Rozwiązywanie układów
równań liniowych
jednorodnych o stałych
współczynnikach, gdy ...
Autorzy:
Julian Janus
2019
(1)
(2)
Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są
Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są
rzeczywiste i jednokrotne
rzeczywiste i jednokrotne
Autor: Julian JanusRozważmy układ równań postaci
gdzie
Omówimy wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań dla układu równań różniczkowych ( 1 ) gdy wartości własne macierzy są rzeczywiste i jednokrotne.
Rozwiązania układu ( 1 ) szukamy w postaci funkcji
Podstawiamy i do równania ( 1 )
Dzielimy powyższą równość obu stronie przez
Stąd wynika, że jest wartością własną macierzy a - wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej. Z powyższych rozważań wynika, że chcąc wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań układu ( 1 ) należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartości własne macierzy i odpowiadające im wektory własne.
Wartości własne macierzy są pierwiastkami wielomianu:
gdzie oznacza macierz jednostkową a - są to liczby rzeczywiste. Jeśli jest wartością własną macierzy to przez
oznaczać będziemy zbiór wektorów własnych odpowiadających wartości własnej .
(t) = A ⋅ x(t),
x
′A =
⎡
,
∈ R, x(t) =
.
⎣
⎢⎢
a
11⋮
a
n1⋯
⋱
⋯
a
1n⋮
a
nn⎤
⎦
⎥⎥ a
ij⎡
⎣
⎢⎢
(t)
x
1⋮
(t)
x
n⎤
⎦
⎥⎥
A
x(t) = v ,
e
λtgdzie v =
⎡
.
⎣
⎢⎢
v
1⋮
v
n⎤
⎦
⎥⎥
x(t)
x
′(t) = λv
e
λtλv
e
λt= A ⋅ (v ) =
e
λte
λtA ⋅ v.
e
λtA ⋅ v = λv.
λ
A
v
A
A
|A − λI| =
p
nλ
n+
p
n−1λ
n−1+ ⋯ + λ + = 0,
p
1p
0I
p
0, …,
p
nλ
A
= {x : (A − λI)x = 0}
V
λλ
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1:
TEZA: TEZA:
Jeżeli są różnymi rzeczywistymi wartościami własnymi macierzy i sa odpowiednio odpowiadającymi im wektorami własnymi to funkcje
stanowią układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych ( 1 ). Rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) jest postaci
gdzie - są to dowolne stałe.
DOWÓD: DOWÓD:
Oznaczmy przez zbiór wszystkich rozwiązań układu ( 1 ).
Z twierdzenia 2 wiemy, że - jest przestrzenią wektorową - wymiarową.
Z kursu algebry liniowej wiadomo, że wektory własne odpowiadające różnym wartością własnym są liniowo niezależne. Zatem wektory są liniowo niezależne a w konsekwencji funkcje należące do przestrzeni
są też liniowo niezależne i stanowią bazę tej przestrzeni, czyli są układem fundamentalnym rozwiązań układu równań różniczkowych ( 1 ).
Stąd wynika, że jeżeli jest dowolnym rozwiązaniem układu ( 1 ) to istnieją stałe rzeczywiste takie, że
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) gdy
Wyznaczamy wartości własne macierzy Wyznaczamy wartości własne macierzy
zatem wartościami własnymi są liczby .
Wyznaczamy teraz kolejno podprzestrzenie własne i odpowiadające tym wartościom własnym. Jeśli
Jeśli Wtedy
Rozwiązujemy układ równań:
, …,
λ
1λ
nA
v
1, …,
v
n(t) =
, …,
(t) =
x
1v
1e
λ1tx
nv
ne
λntx(t) =
c
1x
1(t) + … +
c
nx
n(t),
, …,
c
1c
nV
V
n
, …,
v
1v
nx
1(t), …,
x
n(t)
V
x(t)
c
1, …,
c
nx(t) =
c
1x
1(t) + … +
c
nx
n(t).
A =
⎡
.
⎣
⎢
1
2
0
0
3
2
0
1
4
⎤
⎦
⎥
A
|A − λI| =
∣
= (1 − λ)
=
∣
∣
∣
1 − λ
2
0
0
3 − λ
2
0
1
4 − λ
∣
∣
∣
∣
∣
∣∣
3 − λ
2
4 − λ
1
∣
∣∣
(1 − λ)((3 − λ)(4 − λ) − 2) = (1 − λ)(λ − 2)(λ − 5) = 0
= 1,
= 2,
= 5.
λ
1λ
2λ
3,
V
1V
2V
3= 1.
λ
1= {x : (A − I) ⋅ x = 0, } gdzie x =
.
V
1⎡
⎣
⎢
x
x
12x
3⎤
⎦
⎥
(A − I) ⋅ x = 0
⋅
=
⟺ {
⟺ {
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Zatem
Jeśli Jeśli Wtedy
Rozwiązujemy układ równań:
Zatem
Jeśli Jeśli Wtedy
Rozwiązujemy układ równań
Zatem
Stąd wynika, że funkcje
stanowią układ fundamentalny rozwiązań dla układu ( 1 ) i rozwiązanie ogólne tego układu układu ma postać
gdzie są to dowolne liczby rzeczywiste.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
⋅
=
⟺ {
⟺ {
⎡
⎣
⎢
0
2
0
0
2
2
0
1
3
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
x
x
12x
3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
2 + 2 +
x
1x
2x
3= 0
2 + 3 = 0
x
2x
3=
x
1x
3= −
.
x
2 32x
3=
=
,
∈ R
i
=
.
V
1⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎡
⎣
⎢
−1.5x
x
33x
3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−1.5
1
1
⎤
⎦
⎥x
3x
3⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
v
1⎡
⎣
⎢
−1.5
1
1
⎤
⎦
⎥
= 2.
λ
2= {x : (A − 2I) ⋅ x = 0.}
V
2(A − 2I) ⋅ x = 0 :
⋅
=
⟺
⟺ {
⎡
⎣
⎢
−1
2
0
0
1
2
0
1
2
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
x
x
12x
3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
⎧
⎩
⎨
− = 0
2 + +
x
x
11x
2x
3= 0
2 + 2 = 0
x
2x
3= 0
x
1= − .
x
2x
3=
=
,
∈ R
i
=
.
V
2⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎡
⎣
⎢
−x
0
3x
3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−1
0
1
⎤
⎦
⎥x
3x
3⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
v
2⎡
⎣
⎢
−1
0
1
⎤
⎦
⎥
= 5.
λ
3= {x : (A − 5I) ⋅ x = 0, } gdzie x =
.
V
3⎡
⎣
⎢
x
x
12x
3⎤
⎦
⎥
(A − 5I) ⋅ x = 0 :
⋅
=
⟺
⟺ {
⎡
⎣
⎢
−4
2
0
0
−2
2
0
1
−1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
x
x
12x
3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
⎧
⎩
⎨
−4 = 0
2 − 2 +
x
1x
1x
2x
3= 0
2 −
x
2x
3= 0
= 0
x
1= 2 .
x
3x
2=
=
,
∈ R
i
=
.
V
3⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎡
⎣
⎢
x
0
22x
2⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
0
1
2
⎤
⎦
⎥x
2x
2⎫
⎭
⎬
⎪
⎪
v
3⎡
⎣
⎢
0
1
2
⎤
⎦
⎥
(t) =
=
,
(t) =
=
,
(t) =
=
x
1v
1e
t⎡
⎣
⎢
−1.5
1
1
⎤
⎦
⎥e
tx
2v
2e
2t⎡
⎣
⎢
−1
0
1
⎤
⎦
⎥e
2tx
3v
3e
5t⎡
⎣
⎢
0
1
2
⎤
⎦
⎥e
5tx(t) =
c
1⎡
+
+
,
⎣
⎢
−1.5
1
1
⎤
⎦
⎥e
tc
2⎡
⎣
⎢
−1
0
1
⎤
⎦
⎥e
2tc
3⎡
⎣
⎢
0
1
2
⎤
⎦
⎥e
5t, ,
c
1c
2c
3Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:20:08
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=af5e9e2b665fe028d4c7efa5a131a074
