Sprawdzian 1 z Podstaw Matematyki Grupa A
...
Imi¦ Nazwisko Grupa Nr. indeksu
Zad 1.
Niech n i x b¦d¡ liczbami caªkowitymi ujemnymi. Badamy twierdzenie: Je»eli iloraz liczb n i x jest wi¦kszy od 2 to n > x .
a) Napisz twierdzenia odwrotne i przeciwstawne. b) Sprawd¹ które z nich s¡ prawdziwe.
Zad 2.
Sprawd¹ czy nast¦puj¡ce wyra»enie jest tautologi¡. (p ∧ r) ∨ (r ⇒ q).
Zad 3.
Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∀n∈N n2 < 2n − 7 b) ∃t∈R 3t = t2 + 1
c) ∀t∈R ∃n∈N (n − t)2 > 3 d) ∃t∈R ∀n∈N (n − t)2 > 3
gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych. Zad 4.
Znajd¹ podzbiory liczb naturalnych A, B, C ⊂ N, dla których nie zachodzi: (A ∪ C) \ (B ∪ C) = (A ∩ B)
Zad 5.
Niech An b¦dzie odcinkiem −2 −n3, 3 − n1
. Opisz zbiory: a) T∞ n=3 An b) T 6 n=1 An c) S ∞ n=6 An d) S 9 n=1 An.
Sprawdzian 1 z Podstaw Matematyki Grupa B
...
Imi¦ Nazwisko Grupa Nr. indeksu
Zad 1.
Niech n i x b¦d¡ liczbami caªkowitymi. Badamy twierdzenie:
Je»eli iloczyn liczb n i x jest wi¦kszy od ich sumy to n i x s¡ liczbami dodatnimi. a) Napisz twierdzenia odwrotne i przeciwstawne.
b) Sprawd¹ które z nich s¡ prawdziwe. Zad 2.
Sprawd¹ czy nast¦puj¡ce wyra»enie jest tautologi¡. (p ∧ r) ⇒ (r ∨ q).
Zad 3.
Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∀n∈N n − 7 < n2 b) ∃t∈R t2 = 5t + 1
c) ∀t∈R ∃n∈N n − t > 3 d) ∃t∈R ∀n∈N n − t ≥ 3
gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych. Zad 4.
Znajd¹ podzbiory liczb naturalnych A, B, C ⊂ N, dla których nie zachodzi: (A \ C) ∪ (B \ C) = A ∩ B
Zad 5.
Niech An b¦dzie odcinkiem −2 +n1, 2 + 3n
. Opisz zbiory: a) T∞ n=3 An b) T 6 n=1 An c) S ∞ n=6 An d) S 9 n=1 An.
Sprawdzian 1 z Podstaw Matematyki Grupa C
...
Imi¦ Nazwisko Grupa Nr. indeksu
Zad 1.
Niech n i x b¦d¡ liczbami caªkowitymi. Badamy twierdzenie: Je»eli (n + x)2 < 4 to n − x ≤ 1 .
a) Napisz twierdzenia odwrotne i przeciwstawne. b) Sprawd¹ które z nich s¡ prawdziwe.
Zad 2.
Sprawd¹ czy nast¦puj¡ce wyra»enie jest tautologi¡. (p ⇒ r) ∧ (r ∨ q).
Zad 3.
Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∃n∈N (n − 7)2 < n2 b) ∀t∈R t2 < 5t + 1
c) ∀t∈R ∃n∈N (n − t)2 < 3 d) ∃t∈R ∀n∈N (n − t)2 < 3
gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych. Zad 4.
Znajd¹ podzbiory liczb naturalnych A, B, C ⊂ N, dla których nie zachodzi: (A \ C) ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) \ C
Zad 5.
Niech An b¦dzie odcinkiem −2n, 2 − n1
. Opisz zbiory: a) T∞ n=3 An b) T 6 n=1 An c) S ∞ n=6 An d) S 9 n=1 An.
Sprawdzian 1 z Podstaw Matematyki Grupa D
...
Imi¦ Nazwisko Grupa Nr. indeksu
Zad 1.
Niech n i x b¦d¡ liczbami naturalnymi. Badamy twierdzenie: Je»eli liczba n3 dzieli x2 to n dzieli x .
a) Napisz twierdzenia odwrotne i przeciwstawne. b) Sprawd¹ które z nich s¡ prawdziwe.
Zad 2.
Sprawd¹ czy nast¦puj¡ce wyra»enie jest tautologi¡. (p ∧ r ∧ q) ⇒ (p ∨ q).
Zad 3.
Udowodnij lub znajd¹ kontrprzykªad na nast¦puj¡ce twierdzenia: a) ∀n∈N (n − 7)2 < n − 2 b) ∃t∈R t3 = 3t + 2
c) ∀n∈N ∃t∈R n − 3t > 2 d) ∃n∈N ∀t∈R n − 3t > 2
gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, za± R zbiór liczb rzeczywistych. Zad 4.
Znajd¹ podzbiory liczb naturalnych A, B, C ⊂ N, dla których nie zachodzi: (A ∩ C) ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C
Zad 5.
Niech An b¦dzie odcinkiem −3 +n3, 2 + 1n
. Opisz zbiory: a) T∞ n=3 An b) T 6 n=1 An c) S ∞ n=6 An d) S 9 n=1 An.
