4.2 Chaos dla układów zachowujących miarę
4.2.1 Ergodyczność
Oznaczmy przez (S, µ) semipotok {St}t≥0 z miarą niezmienniczą µ. Semi-potok (S, µ) jest ergodyczny (mówimy również, że miara jest ergodyczna) jeżeli miara µ(A) dowolnego niezmienniczego zbioru A równa się 0 lub 1. Rozważmy teraz dwa proste przykłady.
Przykład 5 Niech S : [0, 2π) → [0, 2π) będzie odwzorowaniem obrotu na okręgu o promieniu 1 o kąt φ (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, I.N. Bronsz-tejn i inni 2004, R.L. Devaney 1987, J.R. Dorfman 2001)
S(x) = x + φ (mod 2π). (4.8) Gdy wyrażenie φ/2π jest wymierne możemy znaleźć niezmiennicze zbiory, których miara różni się od 0 lub 1, zatem S nie jest ergodyczne (zob. Rysunek 4.5 (a)). Jednak gdy to wyrażenie jest niewymierne wtedy S jest ergodyczne (dowód można znaleźć w (A. Lasota, M.C. Mackey 1994, p. 75) lub w innym ujęciu w (R.L. Devaney 1987, p. 21)). Jeżeli weźmiemy np. φ = √2 i wybie-rzemy dowolny punkt na okręgu, możemy zaobserwować, że kolejne iteracje tego punktu pod działaniem S wypełniają gęsto dostępną przestrzeń (okrąg) (zob. Rysunek 4.5 (b) i (c)).
Przykład 6 Aby lepiej zrozumieć typowe cechy zachowania ergodycznego rozważmy następujące odwzorowanie (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, p. 68)
S(x, y) = (√2 + x,√3 + y) (mod 1). (4.9) Jest to rozszerzenie odwzorowania obrotu (4.8) z poprzedniego przykładu na przestrzeń [0, 1]×[0, 1] → [0, 1]×[0, 1]. Na Rysunku4.6można zobaczyć rezul-tat działania odwzorowania (4.9) na zbiór 103 punktów rozłożonych losowo na obszarze [0, 0.1]×[0, 0.1]. Odwzorowanie przesuwa początkowy obszar i nie rozrzuca punktów po całej dostępnej przestrzeni. Gdy zmierzymy odległość euklidesową pomiędzy dwoma blisko siebie położonymi punktami ze zbioru początkowego zauważymy, że jest ona stała w każdej iteracji (zob. Rysunek
−1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
odw na okr mod 2pi, pocz linspace(pi/8,pi/4), fi=pi/4
(a)
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 Odwnaokrmod2pi,pocz=pi/4,fi=sqrt(2),gesttrajpo10001iter (b) 0.05 0.1 0.15 0.2 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 Odwnaokrmod2pi,pocz=pi/4,fi=sqrt(2),gesttrajpo10001iter (c)
Rysunek 4.5: (a): Przykładowy niezmienniczy zbiór dla φ = π/4 (b): Znorma-lizowany (do gęstości prawdopodobieństwa) histogram pokazujący, że punkt pod działaniem odwzorowania (4.8) przy φ =√2 gęsto wypełnia okrąg (c): ten sam znormalizowany histogram, ale w innej formie.
4.7). I rzeczywiście ”popularne” kryterium chaosu, to znaczy wrażliwość na małą zmianę warunku początkowego nie jest własnością układów ergodycz-nych. Ich własnoscią są gęste trajektorie. Sformułujemy precyzyjnie ten fakt trochę dalej.
Można także rozszerzyć odwzorowanie (4.9) na trzy wymiary np. w na-stępujący sposób
S(x, y, z) = (√2 + x,√3 + y,√5 + z) (mod 1). (4.10) Możemy zobaczyć jak w przestrzeni trójwymiarowej zachwuje się układ ego-dyczny (zob. Rysunek4.8).
Jednym z najważniejszych twierdzeń w teorii ergodycznej jest
Indywi-dualne Ergodyczne Twierdzenie Birkhoff’a (G.D. Birkhoff 1931a, G.D.
Birkhoff 1931b, G.D. Birkhoff, B.O. Koopman 1932, A. Lasota, M.C. Mackey 1994, S.W. Fomin i inni 1987, W. Szlenk 1982, A.L. Dawidowicz 2007, T. Nadzieja 1996, J. Górnicki 2001, J.R. Dorfman 2001). Tutaj podamy popu-larne rozszerzenie tego twierdzenia (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, p. 64), (S.W. Fomin i inni 1987, p. 46). Przypomnijmy, że przez (S, µ) oznacza-my semiprzepływ {St}t≥0 z miarą niezmienniczą µ.
Twierdzenie 4 (Twierdzenie Birkhoff’a rozszerzone) Niech potok (S, µ) będzie ergodyczy. Wtedy dla każdej µ-całkowalnej funkcji f : X → R, średnia z f wzdłuż trajektorii potoku S jest równa prawie wszędzie średniej z f po
4.2. CHAOS DLA UKŁADÓW ZACHOWUJĄCYCH MIARĘ 39
0 1
1
Odw erg, iter 1, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(a)
0 1
1
Odw erg, iter 2, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(b)
0 1
1
Odw erg, iter 3, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(c)
0 1
1
Odw erg, iter 4, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(d)
0 1
1
Odw erg, iter 5, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(e)
0 1
1
Odw erg, iter 6, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(f)
0 1
1
Odw erg, iter 7, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(g)
0 1
1
Odw erg, iter 8, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(h)
0 1
1
Odw erg, iter 9, pocz 1000 punktow rand na [0,0.1]x[0,0.1]
(i)
Rysunek 4.6: Odwzorowanie ergodyczne (4.9) działające na zbiór 103 punk-tów rozłożonych losowo w [0, 0.1] × [0, 0.1]. 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x 10
−5 Odw erg, odl 2 pkt (0.02,0.09), (0.02,0.090001), met eukl
iteracja
Rysunek 4.7: Odległość euklidesowa pomiędzy dwoma dowolnie wybranymi blisko położonymi punktami, na które działa odwzorowanie (4.9).
0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter1,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (a) 0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter2,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (b) 0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter3,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (c) 0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter4,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (d) 0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter5,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (e) 0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter6,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (f) 0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter7,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (g) 0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter8,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (h) 0 1 0 1 0 1 x Odwerg3d,iter9,pocz10000pktrandna[0,0.1]x[0,0.1]x[0,0.1] y z (i)
Rysunek 4.8: Odwzorowanie ergodyczne (4.10) działające na zbiór 104 punk-tów rozłożonych losowo w [0, 0.1] × [0, 0.1] × [0, 0.1].
4.2. CHAOS DLA UKŁADÓW ZACHOWUJĄCYCH MIARĘ 41 przestrzeni X; to jest lim T →∞ 1 T Z T 0 f (St(x))dt = 1 µ(X) Z X f (x)µ(dx) p.w. (4.11)
Jeżeli podstawimy f = 1Ado równania (4.11) (zob. A. Lasota, M.C. Mackey 1994, R. Rudnicki 2004, A.L. Dawidowicz 2007) to lewa strona równania (4.11) jest średnim czasem odwiedzania zbioru A, a prawa strona jest µ(A). To odpowiada ergodyczności w rozumieniu Boltzmann’a, co w skrócie wyra-ża się następująco, średni czas z jakim cząstka układu fizycznego przebywa w danym obszarze jest proporcjonalny do jego naturalnej miary prawdopo-dobieństwa (A.L. Dawidowicz 2007, J.R. Dorfman 2001, T. Nadzieja 1996, J. Górnicki 2001, G.D. Birkhoff, B.O. Koopman 1932, J. L. Lebowitz i O. Penrose 1973).
Mogliśmy się przekonać, że ergodyczność ”w czystej” formie nie musi być związana z nieprzewidywalnymi zachowaniami. Miara niezmiennicza i ergodyczna musi posiadać dodatkowe własności, żeby była interesująca z dy-namicznego punktu widzenia. Mówiąc bardzo ogólnie powinna być nietry-wialna, to znaczy np. nie powinna być skupiona na pojedynczym punkcie. W punkcie spełnione są warunki twierdzenia Birkhoff’a (średnia po zbiorze jest równa średniej wzdłuż pojedynczych trajektorii), ale nie jest to zbyt ciekawy przypadek. Dlatego zakłada się, że aby wnioski z tego twierdzenia były ciekawe to nośnik miary powinien być dość dużym zbiorem (zob. np. I.N. Bronsztejn i inni 2004, s. 891). Zgodnie z naszą wiedzą dwa podejścia do tego zagadnienia wymieniane są w literaturze specjalistycznej. Oba co do głównych idei wydają się być podobne, ale w literaturze występują oddziel-nie. Jednym jest teoria sformułowana przez G. Prodi’ego (1960) (także przez C. Foias’a (1973)), która mówi, że stacjonarne turbulencje pojawiają się, gdy potok posiada nietrywialną miarę niezmienniczą i ergodyczną. Teoria ta zo-stała mocno rozwinięta przez A. Lasotę (1979, 1981) (zob. także A. Lasota i J.A. Yorke 1977, A. Lasota i J. Myjak 2002, A. Lasota i T. Szarek 2004) i dalej przez R. Rudnickiego (1985a, 1988, 2009), (zob. także J. Myjak, R. Rudnicki 2002) i A.L. Dawidowicza (1992a, 1992b) (zob. także A.L. Dawi-dowicz i inni 2007). Inne podejście używa pojęcia miar SRB (Sinai’a, Ruel-le’a, Bowen’a) (zob. np. I.N. Bronsztejn i inni 2004, J.R. Dorfman 2001, S.R Taylor 2004, W. Tucker 1999).
Na koniec rozważań o układach ergodycznych sformalizujmy ważny wnio-sek. Rozważmy miary µ dodatnie na wszystkich niepustych podzbiorach
otwartych X (zob. R. Rudnicki 2004, s. 727, Proposition 1). Jeżeli semipotok (S, µ) jest ergodyczny, to dla µ-p.w. x trajektoria ϑ(x) = {St(x) : t ≥ 0} jest gęsta. Zatem cechą układów ergodycznych jest gęsta trajektoria.