Cwiczenie 1. Sprawd´ ´ z, czy nast¸epuj¸ ace odwzorowania s¸ a formami liniowymi:

ALGEBRA I R

Przestrze´ n dualna, annihilatory Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Sprawd´ ´ z, czy nast¸epuj¸ ace odwzorowania s¸ a formami liniowymi:

a) D : C ^∞ (R) 3 f 7→

p

X

n=0

a _n d ⁿ f

dt ⁿ (t ₀ ) ∈ R, a _n ∈ R, p ∈ N, t ₀ ∈ R,

b) D : C ⁰ ([0, 1]) 3 f 7→

Z t

t

e ^ax

f (x ⁰ )dx ⁰ ∈ R, a ∈ R, t 0 , t ₁ ∈ [0, 1],

c) Tr : M (n, K) 3





x ₁₁ . . . x ₁₂ . . . . . . . . . x n1 . . . x nn



 7→

n

X

i=1

x _ii ∈ K.

Cwiczenie 2. Dana jest przestrze´ ´ n liniowa M ₂ (R) macierzy 2 × 2 o wsp´o lczynnikach w R. Oblicz baz¸ e dualn¸ a bazy

m ₁ :=  1 0 0 1



, m ₂ :=  0 1 0 1



, m ₃ :=  1 1 1 1



, m ₄ :=  1 0 1 1

 .

Cwiczenie 3. Dana jest przestrze´ ´ n C ⁰ ([−1, 1]) funkcji ci¸ ag lych na [−1, 1]. Dane s¸ a podprzestrzenie P = {f ∈ C ⁰ ([−1, 1]) | f (x) = f (−x)}, N = {f ∈ C ⁰ ([−1, 1]) | f (x) =

−f (−x)}. Dowie´s´c, ˙ze P ⊕ N = C ⁰ ([−1, 1]). Skonstruuj podprzestrzeni B ₁ , B ₂ ⊂ [C ⁰ ([−1, 1])] ^∗ takie, ˙ze

f ∈ P ↔ ω ₁ (f ) = 0 ∀ω ₁ ∈ B ₁ , f ∈ N ↔ ω ₂ (f ) = 0 ∀ω ₂ ∈ B ₂ .

Cwiczenie 4. Dana jest podprzestrze´ ´ n R n [·] wielomian´ ow o wsp´ o lczynnikach w ciele R stopnia mniejszego/r´ ownego n. Dana jest baza P ₀ = 1, . . . , P _n = t ⁿ wielomian´ ow R n [·].

Zbuduj baz¸e dualn¸ a.

Cwiczenie 5. Dana jest podprzestrze´ ´ n V przestrzeni liniowej E. Udowodnij, ˙ze zbi´ or V ^◦ wszystkich form liniowych ω ∈ E ^∗ takich, ˙ze ω(V ) = 0 jest podprzestrzeni¸ a liniow¸ a przestrzeni E ^∗ . Je˙zeli dim E < ∞, wyka˙z, ˙ze dim V ^◦ = dim E − dim V .

Cwiczenie 6. Dane s¸ ´ a podprzestrzenie V, W przestrzeni liniowej E. Udowodnij, ˙ze

(V + W ) ^◦ = V ^◦ ∩ W ^◦ , V ^◦ + W ^◦ ⊂ (V ∩ W ) ^◦ , V ⊂ V ^◦◦

Je˙zeli dim E < ∞, to V ^◦◦ = V i V ^◦ + W ^◦ = (V ∩ W ) ^◦ .

1