Wyklad - Automatyka

Literatura podstawowa

1. Kaczorek T.: Teoria sterowania. Tom 1. Układy liniowe ciągłe i dyskretne,

Tom 2. Układy nieliniowe, procesy stochastyczne oraz optymalizacja statyczna i dynamiczna, PWN, Warszawa 1977.

2. Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa,1974.

3. Antoniewicz J.: Automatyka. WNT, Warszawa 1973.

4. Findeisen W.: Technika regulacji automatycznej. PWN, Warszawa 1978.

5. Pełczewski W.: Teoria sterowania. Ciągle stacjonarne układy liniowe. WNT, Warszawa 1980.

6. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1980.

7. Amborski K.: Teoria sterowania – podręcznik programowany. PWN, Warszawa 1987.

8. Mazurek J., Vogt H., Żydanowicz W.: Podstawy automatyki, Oficyna Wyd. Pol. Warszawskiej, 2002.

Literatura podstawowa c.d

9. Bubnicki Z.: Teoria i algorytmy sterowania. PWN, Warszawa 2002. 10. Amborski, K., Marusak, A.: Teoria sterowania w ćwiczeniach. PWN, Warszawa 1978.

11. Gibson J.E.: Nieliniowe układy sterowania automatycznego. WNT, Warszawa 1968.

12. Szymkat M.: Komputerowe wspomaganie w projektowaniu

Zarys historii rozwoju teorii i zastosowania układów

sterowania w technice

Starożytność - stosowanie regulatorów pływakowych do stabilizacji poziomu cieczy (np. lampa oliwna – Filon około 250r. p.n.e., Heron z Aleksandrii I wiek n.e. Pneumatica – opisuje mechaniczny regulator poziomu cieczy).

OKRES SZTUKI XVIII i XIX w. ETAP MECHANIZACJI PRODUKCJI

(produkcja urządzeń napędowych dla kopalń, warsztatów tkackich, obróbki drewna i metalu oraz środków transportowych, skonstruowanie maszyny parowej (XVIII w.) oraz silnika spalinowego i elektrycznego (XIX w.))

• Pływakowy regulator poziomu wody w kotle (Połzunow, 1765)

• Skonstruowanie maszyny parowej (1769) i regulatora odśrodkowego (Watt 1794). Data uznawana za początek rewolucji przemysłowej w Wlk. Brytanii i początek ery mechanizacji produkcji

• Idea wytwarzania części zamiennych zastosowana w produkcji muszkietów (Whitney, 1800). Data uznawana często za początek produkcji masowej

• Opracowanie modelu matematycznego i analiza stabilności regulatora odśrodkowego (Maxwell „O regulatorach” 1868)

• Opracowanie metod analizy stabilności układów liniowych (Routh 1877, Hurwitz 1895) i nieliniowych (Lapunow 1892)

OKRES PRZEJŚCIOWY (od pocz. XX w. do II wojny światowej) WIELKIE WYNALAZKI XX W.

(rozwój telefonii i radiotechniki, wytwarzanie i przesyłanie energii na wielką skalę, rozwój lotnictwa, przemysłu chemicznego i przetwórczego • Pierwsza publiczna linia telefoniczna (1908)

• Skonstruowanie żyroskopu i pierwowzoru autopilota (Sperry 1910) • Wprowadzenie zmechanizowanej linii produkcji samochodów (Ford 1913)

• Opracowanie i analiza stabilności wzmacniacza elektronicznego ze sprzężeniem zwrotnym (Bode, Black 1927)

• Opracowanie metod badania stabilności układu zamkniętego (Nyquist – kryterium częstotliwościowe1932, Michajłow 1938)

OKRES NAUKI (od II wojny światowej do dziś). ETAP AUTOAMTYZACJI PRODUKCJI

• Lata wojny – systemy radiolokacji i nawigacji, rozwój lotnictwa • Teoria filtracji optymalnej (Wiener 1942). Opracowanie metod nastawiania regulatorów PID (Ziegler, Nichols)

• Opracowanie metod analizy częstotliwościowej (Bode 1945, Nichols 1946)

• Metoda linii pierwiastkowych (Evans 1948) – teoria autopilota • Opracowanie sterowania numerycznego (NC) obrabiarek (w MIT 1952)

• Opracowanie zasady maksimum (Pontriagin 1956) i programowania dynamicznego (Bellman 1957) do sterowania optymalnego

• Opracowanie nawigacji inercjalnej (Draper 1960). Filtracja optymalna (Kalman)

• Wprowadzenie pierwszego robota przemysłowego Unimat do osługi ciśnieniowej maszyny odlewniczej (na podst. koncepcji G.Devola 1961) • Pierwszy komputer (Ferranti) do sterowania cyfrowego całym

• Opracowanie mikroprocesora (Hoff 1969); produkcja pierwszwgo mikroprocesora Intel 4004 (1971)

• Opracowanie modeli zmiennych stanu Rozwój metod sterowania optymalnego (lata 70-te)

• Pierwszy regulator cyfrowy w rozproszonym systemie Honeywell TDC2000 (1975)

• Rozwój metod projektowania sterowania odpornego (robust, lata 80-te)

• Nowe metody projektowania sterowania: logika rozmyta, sieci neuronowe (lata 90-te)

Źródła:

Dorf, Bishop: Modern Control Systems, wyd.7, Addison-Wesley, 1995 Franklin, Powell, Emami-Naeini: Feedback Control oj Dynamic Systems, wyd.3, Addison-Wesley, 1994.

Sterowanie to celowe oddziaływanie na obiekt za pośrednictwem to celowe oddziaływanie na obiekt za pośrednictwem wielkości wejściowych tak, aby wielkości wyjściowe przyjęły określoną

wielkości wejściowych tak, aby wielkości wyjściowe przyjęły określoną

postać lub wartość.

postać lub wartość.

Teoria sterowania - dziedzina nauki zajmująca się projektowaniem - dziedzina nauki zajmująca się projektowaniem algorytmów samoczynnego (automatycznego) sterowania procesami w

algorytmów samoczynnego (automatycznego) sterowania procesami w

celu osiągnięcia założonego celu

celu osiągnięcia założonego celu

Proces - zjawisko (lub zespół zjawisk) polegające na przetwarzaniu - zjawisko (lub zespół zjawisk) polegające na przetwarzaniu pewnych wielkości (sygnałów).

pewnych wielkości (sygnałów). Obiekt sterowania

Obiekt sterowania – proces podlegający sterowaniu. – proces podlegający sterowaniu.

Sygnał – przebieg dowolnej wielkości (niekoniecznie fizycznej) – przebieg dowolnej wielkości (niekoniecznie fizycznej) występującej w procesie, zawierający informację o stanie (zmianach

występującej w procesie, zawierający informację o stanie (zmianach

stanu) procesu.

stanu) procesu.

PROCES

wejście (przyczyna) wyjście (skutek)

Otwarty układ sterowania – układ, w którym sygnał sterujący oddziałuje na proces poprzez urządzenie sterujące bez wykorzystania sprzężenia zwrotnego.

Sygnał wejściowy nie podlegający sterowaniu to zakłócenie.

PROCES Urządzenie sterujące sygnał sterowany sygnał sterujący (zadany) zakłócenie

Sygnał wyjściowy Sygnał wejściowy Urządzenie sterujące OBIEKT Sygnał wyjściowy Sygnał wejściowy a) b) OBIEKT

Rys. Schemat blokowy otwartego układu sterowania: a) ręcznego, b) automatycznego

Ze względu na oddziaływanie jednokierunkowe w torze sterowania, wielkość sterująca powinna być dostosowana nie tylko do pożądanej wartości wielkości wyjściowej, ale także do zakłóceń.

Zamknięty układ sterowania (regulacji) – układ, w którym sygnał sterowany (wielkość sterowana) jest mierzony, przesyłany na wejście (sprzężenie zwrotne) i porównywany z sygnałem zadanym.

Typowe elementy funkcjonalne:

• w torze głównym: układ porównujący i formujący sterowanie

(regulator), wzmacniacz mocy, element wykonawczy (napędowy),

• w torze sprzężenia zwrotnego: czujnik, przetwornik pomiarowy

 tor sprzężenia zwrotnego

PROCES Element wykonaw-czy sygnał sterowany sygnał zadany Czujnik / Przetwornik Regulator (układ porównujący i formujący) sygnał sterujący tor główny zakłócenie urządzenie sterujące

Podstawowe określenia:

Układ regulacji automatycznej – układ ze sprzężeniem zwrotnym, którego

zadaniem jest zapewnienie odpowiednich przebiegów jednej lub kilku

wielkości charakteryzujących proces zwanych wielkościami regulowanymi.

Obiekt regulacji – proces technologiczny lub urządzenie podlegające

regulacji.

Regulator – urządzenie, które poprzez odpowiednie kształtowanie wielkości

sterującej dąży do otrzymania wymaganego stanu (wymaganej zmienności) wielkości regulowanej.

OBIEKT Strumień wejściowy + - u(t) y(t) e(t) w(t) a) Urządzenie sterujące OBIEKT Strumień wejściowy u(t) + w(t) -e(t) _y(t) b)

Rys. 1.4. Schemat układu regulacji ze sprzężeniem zwrotnym: a) ręcznej, b) automatycznej

Sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym polega na tym, że obserwuje się w(t) i y(t) lub tylko ich różnicę e(t) = w(t) - y(t), a następnie tak dobiera wartość sygnału sterującego u(t), aby sygnał e(t) (błąd regulacji) był możliwie bliski zera. W układzie regulacji automatycznej urządzenie sterujące przetwarza sygnał e(t) na wartość sygnału sterującego u(t).

Przedmiotem sterowania mogą być różnorodne procesy takie jak np. procesy technologiczne, procesy przetwarzania informacji, procesy zarządzania itp.

Automatyka - dyscyplina nauki i techniki zajmująca się teorią i

praktyczną realizacją nadzoru i sterowania obiektami technologicznymi bez udziału lub z ograniczonym udziałem człowieka. Obejmuje

całokształt problematyki związanej z automatyzacją procesów technologicznych.

Można w niej wyróżnić trzy podstawowe działy:

1. Podstawy teoretyczne automatyki (teoria sterowania). 2. Budowa elementów i urządzeń automatyki.

Klasyfikacja układów sterowania

1. Ze względu na zadania układu (cel sterowania):

• Układy stabilizacji (regulacji stałowartościowej), • Układy śledzące (nadążne),

• Układy programowe,

• Układy optymalizujące (np. regulacji ekstremalnej), • Układy przełączające (logiczne).

2. Ze względu na liniowość elementów: liniowe i nieliniowe.

3. Ze względu na charakter sygnałów: ciągłe i dyskretne (w czasie i/lub co do

wartości).

4. Ze względu na procesy przejściowe: statyczne (bezinercyjne) i dynamiczne. 5. Ze względu na liczbę wejść i wyjść: jedno- i wielowymiarowe.

6. Ze względu na charakter zmienności parametrów i sygnałów:

deterministyczne i stochastyczne.

Przykład: porównanie sterowania w statycznym układzie

otwartym i zamkniętym

Model sterowania temperaturą pomieszczenia

Θ_zad P_in [kW] Pomieszczenie Obiekt Θ [C] Piec Zawór gazu/oleju Termostat

Obiekt:

P_in K Obiekt Θ P_in=1kW -> Θ=10 o_C P_in=2kW -> Θ=20 o_C

=>

współczynnik wzmocnienia

K=10 [

o

C/kW]

Zakłócenie P_out=0 => Θ= Θ_zad Zakłócenie P_out≠0 => Θ=K(P_in-P_out) np. P_out=0,5kW, Θ_zad=20o_C Θ=K(Θ_zad ·1/ 10-Pout)=15oC

Układ otwarty:

Θ_zad [o_C] P in + K=10 P_out Zakłócenie Θ Obiekt Element sterujący Skalowanie 1 K 2 10

Zakłócenie P_out=0 => Θ=K[K_R(Θ_zad-Θ)] np. Θ_zad=20o_C, Θ=10[20(Θ_zad-Θ)], Θ=(200/201)Θ_zad=19,9oC

Układ zamknięty:

K Piec z termostatem K_R=20 PP Θ P_out P_in e + + Θ_zad [oC]

błąd regulacji e=Θ-Θzad=1/201≈0,5%

Zakłócenie P_out≠0 => Θ=K[K_R(Θ_zad-Θ)-P_out] np. Θ_zad=20o_{C, P}

out=0,5kW

Θ=(200/201)Θ_zad-(10/201)P_out≈19,6o_C

Zadanie: Rozważyć problem niepewności parametru K opisującego obiekt (np. K=9, czyli błąd 10%)

PROBLEMY

1. Dynamika – trzeba uwzględniać zmiany wielkości w czasie (dynamikę układu). wymuszenie

Θ(t)=K(1-e

-t/T

)

t 11 P_in t K Q

MODELE MATEMATYCZNE CIĄGŁYCH UKŁADÓW

STEROWANIA

Model wielowymiarowego układu ciągłego

(p wejść, l wyjść) y₁(t) y₂(t) y_l(t) u₁(t) u₂(t) u_p(t)

 

t

u

y

 

t

Układ statyczny (bez pamięci, bezinercyjny)

-układ liniowy y=au+b

np. Θ

=KP

_in

+ Θ

₀

-układ nieliniowy

np. y=arctghx u

u y



y  y b y  au



u y 2  a 2  a 

 

 

 



























u

u

u

y

l







1

Przykład:

sprężyna

-liniowa f

_s

=-kx

-nieliniowa f

_s

=-k(x+αx

3

)

Układy dynamiczne ciągłe – opisywane zwykle równaniami

różniczkowymi. Charakteryzują się występowaniem procesów

przejściowych.

t t P_in Θ K·P_in

1) Opis za pomocą zmiennych stanu (wektora stanu)



























n

x

x

x



2 1

x

u

 

t

x f x u





( , )

y

 

t

 

 











u

x

g

y

u

x

f

x

,

,



układ n równań pierwszego rzędu algebraiczne równania wyjścia

































p n n n p n p n

u

u

u

x

x

x

f

x

u

u

u

x

x

x

f

x

u

u

u

x

x

x

f

x

,...

,

;

,...

,

,...

,

;

,...

,

,...

,

;

,...

,

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1









































p n l l p n p n

u

u

u

x

x

x

g

y

u

u

u

x

x

x

g

y

u

u

u

x

x

x

g

y

,...

,

;

,...

,

,...

,

;

,...

,

,...

,

;

,...

,

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1



 

 

 























u

x

u

x

u

x

f

,

,

,

1 n

f

f



gdzie

Wybór zmiennych stanu dla danego układu może być różny. Zwraca się uwagę na:

a) sens fizyczny i mierzalność zmiennych lub b) wygodę opisu matematycznego.

Model liniowy

Du

Cx

y

Bu

Ax

x











p l n l p n n n

B



C



D



A

;

;

;

Przykład: Napisać równania stanu dla























33 32 31 23 22 21 13 12 11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A























32 31 22 21 12 11

b

b

b

b

b

b

B

C





c

₁₁

c

₁₂

c

₁₃



 

t

u



C

_y

 

_t

D

A

B

x

 

t x

 

t A – macierz stanu, B – macierz wejścia, C – macierz wyjścia, D – macierz transmisyjna

2) – opis wejście-wyjście za pomocą równania

różniczkowego n-tego rzędu (układ jednowymiarowy - SISO)

       



1 1



,

,... , ( );

,

,... , ( )

0

n n m m

F y

y



y y t u

_

u



u u t

_



Ogólny model nieliniowy (w postaci uwikłanej):

u(t) UD y(t)    



1





   1



1

,

,... , ( )

2

,

,... , ( )

n n m m

F y

y



y y t

_



F u

u



u u t

_

n

i

a

_i

,



0

_

m

j

b

_j

,



0

_

- stałe współczynniki, zależne od struktury i parametrów fizycznych układu

- stałe współczynniki, zależne od źródła sygnału wejściowego oraz od struktury i

parametrów układu

Model liniowy:

        1 1 1 0 1 1 1 0

...

( )

...

( )

n n n n m m m m

a y

a y

a y a y t

b u

b u

b u b u t

   



 









 







m

n



- warunek realizowalności, n – rząd układu

Układy opisane równaniami o stałych współczynnikach nazywają się

układami stacjonarnymi. Jeżeli współczynniki te zmieniają się w czasie,

3)

– opis wejście-wyjście w formie transmitancji operatorowej

(tylko dla układów liniowych)

Opis taki jest wygodny, ponieważ sprowadza analizę układów realizujących liniowe przekształcenia sygnałów do badania równań

algebraicznych zamiast różniczkowych.

Transformata Laplace’a

(jednostronna):

 

 

 

0 st

L x t

X s

x t e dt

 















G(s)

u(t) y(t) U(s) Y(s) LUD

Właściwości transformaty

Oryginał

Oryginał TransformataTransformata

f(t)

f(t) F(s)F(s)

af(t)

af(t) aF(s)aF(s)

f(t)+g(t)

f(t)+g(t) F(s)+G(s)F(s)+G(s) e

e-at-at_{f(t)f(t) F(s+a)F(s+a)}

tf(t)

tf(t)

f(t/a)

f(t/a) aF(as)aF(as)

[

[f(t-a)f(t-a)]]11(t-a)(t-a) ee-sa-saF(s)_F(s)

sF(s)-f(0) sF(s)-f(0) s snnF(s)-s_F(s)-sn-1n-1f(0)-…-sf_f(0)-…-sf(n-2)(n-2)(0)-f_(0)-f(n-1)(n-1)(0)₍₀₎ ) (s F ds d  ) (t f 1,2,3,... n dla  n n dt f d ) ( 1 s F s ) ( lim sF s s

)

(

f

)

0

(



f



t f d 0 ) (  ) ( lim 0sF s s

Transformaty Funkcji

Oryginał

Oryginał TransformataTransformata

δ δ(t)(t) 1₁ 1 1(t)(t) 1/s1/s A A A/sA/s t t t t22 t tnn _{dla n=1,2,3,… dla n=1,2,3,…} 2 1 s 3 ! 2 s 1 !  n s n

Oryginał

Oryginał TransformataTransformata

e e-at-at te te-at-at t t22e_e-at-at a s  1





2 1 a s 





3 ! 2 a s  t  sin 2 _2   s t  cos _s2 _2 s t eat sin





2 _2    a s t eat cos

_

_

_

2 _2  a s a s              _{B t} C aB _t e at    sin cos

_

_

_{2 2}     a s C Bs



 



 _t Ke at cos 2 _{ }   j a s Ke j a s Kej j      

 





 



1 _{1 0}



1 0 1 1 1

s

...

a

s

a

U

s

b

s

b

s

...

b

s

b

a

s

a

s

Y

_n n



_n n









_m m



_m m







Dla zerowych warunków początkowych WP (y(0)=y’(0)=…=y(n)_(0)=0; układ w stanie spoczynku):

1 0 1 0

...

( )

( )

( )

...

m m n n

b s

b s b

Y s

G s

U s

a s

a s a

 







 



G(s) - transmitancja

(funkcja przejścia) układu. Jest to opis równoważny

opisowi w formie równania różniczkowego n-tego rzędu z WP=0.

Transmitancja jest funkcją wymierną wielomianów zmiennej zespolonej s:

 

 

1 1

( )

( )

y t



L Y s





_



_



L





_

G s U s



_

Znając transmitancję można wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał wejściowy. Transformata sygnału wyjściowego: Y(s)=G(s)·U(s)

1 1 1 0 1 1 1 0

( )

...

( )

...

m m m m n n n n

L s

b s

b s

b s b

M s

a s

a s

a s a

   





 







 



Dla teorii sterowania układy o różnej naturze fizycznej (np. mechaniczny i elektryczny), ale opisywane równaniami matematycznymi o takiej samej strukturze są układami analogicznymi pod względem właściwości

dynamicznych (analogami).

W równaniach wprowadza się nowe parametry, takie jak współczynniki wzmocnienia, stałe czasowe, które opisują właściwości dynamiczne istotne z punktu widzenia teorii sterowania. Analogie pozwalają na

tworzenie i badanie takich samych modeli zamiast układów różniących się fizycznie.

Dla danego układu transmitancja (tak jak macierze w równaniach stanu) jest wielkością (funkcją) zależną jedynie od struktury fizycznej układu i parametrów układu (współczynniki wielomianów L(s) i M(s) są przeważnie prostymi funkcjami parametrów – pojemności, indukcyjności, rezystancji, masy, ciepła właściwego itp.), a nie zależy od sygnału wejściowego.

Modele układów + analogie

1. Układ mechaniczny

Sposoby opisu układu:

a) równanie różniczkowe

)

(

1

)

(

,

)

(

t

f

k

x

x

k

B

x

k

m

t

f

kx

x

B

x

m

x

v

Bv

kx

t

f

x

m

































k B f brak tarcia m x

b) transmitancja operatorowa:

 

 

 

 

 

_{ }

 

 

2 2 2 2 2 2 n 2 2 2 n

1

( )

1

,

2

,

-wspólczynniki dynamiczne

k

2

( )

transformacja Laplace'a

2

2

1

1

2

n n n n n n n n n n n

m

B

x

x x

f t

k

k

k

m

B

T

T

K

k

k

T x

T x x Kf t

T s X s

T sX s

X s

KF s

X s

_K

G s

F s

T s

T s

T

G s

K

s

s



















 









 

































( )

x v

k

B

v

x

v f t

m

m

y x









 













c) równania stanu

Zmienne stanu: położenie i prędkość: 1

2

x

x

x

v





1 2 2 1 2 1

( )

x

x

k

B

x

x

x

u t

m

m

y x









 













albo





1 1 2 2 1 2

0

1

0

1

1 0

x

x

u

k

B

x

x

m

m

x

y

x





 

_

_

   







 

_

_

_

_

   

 

 

_

_

 

 



_{  }

 





2. Układ elektryczny:

u₂ i L R C i u₁ u_{L u} R

Sposoby opisu układu:

a) równanie różniczkowe 2 2 2 1 2 2 1 2 1

u

LC

u

RC

u

u

dt

du

C

i

u

Ri

dt

di

L

u

u

u

u

u

_{L R}



























b) transmitancja operatorowa:

 

 

 

 

 

 

 

_{ }

 

 

₂ 2 ₂ 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1

2

1

1

2

1

2

2

2

,

n n n n n n n n n n n

s

s

s

G

T

s

T

s

T

s

U

s

U

s

G

s

U

s

sU

T

s

U

s

T

s

U

u

u

T

u

T

t

u

T

RC

T

LC

u

u

RC

u

LC

t

u

























































n n

L









2 2 1 2

1

1

1

u

i

C

R

i

u

i

u

L

L

L

y u

 





  













c) równania stanu

Zmienne stanu: napięcie u₂ i prąd: 1 2

2

x

u

x

i





1 2 2 1 2 1

1

1

1

x

x

C

R

x

x

x

u

L

L

L

y x

 





  













albo





0

1

0

,

,

1 0 ,

[]

1

R

1

L

L

L





 





 











_

_



 





 

A

B

C

D

Linearyzacja nieliniowego modelu układu

W praktyce mamy z reguły do czynienia z układami zawierającymi nieliniowości (np. mnożenie zmiennych, nieliniowe charakterystyki statyczne elementów). Analityczne rozwiązanie nieliniowych równań różniczkowych jest możliwe rzadko, opis operatorowy jest niemożliwy. Można wtedy:

1) wyprowadzić lokalnie liniową aproksymację układu, którą można analizować,

2) wyznaczyć komputerowo rozwiązania numeryczne dla szczególnych przypadków (warunków początkowych, wartości parametrów), analiza jakościowa jest nadal trudna.

Ogólna postać zmiennych stanu nieliniowego układu wielowymiarowego:









































































,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1 1

u

x

u

x

u

x

g

y

u

x

u

x

u

x

f

x

p n

g

g

f

f







(*)

Linearyzacja równań w rozważanym punkcie pracy (równowagi)

gdzie polega na zastąpieniu wielkości rzeczywistych ich przyrostami



0, 0



 0 f x u



x₀,u₀



0 0 0

,

u

u

u

,

y

y

y

x

x

x



















Rozwija się równania (*) w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi i ogranicza do składnika liniowego rozwinięcia, co prowadzi do modelu

zlinearyzowanego           x A x B u y C x D u 



,



0 f x u Charakterystyka statyczna x₀ u₀ x u

Współczynniki macierzy zależą od punktu równowagi

Warunki początkowe reprezentuje odchylenie początkowe



x₀,u₀



 

0 x         

















































































































































































































m p p m n p p n m n n m n n n n

u

g

u

g

u

g

u

g

x

g

x

g

x

g

x

g

u

f

u

f

u

f

u

f

x

f

x

f

x

f

x

f









































1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 0

,

u x u x u x u x

u

g

D

x

g

C

u

f

B

x

f

A

,

Linearyzacja dla modelu WE/WY

   



, ,...

n

, , ,...

m



0

F y y

_

y

u u u

_



(układ stacjonarny)

W punkcie równowagi    

...

m

...

n

0

u

_

 

u

  

y

_

y





F(u,y)=0 – charakterystyka _statyczna

Rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu P₀(u₀,y₀)





        0 0 0 0 0 0

,

0

...

...

0

P P n m n m P P P

F

F

F u y

y

y

y

y

F

F

F

y

u

u

u

y

u







 

  

















  















0 0

,

0

,

0 itd.

y

y y

y

y

u u u

u u

  

  

  

  





 

gdzie:

Zlinearyzowane równanie różniczkowe:

 

 

1 0 1 0

...

...

n m n m

a y



      

a y a y b u

_

    

b u b u

_

gdzie:

    0 0 0 0 0 1 0 0

,...,

,

,

,...,

n _n m _m P P P P P

F

F

F

F

F

a

a

a

b

b

y

y

u

y

u

















 

 













Transmitancja Laplace’a równania zlinearyzowanego daje transmitancję

przyrostową dla małych odchyleń od P₀

 

 

_{ }

WP 0

Y s

G s

U s

 







Modele matematyczne i linearyzacja

Przepływ nieściśliwej cieczy

q_in q_out h p_a p_h pa q_in h out in

q

q

dt

dh

A

dt

dm

_

_

_

_

ρ – gęstość cieczy [kg/m3_{] m – masa [kg]}

A – pole przekroju zbiornika [m2] h – wysokość słupa

q – strumień [kg/s] cieczy [m]

p_a – ciśnienie otoczenia

p_h=p_a+ρgh – ciśnienie hydrostatyczne

Równanie Bernoulliego

q=vS [m

3

/s]

p

v

2





2

1

_

p₁ q p₂ S _v





R

p

R

p

p

q

  1 1 2 1



_





R – opór przepływu, const. α – const. 1 ≤ α ≤ 2

α≈2 dla szybkiego przepływu turbulentnego (liczba Reynoldsa >105) α=1 dla wolnego przepływu laminarnego (liczba Reynoldsa <1100) np. długa rura

Strumień

q

_out

1

p

1/

R



 

Przyjmujemy Δp=p_h i α=1

 

 

 

_{ }

1

,





























Ts

k

s

Q

s

H

s

G

kq

h

h

T

k

g

R

T

g

AR

q

g

R

t

h

dt

dh

g

R

A

h

R

g

q

R

p

q

dt

dh

A

in in in in h in











h q_in Charakterystyka statyczna

Dla przepływu turbulentnego α=2

R

gh

q

dt

dh

A





_in





Rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi (h₀,q_in0)

0

,

0

,

in in in0

h h h

h h h

q

q

q

  

  

  

=

  

0









0 0 ₀ 0

, ,

_in

,

_{in in}

0

P P _{in P}

F

F

F

F h h q

F h q

h

h

q

h

h

q











 

 

















=0

Równanie zlinearyzowane: 0 0 0

1

2

2

2

in in

g

A

h

h

q

R

h

h

h

AR

h

h

R

q

g

g









 

  

   

 





h q_in P₀ (h₀,q_in0)

1

2

1

0 0 0 0























P in P P

q

F

A

h

F

h

R

g

h

F







Przykład: Model odwróconego wahadła na wózku

g m x Θ x m f_b  _ mg f_c  x u  _ MODEL u(t) _Θ(t)

Równanie momentów:











m

x

_

l

J



mgl

sin

cos

2

ml

J



- moment bezwładności











_x



l

l

g

cos

1

sin

u

x

_



(przyspieszenie podstawy)



u



F

u

l

l

g

,

,

0

cos

1

sin























Charakterystyka statyczna : u=g·tgΘ









₀



u

Θ

Linearyzacja w otoczeniu punktu P

₀

(Θ

₀

=u

₀

=0)

 

 

_{ }

_{2 2} 2 0 0 0 0

a

1

,

1

1

cos

1

1

sin

1

cos

0 0 0

a

s

b

s

U

s

s

G

u

b

l

b

l

g

a

u

l

l

g

l

l

u

F

F

l

g

u

l

l

g

F

P P P





























































































=0

Zmienne stanu i nieliniowe równania stanu 1 2 0

0

,

,

0

x

 

x

 

  

 

 

x



1 1 1 2 2 2 1

cos

sin

x

y

u

x

b

x

a

x

x

x





















Macierze układu zlinearyzowanego:





2

0

1

0

,

,

1 0 ,

[]

0

a

b





 



_

_



_{ }











 

A

B

C

D

Członem układu automatyki nazywamy urządzenie lub układ o

wyodrębnionym wejściu i wyjściu będący częścią składową tego układu.

Istnieje ograniczona liczba liniowych członów podstawowych o jednym

wejściu i jednym wyjściu oraz o prostych charakterystykach, a bardziej

złożone dynamiczne układy liniowe można przedstawić jako ich połączenia. Schemat przedstawiający te połączenia nazywa się schematem strukturalnym (blokowym) układu złożonego.

Człon proporcjonalny (bezinercyjny)

( )

( )

( )

y t

k x t

G s

k

 



k – współczynnik wzmocnienia 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) U s R G s U s R R    R₁ R₂ u_{1 u2} l1 l₂ F₁ F₂ 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) F s l G s F s l  

Człon inercyjny I rzędu

( )

( )

( )

1

dy

T

y t

k x t

dt

k

G s

Ts



 





k – współczynnik wzmocnienia T – stała czasowa 2 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 U s G s U s RCs    R C u_{1 u2} / ( ) ( ) ( ) ₁ e w w w k R E s G s L U s _s R    u R_Lw e w =const G

Człon całkujący 0

( )

( )

( )

t

y t

k x

d

k

G s

s

 







k – współczynnik wzmocnienia i C u

( )

1

( )

( )

U s

G s

I s

sC





q h

( )

( )

( )

H s

k

G s

Q s

s





Człon całkujący z inercją k – współczynnik wzmocnienia T – stała czasowa 0

( )

( )

( )

(

1)

t

dy

T

y t

k x

d

dt

k

G s

s Ts

 











1/ ( ) ( ) ( ) 1 e t m e k s G s U s _{R J} s s k k           dt u_w=const u R_t J  M

Człon różniczkujący idealny

( )

( )

dx

y t

k

dt

G s

k s



 

k – współczynnik wzmocnienia i C u

( )

( )

( )

I s

G s

sC

U s





Człon różniczkujący z inercją (rzeczywisty) k – współczynnik wzmocnienia T – stała czasowa

( )

( )

1

dy

dx

T

y t

k

dt

dt

k s

G s

Ts











2 1 ( ) ( ) ( ) 1 U s RCs G s U s RCs    C R u_{1 u2} u₁ R_L1 2 R₂ L₂ u2 i₁ M i₂=0 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ₁ M s U s R G s L U s _s R   

Człon oscylacyjny II rzędu

k – współczynnik wzmocnienia

 – względny współczynnik tłumienia

_n=1/T_n – pulsacja drgań naturalnych (nietłumionych)

Układ jest oscylacyjny pod warunkiem, że równanie _n2s2+2

ns+1=0 ma <0 Jeżeli 0, to układ jest układem inercyjnym II rzędu:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

( )

( )

albo

2

( )

( )

( )

2

1

2

n n n n n n n n n n

d y

dy

T

T

y t

k x t

dt

dt

d y

dy

y t

k

x t

dt

dt

k

k

G s

T s

T s

s

s





















 





















1 2

( )

(

1)(

1)

k

G s

T s

T s







Człon opóźniający (opóźnienie transportowe) 0 0

( )

(

)

( )

sT

y t

k x t T

G s

k e



 



 

k – współczynnik wzmocnienia T₀ - opóźnienie v l q₂ q_{1 2 1 0} 0

( )

(

)

q t

q t T

l

T

v







- rurociąg

Charakterystyką czasową układu nazywa się przebieg w czasie odpowiedzi (wyjścia) układu na określony standardowy sygnał wejściowy, podany na wejście układu będącego w stanie równowagi.

Stosowanie tych samych sygnałów wejściowych do badania różnych układów pozwala na porównanie właściwości dynamicznych tych układów i ich klasyfikację. Sygnały wejściowe do określania charakterystyk

czasowych muszą mieć postać umożliwiającą pełną identyfikację dynamiki układu.

Do opisywania i porównywania własności dynamicznych układów oprócz charakterystyk w dziedzinie czasu stosuje się także charakterystyki w dziedzinie częstotliwości.

W zależności od rodzaju zastosowanego sygnału wejściowego wśród charakterystyk czasowych można rozróżnić następujące:

1. Charakterystyka (odpowiedź) skokowa jest to odpowiedź y(t)=h(t) układu, na którego wejście doprowadzony został sygnał skokowy x(t) opisany równaniem:

)

(

)

(

t

a

t

x





1

gdzie funkcja skoku jednostkowego (funkcja Heaviside’a):













0

1

0

0

)

(

t

dla

t

dla

t

1

Transformata Laplace’a wymuszenia skokowego:





s

a

s

X

t

x

L

(

)



(

)



Odpowiedź skokowa

:























  

s

a

s

G

L

s

X

s

G

L

s

H

L

t

h

(

)

1

(

)

1

(

)

(

)

1

(

)

2. Charakterystyka impulsowa układu jest to odpowiedź y(t)=g(t) układu,

na którego wejście doprowadzony został sygnał w postaci impulsu Diraca

x(t)=(t) (impuls o jednostkowej energii, nieskończonej amplitudzie i nieskończenie krótkim czasie trwania):

1

)

(

,

0

0

0

)

(

)

(

























  

dt

t

t

dla

t

dla

t

t

x





( )

( )

1

X s



L



t



Odpowiedź impulsowa:









1 1

( )

( ) ( )

( )

g t



L G s X s





L G s



Charakterystyka impulsowa układu, zwana także funkcją wagi, jest odwrotną transformatą Laplace'a transmitancji układu.

Wymuszenie impulsowe nie jest realizowalne fizycznie. Transformata wymuszenia:

3. Charakterystyka liniowo-czasowa jest to odpowiedź y(t)=v(t) układu,

na którego wejście doprowadzony został sygnał x(t) liniowo zależny od czasu:















0

0

0

)

(

t

t

b

t

t

x

 

(

)

₂

)

(

s

b

t

x

L

s

X





Charakterystyka liniowo-czasowa:













_



_





   2 1 1 1

₍

₎

₍

₎

₍

₎

₍

₎

)

(

s

b

s

G

L

s

X

s

G

L

s

V

L

t

v

Transformata wymuszenia:

x ( t ) t a x ( t ) t x ( t ) t arctan ( b ) a) b) c)

Sygnał x(t) podawany na wejście układu w celu uzyskania charakterystyki:

a) skokowej b) impulsowej c) liniowo-czasowej

a

t 0

Charakterystyki czasowe podstawowych członów

dynamicznych

Człon proporcjonalny (bezinercyjny)

k

s

G

(

)



W członie bezinercyjnym w każdej chwili czasu sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sygnału wejściowego. Odpowiednie charakterystyki czasowe dane są wzorami:

- skokowa - impulsowa - liniowo-czasowa

s

a

k

s

H

(

)



h

(

t

)



k



a



1

(

t

)

( )

G s



k

_{g t}

_{( )}

_{ }

_k

_

_{( )}

_t

2

)

(

s

b

k

s

V



v

(

t

)



k



b



t



1

(

t

)

h ( t ) t k a k ( t ) t v ( t ) t arctan ( k b ) a) b) c)

Charakterystyki czasowe członu proporcjonalnego a) skokowa b) impulsowa c) liniowo-czasowa

Człon inercyjny pierwszego rzędu

1

)

(





Ts

k

s

G

Odpowiedź czasowa członu na skutek pewnej bezwładności (inercji) charakteryzuje się występowaniem stanu przejściowego, po zaniknięciu którego sygnał wyjściowy staje się proporcjonalny do sygnału wejściowego (ze współczynnikiem proporcjonalności k).

Dla odpowiedzi skokowej członu mamy:

s

a

Ts

k

s

H

)

1

(

)

(





_h

₍

_t

₎

_k

_a

₍

₁

_e

T

₎

₍

_t

₎

t

1













Stała czasowa T charakteryzuje prędkość zmian przebiegu

przejściowego. Jest to czas, po upływie którego odpowiedź skokowa

osiąga wartość (1-1/e)ka=0.632ka

h ( t ) t k  a 0.632 k  a T 3 T 0.95 k  a h ( t ) t T ₁ T ₂ T ₃ T ₁ < T ₂ < T ₃ k  a

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu. Po czasie 5T wyjście osiąga 99% wartości ustalonej