Stabilność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych

Stabilność rozwiązań

równań różniczkowych

zwyczajnych

Autorzy:

Julian Janus

2019

(1)

Stabilność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych

Stabilność rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych

Powyższy moduł jest poświęcony określeniu stabilności rozwiązań równań skalarnych i wektorowych rzędu pierwszego. Potocznie mówiąc rozwiązanie równania różniczkowego rzędu pierwszego jest stabine jeżeli niewiele zmieni się warunki początkowe to rozwiązania też niewiele się różnią od siebie.

Rozważmy równanie:

gdzie i

DEFINICJA

Definicja 1: Stabilność w sensie Lapunowa

Definicja 1: Stabilność w sensie Lapunowa

Rozwiązanie równania ( 1 ) jest stabilne w sensie Lapunowa, jeśli dla dowolnego istnieje że każde rozwiązanie tego równania, gdy warunki początkowe spełniają nierówność

to

DEFINICJA

Definicja 2: Asymptotyczna stabilność

Definicja 2: Asymptotyczna stabilność

Rozwiązanie równania ( 1 ) jest asymptotycznie stabilne jeżeli i.i. jest stabilne w sensie Lapunowa

ii.

ii. określone jest na przedziale iii.

iii. istnieje że każde rozwiązanie równania ( 1 ) jest określone na przedziale gdy

= f(t, x)

x

x = ( , …, ), t ≥

x

x

t

f(t, x) = ( (t, x), …, (t, x)).

f

f

y(t)

ε > 0

δ > 0,

x(t)

∥x( ) − y( )∥ < δ

t

t

∥x(t) − y(t)∥ < ε dla ka

dego t ≥ gdzie okre

t

lone s

oba rozwi

zania.

y(t)

[ , ∞]

t

δ > 0,

x(t)

[ , ∞]

t

(2) (3) (4) (5)

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Jeżeli funkcja jest rozwiązaniem równania ( 1 ) to funkcja tożsamościowo równa zero jest rozwiązaniem równania:

Rozwiązanie jest stabilne (asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy gdy rozwiązanie zerowe równania ( 2 ) jest stabilne (asymptotycznie stabilne).

Istotnie, rozwiązanie jest stabilne w sensie Lapunowa to dla dowolnego istnieje taka, że gdy jest rozwiązaniem równania ( 1 ) i

Niech Ponieważ

więc jest rozwiązaniem równania ( 2 ) ponadto i Zatem rozwiązanie zerowe jest stabilne w sensie Lapunowa. W drugą strone rozumowanie jest analogiczne.

Ponieważ

więc jak rozwiązanie równania ( 1 ) jest asymptotycznie stabilne to rozwiązanie zerowe równania ( 2 ) również jest asymptotycznie stabilne.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Rozważmy następujące skalarne równanie różniczkowe

Funkcja jest rozwiązaniem powyższego równania z warunkiem początkowym Zbadać stabilność w sensie Lapunowa rozwiązania

Na mocy uwagi 1 wystarczy zbadać stabilność rozwiązania zerowego następującego równania:

Rozwiązaniem powyższego równania z warunkiem początkowym jest funkcja

Bierzemy dowolne Szukamy że prawdziwa będzie implikacja

Ponieważ

więc dla implikacja jest prawdziwa, zatem rozwiązanie zerowe równania ( 4 ) jest stabilne w sensie Lapunowa. Ponieważ

więc rozwiązanie zerowe równania ( 4 ) jest asymptotycznie stabilne.

y(t)

(t) = f(t, x(t) + y(t)) − f(t, y(t)).

x

y(t)

y(t)

ε > 0

δ > 0

∥x(t) − y(t)∥ < ε

x(t)

∥x( ) − y( )∥ < δ.

t

t

z(t) := x(t) − y(t).

= − = f(t, x) − f(t, y) = f(t, z + y) − f(t, y),

z

_x

_y

z

∥z( ) − 0∥ < δ

t

∥z(t) − 0∥ < ε.

∥x(t) − y(t)∥ =

∥z(t) − 0∥ = 0

lim

lim

y(t)

+ x =

.

x

_e

y(t) = te

_{x(0) = 0.}

y(t).

+ x = 0.

x

x(0) = x

x(t) =

x

e

.

ε > 0.

δ > 0,

| − 0| < δ ⇒ |

x

x

e

− 0| < ε.

|

x

e

| = | |

x

e

≤ | | dla t ≥ 0

x

δ = ε

(5)

|

− 0| = | |

= 0

lim

x

e

x

lim

e

(6) (7)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Rozwiązaniem tego równania z warunkiem początkowym gdzie jest funkcja

Zbadać stabilność w sensie Lapunowa rozwiązania

Funkcja po prawej stronie równania ( 6 ) jest postaci więc na podstawie uwagi 1 wystarczy zbadać stabilność rozwiązania zerowego następującego równania:

Rozwiązanie równania ( 7 ) z warunkiem początkowym ma postać

Ponieważ zmierza do nieskończoności jak zmierza do nieskończoności, więc dla dowolnego nie można znależć takiej, że prawdziwa byłaby implikacja:

Zatem rozwiązanie zerowe równania ( 7 ) nie jest stabilne w sensie Lapunowa.

= t(x + 1).

x

x(0) = y

y

≠ −1

y(t) = ( + 1)

y

e

− 1.

y(t).

f(t, x) = t(x + 1),

= f(t, x + y) − f(t, y) = tx.

x

x(0) = x

x(t) =

x

e

.

| |

x

e

t

ε > 0

δ > 0

| | < δ ⇒ |

x

x

e

| < ε dla t ≥ 0.

(8) (9) (10)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

jest rozwiązaniem równania ( 8 ) z warunkiem poczatkowym Zbadać stabilność rozwiązania

Na podstawie uwagi 1 wystarczy zbadać stabilność rozwiązania zerowego następującego równania:

Rozwiązaniem równania ( 9 ), które spełnia warunek początkowy jest następująca funkcja

Bierzemy dowolne Szukamy że zachodzić będzie implikacja

Ponieważ i

Zatem dla implikacja ( 10 ) zachodzi, więc rozwiązanie zerowe równania ( 9 ) jest stabilne w sensie Lapunowa. Rozwiązanie zerowe nie jest asymptotycznie stabilne ponieważ

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 08:13:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=61398735405de53c84cf9a05a0f8c726

Autor: Julian Janus

= f(t, x), gdzie x = ( , ) i f(t, x) = (− + 1, ).

x

_x

_x

_x

_x

y(t) = ( cos t − sin t,

a

a

a

sin t + cos t + 1)

a

x(0) = ( , )

a

a

y(t).

= f(t, x + y) − f(t, y) = (− , ).

x

_x

_x

x(0) = ( , )

b

b

x(t) = ( cos t − sin t, sin t + cos t).

b

b

b

b

ε > 0.

δ > 0,

∥x(0) − (0, 0)∥ < δ ⇒ ∥x(t) − (0, 0)∥ < ε.

∥x(0)∥ =

b

+

1

b

−

−−−−

−

√

∥x(t)∥ =

√

−

( cos t − sin t + ( sin t + cos t

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

b

b

)

b

b

)

−

=

b

+

b

.

−

−−−−

−

√

δ = ε

∥x(t) − (0, 0)∥ =

≠ 0.

lim

b

+

b

−

−−−−

−

√