Vol. LIII (2012) PL ISSN 0071-674X p o d e j ś c i e s t a t y s t y c z n e
w
m e t o d z i e d e a n a p r z y k ł a d z i e j e d n o p r o d u k t o w e g o m o d e l u b a n k e r a A R T U R P R Ę D K I K a te d ra E k o n o m e trii i B a d a ń O p e ra c y jn y c h U n iw e rs y te tu E k o n o m ic z n e g o w K rak o w ie e-mail: predkia@uek.krakow.pl ABSTRACTA. P ręd k i. Statistical approach in D E A on the example of single-product Banker's model. Folia O e c o n o - m ica C ra co v ie n sia 2012, 53: 41-58.
In th is p a p e r id e a s ta tistica l a p p r o a c h in D EA m e t h o d o n th e e x a m p le o f th e s in g le -p ro d u c t B a n k e r 's m o d e l is d e sc rib e d . Its a s s u m p tio n s a n d fo llo w in g fro m th e m p r o p e r tie s o f th e D EA e s tim a to r o f p o in t v a lu e p r o d u c tio n fro n tie r is p r e s e n te d . S e lec ted p ro b le m s a re d e s c rib e d , w h ic h c a n b e o b ject o f statistical in fe re n c e o n th e b a s e o f th is m o d e l. M e th o d s o f th e te s tin g a re p ro p o s e d a n d th e w h o le o f c o n s id e ra tio n s is illu s tra te d b y e m p irica l e x am p le b a s e d o n re al d a ta . L im ita tio n s c o n n e c te d w ith a c c e p te d m o d e l's a s s u m p tio n s , s e le c te d e s tim a tio n 's a n d te s tin g 's m e th o d s are g iv en . Finally, im p o r ta n c e o f th e m o d e l fo r d e v e lo p m e n t o f th e c o r r e s p o n d in g m e th o d o lo g y is d e sc rib e d .
STRESZCZENIE
W p ra c y o p is a n o id e ę p o d e jś c ia s ta ty s ty c z n e g o w m e to d z ie DEA n a p rz y k ła d z ie je d n o p r o d u k t o w e g o m o d e lu B an k era. P rz e d s ta w io n o je g o z a ło ż e n ia i w y n ik a ją c e z n ic h w ła s n o ś c i e s ty m a to ra D EA w a rto ś c i fu n k c ji p r o d u k c ji w p u n k c ie . O p is a n o w y b r a n e p ro b le m y , k tó re m o g ą b y ć p r z e d m io te m w n io s k o w a n ia s ta ty s ty c z n e g o n a g ru n c ie te g o m o d e lu . Z a p r o p o n o w a n o ta k ż e s p o s o b y ich te s to w a n ia , ilu s tru ją c całość r o z w a ż a ń p rz y k ła d e m e m p iry c z n y m o p a r ty m n a d a n y c h rz e c z y w isty c h . P o d a n o r ó w n ie ż o g ra n ic z e n ia z w ią z a n e z p rz y ję ty m i z a ło ż e n ia m i m o d e lo w y m i, w y b r a n ą m e to d ą e sty m a c ji i s p o s o b a m i te s to w a n ia . N a k o n ie c o p is a n o z n a c z e n ie je d n o p r o d u k to w e g o m o d e lu B a n k era d la ro z w o ju m e to d o lo g ii w ty m zak resie.
KEY WORDS — SŁOWA KLUCZOWE
m e to d a D EA , n ie p a r a m e tr y c z n y m o d e l g ra n ic z n y , m ia ra n ie e fe k ty w n o ś c i/e fe k ty w n o śc i, w n io s k o w a n ie s ta ty s ty c z n e
D EA m e th o d , n o n p a r a m e tr ic fro n tie r m o d e l, m e a s u r e o f inefficiency/efficiency, sta tistica l in fe re n c e
1. P O D E JŚ C IE ST A TYSTYC ZN E W M E T O D Z IE D EA
Klasyczna wersja m etody analizy otoczki danych (DEA) ma charakter determ ini styczny. W analizie procesu produkcyjnego wyraża się on przekonaniem , że na podstawie dostępnych danych, jesteśm y w stanie skonstruować prawdziwy zbiór możliwości produkcyjnych reprezentow any przez któryś z wariantów technolo gii płatami liniowej — zob. Prędki (2006, 2012a). Tym samym, dla sytuacji jedno- produktow ej, m ożna rów nież skonstruow ać prawdziwą, kawałkami liniową funk cję produkcji. Przyjęto więc, iż miary efektywności technicznej, skonstruowane na tej podstawie mierzą poziom efektywności dokładnie. Jed n ak błędy w danych, ich niepełność, ciągła zm ienność, czy brak istotnych inform acji o procesie pro dukcyjnym m ogą przecież wypaczyć uzyskane rezultaty.
W podejściu statystycznym w m etodzie analizy otoczki danych p od ch o dzimy więc z dużą ostrożnością do jakości zebranych danych, a w konsekw encji do wyników uzyskanych za ich pomocą. O w ą niepew ność, zw iązaną z danymi em pirycznym i i wartościami miar efektywności technicznej, próbuje się tu opisy wać i w yjaśniać przy użyciu odpow iednich modeli statystycznych. Rozw ażane m odele zaw ierają większość założeń determ inistycznych obecnych w klasycznej wersji metody, zob. np. Prędki (2003), oraz założenia o charakterze stochastycz nym , których zadaniem jest opis w spom nianej niepew ności, związanej z danymi oraz z uzyskiw anym i wartościami miar efektyw ności technicznej. Wykorzysty wane m odele m ają zwykle charakter nieparam etryczny bądź semiparametryczny. Wiąże się to z postulatem , obecnym w determ inistycznej wersji metody, by nie w prow adzać arbitralnych zależności analitycznych np. postaci granicy produk cyjnej. Przekłada się on rów nież na część stochastyczną modelu, gdzie unika się z kolei założeń o charakterze param etrycznym , dotyczących np. postaci rozkła dów zm iennych losowych w ystępujących w modelu. Jeśli jest to niezbędne dla uzyskania zgodnej estymacji miary efektywności czy silniejszego wnioskowania, wprowadza się odpowiednie założenia param etryczne. W dalszym ciągu jednak postać granicy produkcyjnej nie jest zadana analitycznie. Powstaje wtedy m odel o charakterze semiparametrycznym.
W podejściu statystycznym zakłada się więc, iż prawdziwa postać zbioru m oż liwości produkcyjnych, a tym sam ym funkcji produkcji (dla przypadku jed n o- produktowego) nie jest znana. W konsekw encji nie znana jest rów nież prawdziwa wartość miary efektyw ności technicznej danej jednostki produkcyjnej. D eter m inistyczna w ersja m etody DEA służy tu właśnie aproksymacji prawdziwej p o staci zbioru możliwości produkcyjnych oraz estymacji prawdziwej wartości miary efektywności technicznej danej jednostki produkcyjnej. W niektórych m odelach wylicza się rów nież mierniki rozproszenia związane z niepew nością dokonyw a nej estymacji. Konstruuje się np. aproksymacje przedziałów ufności oraz oceny obciążenia, czy wariancji związanej z estym ow anym i wartościami miar. Możliwe jest także ogólniejsze wnioskowanie statystyczne zw iązane nie tylko z w arto
ściami miar, ale z własnościami i charakterystykam i nieznanej technologii. Przy kładowo testuje się wypukłość zbioru możliwości produkcyjnych czy typ efektu skali charakteryzujący technologię. Dla sytuacji jednoproduktow ej możliwe jest rów nież wnioskowanie dotyczące wartości innych charakterystyk procesu pro dukcyjnego.
Oczywiście owa aproksym acja i estym acja jest odpowiedniej jakości tzn. cha rakteryzuje się określonymi własnościam i statystycznym i. Głównie chodzi tu o własność zgodności estym atorów m iar efektywności technicznej ale nie tylko, zob. Prędki (2010a, 2010b). Są to jed n ak dużo „słabsze" własności niż te uzyski w ane dla m etod estym acji w ykorzystyw anych w m odelach param etrycznych procesu produkcyjnego, zob. Kum bhakar i Lovell (2000). Wynika to po części z faktu, iż chcąc dotrzymać postulatu unikania arbitralnych założeń o charakterze param etrycznym , godzimy się tym sam ym na m odel mniej informacyjny. Jednak estym acja za pom ocą DEA „przegrywa" z klasycznymi m etodam i estymacji typu M N W czy M N K rów nież na gruncie w spom nianych m odeli param etrycznych. Sposób jej realizacji implikuje bow iem konieczność założenia wypukłości zbioru m ożliwości produkcyjnych oraz tzw. jed n ostronn ego składnika losowego dla uzyskania podstaw owej własności zgodności. W przypadku dw ustronnych lub złożonych składników losowych, czy giętkiej form y funkcyjnej w modelu, jak dotychczas nie dowiedziono naw et zgodności tzw. estym atorów DEA. Z drugiej strony należy podkreślić, że estym acja za pom ocą m etody analizy otoczki danych wartości miary efektywności technicznej zachow uje własność zgodności w przy padku w ieloproduktow ym i to bez konieczności znajom ości postaci analitycznej funkcji transformacji.
2. M O D E L JE D N O P R O D U K T O W Y BA N K ER A
Pierw szym chronologicznie m odelem , stanow iącym podstaw ę podejścia staty stycznego do m odelow ania zm ienności danych w m etodzie DEA, jest tzw. jed- noproduktow y m odel Bankera, zaproponow any w pracy: Banker (1993). W lite raturze przedmiotu m odel ten nie ma nazw y własnej. Jed n ak ze względu na jego znaczenie dla rozw oju metodologii autor niniejszego opracow ania proponuje w prow adzenie określenia związanego z nazwiskiem jego twórcy.
Przyjm uje się w nim , iż w ytw arzany jest tylko jed en rodzaj produktu, co umożliwia zapisanie odpow iednich założeń za pom ocą pojęcia funkcji produkcji. To zaś z kolei pozwala wykorzystać pew ne idee m odelow ania charakterystyczne dla param etrycznych modeli statystycznych procesu produkcyjnego. Zaznaczm y jed n ak wyraźnie, iż jednoproduktow y m odel Bankera, w swej podstawowej wer sji jest m odelem nieparam etrycznym . Przypom nijm y bow iem po raz kolejny, że w DEA unikam y arbitralnych założeń param etrycznych. W prow adza się tu wpraw dzie pojęcie składnika losowego, jed n a k założenia o nim rów nież mają charakter nieparametryczny.
Przejdźm y teraz do szczegółów i przedstawmy odpowiednie postulaty. Zosta ły one przeform ułow ane i uzupełnione w porów naniu z pracą źródłową — Ban ker (1993), dla zwiększenia czytelności i spójności wywodu.
Pierw szy z nich jest zapisem założeń obecnych w determ inistycznej wersji m etody przy użyciu funkcji produkcji.
z a ło żen ie 1: Jednostki produkcyjne wytw arzają jeden rodzaj produktu z m ro dzajów nakładów i posługują się tą sam ą technologią reprezentow aną przez nie- m alejącą, wklęsłą funkcję produkcji g: X ^ R, gdzie X jest w ypukłym i zwartym podzbiorem R+0m.
W praktyce zawsze m ożna przyjąć konkretne wielkości ograniczające dany zbiór nakładów X, co gw arantuje jeg o zwartość. W łasności zbioru X i funkcji g zawarte w założeniu 1 im plikują ciągłość granicy produkcyjnej (zob. Banker (1993), przypis 4). Z kolei własność ciągłości g jest wykorzystywana w dowodzie zgodności estym atora DEA.
Kolejne założenia m ają charakter stochastyczny, opisują sposób generow ania obserw acji oraz m odelują niepew ność związaną ze zm iennością danych.
z a ło ż e n ie 2: D ane są ilości użytych nakładów i w ytw orzonych produktów dla n producentów w postaci próby | n = ((xj, yj) e XxR+, j = 1, ..., n) rozum ianej jako realizacja ciągu w ektorów losowych o tym sam ym rozkładzie.
Tak sam o ja k realizację będziem y oznaczać sam ciąg w ektorów losowych. Z kontekstu będzie zawsze jasno wynikać, którą interpretację należy przyjąć. Po dobną konw encję przyjm uje się w m odelach regresyjnych, gdzie zm ienną obja śnianą i objaśniające oznacza się często identycznie ja k ich realizacje.
W celu zapisania dalszych założeń wprow adźm y następującą definicję. D efin icja 1: W yrażenie f = g(xj) - yj, będziem y nazywać _/-tym odchyleniem od granicy produkcyjnej.
W m etodzie DEA rozważa się zwykle miary efektywności technicznej, jed n ak ze względu na nieujem ny znak tego odchylenia i jego znaczenie w podobnych m odelach param etrycznych przyjm uje się tutaj, iż jest on miarą nieefektywności (por. Kumbhakar i Lovell (2000)).
Przedstaw m y dwa kolejne założenia.
z a ło ż e n ie 3: O dchylenia od granicy produkcyjnej są zm iennym i losowymi o tym sam ym rozkładzie, reprezentow anym przez gęstość f:
V z < 0: f(z) = 0.
Założenie to im plikuje w szczególności, iż znaki odchyleń f są nieujem ne z praw dopodobieństw em jeden. Odchylenie to jest więc odpowiednikiem je d n o stronnego składnika losowego w m odelach param etrycznych. A to z kolei ozna cza, że podw ykres g obejm uje zaobserw ow ane dane.
Założenie czwarte daje możliwość rozw ażania w yrażeń g(xj) i f niezależnie, co bardzo upraszcza ich estymację.
Z ałożenie 4: Dla dowolnego j = 1, . . n, rozkład odchylenia f jest niezależny od rozkładu wektora xj.
W niektórych przypadkach będziem y przyjm ow ać alternatywnie dodatkowe postulaty.
Z ałożenie 5: Gęstość f jest nierosnąca dla z > 0 tzn.: V0 < Z-1 < Z2'. f(Zj) > f(Z2).
Założenie 6: Odchylenia f są niezależnymi zmiennymi losowymi, dla j = 1, . , n. Z ałożenie 7: Wektor xj charakteryzuje się gęstością h:
V x eX : h(x) > 0.
Z ałożenie 8: Dla dystrybuanty odchylenia f zachodzi warunek: V z > 0: F(z) > 0.
Parametrami podlegającym i estymacji na bazie zdefiniow anego m odelu będą wartości g(xj), dla j = 1, ..., n. Liczba param etrów rośnie tu więc wraz ze w zro stem liczebności próby, w przeciw ieństw ie do modeli param etrycznych, gdzie estym ujem y w spólny dla w szystkich obserw acji zestaw param etrów tworzący analityczną postać g.
Formalnie estym ację m ożna przeprowadzić dla dowolnej wartości g(xo), przy ustalonym xo e X .
D efin icja 2: Estymator DEA wartości g(xo):
gDEA(xo) = max {y: 3Aj > 0: xo > Z “ =1 xj, y < Z “ =1 ^ y j , Z " =1 Ajo = 1}. Jest to jednoproduktow a w ersja determ inistycznego m odelu z pracy: Banker, C harnes i Cooper (1984). O d inicjałów autorów tego źródłow ego artykułu nosi on nazw ę modelu BCC zorientow anego na produkty.
Za jego pom ocą m ożna też estym ow ać odchylenie od granicy produkcyjnej, czyli m iarę nieefektyw ności technicznej.
D efin icja 3: Estymator DEA j-teg o odchylenia od granicy produkcyjnej: f j,DEA = gDEA(xj) - yj.
Ze względu na rolę m iernika nieefektyw ności jaką pełni odchylenie mówi się tu o jego estymacji, szczególnie w kontekście wniosku 1 (zob. też Banker (1993), s. 1268).
Tw ierdzen ie l : Estym ator DEA jest estym ator e m M N W w artości g(Xj), tzn.
warto ć c ie DEA)Oj) s ą coewiązaniem op tym aln ym problemu:
n
m ax p f(£j),
gdzie: f, g — spełniają założenia 1 -6 m odelu Bankera.
Zapisując w ten sposób funkcję w iarygodności korzystam y ju ż oczywiście z założeń 3, 4 i 6.
Tw ierdzenie 2: Jeśli spełnione są założenia 1 -4 oraz 7 -8 to estymator gDEA(xo) jest zgodny dla xo z w nętrza zbioru X, rozum ianego w sensie topologicznym — zob. np. Engelking (1976).
W n iosek 1: Przy założeniach ja k w twierdzeniu 2, rozkład asym ptotyczny es tym atora fj,DEA jest identyczny z rzeczywistym rozkładem odchylenia fj.
Tw ierdzenie 3: Jeśli spełnione są założenia 1 -4 i 6 oraz F(0) < 1 to estymator gDEA(Xo) jest obciążony.
W łasność m inimalności rozszerzenia estym atora DEA oraz założenie F(0) < 1 im plikuje dodatkowo dodatni zn ak obciążenia E[g(xo) - gDEA(xo)]. M ówi się wtedy, że estym ator ten jest obciążony do w ew nątrz (z ang. inward biased esti mator). W łasność minim alności rozszerzenia polega na tym, że podw ykres każ dej funkcji produkcji spełniającej założenia modelu Bankera zawiera podwykres aproksym anty gDEA. D ow ody pow yższych tw ierdzeń i wniosku zawarte są w ar tykule źródłow ym — Banker (1993).
Podsum owując, jest to model procesu produkcyjnego, w którym spełnione jest dla każdej obserw acji j = 1, ..., n, klasyczne równanie:
y = g (xj) - f j.
Addytywny i jednostronny składnik losowy będący odchyleniem od granicy produkcyjnej pełni rolę m iernika nieefektywności technicznej obiektu j-tego. Jed nym , ze źródeł losowości jest tu więc nieefektyw ność procesu produkcyjnego. Zw róćm y jed n ak uwagę, że form alnie losowe są rów nież wielkości wchodzące w skład wektora nakładów xj. O znacza to, że granica produkcyjna nie jest deter m inistyczna, ponadto przypom nijm y, iż nie jest ona zadana analitycznie. Brak dw ustronnego czy złożonego składnika losowego świadczy o nie uwzględnieniu innego źródła losowości jakim są szoki zew nętrzne mogące wpływać na wielkość produktu. DEA jest tu m etodą estym acji funkcji produkcji w punkcie, a przez to pośrednio rów nież odchylenia od granicy produkcyjnej. Dzięki tem u możliwe jest uzyskanie zgodnej oceny tego m iernika nieefektyw ności technicznej.
3. Z A S T O S O W A N IA M O D E L U BA N K ER A
Rozszerzenie determ inistycznej m etody analizy otoczki danych i osadzenie jej w szerszym kontekście m odelu statystycznego, jako m etody estymacji jego para metrów, miało na celu m odelow anie zm ienności danych i niepew ności odnośnie wartości m iary nieefektyw ności technicznej. Dzięki odpow iedniej konstrukcji m odelu przez Bankera możliwe stało się dow iedzenie, iż oceny m iar nieefek tyw ności uzyskiw ane za pom ocą m etody DEA m ają określone własności sta tystyczne. Nie m ożem y jed n a k zapom inać, iż m odel statystyczny służy przede wszystkim celom wnioskowania statystycznego. Omów im y teraz problemy, które testuje się w ram ach jednoproduktow ego m odelu Bankera.
1. Testowanie istotności różnic pom iędzy dwiema grupam i obserwacji.
Jeśli podejrzewam y, że grupa n jednostek produkcyjnych nie jest z jakiegoś pow odu jednorodna (tzn. pochodzi z dw óch, różnych populacji) m ożem y to testować. Zakładamy, że owa niejednorodność przekłada się na istotne różnice pom iędzy wartościami miar nieefektyw ności obu grup. Testujemy więc podo bieństw o rozkładów wartości miar lub istotność różnicy między średnimi w arto ściami miar z obu grup.
2. Testowanie globalnego typu efektu skali
Jest to elem ent weryfikacji m odelu dotyczący jed n ej z charakterystyk niezna nej technologii wyrażonej funkcją produkcji g. Ustalenie właściwego typu efektu skali wpływa na postać funkcji produkcji, jest to więc po części odpowiednik testow ania jej postaci analitycznej na gruncie modeli param etrycznych.
3. Testowanie specyfikacji modelu
Ustalenie listy nakładów istotnie w pływ ających na produkt i ogólnie na technologię jest spraw ą kluczow ą dla w stępnej specyfikacji modelu. W m ode lach param etrycznych rów nież testuje się zestaw y zm iennych objaśniających, będących odpow iednikam i nakładów (m etoda H ellwiga czy analizy grafów). W naszym m odelu nieparam etrycznym , gdzie nie zadajem y analitycznie postaci funkcji produkcji, jest to szczególnie istotna kwestia. Tym większe znaczenie m ają bow iem wtedy przyjęte do analizy zestaw y nakładów. Za pom ocą m etody DEA testuje się głównie istotność uzupełnienia wyjściow ego zestawu nakładów o now e ich rodzaje.
Schem at testow ania wszystkich om ów ionych problem ów jest podobny jak w punkcie pierwszym. M am y zawsze w yodrębnione dwie grupy jednostek pro dukcyjnych, w związku z tym m am y rów nież odpowiadające im dwie grupy nie znanych wartości miar nieefektyw ności technicznej. Obliczam y estym atory DEA m iary nieefektyw ności także w podziale na grupy, które traktujem y jak dwie, niezależne grupy obserwacji. N astępnie za pom ocą odpow iednich testów niepa
ram etrycznych badam y podobieństw o ich rozkładów empirycznych. Wykorzy stuje się tu najczęściej test Kołm ogorow a-Sm irnow a, ale rów nież test Welcha czy M anna-W hitney'a — zob. Banker, Conrad i Strauss (1986), Banker i C hang (1995).
Banker wprowadza też do analiz testy param etryczne oparte na założeniu, iż miara nieefektyw ności technicznej ma określony rozkład param etryczny spełnia jący założenia modelowe. Podobnie ja k w m odelach param etrycznych, rozważa się tu zwykle rozkład wykładniczy albo półnormalny.
Autor uzasadnia swój pom ysł odpow iednim i eksperym entam i sym ulacyj nymi. W ram ach symulacji znam y postać funkcji produkcji g, a tym sam ym rze czywiste wartości miary nieefektywności technicznej. Możliwe jest więc zliczanie błędów I i II rodzaju popełnianych w poszczególnych testach. Ich liczba służy porów naniu skuteczności odpow iednich testów. Uzyskane wyniki w skazują, iż zaproponow ane testy param etryczne są pod tym kątem porów nyw alne z używa nymi zwykle testami nieparam etrycznym i, a w niektórych sytuacjach dają naw et wyniki lepsze. W ykazuje on, iż odpow iednie testy są rów nież konkurencyjne w stosunku do in n ych testów param etrycznych, w których m etodą estymacji jest skorygowana M N K (SMNK). Wybór SM N K nie jest przypadkowy, gdyż podob nie ja k DEA jest to m etoda estymacji wykorzystywana przy jednostronnych od chyleniach od granicy produkcyjnej.
Przyjęcie param etrycznych rozkładów odchyleń oznacza jed n ak w prow a dzenie arbitralnych założeń param etrycznych do m odeli wyjściow ych. Nie są one bow iem w żaden sposób testowane. M am y więc model semiparametryczny, czyli teoretycznie bardziej inform acyjny. W prawdzie eksperym enty sym ulacyjne wskazują, że wnioskowanie może być w tedy silniejsze, ale pew ności w tym za kresie mieć nie można. W ram ach symulacji analizujem y przecież jedynie wy brane przypadki, a nie wszystkie możliwe. Szczegóły tych symulacji i uzyskane wyniki dostępne są w pracach Banker i C hang (1995) oraz Banker (1996). Jeśli chodzi o własności statystyczne estymatora DEA, to sytuacja nie ulega zmianie. W oparciu o now e założenia nie w ykazano bow iem jakichś kolejnych własności statystycznych estymatora DEA (np. efektywności, nieobdążonośd czy choćby szyb szej zbieżności).
Szczegóły oraz pogłębiony schem at testow ania zostaną zilustrowane w czę ści em pirycznej pracy. Warto zaznaczyć, że idea m odelow ania zastosow ana przez Bankera ma sw oje źródła w bogatym dorobku zw iązanym z modelami param etrycznym i procesu produkcyjnego, gdzie podobne struktury form alne funkcjonują ju ż od przełom u lat 60-tych i 70-tych ubiegłego wieku — zob. prace źródłowe: Aigner i Chu (1968), Tim mer (1971), Afriat (1972), Richm ond (1974), Schm idt (1976). Granica produkcyjna jest w nich jed n a k zadana analitycznie w postaci funkcji liniowej lub logliniowej param etrów w spólnych dla wszystkich obserwacji. Ponadto w większości tych m odeli jednostronny składnik losowy ma rozkład parametryczny. W yjątkiem jest m odel z pracy Aigner i Chu (1968), który ma charakter czysto deterministyczny.
Większa inform acyjność modeli param etrycznych umożliwia nie tylko obli czenie ocen m ierników nieefektyw ności o określonych własnościach statystycz nych, ale także szersze wnioskowanie statystyczne. W jego skład wchodzi: — ocena charakterystyk rozproszenia m ierników nieefektyw ności, która z kolei
umożliwia konstrukcję odpow iednich przedziałów ufności;
— testow anie hipotez dotyczących wartości tychże m iar oraz charakterystyk procesu produkcyjnego;
— weryfikacja założeń modelowych.
W części em pirycznej wykorzystamy przykładowo trzy testy w spom niane w pra cach źródłowych (Banker (1993, 1996)), preferow ane przez autora opisanego m o delu.
1. Test Kołmogorowa — Smirnowa
Z testów nieparam etrycznych najw iększą popularnością w pracach Bankera cieszy się test Kołmogor owa — Sm irnowa zgodności rozkładu pew nej cechy X w dw óch populacjach. Sta tystyka testowa ma tu postać:
gdzie Fi(.), dla i = N j, N2, oznacza dystrybuantę em piryczną cechy dla grupy ob serwacji pobranych z odpowiedniej populacji. Dzięki twierdzeniu Sm irnow a roz kład tej statystyki jest znany i stablicowany. Dla zadanego poziom u istotności a odczytujem y więc wartość krytyczną K^. Jeśli K > K^, to hipotezę zerową o zgod ności rozkładów cechy w obu populacjach odrzucamy, w przeciw nym razie nie ma podstaw do jej odrzucenia. 2 2
2. Test param etryczny oparty na rozkładzie w ykładniczym cechy
Przyjm uje się założenie, że cecha w obu populacjach ma rozkład w ykład niczy o nieznanym param etrze odpow iednio Xj i A2. W takiej sytuacji testowa nie zgodności tych rozkładów polega na testowaniu równości Xj = X2 zawartej w hipotezie zerowej. Ponownie pobieram y próby z obu populacji i obliczamy dla nich wartości cechy oznaczone odp owiednio przez Zj, ..., xNl or az y lf yN2. Sta tystyka testowa:
przy przyjętym założeniu i prawdziwości hipotezy zerowej m a rozkład F o parze stopni swobody (2Nj, 2N2). Dla zadanego poziomu istotności a odczytujem y więc wartość krytyczną Fa z tego rozkładu. Jeśli FEXp > F a, to hipotezę zerową o zgod ności rozkładów cechy w obu populacjach odrzucamy, w przeciw nym razie nie ma podstaw do jej odrzucenia.
3. Test param etryczny oparty na rozkła dzie półnorm alnym cechy
Przyjm uje się założenie, że cecha w obu populacjach m a rozkład półnor- m alny o nieznanym param etrze odpow iednio i v 2. W dalszym ciągu testo wanie przebiega analogicznie ja k w poprzedni m punkcie z tym, że używ a się statystyki:
F e w r e , n r w ,
”
W
Z.
er/N,
która przy przyjętym założeniu i prawdziwości hipotezy zerowej o równości pa ram etrów m a rozkład F o parze stopni swobody (Nj, N2).
C echą będącą przedm iotem testow ania jest odchylenie od granicy produk cyjnej, natom iast zasada podziału na grupy będzie zależała od wybranego pro blem u będącego przedm iotem wnioskowania statystycznego.
5. C Z Ę ŚĆ E M P IR Y C Z N A
Przejdziem y teraz do ilustracji wnioskowania statystycznego opisanego w części trzeciej i czwartej pracy na przykładzie em pirycznym , opartym na danych rze czywistych z polskiego sektora energetycznego. D ane pochodzą z pracy: Osie- walski i W róbel-Rotter (2002) i dotyczą ilości określonych nakładów oraz jednego produktu 32 polskich elektrowni i elektrociepłowni w latach 1995-1996. Za na kłady obiektów przyjęto:
— kapitał (wartość brutto środków trwałych liczona w zł.); — pracę (liczba pracowników);
— energię wsadu (liczoną w TJ).
Jedynym produktem działalności jednostek jest w ytw orzona energia (liczona w TJ). Jednostką energii jest tu teradżul (1GW h = 3,6TJ).
Powróćmy do problem ów badaw czych opisanych w części trzeciej pracy. 1. Testowanie istotności różnic pom iędzy dwiema grupam i obserwacji.
Potraktujem y zbiory możliwości produkcyjnych opisujące technologie w la tach 1995 i 1996 jako dwie osobne populacje. M am y dane po 32 obserw acje do tyczące każdego ze zbiorów. W eryfikujemy hipotezę zerową, że technologia nie uległa znaczącym zm ianom z roku 1995 na rok 1996. Zgodnie z om ów ionym ju ż
Tabela 1 E stym atory DEA o d ch y leń o d granicy produkcyjnej dla la t 1995 i 1996 (kol. 2-3),
statystyki em piryczne, w artości k rytyczne i w yniki o d p o w ied n ich testów, p rz y poziom ie istotności a = 0,05 (kol. 4-7)
a = 0,05 K-S EXP H N 0,00 0,00 s.em p. 0,375 1,054 1,198 0,00 0,00 w .k ry t. 1,360 1,513 1,804 0,00 0,00 w y n ik H0 H0 H 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 0,00 12891,58 8403,69 8986,75 0,00 815,42 9752,32 0,00 7481,56 8063,59 387,24 0,00 3302,32 3333,70 0,00 342,39 474,32 4260,55 6267,13 0,00 1360,61 1359,38 1953,60 1658,23 739,74 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 14371,65 8011,83 7602,05 0,00 9464,38 10412,27 0,00 10754,48 7484,73 0,00 0,00 3514,79 1593,46 0,00 490,47 92,39 4107,72 3467,75 0,00 989,81 1326,36 1864,82 675,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 £ £ o o,DEA,95 o,DEA,96 1 2 3 4 5 6 7 8 9
tokiem rozum ow ania obliczamy wartości estymatora DEA odchyleń od granicy produkcyjnej dla obu lat osobno i badam y podobieństw o ich rozkładów em pi rycznych za pom ocą testów om ów ionych w części czwartej pracy.
W idoczne jest, iż wszystkie testy w skazują na brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (wiersz o nazwie „wynik" w tabeli 1). D ochodzim y więc do konkluzji, że wszystkie trzy testy potwierdzają, iż technologia nie uległa znaczą cym zm ianom z roku 1995 na rok 1996.
2. Testowanie globalnego typu efektu skali
Zw eryfikujem y przykładowo hipotezę, iż technologia w roku 1995 charakte ryzuje się globalnie stałymi efektami skali (szerszy przegląd problem ów z tego zakresu będzie dostępny w pracy: Prędki (2012b)). W tym celu obliczamy n aj pierw wartości estymatora DEA granicy produkcyjnej za pom ocą danych z roku 1995, przy założeniu stałego efektu skali ze wzoru:
gDEA(xo) = max {y: 3Aj > 0: xo > Z “ =1 xj, y < Z “ =1 - j y j } , a następnie odpowiednie oceny odchyleń ze wzoru:
f o,CRS = gCRS(xo) - Уo,
dla o = 1, ..., n. Użyty indeks CRS pochodzi od nazw y Constant Returns to Scale. W zór różni się od tego na gDEA(xo) jedynie brakiem w arunku sum owalności zm iennych Ajo do jedności (jest to tzw. m odel CCR zorientow any na produkty).
Tym razem wyniki testow ania nie są zgodne. W ynik testu nieparam etrycz nego sugeruje przyjęcie założenia o globalnie stałych efektach skali. N atomiast testy param etryczne odrzucają tę hipotezę. Nie oznacza to jednak, że wskazują one na zm ienny efekt skali. M ogą bow iem w ystępow ać rów nież tzw. globalnie nierosnące lub niem alejące efekty skali — zob. np. Prędki (2012b).
3. Testowanie specyfikacji modelu
Zw eryfikujem y przykładow o hipotezę, że czynnik kapitału ma nieistotny wpływ na technologię w roku 1995. W tym celu obliczymy wartości estymatora DEA odchylenia dla wszystkich obiektów w dw óch wariantach. W pierwszym zakładam y ja k dotychczas, iż w ykorzystujem y do produkcji wszystkie trzy na kłady (wartości f o,DEA). W drugim natom iast przyjmiemy, że nakładami są tylko praca i energia wsadu (wartości f o,_kap).
Podobnie ja k w problemie pierwszym, wszystkie trzy testy sugerują przyjęcie hipotezy zerowej. Nie stwierdzono więc istotnych różnic pom iędzy rozkładami em pirycznym i obu grup wartości. O znacza to, że czynnik kapitału m a nieistotny wpływ na technologię w roku 1995 i m ożna go pominąć.
Tabela 2 E stym atory DEA od ch y leń o d granicy produkcyjnej dla roku 1995, p rz y założeniu stałych
i zm ien n y ch efektów skali (kol. 2-3), statystyki em piryczne, w artości k ry ty czn e i w yniki o d p o w ied n ich testów , p rz y poziom ie istotności a = 0,05 (kol. 4-7)
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 £ o,C R S 26844,16 0,00 4884,65 0,00 33538,23 16537,51 16315,83 150,86 6201,30 20964,13 0,00 14431,85 13291,97 1767,34 0,00 3451,68 3555,64 0,00 409,21 1073,16 4884,84 6407,43 0,00 1374,56 2069,52 2185,35 1845,60 1431,14 314,30 952,21 377,17 185,25 0,00 0,00 0,00 0,00 12891,58 8403,69 8986,75 0,00 815,42 9752,32 0,00 7481,56 8063,59 387,24 0,00 3302,32 3333,70 0,00 342,39 474,32 4260,55 6267,13 0,00 1360,61 1359,38 1953,60 1658,23 739,74 0,00 0,00 0,00 0,00 a = 0,05 s.em p . w .kryt. w y n ik K-S 0,875 1,360 H 0 EXP 2,266 1,513 H1 H N 5,413 1,804 H1 £ o 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tabela 3
E stym atory DEA o d ch y leń od granicy produkcyjnej dla roku 1995, p rzy ró żn y ch zestaw ach n ak ład ó w (kol. 2-3), statystyki em piryczne, w artości krytyczne i w y n ik i o d p o w ied n ich testów,
p rz y poziom ie istotności a = 0,05 (kol. 4-7)
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 f o ,D E A 0,00 0,00 0,00 0,00 12891,58 8403,69 8986,75 0,00 815,42 9752,32 0,00 7481,56 8063,59 387,24 0,00 3302,32 3333,70 0,00 342,39 474,32 4260,55 6267,13 0,00 1360,61 1359,38 1953,60 1658,23 739,74 0,00 0,00 0,00 0,00 f o,-kap 0,00 11722,80 0,00 0,00 12891,59 8733,13 9579,91 0,00 815,43 9792,43 0,00 7481,55 8073,88 387,25 0,00 6392,57 6954,77 0,00 342,38 6279,00 4342,29 7801,53 0,00 1360,61 4670,37 2093,74 1721,40 1791,49 125,88 0,00 1406,15 0,00 a = 0,05 s .e m p . w .k ry t. w y n ik K-S 0,750 1,360 H 0 EXP 1,402 1,513 H0 H N 1,495 1,804 H0 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6. U W A G I K R Y TY C Z N E
Przeprow adzając pow yższe elem enty wnioskowania m usim y m ieć świadomość pew nych ograniczeń i słabości, które związane są z wybranym sposobem testo wania oraz właściwościami sam ego modelu. Ze względu na to, iż estym ator DEA odchylenia jest jed yn ie estym atorem zgodnym należy pam iętać, że wszelkie przeprow adzone testy m ają charakter asymptotyczny. Potrzebna jest więc przy najm niej kilkudziesięcioelem entowa grupa obserwacji. Szczególnie w ym agający jest pod tym w zględem test Kołm ogorow a-Sm irnow a ze względu na swój niepa ram etryczny charakter. Jest on słabszy od w ykorzystanych testów param etrycz nych w tym właśnie sensie, iż dla odrzucenia hipotezy zerow ej potrzebna jest tu często dużo większa liczba obserw acji niż w w ykorzystanych testach para m etrycznych. Wynika to z prostego faktu, iż testy nieparam etryczne działają w oparciu o m odel m niej inform acyjny, a dopływ inform acji następuje tu głów nie poprzez zwiększenie liczebności próby. W przykładzie em pirycznym jest to w idoczne przy testowaniu typu efektu skali, gdzie przy tej samej liczebności próby, testy param etryczne w skazują na istotność badanych różnic. N atomiast w przypadku testu nieparam etrycznego różnice odpow iednich rozkładów war tości nie są jeszcze wystarczające dla odrzucenia hipotezy zerowej.
Wszystkie pow yższe testy w ym agają ponadto, by rozw ażane dwie próby były niezależne. W naszym przypadku nie m am y żadnej gw arancji, że tak rze czywiście jest, aczkolwiek przy wzroście liczebności próby pew ne eksperym enty sym ulacyjne wskazują, iż sytuacja pod tym kątem ulega poprawie ze względu na własność zgodności estymatora DEA — zob. Banker (1993), przypis 7; Banker (1996).
Problem em jest też w ystępow anie stosunkowo dużej frakcji obiektów efek tyw nych technicznie, czyli takich, dla których wartość odchylenia wynosi zero. Dla przykładu w założeniach twierdzenia Sm irnowa, na którym opiera się odpo wiedni test, w ystępuje założenie o ciągłości dystrybuanty nieznanego rozkładu odchylenia. O znacza ono, iż praw dopodobieństw o wystąpienia w próbce dwóch jednakow ych wartości pow inno być rów ne zero. Tymczasem w każdej próbie będzie w ystępow ać liczna frakcja odchyleń zerow ych, co w ynika z własności DEA czyli wybranej m etody estymacji.
Przypom nijm y, iż w przypadku testów param etrycznych słabością jest też arbitralny w ybór param etrycznego rozkładu odchylenia, który nie podlega w e ryfikacji. O graniczenie stanow i rów nież założenie wklęsłości funkcji produkcji przyjm ow ane w modelu. Jest ono niestety konieczne dla uzyskania zgodności estym atora DEA odchylenia od granicy produkcyjnej. O znacza to, że praw dziw ą granicą p rod u kcyjn ą nie m oże być tu np. fun kcja w klęsło-w ypukła (np. giętka form a funkcyjna typu Translog). Ja k w takim razie rozum iane są tu zm ienne czy rosnące efekty skali? O dpow iedź na to pytanie autor niniejszej pracy próbuje udzielić w artykule: Prędki (2012b). Problem wiąże się oczywi
ście z pytaniem , ja k definiuje się różne typy efektów skali dla w ypukłego zbioru możliwości produkcyjnych.
7. Z N A C Z E N IE M O D E L U BA N K ER A
M imo opisanych w poprzedniej części licznych ograniczeń w ynikających z zało żeń m odelow ych, własności m etody estymacji oraz w ybranych sposobów testo wania, jednoproduktow y model Bankera stał się podstaw ą podejścia statycznego w m etodzie DEA. Już sam autor w pracy: Banker (1996) próbuje rozszerzyć go na przypadek wieloproduktowy. Możliwość analizy technologii w ieloproduktowej jest bow iem uw ażana za jed n ą z zalet determ inistycznej wersji metody, podno szoną często w literaturze przedmiotu.
Kolejni badacze, tworzący podejście statystyczne w m etodzie analizy otoczki danych, odw ołują się do prac Bankera oraz korzystają po części z jeg o dorobku i przemyśleń. Proponują oni pew ne nowe rozwiązania m odelowe oraz m odyfika cje wyjściowej m etody estymacji. Szczególnie istotne są tu prace Dietera Gstacha, Timo Kuosmanena oraz zespołu badawczego skupionego wokół Leopolda Simara.
Przykładem m oże tu być konstrukcja m odeli w orientacji na nakłady. Owa dw uorientacyjność m iar efektywności/niefektywności jest przecież tak charak terystyczna dla m etody DEA. Banker pom inął ten aspekt, przypuszczalnie ze względu na chęć pow iązania swej propozycji z istniejącym i m odelami param e trycznym i. Tradycyjna m ikroekonom iczna i ekonom etryczna analiza procesu produkcyjnego jest bow iem zwykle nastaw iona na kwestię maksymalizacji pro duktu, a nie minimalizacji nakładu. W orientacji na nakłady rozważa się tu raczej kwestię m inimalizacji kosztów, a nie bezpośrednio nakładów, czyli analizuje tzw. efektyw ność kosztową obiektów (a nie techniczną).
Innym przykładem jest kwestia aproksym acji zbioru T za pom ocą wersji technologii płatami liniowych różnych od tej, która została w ykorzystana w jed- noproduktow ym m odelu Bankera. W sytuacji w ieloproduktow ej, przy braku analitycznej postaci funkcji transform acji, technologię opisuje zbiór możliwości produkcyjnych. W m etodzie DEA podlega on aproksymacji w całości za pom ocą tzw. technologii płatami liniowych — zob. np. Prędki 2010b, 2012a. W pracy Ban- kera (1993), przypis 3 — w spom ina się jedynie, iż aplikowalność innych wersji przebiega poprzez analogię. N atomiast w pracy: Banker (1996), s. 148-149, w pro wadza się dla celów testow ania globalnych typów efektów skali estym atory DEA m iary efektyw ności oparte na aproksym acji T za pom ocą technologii płatami liniowych, gdzie zakładam y globalnie stały albo niem alejący efekt skali. Nie do wodzi się jed n ak własności statystycznych tych estymatorów, następuje jedynie rozszerzenie założeń m odelow ych odnośnie zbioru T o dodatkowe jego w łasno ści. Dopiero kolejni badacze analizują szerzej tą kw estię — zob. np. Park, Jeong i Simar (2010).
Powstał rów nież pom ysł na konstrukcję estym atora zgodnego miary efek tywności/nieefektywności, który nie w ym aga przyjm ow ania kłopotliwego zało żenia wypukłości zbioru T W ykorzystano tzw. m etodę FDH będącą m odyfikacją m etody analizy otoczki danych. Zbadane zostały własności tego estym atora oraz zaproponow ano odpow iednią aproksym ację zbioru T — szczegóły dostępne np. w pracy: Prędki (2010c). Dzięki temu stało się rów nież możliwe testowanie założenia o wypukłości zbioru możliwości produkcyjnych, które jest przyjm o w ane m.in. w jednoproduktow ym m odelu Bankera — zob. Simar i Wilson (2011), rozdz. 5.2.
B IB L IO G R A F IA
A friat S. N. (1972), Efficiency estimation of production fu n ctio n s, I n te r n a tio n a l E co n o m ic R ev iew , 13, s. 568-598.
A ig n e r D. J., C h u S. F. (1968), O n estim ating the in d u stry production fu n ctio n, A m e ric a n E co n o m ic R eview , 58, s. 826-839.
B a n k e r R. D. (1993), M a x im u m Likelihood, Consistency and Data Envelopm ent Analysis: A Statistical Foundation, M a n a g e m e n t S cience, 39, s. 1265-1273.
B a n k e r R D. (1996), Hypothesis tests u sin g Data Envelopment A nalysis, J o u r n a l o f P ro d u c tiv ity A n a ly sis, 7, s. 139-159.
B a n k e r R. D ., C h a n g H. (1995), A simulation stu d y of hypothesis tests for differences in efficiencies, In te r n a tio n a l J o u r n a l o f P r o d u c tio n E co n o m ics, 39, s. 37-54.
B a n k e r R. D ., C h a rn e s A., C o o p e r W W (1984), Some models for estim ating technical and scale inefficien cies in D E A, M a n a g e m e n t S cience, 30, s. 1078-1091.
B a n k e r R. D ., C o n ra d R. F., S tra u ss R. P (1986), A comparative application of Data Envelopment A n a ly sis and translog methods: an illustrative s tu d y of hospital production, M a n a g e m e n t S cience, 32, s. 30-44.
E n g e lk in g R. (1976), Topologia ogólna, P W N W arszaw a.
K u m b h a k a r S.C., L o v ell C. A. K. (2000), Stochastic frontier analysis, C a m b rid g e U n iv e rs ity P ress, C am b rid g e.
O sie w a lsk i J., W ró b el-R o tte r R. (2002), Bayesowski model efektów losowych w analizie efektywności kosz towej (na przykładzie elektrowni i elektrociepłowni polskich), P rz e g lą d S ta ty sty c z n y , 50, s. 47-68. P a rk B. U ., J e o n g S., S im ar L. (2010), A sym ptotic distribution of conical-hull estimators of directional
edges, A n n a ls o f S tatistics, 38, s. 1320-1340.
P rę d k i A. (2003), Analiza efektywności za pomocą metody DEA: podstawy formalne i ilustracja ekono miczna, P rz e g lą d S ta ty s ty c z n y , 50, s. 87-100.
P rę d k i A. (2006), Definiowanie globalnego i lokalnego efektu skali w ramach badania efektywności metodą D E A , P rz e g lą d S ta ty sty c z n y , 53, s. 57-72.
P rę d k i A. (2010a), Własności i zastosowanie estymatorów miar efektywności technicznej Farrella, M e to d y i z a s to s o w a n ia b a d a ń o p e r a c y jn y c h (red. M. N o w a k ), P ra c e N a u k o w e UE w K a to w ica ch , s. 175-194.
P rę d k i A. (2010b), Estymacja zbioru możliwości produkcyjnych w ramach formalnego modelu sta tystycz nego, P rz e g lą d S ta ty s ty c z n y , 57, s. 3-18.
P rę d k i A. (2010c), Propozycja opisu niepewności w ramach metod D E A i F D H, W sp ó łcz es n e te n d e n c je r o z w o jo w e b a d a ń o p e r a c y jn y c h (red. J. S ied leck i i P. P e te rn e k ), P ra c e N a u k o w e U E w e W ro cław iu n r 108, s. 207-218.
P r ę d k i A. (2012a), Geneza zbiorów możliwości produkcyjnych w ykorzystyw anych w metodzie D E A, Z e s z y ty N a u k o w e U E P (w d ru k u ).
P rę d k i A. (2012b), Formalne testowanie typu efektu skali w ramach metody D E A, Z e s z y ty N a u k o w e U EP (w d ru k u ).
R ic h m o n d J. (1974), E stim a tin g the efficiency of production, I n te r n a tio n a l E co n o m ic R ev iew , 15, s. 515-521.
S c h m id t P (1976), O n the Statistical Estim ation of Parametric Frontier Production Functions, R e v ie w of E co n o m ics a n d S tatistics, 58, s. 238-239.
S im ar L., W ilso n P W (2011), Inference by the m out of n bootstrap in nonparametric frontier models, Jo u r n a l o f P ro d u c tiv ity A n aly sis, 36, s. 33-53.
T im m er C. P (1971), U sing a probabilistic frontier production function to measure technical efficiency, J o u r n a l o f Political E co n o m y , 79, s. 767-794.
