10. Twierdzenia Tonellego, Fubiniego i o zamianie zmiennych
Ćw. 10.1 Policz całki iterowane i pokaż, że funkcja f nie jest całkowalna.f (x, y) = 1, x < y < x + 1 −1, x − 1 < y < x 0, w przeciwnym przypadku. Ćw. 10.2 Oblicz Z A 1 (1 + y)3 l 3 (dxdydz), gdzie A = {(x, y, z); x + z ¬ 1, y 1, z 0, x 0}. Ćw. 10.3 Oblicz dla A = (0, 1) × (0, 1) Z A x − y |x − y|xI(x6=y)(x, y) l 2(dxdy). Ćw. 10.4 Oblicz R
A3x2y2 l2(dxdy), gdzie A = {(x, y); x2 < y < 2x2, 1 < xy < 2}.
Ćw. 10.5 Oblicz całkę
Z
D
q
x2+ y2 l2(dxdy),
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi o równaniach x2+y2 = 4 i x2+y2 = 9.
Ćw. 10.6 (1996) Niech f (x, y) = lnq(x − 2)2+ (y + 1)2; (x, y) 6= (2, −1) 0; (x, y) = (2, −1). Oblicz R Uf (x, y) l2(dxdy), gdzie U = K((2, −1), 1). Ćw. 10.7 (2001) ObliczR Ucos(x2+ y2 4 )I(0,∞)(xy) l 2(dxdy), gdzie U = {(x, y); 4x2+ y2 ¬ 4}. Ćw. 10.8 (1996) ObliczR
Uz sin(x2+ y2) l3(dxdydz), gdzie U jest zbiorem otwartym w R3
ograniczonym przez powierzchnie x = 0, y = 0, z = 0, z = 1, x2+ y2 = 1.
Ćw. 10.9 Oblicz Z A z exp ( −4x 2+ y2 4 ) l3(dxdydz), gdzie A = {(x, y, z); x2+y42 ¬ 1; 0 ¬ z ¬ 1}.
Ćw. 10.11 Oblicz Z
S
(x2+ y2+ z2)−3/2 l3(dxdydz),
gdzie S jest przestrzenią zawartą pomiędzy sferami x2+ y2+ z2 = a2 i x2+ y2+ z2 = b2, a > b > 0.
