3.3 Miara i całka Lebesgue’a
Podamy twierdzenie za pomocą, którego zdefiniujemy miarę Lebesgue’a (zob. R. Rudnicki 2001, s. 458).
Twierdzenie 2 Niech X = Rn i niech A będzie σ− algebrą zbiorów bore-lowskich w X. Wtedy istnieje dokładnie jedna miara λn określona na A taka, że dla dowolnego prostokąta
P = [a1, b1] × . . . × [an, bn]
mamy
λn(P ) = (b1 − a1) · . . . · (bn− an).
Miarę zdefiniowaną w twierdzeniu2nazywamy miarą Lebesgue’a na
zbio-rach borelowskich. Miara Lebesgue’a jest uogólnieniem pojęcia objętości
na zbiory borelowskie.
Definicja 12 Niech X będzie niepustym zbiorem, A σ− algebrą na X i ¯
R = R ∪ {−∞, ∞}. Funkcję f : X → ¯R nazywamy mierzalną, jeżeli zbiór {x ∈ X : f (x) > a}
jest mierzalny przy dowolnym a ∈ R.
Twierdzenie 3 Jeżeli X jest przestrzenią metryczną, a A jest σ− algebrą zbiorów borelowskich, to dowolna funkcja ciągła f : X → R jest mierzalna.
Niech X będzie ustalonym zbiorem, a A σ− algebrą podzbiorów zbioru
X. Dla dowolnego zbioru A ⊂ X funkcję
111A= ½
1, gdy x ∈ A,
0, gdy x /∈ A (3.2)
nazywamy funkcją charakterystyczną zbioru A. Jeżeli A ∈ A, to funkcja charakterystyczna 111A jest mierzalna.
Niech A1, . . . , Anbędą dowolnymi podzbiorami X, a c1, . . . , cndowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję postaci
f (x) =
n
X
i=1
ci111Ai(x)
nazywamy funkcją prostą. Jeżeli zbiory A1, . . . , Ansą mierzalne to funkcja prosta jest mierzalna.
Definicja 13 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Niech
A1, . . . , An, E będą zbiorami mierzalnymi, a c1, c2, . . . , cn dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Całką Lebesgue’a z funkcji prostej
f (x) =
n
X
i=1
ci111Ai(x)
po zbiorze E względem miary µ nazywamy liczbę
n X i=1 ciµ(Ai∩ E) (3.3) i oznaczamy Z E f (x)dµ(dx). (3.4) Jeżeli funkcja f jest mierzalna i nieujemna, a E jest zbiorem mierzalnym to przyjmujemy Z E f dµ(dx) = sup ½ Z E gdµ(dx) : 0 ≤ g ≤ f, g − funkjca prosta ¾ . (3.5) Niech f+(x) = max(0, f (x)) i f−(x) = max(0, −f (x)). Zauważmy, że f (x) = f+(x) − f−(x).
Jeśli przynajmniej jedna z całek REf+dµ(dx), REf−dµ(dx) jest skończona,
to wyrażenie Z E f dµ(dx) = Z E f+dµ(dx) − Z E f−dµ(dx) (3.6) nazywamy całką Lebesgue’a z funkcji f po zbiorze E. Mówimy wtedy, że
funkcja f ma całkę Lebesgue’a na zbiorze E. Jeżeli całka Lebesgue’a jest
skończona to mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Lebesgue’a
na zbiorze E. Jeżeli f jest całkowalna na X to mówimy po prostu, że f jest całkowalna w sensie Lebesgue’a.
3.3. MIARA I CAŁKA LEBESGUE’A 27
Definicja 14 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech p będzie liczbą rzeczywistą 1 ≤ p ≤ ∞. Rodzina wszystkich możliwych mierzalnych funkcji rzeczywistych f : X → R spełniająca
Z
X
|f (x)|pµ(dx) < ∞ (3.7) jest przestrzenią Lp(X, A, µ) (będziemy pisać krótko Lp).
Gdy p = 1 wtedy przestrzeń L1 składa się ze wszystkich możliwych funkcji całkowalnych.
Normę f w przestrzeni Lp określamy następującym wyrażeniem
||f ||Lp = · Z X |f (x)|pµ(dx) ¸1/p . (3.8)
Rozdział 4
Chaos i teoria ergodyczna
W literaturze dotyczącej systemów dynamicznych można znaleźć wiele defi-nicji chaosu oraz kilka różnych podejść do jego badania (zob. np. R. Rudnicki 2004, R.L. Devaney 1987, I.N. Bronsztejn i inni 2004). W tej rozprawie bę-dzie nas szczególnie interesowało podejście, w którym chaos jest badany przy użyciu narzędzi teorii ergodycznej (A. Lasota 1979, R. Rudnicki 1985a, R. Rudnicki 2009, R. Rudnicki 2004, A.L. Dawidowicz 1992a). Za początek teorii ergodycznej można prawdopodobnie uznać moment kiedy L. Boltzmann sfor-mułował hipotezę ergodyczną (w 1868 roku (zob. np. T. Nadzieja 1996, J. Górnicki 2001) lub w 1871 roku według (J. L. Lebowitz i O. Penrose 1973)).
4.1 Zbiory Gibbs’a i symulacje ewolucji
gę-stości stanów
Teoria ergodyczna ma swoje źródła w badaniu układów bardzo wielu cząstek (np. gazów), w których chaos mikroskopowy (nieregularne zachowania po-szczególnych cząstek) prowadzi do makroskopowej statystycznej regularności na całym zbiorze cząstek. Ta regularność (charakterystyczna dla tzw. ukła-dów ergodycznych) wyraża się w stacjonarnej gęstości rozkładu stanów osią-ganej po pewnym czasie ewolucji dynamicznej układu. Zatem przyjmujemy, że warunkiem początkowym dla systemu dynamicznego jest pewna funkcja gęstości i następnie badamy jej ewolucję w czasie. Książka A. Lasoty i M.C. Mackey’a (1994) jest poświęcona takiemu podejściu do badania systemów dy-namicznych. Transformację gęstości wyznacza liniowy operator, zwany ope-ratorem Frobenius’a-Perron’a. Dla niektórych systemów da się go wyznaczyć,
a dla niektórych jest to trudne i ewolucje gestości można próbować aprok-symować numerycznie, np. poprzez wyznaczenie bardzo dużego zbioru tra-jektorii. Można powiedzieć, że badamy wtedy ”średnie” zachowanie systemu. Koncepcję taką wprowadził J.W. Gibb’s (zob. J.R. Dorfman 2001, s. 18, 65), który stwierdzał, że ponieważ warunek początkowy pojedynczych trajektorii nigdy nie jest dokładnie (z nieskończoną precyzją) znany, to można badać średnie zachowanie całego zbioru trajektorii odpowiadających temu samemu równowagowemu stanowi układu. W fizyce duże zbiory trajektorii układu nazywane są zbiorami Gibbs’a (zob. np. J. L. Lebowitz i O. Penrose 1973).
W dalszej części rozprawy (Rozdział 6) będziemy aproksymować nume-rycznie ewolucję gęstości dla nieskończenie wymiarowego hematologicznego modelu (6.5). Aby dobrze zrozumieć istotę zagadnienia ewolucji gęstości roz-ważymy je najpierw dla prostszego układu, tj. dla jednowymiarowego odwzo-rowania logistycznego (4.3). Wcześniej jednak sformalizujemy pojęcie opera-tora Frobenius’a-Perron’a.
4.1.1 Operator Frobenius’a-Perron’a
Poniższy zestaw pojęć został przygotowany na podstawie wiadomości z książ-ki A. Lasoty i M.C. Mackey’a (1994, s. 41).
Przeciwobrazem zbioru A ⊂ X, na który działa przekształcenie S : X →
X nazywamy zbiór wszystkich punktów, które będą w A po jednym
zastoso-waniu S, co można zapisać
S−1(A) = {x : S(x) ∈ A}. (4.1)
Definicja 15 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Przekształcenie
S : X → X jest mierzalne jeżeli
S−1(A) ∈ A dla każdego A ∈ A.
Definicja 16 Przekształcenie S : X → X na przestrzeni z miarą (X, A, µ) jest niesingularne jeżeli µ(S−1(A)) = 0 dla każdego A ∈ A takiego, że
µ(A) = 0.
Definicja 17 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą. Jeżeli S : X → X jest niesingularnym przekształceniem to operator P : L1 → L1 spełniający zależność Z A P f (x)µ(dx) = Z S−1(A) f (x)µ(dx) dla A ∈ A (4.2)
4.1. ZBIORY GIBBS’A I SYMULACJE EWOLUCJI GĘSTOŚCI STANÓW31
nazywamy operatorem Frobenius’a-Perron’a.
Operatory Frobenius’a-Perron’a są specjalną klasą operatorów Markov’a (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, s. 37 i 41).
4.1.2 Przykład aproksymacji ewolucji gęstości
Przed podaniem przykładu sformalizujmy dwa pojęcia, które będą dalej uży-wane (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, s. 41)
Definicja 18 Niech (X, A, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech zbiór
D(X, A, µ) = {f ∈ L1(X, A, µ) : f ≥ 0 i ||f || = 1}. Każda funkcja
f ∈ D(X, A, µ) nazywana jest gęstością.
Definicja 19 Jeżeli f ∈ L1(X, A, µ) i f ≥ 0, to miara
µf(A) = Z
A
f (x)µ(dx),
nazywana jest absolutnie ciągłą względem miary µ i f nazywane jest
po-chodną Radona-Nikodyma µf względem µ. W szczególnym przypadku,
gdy f jest gęstością, mówimy również, że f jest gęstością µf i że µf jest
miarą znormalizowaną.
Często jako definicje miary absolutnie ciągłej podaje się jej własność mówiącą o tym, że miara ν jest absolutnie ciągła względem µ jeżeli ν(A) = 0 zawsze gdy µ(A) = 0. Czasami też mówi się, że miara absolutnie ciągła to taka, która ma gęstość.
Rozważmy teraz odwzorowanie logistyczne
S(x) = 4x(1 − x), dla x ∈ [0, 1] (4.3) przekształcające domknięty przedział [0, 1] w siebie. Można wyznaczyć (zob. (A. Lasota, M.C. Mackey 1994, s. 7) i (S.M. Ulam 1960, s. 74)), że dla (4.3) operator Frobenius’a-Perron’a ma postać
P f (x) = 1 4√1 − x " f µ 1 2− 1 2 √ 1 − x ¶ + f µ 1 2+ 1 2 √ 1 − x ¶# . (4.4) Równanie (4.4) opisuje jak odwzorowanie (4.3) przekształca daną gęstość f w nową gęstość P f . Dla przykładu weźmy gęstość początkową f (x) ≡ 1
(zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994). Gdy wstawimy ją do równania (4.4) otrzymamy nową gęstość
P f (x) = 1
2√1 − x, (4.5)
po jednej iteracji odwzorowania (4.3). Wstawiając teraz ją do do równania (4.4) otrzymamy gestość po drugiej iteracji odwzorowania (4.3)
P (P f (x)) = P2f (x) = √ 2 8√1 − x " 1 p 1 +√1 − x+ 1 p 1 −√1 − x # . (4.6)
W ten sposób iteracyjnie możemy wyznaczać ewolucję gęstości początkowej
f (x) ≡ 1. Na Rysunku 4.1 (a) (b) i (c) przedstawione są kolejno gęstość początkowa f (x) ≡ 1 oraz jej transformacje dane wzorami (4.5) i (4.6). Dla odwzorowania (4.3) istnieje gęstość graniczna, do której dąży w toku ewolucji każda gęstość początkowa. S.M. Ulam i J. von Neumann (1947) (zob. także (A. Lasota, M.C. Mackey 1994, s. 8 i 53) i (S.M. Ulam 1960, s. 74)) pokazali, że ta gęstość graniczna ma postać
fgr(x) = 1
πpx(1 − x). (4.7)
Jest ona przedstawiona na Rysunku 4.1 (d).
W przypadku odwzorowania (4.3) ewolucję gęstości można wyznaczyć do-kładnie. W dalszej części rozprawy (rozdział 6) będziemy rozważali system, dla którego nie wiadomo czy da się to zrobić zatem ewolucję gęstości będzie-my chcieli aproksymować numerycznie. Teraz aproksymujebędzie-my numerycznie ewolucję gęstości dla odwzorowania (4.3) aby sprawdzić, jakie wyniki da me-toda numeryczna, którą zastosujemy w porównaniu z dokładnymi rozwiąza-niami. Do aproksymacji ewolucji gęstości zastosujemy najprostszy sposób, to znaczy obliczymy duży zbiór trajektorii odwzorowania (4.3) i wyznaczymy hi-stogramy zliczające ilość punktów trajektorii w podzbiorach całej przestrzeni [0, 1] dla kolejnych iteracji odwzorowania. Następnie histogramy znormalizu-jemy do histogramów o jednostkowym polu powierzchni otrzymując w ten sposób przybliżenie funkcji gęstości. Na Rysunku 4.2 i 4.3 widać rezultat takiego działania. W lewej kolumnie mamy aproksymację ewolucji gęstości rozkładu jednorodnego, a w prawej rozkładu normalnego. Rokłady były za-dane dla 5000 punktów początkowych. Widać, że dla rozkładu jednorodnego