Analiza nieliniowych samowzbudnych cyklów granicznych drgań powłoki o małym wzniosie w nieliniowym opływie naddźwiękowym

M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 12 (1974) ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI O MAŁYM WZNIOS IE W NIELINIOWYM OPŁYWIE

NADDŻ WIĘ KOWYM

BARBARA  G A J L (WAR SZ AWA)

1. Wstę p

W dotychczasowej literaturze, zajmują cej się  zagadnieniami aerosprę ż ystoś ci ukł adów powierzchniowych w opł ywach naddź wię kowych, zajmowano się  wyznaczaniem krytycz-nych wartoś ci param etrów, okreś lają cych granice statecznoś ci drgań samowzoudzonych — był y to badan ia ukł adów zlinearyzowanych; rozpatrywano także cykle graniczne w pro-blemach nieliniowych dla pł askich pł yt przy zał oż eniu liniowoś ci sił  aerodynamicznych i bez uwzglę dnienia tł umienia materiał owego [3].

N ieliniowe zagadnienie drgań samowzbudnych powł ok o mał ym wzniosie i skoń czonej dł ugoś ci wymaga zastosowania nieliniowej aerodynamiki z uwzglę dnieniem wpł ywu opł y-wu stacjonarnego n a opł yw niestacjonarny. Jak wykazał y analizy przeprowadzone w pra-cach  [ l i i 12], wartość poprawek wynikł ych z uwzglę dnienia kształ tu powł oki i nielinio-woś ci drgań jest niepomijalna.

W niniejszej pracy okreś lono cykl graniczny dla pewnych warunków począ tkowych, pokazan o zmienność w czasie przemieszczeń punktów powł oki i zmienność w czasie funkcji A„(t), bę dą cych skł adowymi szeregu okreś lają cego wielkoś ci przemieszczeń nor-malnych powierzchni powł oki. U wzglę dniono tł umienie materiał owe wg modelu Voigta oraz nieliniową  zależ ność ciś nienia od drgań powierzchni powł oki i wpł yw opł ywu stacjo-narnego n a opł yw niestacjonarny. Przyję to stał e krzywizny w kierunku podł uż ny m i po-przecznym. Z astosowano techniczną  nieliniową  teorię  powł ok.

Rozwią zanie n a przemieszczenia norm alne powierzchni powł oki przedstawiono w po-staci podwójnego szeregu funkcji wł asnych i zastosowano ortogonalizacyjną  metodę G alerkina w celu sprowadzenia nieliniowego równania róż niczkowego czą stkowego czwar-tego rzę du do ukł adu równ ań róż niczkowych zwyczajnych drugiego rzę du.

U kł ad równ ań róż niczkowych zwyczajnych przedstawiony w postaci bezwymiarowej rozwią zano numerycznie. Obliczenia został y wykonane n a elektronowej maszynie cyfrowej G I E R . D o program u wł ą czono duń ską  procedurę  M ersno opartą  na znanej metodzie numerycznej R ungego- Kutta.

P rzykł ad obliczono dla nastę pują cych param etrów: liczba M acha M =  3; Ljh oznacza stosunek dł ugoś ci powł oki do jej gruboś ci =  240; dla wartoś ci krzywizny poprzecznej 1 podł uż nej kx =  kz =  0,08 oraz dla wzniosu s = 0,08. W oparciu o wcześ niej przeprowa-dzone rozważ ania przyję to ilość fal podł uż nych n =  4 i ilość fal poprzecznych m =  1,

18 B. G AJL

czyli rozwią zywano w przykł adzie ukł ad czterech równań. P rogram dla maszyny liczą cej napisano w ten sposób, iż moż emy dowolnie zmieniać warunki począ tkowe, liczbę  równań w ukł adzie oraz parametry przepł ywu i powł oki. Liczenie jest bardzo pracochł onne, gdyż obliczanie jednego pun ktu pł aszczyzny fazowej trwa dla maszyny G I E R okoł o 3 min. Z tego wzglę du ograniczono się  do jednego przykł adu.

2. Równania problemu

Rozpatrujemy powł okę  o mał ym wzniosie i skoń czonej dł ugoś ci, której rzut n a pł aszczyznę  xz m a dł ugość b i szerokość L. Przyjmujemy, że n a krawę dziach powł oki są  speł -nione warunki podparcia przegubowo- przesuwnego. Przyjmujemy pon adto, że powł oka stanowi czę ść nieograniczonej pł aszczyzny, która poza powł oką  jest nieodkształ calna. Powł oka jest opł ywana z jednej strony naddź wię kowym strumieniem gazu idealnego o prę dkoś ci U w kierunku równoległ ym do osi x. N iesprę ż ystość materiał u powł oki uw-zglę dniono przez wprowadzenie modelu Voigta.

Rys. 1

Zagadnienie przedstawiamy w postaci bezwymiarowej. Wprowadzamy nastę pują ce oznaczenia: g0 oznacza gę stość powietrza w nieskoń czonoś ci, współ rzę dne x, z i prze-mieszczenie ś rodkowej powierzchni powł oki w kierunku norm alnym w(x, z, t) odnosimy do szerokoś ci powł oki L i oznaczamy odpowiednio x, z, w(x, z, t). G ł ówne krzywizny kx i kz odnosimy do l/ L i oznaczamy przez kx i kz. F unkcję  naprę ż eń Airy'ego 0(x, z, t)

I _

odnosimy do - T- Q0 U 2

L3

 i oznaczamy przez <E>(x, z, t), ciś nienie zaś Ap(x, ź, t) odnosimy

do ciś nienia dynamicznego — Q0 U 2

 i oznaczamy przez Ap(x, z, t). Przez N oznaczamy sił y

dział ają ce n a jednostkę  dł ugoś ci przekroju powł oki, odnosimy je do — Q0 U 2

L i oznaczamy w zależ noś ci od kierunku dział ania odpowiednio NxiNz. Czas T odniesiony jest do ilorazu L/ U i oznaczony przez t, współ czynnik zaś tł umienia materiał owego do Lja0 i oznaczony przez 6; a0 oznacza prę dkość dź wię ku.

AN ALIZA NIELINIOWYCH  SAMOWZBUDNYCH  CYKLÓW GRANICZNYCH  DRGAŃ  POWŁOKI 19

Stosujemy techniczną  nieliniową  teorię  powł ok, która jest szczególnym przypadkiem

nieliniowej teorii mał ych odkształ ceń (zlinearyzowanej wzglę dem skł adowych wektora

przemieszczenia, stycznych do powierzchni podstawowej powł oki) i mieś ci się  ponadto

w ramach zał oż eń Kirchhoffa- Love'a. Za powierzchnię  podstawową  przyjmujemy ś

rod-kową  powierzchnię  powł oki.

Równania ruchu powł oki w ukł adzie bezwymiarowym mają  nastę pują cą  postać:

•

₊

4

8

2

w 8*& 1

+Ap

\ >

8x8z 8xdz

gdzie 6 oznacza tł umienie materiał owe,

Aj =  \ 2{\ - v

2

){L lhy

_Qs

aljE,

(2.3) A

2

 =  12(.l- v

2

)(Llhy

eo

a

2 0

l2B,

A

8

 =  2Ele

o

al{hjL);

M oznacza liczbę  M acha, v — współ czynnik Poissona, E — moduł  sprę ż ystoś c

i Younga,

Qs — gę stość materiał u powł oki, h — grubość powł oki, zaś Ap jest róż nicą ciś nień dział

a-ją cą  na powierzchnię  powł oki i wyraża się  wzorem

(2.4) Ap =

s i 6 są  mał ymi parametrami i mają  ten sam sens co w [11 i 12], wyraż enia zaś na skł adowe

ciś nienia są  podane w [12].

3. Okreś lenie funkcji naprę ż eń

Rozwią zania ukł adu równań (2.1) i (2.2) bę dziemy poszukiwali w postaci podwójnego

szeregu funkcji wł asnych

(3.1) w(x, z, t) =  2J ^ J A

nm

(t)s'mn7ixsm—^- z,

n m

gdzie nim są . liczbą  fal w kierunku podł uż nym i poprzecznym, a X — b\ L — wydł uż eniem

powł oki.

Rozwią zanie równania (2.2) przedstawiamy jako sumę  rozwią zań

(3.2) ®(x,z, t) m 0

1

(x,z,t)+0

2

(x,z,t),

gdzie 0

1

(pc,z, t) jest rozwią zaniem ogólnym równania jednorodnego, natomiast 0

2

{x, z, t)

jest rozwią zaniem szczególnym równania peł nego.

20 B. G AJL

Rozwią zanie ogólne przedstawiamy za pomocą wzoru [1]

(3.3)  *!( *, z, t) -  ~(N

x

z

2

 +Ń

z

x

2

- 2N

xz

xz),

gdzie Ń

X

,Ń

Z

, Ń

xz

 są pewnymi stał ymi, uzyskanymi z cał kowania; zakł adamy mianowicie,

że ś rednie przemieszczenie powierzchni w kierunkach x i z jest równe zeru i zapisujemy

to w postaci

i A i A

0 0  0  0

gdzie u(x, z, t), v(x, z, t) oznaczają bezwymiarowe przemieszczenia w kierunkach osi

xi z.

Z ależ n o ść m ię d zy p o c h o d n ym i uiv a. fun kcją Air y'ego je st n a st ę p u ją c

a [ 1] :

(3.5)

gdzie

(3.6) N

x

 =  " *^ ,

Po podstawieniu (3.1) do (3.5), a nastę pnie do (3.4) i wykonaniu cał

kowania otrzymu-jemy

(3.7)

Z (3.1) drogą prostych przekształ ceń otrzymujemy

(k+k) £ J^

n2\ -  -  ć - i ć - i nm n m ^ y j * J n m :2

 {K+

x

) 2^ 2J

 n

jri"'"( o t

1

 -„ •  o.

AN ALIZA NIELINIOWYCH  SAMOWZBUDNYCH  CYKLÓW GRANICZNYCH  DRGAŃ  POWŁOKI 21

Podstawiają c (3.7), (3.8) i (3.9) do (3.3) otrzymujemy nastę pują ce wyraż enia na pochodne

funkcji naprę ż eń:

Rozwią zanie szczególne równania (2.2), a tym samym i wartoś ci funkcji &

₂

(x> z, t),

okreś lamy w sposób nastę pują cy. Podstawiamy (3.1) do równania (2.2) i otrzymujemy

(3.11) V

2

V

2

0

2

( *, z, t) =  - j^TWy 2J ZJ A- i 2

 A

«m

n m s Q

mn  ^ ^ qn

 m

 n

2 n m s q

. qn , V-   V i F . Im

•  rmc ,_qn _ , ,.  \ ^ \  11, /  m \   ,

t

. , L , ,

x

 ... . . . mw

n m

Poszukujemy rozwią zania równania (3.11) z warunkami brzegowymi

2

 dz = 0, dla x = 0 oraz JC =  1;

(3.12)

 6

 °

/

8

2

&

2

 C 8

2

&

2

—Tr- z- dx = 0, -  „ dx =  0 , d la z =  0 o r a z z =  A.

<9*

2

 ' J 8xdz '

o o

Równanie (3.11) przekształ camy do postaci

(3.13) V

2

V

2

0

2

( x, z, 0 =  ~

n m s g

x cos- y(m—q)z[nq(tns+nq)cosn(n +s)x+nq(ms~nq)cos7i(n- s)x] +

X

 J

, V  V i " , / > " \

2

 r ,1 , , \  •  . WMI 1

+n > / _; *"\ T /   + ^

M

 M nrnvOsmw^^sin—pzJ.

Zakł adamy rozwią zanie (speł niają ce warunki brzegowe (3.12)) w nastę pują cej postaci:

(3.14) &

2

(x, z,t) — /  /  /  /  A„

m

(t)A

sq

(t) \ cos—(m — q)z[A

1

cos7i(n+s)x +

n m s Q

_ j

1

 ' I

mn

;.

22 B, G AJ L

Przewidywane rozwią zanie (3.14) podstawiamy do (3.13) i otrzymujemy równanie na

współ czynniki. Z tego równania okreś lamy

X

3

nq{ms+nq)

^ • y " 2 >

n i *.\  r l

3

nq{ms- nq)

( i. 15)  C i =  -   — p —  —? .  v 2- ,2,

X

z

nq{ms+nq)

2 ' rł 1 _~

Podstawiając (3.15) do (3.14) otrzymujemy rozwią zanie szczególne dla O

2

(x, z, t).

4. Redukcja równań

Mając okreś loną funkcję naprę ż e

ń <£>{x, z, t) moż emy sprowadzić róż niczkowe czą

st-kowe równanie ruchu powł oki (2.1) do równania róż niczkoweg

o zwyczajnego drugiego

rzę du (wzglę dem czasu 0 podstawiając uprzednio do (2.1) rozwią zanie zał oż one w postaci

szeregu funkcji wł asnych (3.1) i odpowiednie pochodne funkcji naprę ż e

ń <t>(x, z, t).

Zapisujemy równanie (2.1) w postaci

(4.1) J P [w( *, *, f) ]«"O .

Po zastosowaniu ortogonalizacyjnej metody G alerkina otrzymamy ukł

ad równań róż-niczkowych zwyczajnych drugiego rzę du

i x

(4.2) /  J J? [w(x, z,  0 K ( x , z)dxdz =  0,

o o

gdzie l,r = 1, 2, 3, ..., zaś

(4.3) Wi

r

{x, z) =  sintocsin—- .- z

A

jest funkcją ortogonalizują cą.

AN ALIZA NIELINIOWYCH  SAMOWZBUDNYCH  CYKLÓW GRANICZNYCH  DRGAŃ  POWŁOKI 23

Jeż eli zał oż ymy, że funkcja opisują ca powierzchnię  f(x, z) =  sinwxsin(jr/ X)z i pod-stawimy ją  do (2.1), to ukł ad równ ań opisują cy drgania powł oki przybierze postać

[

4

 V

 \

n AjM2   Z J [|9  ( I + n ) ( ' "> Podajemy teraz listę  oznaczeń symboli wprowadzonych w tym równaniu. X, Xx, X2, oraz M są  okreś lone wzorami (2.3) i (3.1). P on adto

(4.5) j8

y — wykł adnik adiabaty, s jest okreś lone wzorem (2.3), A4 •  12X(L/ h)

2 , ) = 0 dla =  l/ 4 dla ,,) =  0 dla (I+ń )2  =  0. (4.6) gdzie n m s q

= 0

Pmą r  = =

dla

dla

dla (l+s)

2

 =  0;

24 B. G AJL J r 1 — (— n w- (9Tr ) 1 _ C _ 11'"+ ( 9T r) "| d l a (4.7) MI r = n m s q gdzie d l a dla ( / + ^ )2  =  n2  #  0,

j8_{m s r} okreś lono wzo rem (4.6).

(4.8) H

_lr

 =

  _ł

[ ^

gdzie a )  =  0(1+ 1X1- !) -d l a dla x (r±i) — O d la  r2  =£ 1, ^(r- i) m - s" dla r =  1, %( r + 1 ) =  O dla r = \ , 1 — ( —l )ł X; =  - 4—— d la ka ż d ego / . Uli

AN ALIZ A N IELIN IOWYCH  SAMOWZBUDN YCH  CYKLÓW G RAN ICZN YCH  D RG AŃ  POWŁOKI 25

= 0 dla (/±1)

2

 = 1,

= 0 dla (/+1) m 0,

(4.11)

gdzie

=

  - A [

T

(

1

- ( ;

1

)

r

)

_±

(

1

- ^ f

2

) ] dia (.ii)

2

^,

= 0 dla (r±l)

2

 = l,

= — dla (r±l) = 0.

(4.9)

dla  «

2

 ?* /

2

,

y

_{( I ± B )}

 -  0 dla n

2

= l

2

,

1  _ /

p

_ i V '

!

" +

1

+ ,v;:,— dia (/+«)

= 0 dla (l+n)

2

= 1,

f n )

 =  0 dla

 ( / + K )

 =  0.

(4.10) C = Ak

x

+Bk

x

,

gdzie

n

nm

n m

26 B. G AJL

(4.12) A, =  ]££ £2 A

_nm

(t)A

_sq

(t

n m s q

+ j- !) +  kz(n- s) 2

 +kx[—j—I

gdzie A1,B1,C1,D1 okreś lono wzorem (3.15),

+

 «

_{+ J+}

/ J

n + s- , ) =  0  d k

l —(—iy- (m+ «) i_f_iy+ >»+ « "I

r+w

J

+g

 J

J

r,

d k   ( «

-ap- (i»- »)ii:i+ {»4«)] =  °  d k (n- s)2

 =  I2 , X F  i- (_iy- c»- a) i_(_iy+ (m- ,) "l

^ ' ^ ^ ' •

hl r-

_{( ?K}

-

_g

)

 +

 r +  (m- ri J

  d k

  ^ "^ ^ ^

Ą r+(m- «)][r- (m-8)] =  0  d k (jn- q)

2  =  r2.

(4.13)

 F

" =  2 S S S M0A

_nm

(t){[(jn)

2

 + (im)

2

] x

x aini ftmr -  2ijrtmafnl Pjmr} Et, gdzie Ą okreś lono w (3.15) =  0 d k /2  =  (i+n)2  * 0, =

 ° dk /  =  (iTń ) =  0,

n -   ( -  iy- o= f») i _

AN ALI Z A N IELIN IOWYC H  SAMOWZBU D N YCH  CYKLÓW G RAN ICZN YCH  DRG AŃ  POWŁOKI 27 (4.14) gdzie (4.15) 0 0 dla r2  m (j+m)2  * 0, dla r =  (j+m) m 0, i l = i  _ / d i a

0

0

dla n2  =  (l+s)2  * 0, dla B -  (l^s) -  0, g r okreś lono wzorem (4.6). i j n m s q i2 (m

gdzie  ^ i , JBX ,  Ct, X>t okreś lono wzorami (3.15),

dla dla 0 , «+i)(ici) =  Y dla (n+s) =  (/ + / ) =  0. Fł i) =  0 dla

-  ^r

  dl a "(m+qKffJ) =   - j  d l a  (tn+q)= (r+j) =  0.

28 B. G AJL

=  o

  d l a

- - J"

 •

 dla

-  - j

  d l a P(m- q)jr  = =  "(m - 9)(r- j) ~ "(m

«(«- «)(r?J) =  °

  d l a

 (m- q)

2

«(m-

₈

)("tj) =  - J

  d l a

 (m- q) = (r+j) =  0.

5. Obliczenia numeryczne i wnioski koń cowe

W celu okreś lenia zmiennoś ci przemieszczeń drgają cej powł oki w czasie i zbadania cyklu granicznego rozwią zano numerycznie ukł ad równań róż niczkowych nieliniowych (4.4). Zastosowano metodę  Rungego- Kutta jako bardzo dokł adną  i dają cą  się  stosunkowo ł atwo zaprogramować dla elektronowych maszyn liczą cych. Oprócz tego waż ną zaletą  tej metody jest moż liwość zastosowania zmiennego odstę pu, co jest szczególnie waż ne przy poszukiwaniu cyklu granicznego.

N umeryczne obliczenia wykonano n a cyfrowej maszynie matematycznej G I E R dla powł ok duralowych (JE =  7,2-  109 kG / m2 , v -  0,3, Qs =  285kG / sek 2 / m4 ). W opł ywie n a poziomie morza aQ — 340m/ sek, Q0 =  0,125kG / sek

2

/ m4

. Przyję to do obliczeń wydł uż enie X — 1, maksymalny wznios s = 0,08 i stał e krzywizny w kierunku podł uż nym i poprzecznym kx = k. — 0,08. P on adto uwzglę dniono tł umienie materiał owe

i przyję to wartość 6 = 0,2. Obliczenia wykonano dla liczby M acha M =  3 i dla wartoś ci

L/ h przyjmowanych w konstrukcjach lotniczych.

Wyznaczono cykl graniczny dla iloś ci fal poprzecznych m = 1 oraz liczby fal podł uż-nych (w kierunku przepł ywu) n — 4. Wybór parametrów e =  0,08 i M =  3 jest podykto-wany tym, że dla tego zestawu moż emy stosować teorię  potencjalnego przepł ywu w drugim przybliż eniu, nie wprowadzają c bł ę du w stosunku do teorii skoś nej fali uderzeniowej. Tł umienie materiał owe 6 =  0,2 jest typowym tł umieniem dla konstrukcji lotniczych, a poza tym nie moż na go pominą ć ze wzglę du n a to, że wprowadza destabilizację  ukł adu w zakresie badanych parametrów. Obliczenie przeprowadzono dla wielkoś ci typowych dla konstrukcji lotniczych, ponieważ w tej dziedzinie istnieje najwię cej ustaleń dotyczą -cych drgań samowzbudnych typu f latteru.

Badanie przeprowadzono dla liczby fal podł uż nych n =  4, gdyż za pomocą  czterech wyrazów szeregu F ouriera moż na z dużą  dokł adnoś cią  aproksymować szeroką  klasę

AN ALIZA NIELINIOWYCH  SAMOWZBUDNYCH  CYKLÓW GRANICZNYCH  DRGAŃ  POWŁOKI 29

funkcji gł adkich. Wartoś ci rozwią zań niewiele zmieniają  się , jeż eli wprowadzimy liczbę funkcji wł asnych wię kszą  od czterech.

P rogram napisany jest w ję zyku G I E R — Algol 4.

Rozwią zujemy n równ ań róż niczkowych drugiego rzę du. D o programu wł ą czona jest duń ska procedura M ersno rozwią zują ca z dowolną  dokł adnoś cią  n równań róż niczkowych zwyczajnych pierwszego rzę du.

P rogram przystosowany jest do dział ania n a pamię ci szybkiej (operacyjna plus bę ben). Realizacja program u wymaga wprowadzenia z taś my oś miokanał owej nastę pują cych danych w kolejnoś ci:

n liczba równań drugiego rzę du,

y[l: 2n] warunki począ tkowe na zmienne, a nastę pnie na pochodne, x wartość począ tkowa czasu,

x2

 wartość czasu, od którego liczymy, x3

 dł ugość kroku, x4 koń cowa wartość czasu,

M liczba Macha,

Ljh stosunek dł ugoś ci powł oki do jej gruboś ci, kx krzywizna w kierunku podł uż nym, kz krzywizna w kierunku poprzecznym, dok dana dokł adnoś ć.

Wyniki otrzymujemy n a drukarce wierszowej w nastę pują cej kolejnoś ci: At(t)... A„(t), A±(t) ... A„{t). Są  one pun ktem wyjś ciowym do obliczenia przemieszczenia W (t) i prę d-koś ci przemieszczenia W {t) w każ dym punkcie badanego obszaru powł oki. N a tej pod-stawie sporzą dzono wykresy na pł aszczyź nie fazowej dla punktów o współ rzę dnych x =

=  0,75; z = 0,52 oraz x =  0,25; z =  0,5A (rys. 2, rys. 8) oraz wykresy zmiennoś ci funkcji An{t) (rys. 4, 5, 6, 7).

P okazan o zmienność przemieszczeń w czasie n a rys. 3 i rys. 9 dla wyż ej wymienionych punktów.

Z podanych przebiegów należ ał oby wnioskować, że ustalenie się  drgań samowzbudzo-nych nastę puje mię dzy siódmym a dziewią tym cyklem i dla danych parametrów, n p. dla pun ktu x =  0,75, z =  0,5, maksymalne wychylenie przyjmuje wartość dziesię ciokrotnie wyż szą  od danych wychyleń począ tkowych.

Obliczenia w zakresie rozważ anego tem atu wykonano dla zał oż onych nastę pują cych warunków począ tkowych: A^O) = 0,1 •  10"2 , A2(0) m 0,08 •  10-2 , A3(0) m 0,06 •  10-2 , AM = 0,04 •  lO "2, 4.( 0) =  0,

gdzie n =  1, 2, 3, 4, co daje dla pun ktu x =  0,75, z =  0,5 wartość wychylenia W ifS) = =  0,03 •  10- 2

, W (Q) = 0.

Obliczenia te mają  n a celu ustalenie charakteru zmian zachodzą cych w okresie ustalania się  drgań samowzbudnych.

/ / /

i

II

l i

i lj

U/

ft '

\ 1

V

_K 1

sl

\

/i

i, if

7

i

j

/

/

\ \

\\

\

\

(/

/

n

s \ w(t)­1Oz_' / / i

n

i \

z'

,/

/

/

• ^ ^ s

\

0,15

Ifo

0,05 • ' 0 ­0,05 ­0,10 ­0,15 ~o?a ­— *•—. — — s — ^

s

s

N

\

\

)r°y

00' ­ ­

•*

X'O,75 . Z­Q5Z \

V

V

V

\

\

\ N \ \ \ 0.1 \ li / / y

y

I 1 1 / // / M'3 Llh­Z4L 8­0,2

'e4,08

\

\ \

\

\

V

0,15 / //

11

1

\

\

X

\

wlt) 1 \a,20' f Rys. 2

Ą

0,1 0

ą z

o/ t - IO2_{- wft)} \  J

U

/ \

u \

1

//

z

J

z- 0,5X

0

130 1 1 n*4, n 9=0,2

I

\ l

A

<o\

/

/

J

°kz=0,08,

1

3, U e- Q,

/

/

Uo/

1

1  50

\ J

h=2< 08

T~

m tu, Rys. 3 [30]

0.2D 0,10 ­0,10 ­0,20 Rys. 4 i 0,10 0 ­0,10 ­0,20 ^•Atft) \

V

\

/

1 1 /

i

\zo i

1

V

n

W30 1 \ \

f

/

/

i

\

\\

f

/

1

\

\

1

1

 6

\

\

I

X\

Rys. 5 Rys. 6 131] n=4 rn=1 M­3 kx=kz=0,08 Ł=0,08 10z_­A 5(t)

A

\

V

_V

/

/

7 / / \ \ i / 0 \

A

\

\ 40

W

/)

\

U

/

1

_J

\

1 ra

1

u

\

n=A Uh=lAQ 8~0,Z kx=kz=Ofi& Ł­0,08

0.20 Rys. 7

I

i

,'i

\ \

I

t

\

- 0.15 \ 1 t

1/

f

I / / ' /

z

/>

/

r\

k

i \ \

\^

\

s

/ '

/

f

/

i * * * * * y / /

U-k

y

h

i i - 0,05 \

W

\

\ \

^ •< \ ^ ^ —> m • Ę JO / ' \ - Oflb - a® - 0,2(1 w(t)

wo

_^

1OZ -/ \ \

\V

1

s

!

//

/

\

\

\/

^- £ 15 z- 0,52 N \

T~

i

1

;

r«

/

ł

i / / \

a

i rn- 1 Z=1 M'3 L/ h=24 B=QZ \  e- 0,t \ I5

- 4

i ~t~ \ \ \_\

i

i i 10,,

1

1 1 0 18

Mt)

0 Rys. 8 [32]

AN AL I Z A N I E LI N I OWYC H  SAM OWZ BU D N YC H  C YK LÓ W G R AN I C Z N YC H  D RG AŃ  POWŁOKI 33 i 0,3 0,2 0,1 0 0,1 0,2 cm \ \ YlD \

j\

\

\

\

f

i

VJ

3 z~0,5A \ \ V.

r*

L/ h \ \ V 4, m =240,

r

f

6=0,2, kx=kz= • !~0,08 \

I so\

I

s

0 R ys. 9

L it er a t u r a cytowan a w t ekś cie

1. B . B . EOJIOTH H , HeKOHcepeamusubie 3adauu tneopuu ynpyioii ycmouweocmu, MocKBa 1961. 2. C z . WO Ź N I AK, N ieliniowa teoria powł ok, P WN , Warszawa 1966.

3. E AR L H . D O WE L L , N onlinear Oscillations of a Fluttering Plate, AJ AA J., 4, N o . 7, 1966. — AJAA J . N o . 10, 1967.

4.  Z . D Ż YG AD Ł O, Analiza drgań nieautonomicznych ukł adów powierzchniowych w oplywie naddź wię kowym, D o d a t e k d o Biul. WAT N r 7 (191), Warszawa 1968.

5.  M . H O L T , S. L. ST R AC K , Supersonic Panel Flutter of a Cylindrical Shell of Finite L ength, J. A.S., N o . 3, 1961.

6. M .  D . OLSON , Y. C .  F U N G , Comparing T heory and Experiment for the Supersonic Flutter of Circular

Cylindrical Shells, AYAA J.,  N o . 10, 1967.

7. L. L. C AR TE R , R . O. STEARM AN , Some Aspects of Cylindrical Shell Panel Flutter, AYAA J., N o . 1, 1968.

8. Z . D Ż YG AD Ł O, S. K AL I SK I , L . SO L AR Z , E . WŁ O D AR C Z YK , Drgania i fale, P WN , Warszawa 1966.

9.  N . W. M C L AC H L AN , Równanie róż niczkowe zwyczajne nieliniowe w fizyce i naukach technicznych, P WN , Warszawa 1964.

10. B. P . D EM D Owtcz, Y. A. M AR O N , E . Z . SZ U WAŁ OWA, Metody numeryczne, cz. I I , P WN , Warszawa 1965.

11. B. G AJ L , Pressure Acting on the Oscillating Surface of an Airfoil in N onlinear Supersonic Potential

Flow, P r o c . Vibr. P r o bl. , Warsaw, 1, 9, 1968.

12. B. G AJ L , L

a pression sur la surface vibrante de I'aile dans I'dcoulement supersonique la deuxihne approxi-mator, F lu id D yn a m ic s T ran sact io n s, 4, 191- 201, 1969.

P e 3 IO M e

A H A J I H 3  H E J I H H E f t H L I X AB T O K O J I E B AT E J I b H b l X n P E fl E J I B H b l X O B O J I O ^ K H B  H E J I H H E f t H O M C B E P X3B YK O B O M  I T O T O K E

B p a 6o ie paccMOTpeHŁi H enjmeftH bie 3afla*in aBioKOJie6aHHfi n ojiorn x oeoircraeK KOHetmoft B K o ro p t rx yiH TbiBaioTca HejiHHeHHfcie aspoflHHaivurqecKHe HBJieHHK H  3aBHcHM0cib H eciarraoH apH oro

34 B. G AJL

OT napaMCTpoB crauiioH apH oro TetjeHHH. KpoMe Toro yHHTbiBaeTCH  fleiYimpH poBaH H ej CBH3aH-Hoe c (J)H3iraecKHMH  CBoScTBaMH  Maiepnajia oSonomca, oimcbiBaeMoro MOflejitra O o ft r r a .

PemeHHe HJIH HopiwaJiwibix nepeM emeioni cpeflHHHoft noBepxHOCTH  o6ojiot«<H  npeflcraBJieHO B H Botaoro pHfla n o co6cTBeiniŁiM $>ym<H,v[fiM, flJin KOToporo npmvieHeH  opToroHanH3aijHOHHtiH

peiueHHe CHCTeMbi o6biKHOBeHHbix aHdpdpepeHqHaiibHbix ypaBHeHjrfł , K 6e3pa3MepH0iwy BHfly.

BtraHCJieHHH BbinonHeHbi Ha 3E [ BM . H aiifleH  npesejiBH biH  HWSKJI fljia HeKOTopbix ycnoBHH. IIoi<a3aHa 3aBHCHiwocTt ox BpeMeHH  nepeiwemeHHH  TOMCK noBepxHOCTH  OSOJIOMKH.

S u m m a r y

ANALYSIS OF  N ON - LIN EAR SELFEXCITED  LIM IT CYCLES OF VIBRATION S OF SH ALLOW SHELLS I N  A N ON - LIN EAR SU PERSON IC F LOW

The subject of the present paper is the problem of nonlinear selfexcited vibrations of a shallow shell of finite length. N onlinear aerodynamics is applied, the influence of stationary flow on the nonstationary flow as also material damping is taken into account. N ormal displacement of the shell is presented as a double series of eigenfunctions. To obtain the set of ordinary differential equations, G alerkin's ortogonalization method is applied. The set written in a non-dimensional form is solved numerically. Using a digital computer, the limit cycle under certain initial conditions is found. Variation of the displacements of the shell in time is also shown. POLITECH N IKA WARSZAWSKA