoju dojrzałą komórkę BFUE (ang. mature burst-forming unit-erythroid), komórkę przejściową (ang. transitional cell) i komórkę CFU-E (ang. colony-forming unit-erythroid). Różnicowanie się tych komórek wywoływane jest przez hormon erytropoetynę (Epo), który reguluje procesem erytropoezy. Powstała populacja zróżnicowanych komórek prekursorowych erytrocytów jest jednoznacznie zorientowana na formowanie komórek, które tracąc zdolność do ploriferacji (podziału i co za tym idzie odnawiania swojej puli) zyskują zdolność do przenoszenia tlenu. W tej populacji zachodzą jednocześnie dwa różne procesy; dojrzewanie i proliferacja. Proces dojrzewania odpowiada za tworzenie funkcjonalnie sprawnej komórki ”końcowej” w linii produkcji, czyli w rozważanym przypadku dojrzałego erytrocytu, natomiast proces proliferacji zapewnia uzupełnianie puli zróżnicowanych prekursorów erytrocytów. Procesy dojrzewania i proliferacji są wzajemnie związane, kiedy komórka osiągnie określony poziom dojrzałości, proliferacja ustaje. Warto jeszcze zwrócić uwagę na różnice pomiędzy pojęciami różnicowania.

(27) 2.4. ERYTROPOEZA CZYLI PRODUKCJA ERYTROCYTÓW. 17. i dojrzewania komórek. Różnicowanie komórki jest nieodwracalnym procesem kodowania nowej informacji do rozwijającej się komórki, natomiast dojrzałość komórki można utożsamić z jej poziomem rozwoju morfologicznego. Komórki prekursorowe Kolejnymi etapami rozwoju dojrzewających zróżnicowanych prekursorów erytrocytów są proerytroblast, erytroblast bazofilny (ang. basophilic erythroblast), erytroblast polichromatyczny (ang. polychromatic erythroblast), erytroblast ortochromatyczny (ang. orthochromatic erythroblast) i retykulocyt. Najważniejszą cechą dojrzewania tych komórek jest synteza hemoglobiny, której rozpoczęcie oznacza, że proces różnicowania został osiągnięty. Zaburzenia w syntezie hemoglobiny mogą spowodować nieefektywną erytropoezę. Przejście pomiędzy erytroblastem polichromatycznym a ortochromatycznym wyznacza punkt, w którym własność plorifelacji jest tracona (A. Lasota i inni 1981, s. 150) (zob. Rysunek 2.1). Komórki krwi obwodowej Z erytroblastu następuje usunięcie jądra komórkowego, po czym komórka już jako retykulocyt pozostaje w szpiku kostnym. Czas dojrzewania retykulocytu w szpiku wynosi około 50 godzin, hormon Epo może spowodować skrócenie tego czasu (M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 58). Retykulocyt opuszcza szpik kostny i już jako dojrzały erytrocyt przechodzi do krwiobiegu przez ściany zatok szpikowych. Erytropoetyna (Epo) Jak już wspomnieliśmy erytropoetyna (Epo) jest hormonem regulującym erytropoezą. Najważniejszą jej funkcją jest wywołanie różnicowania prekursorów linii produkcji erytrocytów do serii komórek erytroblastycznych. U dorosłego człowieka 80% do 90 % Epo produkowane jest w nerkach, pozostała część wytwarzana jest między innymi w wątrobie. W odpowiedzi np. na spadek koncentracji tlenu w tętnicach, np. w wyniku zmniejszenia ilości erytrocytów krążących w krwiobiegu, nerki syntetyzują i uwalniają erytropoetynę..

(28) 18. ROZDZIAŁ 2. DYNAMIKA UKŁADU KRWINEK CZERWONYCH. 2.4.2. Mechanizmy regulacji erytropoezy. Dopływ komórek z populacji PPSC do populacji CFU-E dającej początek linii produkcji erytrocytów, sterowany jest dwoma rodzajami mechanizmu; tzw. mechanizmem krótko- i długo-zasięgowym. Mechanizm krótko-zasięgowy Mechanizmy krótko-zasięgowe dotyczą dynamiki w obrębie populacji komórek PPSC i CFU-E, np. zmniejszenie ilości komórek PPSC lub zwiększony poziom ich różnicowania do jednej z linii produkcji komórek krwi skutkuje w zwiększeniu poziomu proliferacji (namnażania) populacji PPSC, natomiast zwiększenie ilości komórek PPSC powoduje wstrzymanie ich proliferacji. Zatem mechanizmy krótko-zasięgowe odpowiadają między innymi za utrzymanie stanu stacjonarnego w populacji komórek macierzystych szpiku kostnego. Zaburzenia tych mechanizmów są przyczyną choroby hematologicznej zwanej okresową hematopoezą (ang. periodic hematopoiesis PH) (zob. M.C. Mackey i J.G. Milton 1990, s. 17), (M. Ważewska-Czyżewska i A. Lasota 1976), (M. Ważewska-Czyżewska 1983), (R. Rudnicki i R. Wieczorek 2009), która charakteryzuje się występowaniem 17-28 dniowych okresowych oscylacji w ilości uformowanych elementów krwi. Hematopoeza jest procesem powstawania erytrocytów, leukocytów i trombocytów, zatem erytropoeza jest jednym z jej podprocesów. Mechanizm długo-zasięgowy Gdy koncentracja tlenu w tętnicach jest niewystarczająca nerki syntetyzują i uwalniają erytropoetynę (zob. M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 139), (A. Lasota i inni 1981, s. 151), która nie tylko wywołuje różnicowanie prekursorów erytrocytów do erytroblastów, ale również wpływa na kinetykę wszystkich grup komórek systemu produkcji erytrocytów. W efekcie zwiększa się poziom produkcji krwinek czerwonych między innymi poprzez zwiększenie szybkości dojrzewania ich prekursorów. Zatem sygnałem pobudzającym działanie pętli długo-zasięgowego erytropoetycznego sprzężenia zwrotnego jest rozbieżność pomiędzy zapotrzebowaniem tkanek na tlen i jego dostarczeniem przez krążące w krwiobiegu erytrocyty. Istnienie sprzężenia zwrotnego pomiędzy szpikiem kostnym i tkankami zostało po raz pierwszy zasugerowane przez Paul’a Bert’a w 1878 roku (zob. M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 139). Stwierdzał on, że przeżycie na dużych wysokościach wymaga zwiększenia produkcji.

(29) 2.4. ERYTROPOEZA CZYLI PRODUKCJA ERYTROCYTÓW. 19. szereg produkcji plytek krwi. LR. LR. Epo Smierc. PPSC. RBC. CFU−E. szereg produkcji bialych krwinek. Proliferujace. Niepr.. Dojrzale. Rysunek 2.1: Schemat erytropoezy na podstawie (M.C Mackey i J.G. Milton 1990). erytrocytów w celu zaopatrzenia tkanek w odpowiednią ilość tlenu. Długozasięgowe erytropoetyczne sprzężenie zwrotne jest realizowane przy udziale centralnego systemu nerwowego (zob. M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 139)..

(30) 20. ROZDZIAŁ 2. DYNAMIKA UKŁADU KRWINEK CZERWONYCH.

(31) Rozdział 3 Podstawy matematyczne Podamy teraz wybrane pojęcia matematyczne istotne ze względu na zagadnienia poruszane w tej rozprawie. Wiadomości w rozdziale 3.1 dotyczące przestrzeni metrycznych zostały zaczerpnięte z (R. Rudnicki 2001), (J. Myjak 2006), (W. Mitkowski 2006), (J. Kudrewicz 1976) i (I.N. Bronsztejn i inni 2004, s. 659). Rozdziały 3.2 i 3.3 dotycząc pojęć miary, przestrzeni z miarą oraz całki Lebesgue’a zostały opracowane na podstawie (A. Lasota, M.C. Mackey 1994), (R. Rudnicki 2001), (J. Myjak 2006) i (I.N. Bronsztejn i inni 2004).. 3.1. Przestrzenie metryczne. Definicja 1 Niepusty zbiór X z odwzorowaniem ρ : X × X → [0, ∞) spełniającym warunki 1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2. ρ(x, y) = ρ(y, x) dla x, y ∈ X; 3. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) dla x, y, z ∈ X nazywamy przestrzenią metryczną. Elementy przestrzeni metrycznej nazywamy punktami, odwzorowanie ρ metryką w X, a wartość odwzorowania ρ(x, y) odległością punktów x i y w metryce ρ. Przykład 1 Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Funkcja ½ 1 dla x 6= y ρ(x, y) = 0 dla x = y 21.

(32) 22. ROZDZIAŁ 3. PODSTAWY MATEMATYCZNE. jest metryką w X, nazywaną metryką dyskretną. Przestrzeń (X, ρ) nazywamy przestrzenią dyskretną. Przykład 2 Funkcja ρ(x, y) = |y − x| dla x, y ∈ R jest metryką w zbiorze liczb rzeczywistych R. Przykład 3 W przestrzeni Rn , x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) funkcje: v u n uX ρ1 (x, y) = t (xk − yk )2 ; k=1. ρ2 (x, y) =. n X. |xk − yk |;. k=1. ρ3 (x, y) = max |xk − yk |; 1≤k≤n. są metrykami. Metryka ρ1 (x, y) nazywa się metryką euklidesową, a przestrzeń (Rn , ρ1 ) przestrzenią euklidesową. W R2 powyższe metryki będą miały postać: p ρ1 (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ; ρ2 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |; ρ3 (x, y) = max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}. Przykład 4 Zbiór wszystkich funkcji x(t), y(t) ciągłych w przedziale [a, b], z metryką ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)| a≤t≤b. nazywany jest przestrzenią C(a, b). Definicja 2 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że ciąg punktów {xn } tej przestrzeni spełnia warunek Cauchy’ego (lub jest ciągiem Cauchy’ego), jeśli dla dowolnego ² isnieje liczba naturalna n0 taka, że ρ(xm , xn ) < ² dla m ≥ n0 i n ≥ n0 . Definicja 3 Przestrzeń metryczną (X, ρ) nazywamy zupełną, jeśli każdy ciąg spełniający warunek Cauchy’ego jest w niej zbieżny. ¯ = X, gdzie D ¯ oznacza doDefinicja 4 Zbiór D jest gęsty w X, jeżeli D mknięcie zbioru D..

(33) 3.2. MIARY I PRZESTRZENIE Z MIARĄ. 3.2. 23. Miary i przestrzenie z miarą. Rodziną zbiorów będziemy nazywać zbiór, którego elementami są pewne zbiory. Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Definicja 5 Rodzinę A podzbiorów zbioru X nazywamy algebrą zbiorów jeżeli: 1. ∅ ∈ A; 2. Gdy A ∈ A wtedy X \ A ∈ A; 3. Gdy A ∈ A i B ∈ A, to A ∪ B ∈ A. Definicja 6 Algebrę zbiorów A nazywamy σ-algebrą zbiorów, jeżeli dla dowolnych zbiorów An ∈ A, n = 1, 2, 3, . . ., mamy ∞ [. An ∈ A.. (3.1). n=1. Zatem σ-algebra A jest rodziną podzbiorów zbioru X spełniającą warunki 1. i 2. z definicji 5 i warunek (3.1) z definicji 6. Warunek 3. z definicji 5 otrzymujemy z warunku 1. z tej definicji i z warunku (3.1) z definicji 6. Elementy σ-algebry A nazywamy zbiorami mierzalnymi, ponieważ dla nich definiowana jest miara. Definicja 7 Funkcja rzeczywista µ zdefiniowana na σ-algebrze A jest miarą jeżeli: 1. µ(∅) = 0; 2. µ(A) ≥ 0 dla każdego A ∈ A; P 3. µ(∪k Ak ) = k µ(Ak ) jeżeli {Ak } jest skończonym lub nieskończonym ciągiem parami rozłącznych zbiorów z A, to znaczy Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j. Nie wykluczamy tu możliwości, że µ(A) = ∞ dla pewnych A ∈ A..

(34) 24. ROZDZIAŁ 3. PODSTAWY MATEMATYCZNE. Definicja 8 Jeżeli A jest σ-algebrą podzbiorów zbioru X i jeżeli µ jest miarą na A, to trójkę (X, A, µ) nazywamy przestrzenią z miarą. Uwaga 1 Niech Γ będzie dowolną niepustą rodziną podzbiorów zbioru X. Wtedy istnieje najmniejsza σ-algebra zawierająca Γ. Uwaga 2 Najmniejszą σ-algebrę A zawierającą niepustą rodzinę Γ podzbiorów zbioru X nazywamy σ-algebrą generowaną przez rodzinę Γ. Uwaga 3 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną, a Γ będzie rodziną zbiorów otwartych (lub domkniętych). Wtedy σ-algebrę generowaną przez rodzinę Γ nazywamy σ-algebrą zbiorów borelowskich B, a jej elementy nazywamy zbiorami borelowskimi. Definicja σ-algebry zbiorów borelowskich zależy od wyboru metryki ρ, bo metryka decyduje o tym, jakie są zbiory otwarte. σ-algebra zbiorów Borelowskich jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą wszystkie otwarte, czyli również domknięte podzbiory X. Uwaga 4 Jeżeli X = [0, 1] lub R (zbiór liczb rzeczywistych) to najbardziej naturalną σ-algebrą jest σ-algebra zbiorów borelowskich B. Na σ-algebrze zbiorów borelowskich istnieje jednoznaczna miara µ, zwana miarą Borela, taka że µ([a, b]) = b − a. W zastosowaniach używana jest następująca przestrzeń z miarą: Definicja 9 Przestrzeń z miarą (X, A, µ) jest σ-skończoną jeżeli istnieje ciąg {Ak }, Ak ∈ A, spełniający X=. ∞ [. Ak. i µ(A) < ∞. dla wszystkich k.. k=1. Uwaga 5 Jeżeli X = R (zbiór liczb rzeczywistych) i µ jest miarą Borela to Ak może być określone w formie przedziałów [−k, k], a w przestrzeni dwymiarowej Rd w formie kul o promieniu k. Definicja 10 Przestrzeń z miarą (X, A, µ) jest skończoną jeżeli µ(X) < ∞. W szczególnosci, jeżeli µ(X) = 1 to przestrzeń z miarą jest unormowana lub probabilistyczna. Definicja 11 Mówimy, że pewna własność zachodzi prawie wszędzie (skrótowo będziemy pisać p.w.) jeżeli zbiór tych x, dla których nie zachodzi ma miarę zero..

(35) 3.3. MIARA I CAŁKA LEBESGUE’A. 3.3. 25. Miara i całka Lebesgue’a. Podamy twierdzenie za pomocą, którego zdefiniujemy miarę Lebesgue’a (zob. R. Rudnicki 2001, s. 458). Twierdzenie 2 Niech X = Rn i niech A będzie σ− algebrą zbiorów borelowskich w X. Wtedy istnieje dokładnie jedna miara λn określona na A taka, że dla dowolnego prostokąta P = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] mamy λn (P ) = (b1 − a1 ) · . . . · (bn − an ). Miarę zdefiniowaną w twierdzeniu 2 nazywamy miarą Lebesgue’a na zbiorach borelowskich. Miara Lebesgue’a jest uogólnieniem pojęcia objętości na zbiory borelowskie. Definicja 12 Niech X będzie niepustym zbiorem, A σ− algebrą na X i ¯ = R ∪ {−∞, ∞}. Funkcję f : X → R ¯ nazywamy mierzalną, jeżeli zbiór R {x ∈ X : f (x) > a} jest mierzalny przy dowolnym a ∈ R. Twierdzenie 3 Jeżeli X jest przestrzenią metryczną, a A jest σ− algebrą zbiorów borelowskich, to dowolna funkcja ciągła f : X → R jest mierzalna. Niech X będzie ustalonym zbiorem, a A σ− algebrą podzbiorów zbioru X. Dla dowolnego zbioru A ⊂ X funkcję ½ 1, gdy x ∈ A, (3.2) 1A = 0, gdy x ∈ /A nazywamy funkcją charakterystyczną zbioru A. Jeżeli A ∈ A, to funkcja charakterystyczna 1 A jest mierzalna. Niech A1 , . . . , An będą dowolnymi podzbiorami X, a c1 , . . . , cn dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję postaci f (x) =. n X. ci1 Ai (x). i=1. nazywamy funkcją prostą. Jeżeli zbiory A1 , . . . , An są mierzalne to funkcja prosta jest mierzalna..

(36) 26. ROZDZIAŁ 3. PODSTAWY MATEMATYCZNE. Definicja 13 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Niech A1 , . . . , An , E będą zbiorami mierzalnymi, a c1 , c2 , . . . , cn dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Całką Lebesgue’a z funkcji prostej f (x) =. n X. ci1Ai (x). i=1. po zbiorze E względem miary µ nazywamy liczbę n X. ci µ(Ai ∩ E). (3.3). f (x)dµ(dx).. (3.4). i=1. i oznaczamy. Z E. Jeżeli funkcja f jest mierzalna i nieujemna, a E jest zbiorem mierzalnym to przyjmujemy ¾ ½Z Z gdµ(dx) : 0 ≤ g ≤ f, g − funkjca prosta . (3.5) f dµ(dx) = sup E. E. Niech f + (x) = max(0, f (x)) i f − (x) = max(0, −f (x)). Zauważmy, że f (x) = f + (x) − f − (x). R R Jeśli przynajmniej jedna z całek E f + dµ(dx), E f − dµ(dx) jest skończona, to wyrażenie Z Z Z + f dµ(dx) = f dµ(dx) − f − dµ(dx) (3.6) E. E. E. nazywamy całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze E. Mówimy wtedy, że funkcja f ma całkę Lebesgue’a na zbiorze E. Jeżeli całka Lebesgue’a jest skończona to mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na zbiorze E. Jeżeli f jest całkowalna na X to mówimy po prostu, że f jest całkowalna w sensie Lebesgue’a..

(37) 3.3. MIARA I CAŁKA LEBESGUE’A. 27. Definicja 14 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech p będzie liczbą rzeczywistą 1 ≤ p ≤ ∞. Rodzina wszystkich możliwych mierzalnych funkcji rzeczywistych f : X → R spełniająca Z |f (x)|p µ(dx) < ∞ (3.7) X. jest przestrzenią Lp (X, A, µ) (będziemy pisać krótko Lp ). Gdy p = 1 wtedy przestrzeń L1 składa się ze wszystkich możliwych funkcji całkowalnych. Normę f w przestrzeni Lp określamy następującym wyrażeniem ·Z. ¸1/p |f (x)| µ(dx) . p. ||f ||Lp = X. (3.8).

(38) 28. ROZDZIAŁ 3. PODSTAWY MATEMATYCZNE.

(39) Rozdział 4 Chaos i teoria ergodyczna W literaturze dotyczącej systemów dynamicznych można znaleźć wiele definicji chaosu oraz kilka różnych podejść do jego badania (zob. np. R. Rudnicki 2004, R.L. Devaney 1987, I.N. Bronsztejn i inni 2004). W tej rozprawie będzie nas szczególnie interesowało podejście, w którym chaos jest badany przy użyciu narzędzi teorii ergodycznej (A. Lasota 1979, R. Rudnicki 1985a, R. Rudnicki 2009, R. Rudnicki 2004, A.L. Dawidowicz 1992a). Za początek teorii ergodycznej można prawdopodobnie uznać moment kiedy L. Boltzmann sformułował hipotezę ergodyczną (w 1868 roku (zob. np. T. Nadzieja 1996, J. Górnicki 2001) lub w 1871 roku według (J. L. Lebowitz i O. Penrose 1973)).. 4.1. Zbiory Gibbs’a i symulacje ewolucji gęstości stanów. Teoria ergodyczna ma swoje źródła w badaniu układów bardzo wielu cząstek (np. gazów), w których chaos mikroskopowy (nieregularne zachowania poszczególnych cząstek) prowadzi do makroskopowej statystycznej regularności na całym zbiorze cząstek. Ta regularność (charakterystyczna dla tzw. układów ergodycznych) wyraża się w stacjonarnej gęstości rozkładu stanów osiąganej po pewnym czasie ewolucji dynamicznej układu. Zatem przyjmujemy, że warunkiem początkowym dla systemu dynamicznego jest pewna funkcja gęstości i następnie badamy jej ewolucję w czasie. Książka A. Lasoty i M.C. Mackey’a (1994) jest poświęcona takiemu podejściu do badania systemów dynamicznych. Transformację gęstości wyznacza liniowy operator, zwany operatorem Frobenius’a-Perron’a. Dla niektórych systemów da się go wyznaczyć, 29.

(40) 30. ROZDZIAŁ 4. CHAOS I TEORIA ERGODYCZNA. a dla niektórych jest to trudne i ewolucje gestości można próbować aproksymować numerycznie, np. poprzez wyznaczenie bardzo dużego zbioru trajektorii. Można powiedzieć, że badamy wtedy ”średnie” zachowanie systemu. Koncepcję taką wprowadził J.W. Gibb’s (zob. J.R. Dorfman 2001, s. 18, 65), który stwierdzał, że ponieważ warunek początkowy pojedynczych trajektorii nigdy nie jest dokładnie (z nieskończoną precyzją) znany, to można badać średnie zachowanie całego zbioru trajektorii odpowiadających temu samemu równowagowemu stanowi układu. W fizyce duże zbiory trajektorii układu nazywane są zbiorami Gibbs’a (zob. np. J. L. Lebowitz i O. Penrose 1973). W dalszej części rozprawy (Rozdział 6) będziemy aproksymować numerycznie ewolucję gęstości dla nieskończenie wymiarowego hematologicznego modelu (6.5). Aby dobrze zrozumieć istotę zagadnienia ewolucji gęstości rozważymy je najpierw dla prostszego układu, tj. dla jednowymiarowego odwzorowania logistycznego (4.3). Wcześniej jednak sformalizujemy pojęcie operatora Frobenius’a-Perron’a.. 4.1.1. Operator Frobenius’a-Perron’a. Poniższy zestaw pojęć został przygotowany na podstawie wiadomości z książki A. Lasoty i M.C. Mackey’a (1994, s. 41). Przeciwobrazem zbioru A ⊂ X, na który działa przekształcenie S : X → X nazywamy zbiór wszystkich punktów, które będą w A po jednym zastosowaniu S, co można zapisać S −1 (A) = {x : S(x) ∈ A}.. (4.1). Definicja 15 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Przekształcenie S : X → X jest mierzalne jeżeli S −1 (A) ∈ A. dla każdego A ∈ A.. Definicja 16 Przekształcenie S : X → X na przestrzeni z miarą (X, A, µ) jest niesingularne jeżeli µ(S −1 (A)) = 0 dla każdego A ∈ A takiego, że µ(A) = 0. Definicja 17 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Jeżeli S : X → X jest niesingularnym przekształceniem to operator P : L1 → L1 spełniający zależność Z Z P f (x)µ(dx) = f (x)µ(dx) dla A ∈ A (4.2) A. S −1 (A).

(41) 4.1. ZBIORY GIBBS’A I SYMULACJE EWOLUCJI GĘSTOŚCI STANÓW31 nazywamy operatorem Frobenius’a-Perron’a. Operatory Frobenius’a-Perron’a są specjalną klasą operatorów Markov’a (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, s. 37 i 41).. 4.1.2. Przykład aproksymacji ewolucji gęstości. Przed podaniem przykładu sformalizujmy dwa pojęcia, które będą dalej używane (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, s. 41) Definicja 18 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech zbiór D(X, A, µ) = {f ∈ L1 (X, A, µ) : f ≥ 0 i ||f || = 1}. Każda funkcja f ∈ D(X, A, µ) nazywana jest gęstością. Definicja 19 Jeżeli f ∈ L1 (X, A, µ) i f ≥ 0, to miara Z µf (A) = f (x)µ(dx), A. nazywana jest absolutnie ciągłą względem miary µ i f nazywane jest pochodną Radona-Nikodyma µf względem µ. W szczególnym przypadku, gdy f jest gęstością, mówimy również, że f jest gęstością µf i że µf jest miarą znormalizowaną. Często jako definicje miary absolutnie ciągłej podaje się jej własność mówiącą o tym, że miara ν jest absolutnie ciągła względem µ jeżeli ν(A) = 0 zawsze gdy µ(A) = 0. Czasami też mówi się, że miara absolutnie ciągła to taka, która ma gęstość. Rozważmy teraz odwzorowanie logistyczne S(x) = 4x(1 − x),. dla x ∈ [0, 1]. (4.3). przekształcające domknięty przedział [0, 1] w siebie. Można wyznaczyć (zob. (A. Lasota, M.C. Mackey 1994, s. 7) i (S.M. Ulam 1960, s. 74)), że dla (4.3) operator Frobenius’a-Perron’a ma postać " µ ¶ µ ¶# 1 1√ 1 1√ 1 − + f 1−x +f 1−x . (4.4) P f (x) = √ 2 2 2 2 4 1−x Równanie (4.4) opisuje jak odwzorowanie (4.3) przekształca daną gęstość f w nową gęstość P f . Dla przykładu weźmy gęstość początkową f (x) ≡ 1.

(42) 32. ROZDZIAŁ 4. CHAOS I TEORIA ERGODYCZNA. (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994). Gdy wstawimy ją do równania (4.4) otrzymamy nową gęstość 1 , P f (x) = √ 2 1−x. (4.5). po jednej iteracji odwzorowania (4.3). Wstawiając teraz ją do do równania (4.4) otrzymamy gestość po drugiej iteracji odwzorowania (4.3) " # √ 1 1 2 2 p +p . (4.6) P (P f (x)) = P f (x) = √ √ √ 8 1−x 1+ 1−x 1− 1−x W ten sposób iteracyjnie możemy wyznaczać ewolucję gęstości początkowej f (x) ≡ 1. Na Rysunku 4.1 (a) (b) i (c) przedstawione są kolejno gęstość początkowa f (x) ≡ 1 oraz jej transformacje dane wzorami (4.5) i (4.6). Dla odwzorowania (4.3) istnieje gęstość graniczna, do której dąży w toku ewolucji każda gęstość początkowa. S.M. Ulam i J. von Neumann (1947) (zob. także (A. Lasota, M.C. Mackey 1994, s. 8 i 53) i (S.M. Ulam 1960, s. 74)) pokazali, że ta gęstość graniczna ma postać 1 . fgr (x) = p π x(1 − x). (4.7). Jest ona przedstawiona na Rysunku 4.1 (d). W przypadku odwzorowania (4.3) ewolucję gęstości można wyznaczyć dokładnie. W dalszej części rozprawy (rozdział 6) będziemy rozważali system, dla którego nie wiadomo czy da się to zrobić zatem ewolucję gęstości będziemy chcieli aproksymować numerycznie. Teraz aproksymujemy numerycznie ewolucję gęstości dla odwzorowania (4.3) aby sprawdzić, jakie wyniki da metoda numeryczna, którą zastosujemy w porównaniu z dokładnymi rozwiązaniami. Do aproksymacji ewolucji gęstości zastosujemy najprostszy sposób, to znaczy obliczymy duży zbiór trajektorii odwzorowania (4.3) i wyznaczymy histogramy zliczające ilość punktów trajektorii w podzbiorach całej przestrzeni [0, 1] dla kolejnych iteracji odwzorowania. Następnie histogramy znormalizujemy do histogramów o jednostkowym polu powierzchni otrzymując w ten sposób przybliżenie funkcji gęstości. Na Rysunku 4.2 i 4.3 widać rezultat takiego działania. W lewej kolumnie mamy aproksymację ewolucji gęstości rozkładu jednorodnego, a w prawej rozkładu normalnego. Rokłady były zadane dla 5000 punktów początkowych. Widać, że dla rozkładu jednorodnego.

(43) 4.2. CHAOS DLA UKŁADÓW ZACHOWUJĄCYCH MIARĘ Gestosc poczatkowa f(x) º 1. P2f obliczone analitycznie. Pf obliczone analitycznie. 4.5. 4.5. 4.5. 4. 4. 4. 3.5. 3.5. 3.5. 3. 3. 3. 2.5. 2.5. 2.5. 2. 2. 2. 1.5. 1.5. 1.5. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 0. 0. 0.2. 0.4. x. 0.6. 0.8. 1. x. (a). 33. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. x. (b). (c). Gestosc graniczna obliczona analitycznie 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. x. (d). Rysunek 4.1: Operator Frobeniusa-Perrona odpowiadający odwzorowaniu logistycznemu (4.3) (a): gestość początkowa f (x) ≡ 1, x ∈ [0, 1] (b): P f (c): P 2 f (d): gęstość graniczna (4.7). uzyskane wyniki numeryczne są bardzo podobne do wyników dokładnych. Histogramy dla pierwszych trzech iteracji (Rysunek 4.2 (a) (c) (d)) przybliżają bardzo dokładnie pierwsze trzy iteracje operatora Frobenius’a-Perron’a (4.4) dla stałej gęstości początkowej f (x) ≡ 1 (Rysunek 4.1 (a) (b) (c)). Dla obu rozkładów (jednorodnego i normalnego) histogramy zmierzają do histogramów o kształcie bardzo podobnym do granicznej funkcji gęstości (4.7). Gdy narysujemy histogram według tej samej zasady jak poprzednio ale wzdłuż długiej pojedynczej trajektorii odwzorowania (4.3) (zob. Rysunek 4.4) to będzie on bardzo podobny do granicznej funkcji gęstości (4.7). Jest to typowa własność układów ergodycznych. Będziemy dokładnie o tym pisać w następnym rozdziale.. 4.2. Chaos dla układów zachowujących miarę. Jednym z najbardziej fundamentalnych pojęć w teorii ergodycznej jest pojęcie miary niezmienniczej (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, S.W. Fomin i inni 1987, I.N. Bronsztejn i inni 2004, R. Rudnicki 2004, A.L. Dawidowicz.

(44) 34. ROZDZIAŁ 4. CHAOS I TEORIA ERGODYCZNA. Rozklad poczatkowy jednorodny. Poczatkowy rozklad normalny. 4.5. 9. 4. 8. 3.5. 7. 3. 6. 2.5. 5. 2. 4. 1.5. 3. 1. 2. 0.5. 1. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 0. 0. 0.2. (a). (b). Pf, rozkl pocz jedn. 4. 8. 3.5. 7. 3. 6. 2.5. 5. 2. 4. 1.5. 3. 1. 2. 0.5. 1. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 0. 0. 0.2. 0.4. x. 1. 0.6. 0.8. 1. 0.8. 1. x. (c). (d). 2. 2. P f, rozkl pocz jedn. P f, rozkl pocz norm. 4.5. 9. 4. 8. 3.5. 7. 3. 6. 2.5. 5. 2. 4. 1.5. 3. 1. 2. 0.5 0. 0.8. Pf , rozkl pocz norm 9. 0. 0.6. x. 4.5. 0. 0.4. x. 1. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. x. x. (e). (f). Rysunek 4.2: W lewej kolumnie w dół ewolucja jednorodnego rozkładu 5000 punktów, na które działa odwzorowanie logistyczne (4.3), w prawej ewolucja rozkładu normalnego. ((a), (b)): rozkłady początkowe ((c), (d)): rozkłady po pierwszej iteracji odwzorowania ((e), (f)): po drugiej iteracji..

(45) 4.2. CHAOS DLA UKŁADÓW ZACHOWUJĄCYCH MIARĘ. P3f, rozkl pocz jedn. P3f, rozkl pocz norm. 4.5. 9. 4. 8. 3.5. 7. 3. 6. 2.5. 5. 2. 4. 1.5. 3. 1. 2. 0.5. 1. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 0. 0. 0.2. 0.4. x. (a). 4. 8. 3.5. 7. 3. 6. 2.5. 5. 2. 4. 1.5. 3. 1. 2. 0.5. 1. 0.6. 0.8. 1. 0. 0. 0.2. (c). (d). 4. 8. 3.5. 7. 3. 6. 2.5. 5. 2. 4. 1.5. 3. 1. 2. 0.5. 1. 0.4. 1. 0.8. 1. P4500f, rozkl pocz norm 9. 0.2. 0.6. x. P4500f, rozkl pocz jedn. 0. 0.4. x. 4.5. 0. 0.8. P f, rozkl pocz norm 9. 0.4. 1. (b). P f, rozkl pocz jedn. 0.2. 0.8. 4. 4.5. 0. 0.6. x. 4. 0. 35. 0.6. 0.8. 1. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. x. x. (e). (f). Rysunek 4.3: Ciąg dalszy z Rysunku 4.2 ((a), (b)): po trzeciej iteracji ((c), (d)): po czwartej iteracji ((e), (f)): po iteracji numer 4500..

(46) 36. ROZDZIAŁ 4. CHAOS I TEORIA ERGODYCZNA Orbita dla x0=0.3 α=4 1. Odw kw, histogram dla trajektorii, α=4 x0=0.3 3. 0.9. 2.5. 0.8 0.7. 2. xk. 0.6 0.5. 1.5. 0.4. 1. 0.3 0.2. 0.5. 0.1 0. 1. 500. 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000. 0. 0. 0.2. 0.4. 0.6. k. xk. (a). (b). 0.8. 1. Rysunek 4.4: (a): Trajektoria odwzorowania logistycznego (4.3) dla punktu początkowego x0 = 0.3 po 5000 iteracji odwzorowania (b): histogram dla punktów wzdłuż tej trajektorii. 2007, P. Collet i J-P. Eckamnn 1980, W. Parry 1981, P. Collet 2005), które jest konsekwencją twierdzenia Liouville’a (zob. np. W. Szlenk 1982, L.D. Landau i J.M. Lifszyc 2007, V.I. Arnold 1989, T. Nadzieja 1996, J.R. Dorfman 2001) Odwzorowania (lub potoki) zachowujące miarę wykazują trzy główne poziomy nieregularności zachowań są to (od najniższego do najwyższego poziomu) ergodyczność, mieszanie, dokładność. Pomiędzy ergodycznością i mieszaniem można wyznaczyć jeszcze lekkie mieszanie (ang. light mixing), łagodne mieszanie (ang. mild mixing) i słabe mieszanie (ang. weak mixing) (A. Lasota, M.C. Mackey 1994, C.E. Silva 2010). Z kolei na poziomie podobnym do dokładności określa się tzw. K-potoki (lub Kwłasność, K-automorfizm) (zob. R. Rudnicki 1985a, R. Rudnicki 1985b, R. Rudnicki 2004) oraz (A. Lasota, M.C. Mackey 1994). W tej rozprawie będziemy rozważać tylko ergodyczność i mieszanie. Sformalizujemy teraz te pojęcia oraz przedstawimy przykłady niskowymiarowych odwzorowań ergodycznych i mieszających aby zrozumieć charakterystyczne zachowania związane z tymi własnościami. Oznaczmy przez {St }t≥0 system semidynamiczny lub semipotok na przestrzeni metrycznej X, to znaczy 1. S0 (x) = x dla każdego x ∈ X, 2. St (St0 (x)) = St+t0 (x) dla każdego x ∈ X, i t, t0 ∈ R+ , 3. S : X × R+ → X jest ciągłą funkcją (t, x)..

(47) 4.2. CHAOS DLA UKŁADÓW ZACHOWUJĄCYCH MIARĘ. 37. Miarą na X będziemy nazywali dowolną miarę probabilistyczną zdefiniowaną na σ-algebrze podzbiorów Borelowskich zbioru X. Miara µ nazywana jest niezmienniczą względem semipotoku {St }t≥0 jeżeli µ(A) = µ(S −t (A)) dla każdego t ≥ 0 i każdego A ∈ B. S −t (A) := (S t )−1 (A).. 4.2.1. Ergodyczność. Oznaczmy przez (S, µ) semipotok {St }t≥0 z miarą niezmienniczą µ. Semipotok (S, µ) jest ergodyczny (mówimy również, że miara jest ergodyczna) jeżeli miara µ(A) dowolnego niezmienniczego zbioru A równa się 0 lub 1. Rozważmy teraz dwa proste przykłady. Przykład 5 Niech S : [0, 2π) → [0, 2π) będzie odwzorowaniem obrotu na okręgu o promieniu 1 o kąt φ (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, I.N. Bronsztejn i inni 2004, R.L. Devaney 1987, J.R. Dorfman 2001) S(x) = x + φ. (mod 2π).. (4.8). Gdy wyrażenie φ/2π jest wymierne możemy znaleźć niezmiennicze zbiory, których miara różni się od 0 lub 1, zatem S nie jest ergodyczne (zob. Rysunek 4.5 (a)). Jednak gdy to wyrażenie jest niewymierne wtedy S jest ergodyczne (dowód można znaleźć w (A. Lasota, M.C. Mackey 1994, p. 75) lub √ w innym ujęciu w (R.L. Devaney 1987, p. 21)). Jeżeli weźmiemy np. φ = 2 i wybierzemy dowolny punkt na okręgu, możemy zaobserwować, że kolejne iteracje tego punktu pod działaniem S wypełniają gęsto dostępną przestrzeń (okrąg) (zob. Rysunek 4.5 (b) i (c)). Przykład 6 Aby lepiej zrozumieć typowe cechy zachowania ergodycznego rozważmy następujące odwzorowanie (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, p. 68) √ √ S(x, y) = ( 2 + x, 3 + y) (mod 1). (4.9) Jest to rozszerzenie odwzorowania obrotu (4.8) z poprzedniego przykładu na przestrzeń [0, 1]×[0, 1] → [0, 1]×[0, 1]. Na Rysunku 4.6 można zobaczyć rezultat działania odwzorowania (4.9) na zbiór 103 punktów rozłożonych losowo na obszarze [0, 0.1]×[0, 0.1]. Odwzorowanie przesuwa początkowy obszar i nie rozrzuca punktów po całej dostępnej przestrzeni. Gdy zmierzymy odległość euklidesową pomiędzy dwoma blisko siebie położonymi punktami ze zbioru początkowego zauważymy, że jest ona stała w każdej iteracji (zob. Rysunek.

(48) 38. ROZDZIAŁ 4. CHAOS I TEORIA ERGODYCZNA Odwnaokrmod2pi,pocz=pi/4,fi=sqrt(2),gesttrajpo10001iter. odw na okr mod 2pi, pocz linspace(pi/8,pi/4), fi=pi/4 1. 0.18. 0.8. 0.16. 0.6. 0.14. Odwnaokrmod2pi,pocz=pi/4,fi=sqrt(2),gesttrajpo10001iter 90. 0.2 60. 120 0.15 0.1. 150 0.4. 0.12. 30. 0.05. 0.2 0.1. 180. 0. 0. 0.08. −0.2 0.06. −0.4 210. 0.02. −0.8 −1 −1. 330. 0.04. −0.6. −0.5. 0. (a). 0.5. 1. 0. 240. 300 270. 0. pi/2. pi. 3pi/2. 2pi. (b). (c). Rysunek 4.5: (a): Przykładowy niezmienniczy zbiór dla φ = π/4 (b): Znormalizowany (do gęstości prawdopodobieństwa) histogram pokazujący, że punkt √ pod działaniem odwzorowania (4.8) przy φ = 2 gęsto wypełnia okrąg (c): ten sam znormalizowany histogram, ale w innej formie. 4.7). I rzeczywiście ”popularne” kryterium chaosu, to znaczy wrażliwość na małą zmianę warunku początkowego nie jest własnością układów ergodycznych. Ich własnoscią są gęste trajektorie. Sformułujemy precyzyjnie ten fakt trochę dalej. Można także rozszerzyć odwzorowanie (4.9) na trzy wymiary np. w następujący sposób √ √ √ S(x, y, z) = ( 2 + x, 3 + y, 5 + z). (mod 1).. (4.10). Możemy zobaczyć jak w przestrzeni trójwymiarowej zachwuje się układ egodyczny (zob. Rysunek 4.8). Jednym z najważniejszych twierdzeń w teorii ergodycznej jest Indywidualne Ergodyczne Twierdzenie Birkhoff ’a (G.D. Birkhoff 1931a, G.D. Birkhoff 1931b, G.D. Birkhoff, B.O. Koopman 1932, A. Lasota, M.C. Mackey 1994, S.W. Fomin i inni 1987, W. Szlenk 1982, A.L. Dawidowicz 2007, T. Nadzieja 1996, J. Górnicki 2001, J.R. Dorfman 2001). Tutaj podamy popularne rozszerzenie tego twierdzenia (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, p. 64), (S.W. Fomin i inni 1987, p. 46). Przypomnijmy, że przez (S, µ) oznaczamy semiprzepływ {St }t≥0 z miarą niezmienniczą µ. Twierdzenie 4 (Twierdzenie Birkhoff ’a rozszerzone) Niech potok (S, µ) będzie ergodyczy. Wtedy dla każdej µ-całkowalnej funkcji f : X → R, średnia z f wzdłuż trajektorii potoku S jest równa prawie wszędzie średniej z f po.

(49) 4.2. CHAOS DLA UKŁADÓW ZACHOWUJĄCYCH MIARĘ Odw erg, iter 1, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. Odw erg, iter 2, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. 1. Odw erg, iter 3, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. 1. 0. 1. 1. 0. 1. (a). 0. 1. (b). Odw erg, iter 4, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. (c). Odw erg, iter 5, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. 1. Odw erg, iter 6, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. 1. 0. 1. 1. 0. 1. (d). 0. 1. (e). Odw erg, iter 7, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. (f). Odw erg, iter 8, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. 1. Odw erg, iter 9, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]. 1. 0. 1. 39. 1. 0. 1. (g). 0. 1. (h). (i). Rysunek 4.6: Odwzorowanie ergodyczne (4.9) działające na zbiór 103 punktów rozłożonych losowo w [0, 0.1] × [0, 0.1].. −5. 1. x 10. Odw erg, odl 2 pkt (0.02,0.09), (0.02,0.090001), met eukl. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0. 1. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100. iteracja. Rysunek 4.7: Odległość euklidesowa pomiędzy dwoma dowolnie wybranymi blisko położonymi punktami, na które działa odwzorowanie (4.9)..

(50) 40. ROZDZIAŁ 4. CHAOS I TEORIA ERGODYCZNA. Odwerg3d,iter1,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. Odwerg3d,iter3,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. Odwerg3d,iter2,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. 0 1. z. 1. z. 1. z. 1. 0 1. 0 1. 1. y. 0. 0. 1. y. x. (a). 0. 0. 1. y. x. (b). Odwerg3d,iter4,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. z. z. z. 1. 0 1. 0 1. 1. y. 0. 0. 1. y. x. (d). 0. 0. 1. y. x. (e). Odwerg3d,iter7,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. z. z 0 1. 0. 0. (g). x. x. 1. 0 1. 1. y. 0. (f). 1. z. 1. 0. Odwerg3d,iter9,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. Odwerg3d,iter8,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. 0 1. x. (c). 1. 0 1. 0. Odwerg3d,iter6,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. Odwerg3d,iter5,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1]. 1. 0. 1. y. 0. 0. (h). x. 1. y. 0. 0. x. (i). Rysunek 4.8: Odwzorowanie ergodyczne (4.10) działające na zbiór 104 punktów rozłożonych losowo w [0, 0.1] × [0, 0.1] × [0, 0.1]..

(51) 4.2. CHAOS DLA UKŁADÓW ZACHOWUJĄCYCH MIARĘ przestrzeni X; to jest Z Z 1 1 T f (St (x))dt = f (x)µ(dx) lim T →∞ T 0 µ(X) X. p.w.. 41. (4.11). Jeżeli podstawimy f = 1A do równania (4.11) (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, R. Rudnicki 2004, A.L. Dawidowicz 2007) to lewa strona równania (4.11) jest średnim czasem odwiedzania zbioru A, a prawa strona jest µ(A). To odpowiada ergodyczności w rozumieniu Boltzmann’a, co w skrócie wyraża się następująco, średni czas z jakim cząstka układu fizycznego przebywa w danym obszarze jest proporcjonalny do jego naturalnej miary prawdopodobieństwa (A.L. Dawidowicz 2007, J.R. Dorfman 2001, T. Nadzieja 1996, J. Górnicki 2001, G.D. Birkhoff, B.O. Koopman 1932, J. L. Lebowitz i O. Penrose 1973). Mogliśmy się przekonać, że ergodyczność ”w czystej” formie nie musi być związana z nieprzewidywalnymi zachowaniami. Miara niezmiennicza i ergodyczna musi posiadać dodatkowe własności, żeby była interesująca z dynamicznego punktu widzenia. Mówiąc bardzo ogólnie powinna być nietrywialna, to znaczy np. nie powinna być skupiona na pojedynczym punkcie. W punkcie spełnione są warunki twierdzenia Birkhoff’a (średnia po zbiorze jest równa średniej wzdłuż pojedynczych trajektorii), ale nie jest to zbyt ciekawy przypadek. Dlatego zakłada się, że aby wnioski z tego twierdzenia były ciekawe to nośnik miary powinien być dość dużym zbiorem (zob. np. I.N. Bronsztejn i inni 2004, s. 891). Zgodnie z naszą wiedzą dwa podejścia do tego zagadnienia wymieniane są w literaturze specjalistycznej. Oba co do głównych idei wydają się być podobne, ale w literaturze występują oddzielnie. Jednym jest teoria sformułowana przez G. Prodi’ego (1960) (także przez C. Foias’a (1973)), która mówi, że stacjonarne turbulencje pojawiają się, gdy potok posiada nietrywialną miarę niezmienniczą i ergodyczną. Teoria ta została mocno rozwinięta przez A. Lasotę (1979, 1981) (zob. także A. Lasota i J.A. Yorke 1977, A. Lasota i J. Myjak 2002, A. Lasota i T. Szarek 2004) i dalej przez R. Rudnickiego (1985a, 1988, 2009), (zob. także J. Myjak, R. Rudnicki 2002) i A.L. Dawidowicza (1992a, 1992b) (zob. także A.L. Dawidowicz i inni 2007). Inne podejście używa pojęcia miar SRB (Sinai’a, Ruelle’a, Bowen’a) (zob. np. I.N. Bronsztejn i inni 2004, J.R. Dorfman 2001, S.R Taylor 2004, W. Tucker 1999). Na koniec rozważań o układach ergodycznych sformalizujmy ważny wniosek. Rozważmy miary µ dodatnie na wszystkich niepustych podzbiorach.

(52) 42. ROZDZIAŁ 4. CHAOS I TEORIA ERGODYCZNA. otwartych X (zob. R. Rudnicki 2004, s. 727, Proposition 1). Jeżeli semipotok (S, µ) jest ergodyczny, to dla µ-p.w. x trajektoria ϑ(x) = {S t (x) : t ≥ 0} jest gęsta. Zatem cechą układów ergodycznych jest gęsta trajektoria.. 4.2.2. Mieszanie. Rozważmy teraz pojęcie mieszania, które reprezentuje wyższy poziom nieregularności zachowań niż ergodyczność. Literatura fizyczna stwierdza, że pojęcie układu mieszającego wprowadził J.W. Gibbs (zob. J.R. Dorfman 2001, s. 18, 65). Semipotok (S, µ) jest mieszający (zob. np. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, R. Rudnicki 2004, I.N. Bronsztejn i inni 2004) jeżeli lim µ(A ∩ St−1 (B)) = µ(A)µ(B)) dla wszystkich A, B ∈ B.. t→∞. (4.12). To oznacza, że ułamek punktów, które dla t = 0 są w A i dla dużych t są w B dany jest jako iloczyn miar zbiorów A i B w X. Układy mieszające są również ergodyczne. Przykład 7 Rozważmy odwzorowanie mieszające (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, p. 57, 65, 68) S(x, y) = (x + y, x + 2y). (mod 1).. (4.13). Jest to przykład dyfeomorfizmu Anosova (D.V. Anosov 1963)(zob. także I.N. Bronsztejn i inni 2004, p. 903). Na Rysunku 4.9 przedstawionych jest kilka pierwszych iteracji odwzorowania (4.13) działającego na zbiór 103 punktów rozłożonych losowo na obszarze [0, 0.1] × [0, 0.1]. Punkty są rozrzucane po całej dostępnej przestrzeni i następnie odwzorowanie dosłownie ”miesza” je w całej przestrzeni. Odległość euklidesowa pomiędzy dwoma dowolnymi punktami startującymi bardzo blisko siebie najpierw szybko rośnie, a następnie oscyluje nieregularnie (zob. rysunek 4.10). Widać zatem wyraźną różnicę zachowania układu mieszającego i omawianego wcześniej układu ergodycznego. Typową cechą układów mieszających jest wrażliwość na małą zmianę warunków początkowych. Podobnie jak dla układu ergodycznego (4.9) możemy rozszerzyć odwzorowanie mieszające (4.13) na trzy wymiary np. do następującego odwzorowania S(x, y, z) = (x + y + z, x + 2y + z, x + y + 3z). (mod 1).. (4.14). Na Rysunku 4.11 przedstawionych jest kilka pierwszych iteracji odwzorowania (4.14)..