6.3 Weryfikacja obliczeniowa hipotezy A. Lasoty
6.3.4 Własności mieszające i turbulencje
Przeprowadzone eksperymenty numeryczne sugerują, że potok trajektorii równania (6.5) wykazuje własności typowe dla układów mieszających (zob. Rozdział 4.2.2). W szczególności wszystkie trajektorie są niestabilne (tzn. układ jest wrażliwy na małą zmianę warunku początkowego) oraz funkcje korelacji dla dużego zbioru trajektorii oraz dla pojedynczych trajektorii i ich przesunięć czasowych szybko maleją do zera (zob. Rozdział 4.2.2). Do-datkowo charakter zaniku korelacji dla pojedynczych trajektorii wydaje się spełniać warunki definicji trajektorii turbulentnych w sensie Bass’a (zob. Rozdział (4.2.2). Ponadto, gdy odpowiednio dobierzemy przestrzeń do wi-zualizacji ewolucji dużego zbioru trajektorii, to jego zachowanie pod
wpły-500 505 510 515 520 525 530 7 8 9 10 11 12 13 sigma=0.8,rho=0.46,gamma=1,s=8,start=8,h=2 t
N(t)
(a) 7 8 9 10 11 12 13 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 N(t) sigma=0.8,rho=0.46,gamma=1,s=8,start=8,h=2 (b) 6 7 8 9 10 11 12 13 6 7 8 9 10 11 12 13 sigma=0.8,rho=0.46,gamma=1,s=8,start=8,h=2 N(t) N(t−h) (c) (d)Rysunek 6.24: Ilustracje rozwiązania okresowego równania (6.5) dla ρ = 0.46, σ = 0.8, s = 8, γ = 1, i h = 2 (a): fragment przebiegu czasowego trajektorii (b): histogram średniej wzdłuż trajektorii na przestrzeni wartości chwilowych N(t) (c): rzut trajektorii na płaszczyznę N(t) × N(t − h) (d) histogram średniej wzdłuż trajektorii na N(t) × N(t − h)
6.3. WERYFIKACJA OBLICZENIOWA HIPOTEZY A. LASOTY 101 0 5 10 15 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Norma supremum,zbior (a) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Norma supremum RL1977,sig0.8r0.46s8g1h10,trajwnormiesup (b) 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 L1,zbior (c) 20 40 60 80 100 120 140 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 L1, trajektoria (d) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6x 10 −3 L2 ,zbior (e) 0 500 1000 1500 2000 0 0.5 1 1.5x 10 −3 trajwnormieL2 (f)
Rysunek 6.25: Numerycznie wyznaczone histogramy aproksymujące gęstości graniczne dla zbiorów trajektorii obliczonych jako ciąg norm z ewoluującego stanu (a): norma supremum (c): norma L1 (e): norma L2). Histogramy dla pojedynczych trajektorii (b): norma supremum (d): norma L1 (f): norma L2
wem działania równania (6.5) przypomina proces ”rozmieszywania” zbioru do pewnej niezmienniczej objętości. Takie zachowanie jest bardzo podobne do opisywanych w literaturze fizycznej (zob. np. J.R. Dorfman 2001, J. L. Le-bowitz i O. Penrose 1973) typowych eksperytmentów laboratoryjne przedsta-wiających proces mieszania (przedstaprzedsta-wiających fizyczne własności układów mieszających). Różnica jest taka, że w procesie typowego mieszania punk-ty rozprowadzane po całej dostępnej objętości (przestrzeni) osiągają rozkład jednorodny (zob. Rozdział4.2.2) tutaj natomiast rozkład graniczny w obrębie niezmienniczej objętości nie jest jednorodny, jego numeryczne przybliżenie w wybranych podprzestrzeniach przedstawione jest na Rysunkach 6.21 i 6.22).
Niestabilność trajektorii
Na Rysunku6.26 przedstawione są zmiany odległości pomiędzy dwoma tra-jektoriami układu (6.5) startującymi z funkcji początkowych o stałych war-tościach różnych o 0.0001. Badane były zmiany odległości pomiędzy warto-ściami chilowymi trajektorii (Rysunek 6.26 (a)) oraz odległości w normach supremum (Rysunek 6.26 (b)), L1 (Rysunek 6.26 (c)), i L2 (Rysunek 6.26 (d)) dla rozwiązań równania (6.5) rozważanego jako ”przesuwający” się stan (zob. Rozdział 6.3.2). Widać, że odległości w normach na początku są bar-dzo niewielkie, następnie szybko rosną i dalej oscylują nieregularnie, dokład-nie tak jak dla modelowego układu mieszającego (4.13), który badaliśmy w Rozdziale (4.2.2(zob. Rysunek4.10). Wykres odległości między wartościami chwilowymi również wskazuje na niestrabilność trajektorii.
Szybki zanik korelacji i turbulencje w sensie Bass’a
Charakter funkcji korelacji dla potoku trajektorii oraz dla pojedynczych tra-jektorii i ich przeunięć czasowych badano numerycznie odpowiednio dostoso-wując do specyfiki równania (6.5) metodykę przedstawioną na niskowymia-rowym układzie w Rozdziale 4.2.2. Konkretnie korelacje badano pomiędzy oddalającymi się w czasie ciągami wartości chilowych oraz ciągami norm su-premum, L1 i L2 dla dużych zbiorów trajektorii oraz dla pojedynczych tra-jektorii i ich przeunięć czasowych. W każdym przypadku charakter funkcji korelacji przypominał typowy dla układów mieszających, to znaczy szybko zanikała ona do zera przy zwiększającej się odległości czasowej τ (zob. Ry-sunki6.27 i 6.28).
6.3. WERYFIKACJA OBLICZENIOWA HIPOTEZY A. LASOTY 103 0 100 200 300 400 500 0 2 4 6 8 10 12 14 t
Rozn. wart. chwil.
(a) 0 200 400 600 800 1000 1200 0 2 4 6 8 10 12 14 t
Norma supremum
(b) 0 200 400 600 800 1000 1200 0 10 20 30 40 50 60 70 tNorma w L
1
(c) 0 200 400 600 800 1000 1200 0 100 200 300 400 500 600RL1977,sig0.8r0.46s8g1h10,niestabtraj,norma L 2 ,pocz1=8,pocz2=8.0001 tNorma w L
2
(d)Rysunek 6.26: Niestabilność trajektorii (a) w przestrzeni wartości chwilowych
0 10 20 30 40 50 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 RL1977,korelacjaodt950co0.1,corr tau korelacja (a) 0 50 100 150 200 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 RL1977,korelacjatraj,corr tau correlation (b) 0 5 10 15 0 5 10 15 RL1977,rozrzutodt950 ensemble of N(950) ensemble of N(950) (c) 0 5 10 15 0 2 4 6 8 10 12 14 RL1977,rozrzutodt950 ensemble of N(950) ensemble of N(950+50) (d) 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14 RL1977,rozrzuttraj,N(t)iN(t) N(t) N(t) (e) 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 RL1977,rozrzuttraj,N(t)iN(t+tau),tau=200 N(t) N(t+tau),tau=200 (f)
Rysunek 6.27: Szybkie zanikanie korelacji dla równania (6.5) (a): dla zbioru 104 trajektorii (b): dla pojedynczej trajektorii i jej przesunięcia czasowego. ((c) i (d)): rozrzut dla zbioru trajektorii i przesunięć czasowych odpowiednio
τ = 0 i τ = 50. ((e) i (f)): rozrzut dla pojedynczej trajektorii i jej przesunięć
6.3. WERYFIKACJA OBLICZENIOWA HIPOTEZY A. LASOTY 105 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 RL1977,korelacjaodt950co0.1normasupremum,corr tau Korelacja (a) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 RL1977,korelacjatrajnormasup,corr tau Korelacja (b) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 RL1977,korelacjaodt950co0.1normaL1,corr tau Korelacja (c) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 RL1977,korelacjatrajnormaL1,corr tau Korelacja (d) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −0.5 0 0.5 1 RL1977,korelacjaodt950co0.1normaL2,corr tau Korelacja (e) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 RL1977,korelacjatrajnormaL2,corr tau Korelacja (f)
Rysunek 6.28: Szybkie zanikanie korelacji w normach dla zbiorów trajektorii (a): norma supremum (c): norma L1 (e): norma L2 oraz dla trajektorii i jej przesunięcia czasowego (b): norma supremum (d): norma L1 (f): norma L2
nie ma prostej budowy np. nie jest punktem, lub zbiorem przyciągającym trajektorie okresowe1. Zauważmy też, że szybki zanik korelacji do zera dla pojedynczych trajektorii i ich przesunięć czasowych odpowiada definicji 21 trajektorii turbulentnych w sensie Bass’a (zob. Rozdział 4.2.2). Stwierdzili-śmy wcześniej, że istnieją średnie wzdłuż trajektorii (zob. Rysunki6.22i6.25 (b) (d) (f)) co odpowiada warunkowi 1 z definicji 21. Z kolei zanik korelacji do zera przy zwiększającej się wartości przesunięcia czasowego τ odpowiada warunkom2 i3 z definicji 21.
Wizualizacja własnosci mieszania
Gdy odpowiednio wybierze się przestrzeń można zobrazować jak duży zbiór punktów jest w niej ”rozmieszywany” pod wpływem działania równania (6.5). Wróćmy do rozważanej wcześniej przestrzeni N(t) × N(t − h/2) × N(t − h). Na Rysunku6.29(omawianym wyżej ale pod innym kątem) można zobaczyć wybrane etapy mieszania zbioru 104 punktów o rozkładzie wykładnicznym na prostej (zob. Rysunek6.29(a)). Gdy ogląda się ewolucję tego zbioru w formie animacji filmowej to wygląda to dokładnie jakby ten początkowy rozciągnięty zbiór był rozmieszywany, np. przy pomocy jakiegoś mieszadła. W literaturze fizycznej (zob. np. J.R. Dorfman 2001, J. L. Lebowitz i O. Penrose 1973) omawiane są doświadczenia labolatoryjne służące do demonstracji procesu mieszania polegające mniej więcej na ty, że w jednym ośrodku zanurzony jest inny ośrodek który jest po nim równomiernie rozprowadzany. Tutaj ma-my podobną sytuację tylko rozkład punktów w rezultacie mieszania nie jest równomierny, jego numeryczne przybliżenie w wybranych podprzestrzeniach przedstawione jest na Rysunkach6.21 i 6.22).
Formalnie rzecz ujmując, moglibyśmy na podstawie przedtsawionych wy-ników obliczeniowych sformułować podejrzenie, że dla równania (6.5 istnieje niezmiennicza miara mieszająca, którą ”wspiera” atraktor o nieprostej struk-turze. Prawdopodobnie też prawie wszystkie trajektorie układu są turbulent-ne w sensie Bass’a. Zatem uzyskaturbulent-ne wyniki numeryczturbulent-ne sugerują prawdziwość hipotezy A. Lasoty o nietrywialnych własnościach ergodycznych równania (6.5). Dodatkowo na podstawie przeprowadzonej analizy można by podejrze-wać, że układ jest chaotyczny w sensie Auslander’a i Yorke’a (zob. Rozdział 4.2.2).
6.3. WERYFIKACJA OBLICZENIOWA HIPOTEZY A. LASOTY 107 5 10 15 5 10 155 10 15 N(0) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(−5) N(−10) (a) 0 5 10 15 0 5 10 150 5 10 15 N(15) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(10) N(5) (b) 0 5 10 15 0 5 10 150 5 10 15 N(50) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(45) N(40) (c) 0 5 10 15 0 5 10 150 5 10 15 N(150) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(145) N(140) (d) 0 5 10 15 0 5 10 150 5 10 15 N(200) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(195) N(190) (e) 0 5 10 15 0 5 10 150 5 10 15 N(500) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(495) N(490) (f) 0 5 10 15 0 5 10 150 5 10 15 N(700) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(695) N(690) (g) 0 5 10 15 0 5 10 150 5 10 15 N(800) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(795) N(790) (h) 0 5 10 15 0 5 10 150 5 10 15 N(900) RL1977,ewgestzb1250poczrwykl N(895) N(890) (i)
Rysunek 6.29: Wybrane etapy ewolucji w przestrzeni N(t) × N(t − h/2) ×
N(t − h) dużego zbioru punktów, na które działa równanie (6.5). Punkty
po-czątkowo rozłożone wykładniczo na linii (Rysunek (a)) zostają rozmieszane w obrębie pewnej objętości niezmieniającej się dla dłuższych czasów symulacji
Rozdział 7
Uwagi końcowe
W rozprawie doktorskiej rozważam model dynamiki odpowiedzi erytropo-etycznej sformułowany przez A. Lasotę (1977). Model dzięki odpowiedniej formie sprzeżenia zwrotnego z opóźnionym argumentem pozwala na zadawa-nie zarówno prawidłowego fizjologiczzadawa-nie monotoniczzadawa-nie malejącego charak-teru odpowiedzi erytropoetycznej, jak i charakcharak-teru zaburzonego niemono-tonicznego (unimodalnego) odpowiadającego medycznie patologicznym wa-runkom zaistniałym w organiźmie, bądź stanowi bliskiemu śmierci organizmu (M. Ważewska-Czyżewska 1983, s. 165-167). W takich krytycznych stanach organizmu obserwowane są nieregularne zmiany ilości krążących w krwiobie-gu erytrocytów, podczas gdy prawidłowo działający układ krwiotwórczy ma bardzo silną tendencję do utrzymywania ilości erytrocytów na stałym po-ziomie (M. Ważewska-Czyżewska i A. Lasota 1976, s. 24). A. Lasota (1977) podejrzewał, że jedną z możliwych przyczyn tej nieregularnej dynamiki może być konkretna struktura układu. Formalizując chodzi o istnienie miar nie-zmienniczych o nietrywialnych własnościach ergodycznych, z czego wynika, że układ jest chaotyczny w określonym sensie (zob. Rozdział 4). A. Laso-ta posLaso-tawił hipotezę (zob. rozdział 6.2) dotyczącą istnienia takich miar w sformułowanym przez siebie (i badanym w tej rozprawie) modelu odpowie-dzi erytropoetycznej (6.5). Z punktu widzenia matematycznego hipoteza w języku teorii ergodycznej stawia problem istnienia chaotycznych rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych z opóźnieniem, dodatkowo wydaje się ona być uogólnieniem na tę klasę równań wcześniejszej hipotezy S.M. Ula-ma (1960) o nietrywialnych własnościach ergodycznych odwzorowań odcinka [0, 1] w siebie (zob. Rozdziały 4.3 i 6).
Główne oryginalne wyniki tej rozprawy doktorskiej to: 109
• Monograficzne opracowanie podstaw badania chaosu przy użyciu na-rzędzi teorii ergodycznej (zob. Rozdział4i w szczególnosci podrozdział 4.2 tego rozdziału).
• Zaprojektowanie odpowienich eksperymentów obliczeniowych na nisko-wymiarowych odwzorowaniach (jedno, dwu i trójnisko-wymiarowych), dla których istnienie własności ergodycznych jest udowodnione matema-tycznie, w celu numerycznego znalezienia ”symptomów” chaosu wyni-kającego z własnosci ergodycznych.
• Szczegółowe opracowanie wiadomości biologiczno-medycznych dotyczą-cych funkcjonowania i budowy układu odpowiedzi erytropoetycznej (zob. Rozdział2).
Autor uznaje opracowania monograficzne wymienionych zagadnień za jeden z wyników tej rozprawy, ponieważ omówione zagadnienia nie są szeroko zna-ne (o czym można się przekonać uczestnicząc w konferencjach i seminariach zarówno krajowych jak i zagranicznych), a ponadto są integralną częścią ana-lizy przeprowadzonej na głównym obiekcie badań tej rozprawy czyli równaniu (6.5). Innymi słowy mówiąc analiza równania (6.5) jest przeprowadzona na fundamencie teoretycznym i metodyce obliczeniowej z rozdziału 4, z kolei rozdziały 2oraz 5 zawierają wiadomości, które pozwalają znaleźć różnicę w uwarunkowaniach biologiczno-medycznych oraz różnice strukturalne pomię-dzy badanym modelem, a wielką ilością innych modeli dotyczących dynamiki układu krwiotwórcze występujących w literaturze.
• Wyprowadzenie zależności (6.13) na pobudzenie układu produkcji ery-trocytów, gdy ta produkcja zadana jest unimodalna funkcją odpowiada-jącą nietypowej erytropoezie. Dzięki otrzymanej zależności można lepiej zrozumieć rolę potęgi s (która według wiedzy autora nie była wcześniej interpetowana w literaturze) występującej w funkcji unimodalnej ba-danego równania (6.5). Reprezentuje ona stopień zaburzenia normalnej odpowiedzi erytropoetycznej. Wyliczony wzór dobrze wpasowuje się w dotychczasowe wyniki A. Lasoty i M. Ważewskiej-Czyżewskiej (1976) bowiem dla s = 0 otrzymane równanie (6.13) przyjmuje postać podanej przez nich zależnosci na pobudzenie układu dla nieliniowości odpowia-dającej normalnej erytropoezie, gdy jednak s > 0 zależność odpowiedzi erytropoetycznej zniekształca się, a pobudzenie jest wyhamowywane i
111 to wyhamowywanie jest tym większe im większe jest s. A. Lasota i M. Ważewska-Czyżewska (1976) wyprowadzili monotonicznie maleją-cą żależność dla normalnej odpowiedzi erytropoetycznej wprowadzając zależność na pobudzenie układu. Autor otrzymał wzór (6.13) poprzez zastosowanie rozumowania odwrotnego, to znaczy dla danej nieliniowo-ści unimodalnej wyliczony został stopień pobudzenia układu.
Wyniki w zakresie weryfikacji obliczeniowej hipotezy A. Lasoty dotyczącej nietrywialnych własności ergodycznych równania (6.5) (zob. Rozdział 6). W szczególności wyznaczenie zakresu parametrów, dla których:
• symulacje wskazują na istnienie gładkiej niezmienniczej gęstości gra-nicznej w odpowiednio wybranych przestrzeniach,
• symulacje wskazują na podstawową własność systemów ergodycznych tzn., że średnie czasowe wzdłuż pojedynczych trajektorii są równe śred-nim po zbiorze trajektorii,
• symulacje wskazują, że trajektorie układu (6.5) są niestabilne (układ jest wrażliwy na małą zmianę warunków początkowych),
• symulacje wskazują, że układ (6.5) wykazuje bardzo szybki zanik do ze-ra funkcji korelacji dla zbiorów tze-rajektorii i dla pojedycznych tze-rajektorii i ich przesunięć czasowych, co jest typowe dla układów mieszających. Brak korelacji sugeruje również, że atraktor przyciągający trajektorie nie ma prostej struktury,
• zanik korelacji do zera dla pojedynczych trajektorii odpowiada definicji trajektorii turbulentnych w sensie Bass’a,
• dla wybranych trójwymiarowych podprzestrzeni udaje się pokazać, że układ zachowuje się podobnie do opisywanych w literaturze klasycznych eskperymentów labolatoryjnych przedstawiających własność mieszania,
• w świetle przedstawionej w rozdziale 4.2 teorii symulacje sugerują, że układ może być chaotyczny w sensie Auslander’a i Yorke’a.
Z punktu widzenia matematycznego uzyskane wyniki obliczeniowe suge-rują, że dla wyznaczonego zakresu parametrów istnieje atraktor o nieprostej strukturze, wspierający niezmienniczą miarę mieszającą oraz, że prawie każ-da trajektoria układu jest turbulentna w sensie Bass’a. W konsekwencji układ może byc również chaotyczny w sensie Auslander’a i Yorke’a. Zatem przed-stawione wyniki numeryczne popierają hipotezę A. Lasoty o istnieniu nie-trywialnych własności ergodycznych układu. Z punktu widzenia biologiczno-medycznego wyniki sugerują, że w warunkach zaburzonej erytropoezy mogą wystąpić nieregularne zmiany ilości krążących w krwiobiegu erytrocytów. Jest to zjawisko, które jest przeciwieństwem reakcji prawidłowo działąjącego układu krwiotwórczego, który ma bardzo silną tendencję do do utrzymywa-nia ilości krwinek czewronych na stałym poziomie. Z tego między innymi względu wydaje się prawdopodobne, że długotrwałe utrzymywanie się w or-ganiźmie stanu, któremu towarzyszą nieregularne zmiany ilości krążącychy w krwiobiegu erytrocytów nie jest możliwe.
Bibliografia
Ackleh, A.S, Deng, K., Ito, K. i Thibodeaux, J. 2006. A structured eryth-ropoiesis model with nonlinear cell maturation velocity and hormone decay rate. Mathematical Biosciences 204, 21-48.
Adimy, M., Bernard, S., Clairambault, J., Crauste, F., G´enieys, S. i Pujo-Menjouet, L. 2008. Mod´elisation de la dynamique de l’h´ematopo¨i`ese normale et pathologique, H´ematologie Revue vol. 14, no. 5.
Adimy, M. i Crauste, F. 2009. Mathematical model of hematopoiesis dyna-mics with growth factor-dependent apoptosis and proliferation regula-tions, Mathematical and Computer Modelling 49, 2128-2137.
Adimy, M., Crauste, F., Halanay, A., Meamtu, M. i Opris, D. 2006a. Stability of limit cycles in a pluripotent stem cell dynamics model, Chaos Solitons
& Fractals 27, 1091-1107.
Adimy, M. i Crauste, F. 2003. Global stability of a partial differential equ-ation with distributed delay due to cellular replicequ-ation, Nonlinear
Ana-lysis 54, 1469-1491.
Adimy, M., Crauste, F. i Ruan, S. 2005a. A mathematical model study of the hematopiesis process with applications to chronic myelogenous leukemia,
SIAM J. Appl. Math., Vol. 65, No. 4, pp. 1328-1352.
Adimy, M., Crauste, F. i Ruan, S. 2005b. Stability and Hopf bifurcation in a mathematical model of pluripotential stem cell dynamics, Nonlinear
Analysis 6, 651-670.
Adimy, M., Crauste, F. i Ruan, S. 2006b. Modelling Hematopoiesis Mediated by Growth Factors with Applications to Periodic Hematological Dise-ases,Bulletin of Mathematical Biology.
Adimy, M., Crauste, F. i Pujo-Menjouet, L. 2005c. On the stability of a nonlinear maturity structured model of cellular proliferation, Discrete
and Continuous Dynamical Systems, Volume 12, Number 3.
Alzabut, J.O. 2008. Almost periodic solutions for an impulsive delay nichol-son’s blowflies model, Journal of Computational and Applied
Mathema-tics. 234, 233-239.
Anosov, D.V. 1963. Ergodic properties of geodesic flows on closed Riemanian manifolds of negative curvature, Sov. Math. Dokl. 4: 1153-1156.
Arnold, V.I. 1989. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Second Edi-tion. Springer-Verlag. (Tłumaczenie z rosyjskiego).
Auslander, J. i Yorke, J.A. 1980. Interval maps, factors of maps and chaos.
Tˆohoku Mathematical Journal. II. Series 32:177-188.
Bass, J. 1974. Stationary Functions and Their Applications to the Theory of Turbulence. Journal of Mathematical Analysis and Applications 47, 354-399.
Bernard, S. Pujo-Menjouet, L. i Mackey, M.C. 2003. Analysis of cell Kinetics Using a Cell Divisin Marker: Mathematical Modeling of Experimental Data. Bipohysical Journal Volume 84, 3414-3424.
Birkhoff, G. D. 1931a. Proof of a recurrence theorem for strongly transitive systems, Proceedings of The National Academy of Sciences of The United
States of America, Vol. 17, 650-655.
Birkhoff, G.D. 1931b. Proff of The Ergodic Theorem, Proceedings of The
National Academy of Sciences of The United States of America, Vol. 17
(1931), 656-660.
Birkhoff, G.D. and Koopman, B.O. 1932. Recent Contributions to The Er-godic Theory, Mathematics: Proceedings of The National Academy of
Sciences, Vol. 18, 279-282.
Bodnar, M. i Foryś, U. 2009. A model of immune system with time-dependent immune reactivity. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications Volume 70, Issue 2, 1049-1058.
BIBLIOGRAFIA 115 Bradul, N. i Shaikhet, L. 2007. Stability of the Positive Point of Equilibrium of Nicholson’s Blowflies Equation with Stochastic Perturbations: nume-rical Analysis, Hindawi Publishing Corporation Discrete Dynamics in
Nature and Society, Volume 2007, Article ID 92959, 25 stron.
Bronsztejn, I.N., Siemiendiajew, K.A., Musiol, G. and Muhlig, H. 2004.
No-woczesne Kompendium Matematyki, PWN Warszawa. (Tłumaczenie z
niemieckiego).
Carr, J.H., Rodak, B.F., 2009. Atlas Hematologii Klinicznej, wyd. 3, Else-vier Urban & Partner. Tytuł oryginału: Clinical Hematology Atlas, third edition, Saunders, an imprint of Elsevier Inc.
Chow, S-N. 1974. Existence of Periodic Solutions of Autonomous Functional Differential Equations. Journal of differential Equations 15, 350-378. Collet, P. 2005. Short ergodic theory refresher. W Proceedings of the NATO
Advanced Study Instytute in International Summer School on Chaotic Dynamics and Transport in Classical and Quantum Systems Carg`es,
Corsica, 18-30 August 2003. Kluwer Academic Publishers.
Collet, P. i Eckamnn, J-P. 1980. Iterated Maps on the Interval as Dynamical
Systems, Birkh¨auser, Boston, Basel, Berlin.
Colijn, C. i Mackey, M.C. 2005. A mathematical model of hemtopoiesis-I. Periodic chronic myelogenous leukemia. Journal of Theoretical Biology 237, 117-132.
Colijn, C. i Mackey, M.C. 2005. A mathematical model of hemtopoiesis-II. Cyclical neutropenia. Journal of Theoretical Biology 237, 133-146. Craig, J.I.O., McClelland, D.B.L, Ludlam, C.A. 2006. Choroby krwi. w
Cho-roby wewnętrzne. Davidson. Tom 3, Redakcja: N.A. Boon, N.R.
Co-oledge, B.R. Walker, Redakcja edycji międzynarodowej: J.A.A. Hunter, redakcja wydania I polskiego: F. Kokot, L. Hyla-Klekot, Elsevier Urban & Partner.
Crauste, F. 2006. Global Asymptotic Stability and Hopf Bifurcation for a Blood Cell Production Model. Mathematical Biosciences and
Dawidowicz, A.L. 1992. On Invariant Measures Supported on the Compact Sets II, Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica XXIX, 25-28. Dawidowicz, A.L. 1992. A method of construction of an invariant measure.
Annales Polonici Mathematici LVII.3, 205-208.
Dawidowicz, A.L. 2007. Metoda Aveza i jej uogolnienia. Matematyka
Stoso-wana 8, 46-55.
Dawidowicz, A.L., Haribash, N. i Poskrobko, A. 2007. On the invariant me-asure for the quasi-linear Lasota equation. Mathematical Methods in the
Applied Sciences 30, 779-787.
Demina, I.,Crauste, F.,Gandrillon, O. i Volpert, V. 2010. A multi-scale model of erythropoiesis, Journal of Biological Dynamics, Vol. 4, No. 1, 59-70. Ding, J., Li, T.Y. i Zhou, A. 2002. Finite approximations of Markov opertors.
Journal of Computational and Applied Mathematics 147, 137-152.
Ding, J., Du, Q., Li, T.Y. 1993. High Order Approximation of the Frobenius-Perron Operator. Applied Mathematics and Computation 53:151-171. Ding, J., Zhou, A. 1996. Finite approximations of Frobeniu-perron operators.
A solution of Ulam’s conjecture to multi-dimensional transformations.
Physica D 92, 61-68.
Ding, J., Zhou, A. 1999. The Projection Method for a Class of Frobenius-Perron Operators. Applied Mathematics Letters 12, 71-74.
Devaney, R.L. 1987. An Introduction to chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Dorfman, J.R. 2001. Wprowadzenie do teorii chaosu w nierównowagowej
me-chanice statystycznej, PWN, Warszawa. (Tłumaczenie z angielskiego).
Von Foerster H. 1959. Some remarks on changing populations, The kinetics of
cellular plorifelation Edited by Frederic Stohlman, Jr., Grune & Stratton
NewYork and London.
Foias, C. 1973. Statistical study of Navier Stokes equations, II, Rendiconti
BIBLIOGRAFIA 117 Foley, C., Mackey, M.C. 2008. Dynamic hematological disease: a review.
Jo-urnal of Mathematical Biology.
Fomin, S.W., Kornfeld, I.P. and Sinaj, J.G. 1987. Teoria Ergodyczna, PWN Warszawa. (Tłumaczenie z rosyjskiego).
Foryś, U. 2005. Matematyka w Biologii, WNT, Warszawa.
Galias, Z. 2003. Metody arytmetyki przedziałowej w badaniach układów
nie-liniowych. Wydawnictwa AGH, Kraków.
Galias, Z. i Zgliczyński, P. 1998. Computer assisted proof of chaos in the Lorenz equations, Physica D, vol. 115, strony 165–188.
Gurney, W.S.C., Blythe, S.P. i Nisbet, R.M. 1980. Nicholson’s blowflies re-visited, Nature 287, 17-21.
Górnicki, J. 2001. Podstawy nieliniowej teorii ergodycznej, Wiadomosci
Ma-tematyczne XXXVII, 5-16.
Hale, J. i Verduyn Lunel, S.M. 1993. Introduction to Functional Differential
Equations. Springer-Verlag New York, Inc.
Hirsh, M.W., Smale, S. i Devaney, R.L. 2004. Differential Equations,
Dyna-mical Systems, and an Introduction to Chaos, Elsevier (USA).
Kaplan, J.L. i Yorke, J.A. 1977. On the Nonlinear Differential Delay Equation
x0(t) = −f (x(t), x(t−1)). Journal of Differential Equations 23, 293-314. Keener, J., Sneyd, J. 1998. Mathematical Physiology, Springer-Verlag, New
York, Inc.
Kudrewicz, J. 1976. Analiza funkcjonalna dla automatyków i elektroników. PWN Warszawa.
Kudrewicz, J. 1991. Dynamika pętli fazowej, WNT Warszawa. Kudrewicz, J. 1993,2007. Fraktale i chaos, WNT Warszawa.
Landau, L.D., Lifszyc, J.M. 2007. Mechanika, PWN Warszawa. (Tłumaczenie z rosyjskiego).
de Larminat, P., Thomas, Y. 1983. Automatyka-układy liniowe. t.1 Sygnały
i układy, WNT, Warszawa 1983. Tytuł oryginału: Automatique des sys-temes lineaires.1. Signaux et systems, Flammarion Sciences, Paris 1975.
Lasota, A. 1977. Ergodic problems in biology, Soci´et´e Math´ematique de
Fran-ce, Ast´erisque 50, 239-250.
Lasota, A. 1978. On mappings isomorphic to r-adic transformations, Annales
Polonici Mathematici XXXV.3.
Lasota, A. 1979. Invariant Measures and a Linear Model of Turbulence,
Re-diconti del Seminario Matematico della Universita di Padova tome 61,
39-48.
Lasota, A. 1981. Stable and chaotic solutions of a first order partial diffe-rential equation. Nonlinear Analysis, Theory. Methods & Applications. Vol. 5, No. 11, strony 1181-1193.
Lasota, A., Klimek, A. 2005. Matematyka, czyli opis świata. Rozmowa z Prof. Andrzejem Lasotą przeprowadzona przez Andrzeja Klimka, dostępne na: http://www.sprawynauki.waw.pl/?section=article&art id=1620.
Lasota, A. i Mackey, M.C. 1994. Chaos, Fractals, and Noise Stochastic
Aspects of Dynamics, Springer-Verlag New York, Inc.
Lasota, A., Myjak, J. 2002. On a Dimension of Measures, Bulletin of the
Polish Academy of Sciences Mathematics Mathematics Vol. 50, No. 2,
221-235.
Lasota, A. i Szarek, T. 2002. Dimension of measures invariant with respect to the Wazewska partial differential equation, Journal of Differential
Equations 196, 448-465.
Lasota, A. i Yorke, J.A. 1973. On the existence of invariant measures for pie-cewise monotonic transformations, Transactions of the American
Ma-thematical Society 186, 481-488.
Lasota, A i Yorke, J.A. 1977. On the existence of invariant measures for transformations with strictly turbulent trajectories, Bull. Acad. Polon.
BIBLIOGRAFIA 119 Lasota, A., Mackey, M.C., Ważewska-Czyżewska, M. 1981 Minimazing the-raupetically induced anemia, Journal of Mathematical Biology 13, 149-158.
Lebowitz, J.L. i Penrose, O. 1973. Modern ergodic thery, Physics today. Li, T.Y. 1976. Finite approximation for the frobenius-Perron operator, a
solution to Ulam’s conjecture. J. Approx. Theory 17, 177-186.
Li, W.-T., Ruan, S., Wang, Z.-C. 2007. On the Diffusive Nicholson’s Blowflies Equation with Nonlocal Delay, Journal of nonlinear Science, 17:505-525. Liz, E. i R¨ost, G. 2009. On the global attractor of delay differential equations with unimodal feedback, Discrete and Continuous Dynamical Sysytems 24, 4, 1215-1224.
Mackey, M.C. 1978. Unified Hypothesis for the Origin of Aplastic Anemia and Periodic Hematopoiesis, Blood, Vol. 51, No. 5(May), 941-956. Mackey, M.C. i Glass, L. 1977. Oscillations and chaos in physiological control
systems, Science, New Series, Vol. 197, No. 4300, 287-289.
Mackey, M.C., Milton J.G., 1990. Feedback, delays and the origin of blood
cell dynamics, IMA Preprint Series 613.
Mackey, M.C. 1997. Mathematical models of hematopoietic cell replication