The coastal dynamics of sand waves and the influence of breakwaters and groynes

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THE COASTAL nYNAr.'ICS OF SAND WATOS AND THE I N F L U E N C E OF BREAKWATERS AND GROYNES

by

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THE COASTAL DYNAKICS OF SAND WAVES AND THE INFLUENCE OP BREAKWATERS AND GROYNES

A m a t h e m a t i c a l t h e o r y w i l l be g i v e n a b o u t " s a n d waves", an a l t e r n a t i n g a c c r e t i o n and e r o s i o n o f t h e c o a s t , w h i c h phenomenon moves a l o n g t h e c o a s t ( f i g . 1 ) . The i n f l u e n c o o f b r e a k w a t e r s ( p r e v e n t i n g a l l t r a n s p o r t ) and g r o y n e s ( p r e v e n t i n g a p a r t o f t h e t r a n s p o r t ) i s c o n s i d e r e d . O n l y t h e i n f l u e n c e o f waves i s t a k e n i n t o a c c o u n t . f i g - 1 At a c o a s t l i n e , o f w h i c h t h e d i r e c t i o n does n o t v a r y v e r y much, one c a n l i n e

-a r i s e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n l i t t o r -a l d r i f t a n d c o a s t a l d i r e c t i o n a c c o r d i n g t o t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n : c o a s t l i n e f i g . 2 ( 1 ) , i n w h i c h : Q i s t h e l i t t o r a l d r i f t , x i s t h e mean c o a s t a l d i r e c t i o n and 0 i s t h e l i t t o r a l d r i f t a t p l a c e s where t h e c o a s t a l d i r e c t i o n i s p a r a l l e l o t o t h e X - a x i s , and q i s a p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t . C o m b i n i n g e q u a t i o n ( 1 ) w i t h t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n : a X ^ t 0 ( 2 ) . one o b t a i n s t h e c o a s t a l e q u a t i o n : " ö x ^ ( 3 ) , i n w h i c h D means t h e d e p t h . One f i n d s § a s a " c o a s t a l c o n s t a n t " . T h i s e q u a t i o n h a s been f o u n d e a r l i e r by P e l n a r d - C o n s i d o r e . A p e r i o d i c a l s o l u t i o n , n o t m e n t i o n e d b y Pelnard-Considère, f o r m s : y = Ae''^'' c o s ( w t ~ k x + Cp, ) + Be^^ c o s ( w t + k x + (f^) •

(3)

2

-i n w h -i c h

The amount o f A, B, (f^ and «f^ d e p e n d s o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

-The f i r s t t e r m o f (4 ) i s a "sandwave" m o v i n g and a t t e n u a t i n g i n p o s i t i v e

x - d i r e c t i o n , t h e second one a sandwave, m o v i n g and a t t e n u a t i n g i n n e g a t i v e

x - d i r e c t i o n . R e s t r i c t i n g us t o t h e f i r s t t e r m (B = 0 ) , w h i c h o c c u r s a t a s e m i - i n f i n i t e c o a s t l i n e , w h i c h i s a t r e s t a t x = o o , one o b t a i n s f o r t h e w a v e - l e n g t h : = . 4TrT . . , ( 5 ^ ) -( and f o r t h e v e l o c i t y o f p r o p a g a t i o n :

^ = V

D

• " F "

( 5 ) Of c o u r s e , t h i s w i l l n o t be t h e v e l o c i t y o f t h e s e d i m e n t , w h i c h c a n be i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n . A c c o r d i n g t o ( 1 ) , t h e l i t t o r a l d r i f t a m o u n t s : Q = + q , Ak y7 e*^^ c o s ( w t - kx + Cp^ + ^ ) . . . ( 6 )

From ( 6 ) i t c a n be seen t h a t t h e r e a r e many c i r c u m s t a n c e s (Q^ n e g a t i v e ,

f o r i n s t a n c e ) , t h a t t h e l i t t o r a l d r i f t i s n e g a t i v e , a l t h o u g h t h e sandwave

i s m o v i n g i n p o s i t i v e d i r e c t i o n .

The f i r s t annex and t h e d o t t e d l i n e i n t h e 6 t h one g i v e t h e shape o f t h e

( eandwave. At a d i s t a n c e o f h a l f a w a v e - l e n g t h , t h e a m p l i t u d e i s d e c r e a s e d

t o 4% o f t h e o r i g i n a l one,

I?

U n t i l now, wc d i d n o t have t o r e s t r i c t o u r s e l v e s t o u n v a r y i n g wave

c h a r a c t e r i s t i c s : t h e c o a s t a l c o n s t a n t ^ c a n be f o u n d as a mean o v e r a l o n g p e r i o d , say a y e a r . I f we t a k e b r e a k w a t e r s i n t o a c c o u n t , we have t o s i m p l i f y more s e r i o u s l y . From f i g . 3 ' ' i t w i l l be s e e n , t h a t w i t h a v a r y i n g wave d i r e c t i o n a b r e a k w a t e r g e n e r a t e s a sandwave. The c o a s t l i n e r e m a i n s a t r o s t a t i n f i n i t y and t h e c o a s t a l d i r e c t i o n n e a r t h e b r e a k w a t e r i s a l l w a y s t h e d i r e c t i o n o f t h e w a v e c r e s t (Q = 0 ) ,

(4)

f i g .

t

' i g . 3' f i g - 3 I n t r i c a t e c a s e s l i k e t h i s one, h o w e v e r , we w i l l n o t t a k e i n t o a c c o u n t . We r e s t r i c t o u r s e l v e s f o r t h e n e x t p a r t t o t h e c a s e s i n w h i c h t h e wave c h a r a c t e r i s t i c s d o n ' t v a r y and i n w h i c h t h e e q u a t i o n ( 1 ) c a n be a p p l i e d n e a r t h e b r e a k w a t e r as w e l l , where t h e t r a n s p o r t Q i s z e r o . T h i s means a s m a l l a n g l e o f i n c i d e n c e o f t h e waves. The f o l l o w i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h i s case w i l l be t a k e n : Qg^Q,^,+Ql cos wt Q=0 b r e a k -w a t e r Q

4

= Ü a t t h e b r e a k w a t e r ; = + Q] c o s wt a t t h e o t h e r b o u n d a r y , a t a d i s t a n c e 1. T h i s b o u n d a r y w i l l be c a l l e d " g u l l y " f o r s h o r t n e f i s . f i g . 4 I " g u l l y " As t h e c o a s t a l e q u a t i o n i s l i n e a r , one f i n d s t h e s o l u t i o n by s u p e r -p o s i t i o n o f two c a s e s : 1 Q = 0 a t t h e b r e a k w a t e r and = a t t h e g u l l y " s t a t i o n a r y t r a n s p o r t " 2 Q s 0 a t t h e b r e a k w a t e r and Q = cos wt a t t h e g u l l y " a l t e r n a t i n g t r a n s p o r t "

The f i r s t case c a n be f o u n d e a s i l y w i t h the t h e o r y , g i v e n by

Peïnard-Considère, d e l i v e r i n g t h e c o a s t a l f o r m a t i o n o f annex 2.

T h e r e w i l l be assumed, t h a t t h e c o a s t l i n e does n o t r e a c h t h e end o f t h e

b r e a k v a t e r .

The second case can be s o l v e d f r o m e q u a t i o n (4 ) by f i t t i n g t h e c o r r e c t

v a l u e s f o r A and B. I n t h i s case a l s o a sandwave m o v i n g f r o m t h e b r e a k w a t e r

t o t h e g u l l y o c c u r s : "a r e f l e c t i o n o f t h e sandwave".

A t e v e r y p o i n t and t i m e t h e y - c o o r d i n a t e can be g i v e n as y = y c o s { w t - 9 ) ;

a f t e r some c o m p u t a t i o n s one f i n d s t h e e x p r e s s i o n s m e n t i o n e d on a,nnex: 3

(5)

4

-Annex 3 g i v e s t h e e n v e l o p e y o f t h e sandwave f o r v a r i o u s v a l u e s o f ;

Annex 4 g i v e s t h e phase © o f t h e wave;

Annex 5 g i v e s t h e e f f e c t o f t h e b r e a k w a t e r : t h e r a t i o K ^rad

i n w h i c h :

^md ^^'^ a m p l i t u d e o f t h e sandwave i n t h e case o f a b r e a k w a t e r

and y_^^ t h e a m p l i t u d e o f t h e sandwave i n t h e c a s e o f a s e m i - i n f i n i t e

c o a s t l i n e w i t h t h e same t r a n s p o r t a t t h e g u l l y : Q = Q. cos w t . g ' I f Y and ^ a r e l a r g e , t h e n the p h a s e n h i f t 6 o f Q t c y i a a b o u t - kx + k l + ? ^ A g 4 T h i a a g r e e s w i t h ( 6 ) , as if.^ - kl i n t h i s c a s e . I f ^ i a s m a l l , t h e n t h e p h a s e s h i f t i s a b o u t ^ .

Prom annex 5 i t can be s e e n , t h a t t h e i n f l u e n c e o f t h e mole i s a b o u t a

d o u b l i n g o f t h e a m p l i t u d e n e a r t h e m o l e , i f ^ i s s u f f i c i e n t l y l a r g o .

The e n v e l o p e does n o t d e c r e a s e e x p o n e n t i a l l y f r o m t h e g u l l y t o t h e m o l e ;

i t i E much more e q u a l i s e d . At some p l a c e s t h e a m p l i t u d e even d e c r e a s e s .

I f ^ i s v e r y s m a l l , t h e n t h e a m p l i t u d e becomes much l a r g e r t h e n w i t h o u t a

m o l e .

I n s t e a d o f a m o l e , p r e v e n t i n g a l l t r a n s p o r t , we now c o n s i d e r a g r o y n e

p r e v e n t i n g a p a r t o f t h e t r a n s p o r t .

F o r t h e mechanism o f t r a n s p o r t a l o n g t h e head o f t h e g r o y n e , we assume,

t h a t t h e t r a n s p o r t i s r e l a t i v e t o t h e d i s t a n c e y^ - y^, i n w h i c h y^^ and y ^ a r e t h e y - c o o r d i n a t e s o f t h e c o a s t l i n e j u s t c n t h e l e f t - and r i g h t h a n d s i d e o f t h e g r o y n e . f i g . 5 The c o n t i n u i t y e q u a t i o n s n e a r t h e g r o y n e a r e a. Q on t h e I c f t h a n d s i d e = Q on t h e i ( y , - y p ^ i g h t h a n d s i d e , so f-^-^ ) = (-T"^ ) h The t r a n s p o r t a l o n g t h e head o f t h e g r o y n e = t r a n s p o r t j u s t l e f t ( r i g h t ) o f t h e g r o y n e ,^ n t ^ A Q = A ( y ^ - y ^ ) = q

(6)

5 -The i n f l u e n c e o f t h e s t a t i o n a r y t r a n s p o r t i s o b v i o u s l y t h e f o r m a t i o n o f a " s t e p " i n t h e c o a s t l i n e o f t h e amount Q o a . T h e r e f o r e i t i s s u f f i c i e n t t o s o l v e t h e case i n w h i c h « 0; a f t e r w a r d s we c a n add t h e above m e n t i o n e d s o l u t i o n by s h i f t i n g t h e l e f t b r a n c h w i t h r e l a t i o n t o t h e r i g h t b r a n c h o v e r a d i s t a n c e a. T a k i n g t h e y-a^cis a t t h e g r o y n e , we w i l l s o l v e t h e p r o b l e m f o r t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s : y = A e'^^" cos(v/t - k x ) f o r x- » - - c > o ; y = 0 f o r X + o o . The l e f t h a n d b r a n c h ( x < 0 ) w i l l c o n s i s t o f t h e o r i g i n a l sandwave p l u s a r e f l e c * ^ e d sandwave: y = A c"*^^ c o s ( w t - k x ) + B e^'^ c o s ( w t + kx + <j>).

The r i g h t h a n d b r a n c h o n l y c o n s i s t s o f one sandwave, because y = 0 a t x =

y = C e"^^ c o s ( w t - kx + Y ) .

A f t e r s u b s t i t u t i n g t h e c o n d i t i o n s ( 7 ) a t t h e g r o y n e , one f i n d s : l a

/ / / / / ^ / / / / •

(7)

I n f i g . 7 t h e i n c i d e n t wave A, t h e r e f l e c t e d wave B a n d t h e r i g h t

-b r a n c h wave C a r e r e p r e s e n t e d i n a phase d i a g r a m f o r x = 0.

B makes an a n g l e o f 135° w i t h C, and t h e v e c t o r i a l sum o f B and C i s A.

B * The amount 7 i s a ' ^ r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t " , v a r y i n g b e t w e e n 0 a n d 1.

7 7

B 1 i n w h i c h qk 2. 2 q k

Annpx 6 g i v e s t h e shape o f t h e sandwave ( t h e t i m e t = 0 i s t a k e n a t

t h e moment o f maximum y ^ ) .

The t h e o r y a b o u t t h e b r e a k w a t e r h o l d s o n l y f o r a s m a l l a n g l e o f wave

i n c i d e n c e . T h i s c o n d i t i o n i s n o t n e c e s s a r y f o r t h e t h e o r y a b o u t t h e

g r o y n e , i n case t h a t t h e r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t i s n o t t o o l a r g e

(other\s»ise the l i n e a r i s a t i o n o f e q u a t i o n ( 1 ) may n o t be a p p l i e d ) .

CONCLUSIOHS

At a c o a s t l i n e where t h e l i t t o r a l d r i f t b y waves p r e v a i l s , p r o g r e s s i v e

sand'waves c a n e x i s t , i f t h e r e i s a p e r i o d i c a l v a r y i n g d i s t u r b a n c e i.n

one p o i n t a t t h e c o a s t and t h e c o a s t l i n e i s a t r e s t a t more t h a n h a l f

a w a v e - l e n g t h d i s t a n c e ,

2_. These sandwavee a l w a y s move f r o m t h e d i s t u r b a n c e t o t l i e p a r t o f t h e

c o a s t l i n e t h a t i s a t r e s t , i n d e p e n d a n t o f t h e d i r e c t i o n c f t h e l i t t o r a l d r i f t . 2 ' The w a v e - l e n g t h i n c r e a s e s w i t h t h e p e r i o d , b u t t h e v e l o c i t y o f p r o p a g a t i o n d e c r e a s e s . _4. A g r t j y n e r e f l e c t s a p a r t o f t h e sandwave. T h e r e f o r e t h e a m p l i t u d e o f t h e sandwave n e a r t h e g r o y n e on t h e s i d e o f t h e d i s t u r b a n c e i n c r e a s e s . On t h e o t h e r s i d e o f t h e g r o y n e t h e a m p l i t u d e i s l e s s t h a n w i t h o u t a g r o y n e .

(8)

L i t e r a t u r e H. "Pelnard-Consiaère , E s s a i de théorie de 1 ' e v o l u t i o n d e s f o r m e s de r i v a g e en p l a g e s de s a b l e e t de g a l e t 3 , S o c i ^ t ^ H y d r o t e c h n i q u e de P r a n c e , I V ^ ^ Journées de 1 ' H y d r a u l i q u e ( P a r i s , 1956) Les E n e r g i e s de l a Mer Q u e s t i o n I I I .

(9)

r T ^ S H A P E O F S A N D W A V E A S F U N C T I O N O F TIME COASTAL D Y N A M I C S A N N E X 1 S A N D W A V E S ^ S H A P E O F S A N D W A V E A S F U N C T I O N O F TIME R I J K S W A T E R S T A A T D I R E C T I E W. e n W. A F D . K U S T O N D E R Z O E K G c t « k . G s w i j z G i z l « n A c c . R I J K S W A T E R S T A A T D I R E C T I E W. e n W. A F D . K U S T O N D E R Z O E K

¥^

0. A 2 Nr. 67.060"

(10)

(11)

0 = p h a s e s h i f t b e t w e e n a d d i n g of s a n d at t h e g u l l y ( x= - l ) a n d a c c r e t i o n of t h e c o a s t y a t a d i s t a n c e X of t h e b r e a k w a t e r .

2111 , 2TCX

P) ,n Tx 2TX(UX) e ^ s i n A T i y x « ^ s i n A T t V x

U = - 4 ) = + i a r c s i n - - n r r Q i n

^ V 2 ( c o s h 4TXI/X - c o s

ATX'A)

V 2 ( c o s h4 T i y x

+COS

ATC^X)

> =01 ' — t . n o) c/1 - ' > | — I — o ^ ' o ^ m CO m ^ > cn > O

>

-0 <

>

m 5 cn Ï >

CD

CD 70 m > > — I m

>

CD

Ö

(Jl

CD

1/1 > Z m X 2 2 5 180° 135

CD

X

cn

UJ

<

•'Vlü-'yi^ -72^ - % A - ^ 2 4 - 7 2 4 - % 4 - % 4 - % 4 - % 4 - % 4 - / 2 4 0

DISTANCE TO BREAKWATER

(12)

Lü Z :>-O CC O liJ O cc O X X cr 00 CM _a>CN O CM .-CM to X Lü , UI üJ c n

O

CD

CN < (-> < Lü CL < X {/) üJ X Lü Lü > < Q cc O < O C N

<

KD Lü OJ ?

LU

t/1 ÜJ C/) Lü ^ CC Q Lü LÜ O

Q O

co co ° c

O

O II II CSI CM cn CM KM

(13)

I:

mmm

G : g u l l y with v a r i a b l e t r a n s p o r t Q g = Q c o s 2 T C Y 9 z d . e n v e l o p e of s a n d w a v e w i t h o u t b r e a k w a t e r Ymd: e n v e l o p e of s a n d w a v e with b r e a k w a t e r ymd_^ ^ 2 T l ( i ^ ) \ ^ c o s h ATIVX + C O S 4 T I V \ c o s h ATX l/X - c o s 4TI l/x

(14)

FACTO

R

O

F

ENLARGEMEN

T

O

F

AMPLITUD

E

K

SANDWAV E A T A BREAKWATER, . v EFFEC T O F BREAKWATE R O N TH E AMPLITUD E COASTA L AMMC v c DYNAMIC S ANNE X 5 SAN D WAVE S SANDWAV E A T A BREAKWATER, . v EFFEC T O F BREAKWATE R O N TH E AMPLITUD E R UKSWA T ERS T AA T DIRECTI E W . e n W . AFD . K U ST O NDERZOE K Getek . Gewijz . Gezie n Acc . R UKSWA T ERS T AA T DIRECTI E W . e n W . AFD . K U ST O NDERZOE K > ^

i/

b

B

2 Nr

. 67.057

'

(15)

(16)

.0 ó p O p P O /-i V* . N > W , , Q y -. . v .p v v;.:, y t V " m y ^v , -V p , ' 5 SANDWAV E A T A BREAKWATE R • ' ENVELOP E O F SANDWAV E ; r COASTA L

s

°/Nr

;Sl

5

ANNE X 3 , ' 5 SANDWAV E A T A BREAKWATE R • ' ENVELOP E O F SANDWAV E ; r , ' 5 R'JKSWATERSTAA T DIRECTI E W . e n W AFD . KUSTONDERZOE K Getek . Gewijz . Gezie n Acc . , ' 5 R'JKSWATERSTAA T DIRECTI E W . e n W AFD . KUSTONDERZOE K / >..••••• .