Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są jednokrotne, ale nie wszystkie rzeczywiste

(1)

Rozwiązywanie układów

równań liniowych

jednorodnych o stałych

współczynnikach, gdy ...

Autorzy:

Julian Janus

2019

(2)

(1)

(2)

Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są

jednokrotne, ale nie wszystkie rzeczywiste

Autor: Julian Janus

Rozważmy układ równań różniczkowych postaci

gdzie

Omówimy wyznaczanie układu fundamentalnego dla układu ( 1 ) gdy wartości własne macierzy są jednokrotne, ale nie wszyskie rzeczywiste.

UWAGA

Uwaga 1:

Niech

będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych.

Jeżeli jest miejscem zerowym tego wielomianu to liczba sprzężona jest również miejscem zerowym tego wielomianu.

Istotnie, z własności sprzężenia dla liczb zespolonych mamy

więc jest mniejscem zerowym wielomianu ( 2 )

Wartości własne macierzy są miejscami zerowymi wielomianu:

Z uwagi 1 wynika, że jeżeli jest zespoloną wartością własną macierzy to jest też wartością własną macierzy .

UWAGA

Uwaga 2:

Jeżeli jest zespoloną wartością własną macierzy i jest wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej to jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej sprzężonej .

Istotnie, z własności sprzężenia dla liczb zespolonych mamy

więc jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej

Niech będzie zespoloną wartością własną macierzy a wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej.

(t) = A ⋅ x(t),

x

′

A =

⎡

,

∈ R, x(t) =

.

⎣

⎢⎢

a

11

⋮

a

n1

⋯

⋱

⋯

a

1n

⋮

a

nn

⎤

⎦

⎥⎥ a

ij

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

x

1

⋮

(t)

x

n

⎤

⎦

⎥⎥

A

w(λ) =

p

n

λ

n

+

p

n−1

λ

n−1

+ ⋯ + λ +

p

1

p

0

λ = α + βi

¯¯

λ

¯

= α − βi

0 =

¯

p

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯n

λ

n

+

p

n−1

λ

n−1

+ ⋯ + λ +

p

1

p

0¯

=

p

n¯¯

λ

¯ n

+

p

n−1¯¯

λ

¯ n−1

+ ⋯ +

p

1

λ

¯¯¯

+

p

0

λ

¯¯¯

A

|A − λI| =

p

n

λ

n

+

p

n−1

λ

n−1

+ ⋯ + λ + = 0

p

1

p

0

λ

A

¯¯

λ

¯

A

λ

A v

v

¯¯¯ ¯¯

_λ

¯

0 =

¯

(A − λI) ⋅ v

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

=

¯

(A − λI)

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

⋅ = (A − I) ⋅

¯¯¯

v

¯¯

_λ

¯

_v

¯¯¯

v

¯¯¯ ¯¯

_λ

¯

_.

λ = α + βi

A

v

v ,

λt ¯¯¯t

(3)

(3) (4) Z uwagi 2 wynika, że funkcje są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu ( 1 ).

Korzystając z zależności

funkcje można zapisać następująco:

gdzie oznacza część rzeczywistą a część urojoną.

Ponieważ zbiór rozwiązań układu równań różniczkowych ( 1 ) jest przestrzenią wektorową to następujące funkcje,

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami tego układu.

Stąd wynika, że dla wartości własnych zespolonych i wystarczy wyznaczyć tylko wektor własny dla wartości własnej .

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych ( 1 ) gdy

Wyznaczamy wartości własne macierzy

więc są jednokrotnymi wartościami własnymi macierzy Wyznaczymy teraz kolejno podprzestrzenie własne i odpowiadające wartościom własnym Jeśli

Jeśli Wtedy

Rozwiązujemy układ równań

Zatem

Niech wtedy funkcja

jest rozwiązaniem układu ( 1 ).

v ,

e

λt ¯¯¯

_v

_e

λ¯¯¯t

=

(cos(βt) + i sin(βt)),

e

λt

_e

αt+βti

_e

αt

_e

βti

_e

αt

v ,

e

λt ¯¯¯

_v

_e

λ¯¯¯t

v

e

λt

= (R(v) + iI(v)) (cos(βt) + i sin(βt)) =

_e

αt

_e

αt

[R(v) cos(βt) − I(v) sin(βt) + i(R(v) sin(βt) + I(v) cos(βt))],

= (R(v) − iI(v)) (cos(βt) − i sin(βt)) =

[R(v) cos(βt) − I(v) sin(βt) − i(R(v) sin(βt) + I(v) cos(βt))]

v

¯¯¯

_e

λ¯¯¯t

_e

αt

_e

αt

R

I

(t) = (v +

) = R(v ) =

(R(v) cos(βt) − I(v) sin(βt)),

x

1 1₂

e

λt ¯¯¯

v

e

λ¯¯¯t

e

λt

e

αt

(t) = (v −

) = I(v ) =

(R(v) sin(βt) + I(v) cos(βt))

x

2 _2i1

e

λt

v

¯¯¯

e

λ¯¯¯t

e

λt

e

αt

λ λ

¯¯¯

v

λ

A =

⎡

.

⎣

⎢

−1

1 −1

−1

1

0

2

0

1 ⎤

⎦

⎥

A

|A − λI| =

∣

= (1 − λ)[(1 − λ + 1] = 0

∣

1 − λ

−1

1 − λ

0

2

0 1 − λ

∣

)

2

= 1,

= 1 + i,

= 1 − i

λ

1

λ

2

λ

3

A. V

1

V

2

λ

1

,

λ

2

.

= 1.

λ

1

= {x : (A − I) ⋅ x = 0, } gdzie x =

.

V

1

⎡

⎣

⎢

x

12

x

3

⎤

⎦

⎥

(A − I) ⋅ x = 0

⋅

=

⟺ {

⎡

⎣

⎢

−1

0 −1

−1

0

2

0

0 ⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

x

12

x

3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

0

0 ⎤

⎦

⎥

− + 2 = 0

x

2

x

3

− = 0

x

1

= 2

x

2

x

3

= 0.

x

1

=

,

∈ R

.

V

1

⎧

⎩

⎨

⎪

⎡

⎣

⎢

2x

0

3

x

3

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

0

2

1 ⎤

⎦

⎥x

3

x

3

⎫

⎭

⎬

⎪

=

,

v

1

⎡

⎣

⎢

0

2

1 ⎤

⎦

⎥

(t) =

=

,

x

1

v

1

e

t

⎡

⎣

⎢

0

2

1 ⎤

⎦

⎥e

t

(4)

Jeśli Jeśli Wtedy

Rozwiązujemy układ równań

Zatem

Ponieważ

to z zależności ( 3 ) i ( 4 ) wynika, że funkcje

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami rozpatrywanego układu, odpowiadające wartościom własnym i Rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) ma postać:

gdzie są to dowolne stałe rzeczywiste.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 16:16:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=3584adde767927178f561d7aa6ecc0bf