Model planowania grafikw obsugi kas w placwce handlowej

Instytut BadaĔ Systemowych PAN

Streszczenie

Praca powstała w zwizku z prób modelowania i rozwizania zadania planowania grafików obsługi kas w pewnym hipermarkecie tak, aby bazujc na danych prognostycznych zapewni z jednej strony jak najnisze koszty obsługi kas, a z drugiej – moliwie krótkie kolejki. W pracy zaproponowano model liniowy mieszany i wybrano SOLVER jako narzdzie konkurencyjne wzgldem rozwizania autorskiego. Przeprowadzono dyskusj, porównano wyniki z grafikiem otrzymanym za pomoc algorytmu przyblionego.

Słowa kluczowe: zadanie przydziału, harmonogramowanie zadaĔ, model liniowy mieszany. 1. Wprowadzenie

Typową sytuacjĊ, przed którą staje szef działu sprzedaĪy w hipermarkecie moĪna przedstawiü nastĊpująco. Dział sprzedaĪy ma pewną liczbĊ, przyjmijmy, m stanowisk kasowych, przeznaczonych do obsługi klientów w godzinach od 7.00 do 21.00. Stanowiska te naleĪy obsadziü pracownikami tak, aby z jednej strony zapewniü sprawną obsługĊ kolejek klientów kupujących produkty ustawiających siĊ przy kasach, a z drugiej – zminimalizowaü koszty obsługi kolejek, co moĪna uzyskaü poprzez minimalizowanie okresów bezczynnoĞci kas. Godzenie krótkich kolejek – celu typowego dla kupującego z niskim kosztem obsługi kas – celem właĞciciela supermarketu nie jest zadaniem prostym. Grafiki obsady kas muszą przy tym uwzglĊdniü szereg uwarunkowaĔ dyktowanych warunkami pracy kasjera. Na przykład praca moĪe trwaü ½, ¾ lub całą zmianĊ. Czas pracy powinien byü spójny, bez długich przerw. Mogą wystąpiü wymagania dotyczące czasu koĔczenia lub rozpoczynania pracy i szereg innych wymagaĔ. Liczba czynnych kas w typowym supermarkecie i grafiki pracy kasjerów muszą byü dopasowane do liczby kupujących i wielkoĞci ich zapotrzebowaĔ, które nie są stałe i cechuje je pewien rozkład w ciągu dnia. Rozkłady te zaleĪą teĪ od dnia: z reguły zbliĪone są dla zwykłych dni tygodnia, róĪnią siĊ dla sobót, niedziel, dni przedĞwiątecznych i poĞwiątecznych. Wiele interesujących danych z tego zakresu zebrał na podstawie wydruków kasowych pewnego supermarketu w swojej pracy dyplomowej były student WyĪszej Szkoły Informatyki Stosowanej i Zarządzania w Warszawie R. Deneka [1]. Dwa niĪej pokazane wykresy obciąĪeĔ wzorowane są na tej właĞnie pracy i pokazują statystyczne obciąĪenie hipermarketu w przeliczeniu na (ułamkową) znormalizowaną liczbĊ kas potrzebnych do obsługi klientów.

Jak widaü z załączonych wykresów, najwiĊksze obciąĪenie dla sobót wystĊpuje w godzinach 9.00–14.00 i róĪni siĊ istotnie od analogicznego rozkładu dla piątków. Dla dni powszednich najwiĊksze obciąĪenie pojawia siĊ przed zamkniĊciem placówki i nieco przypomina rozkład piątkowy. Rozkłady te mają kluczowe znaczenie przy opracowaniu grafików.

Statystyczne obci(enie kas w pitek 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00

Rys. 1. Wykres pokazujcy statystyczne obcienie kas w pitek

Statystyczne obci(enie kas w sobot'

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00

Rys. 2. Wykres pokazujcy statystyczne obcienie kas w sobot 2. Model planowania obsady stanowisk kasowych

Problem obsady stanowisk kasowych formułowany w sposób ogólny zakłada znajomoĞü prognozy dziennego rozkładu obciąĪeĔ b i polega na wyznaczeniu liczb kasjerów x i przydzieleniu im takich grafików, Īe w wyniku tego w kaĪdej godzinie liczba czynnych kas jest moĪliwie mała a kolejki, jeĪeli juĪ są, to są jak najkrótsze. Bardziej formalnie, jeĪeli h(x) jest rozkładem liczby kas dla poszukiwanego przydziału x to rozwaĪany tu problem polega na minimalizacji funkcji kosztów f(||b-h(x)||). W rozpatrywanych przypadkach przyjĊto dla uproszczenia, Īe ta funkcja kosztów jest sumą modułów składowych, mianowicie:

( )

.

Problem wyznaczania harmonogramów pracy kas wielu zarządzających działem sprzedaĪy rozwiązuje na bieĪąco kierując siĊ doĞwiadczeniem, a czasem intuicją i prostą kalkulacją. Wspomniany student piszący pracĊ dyplomową posłuĪył siĊ komputerem, na którym zainstalował opracowany w j. C własny program symulacyjny. Program ten z godziny na godzinĊ symuluje potrzebną liczbĊ kas i do tak wyznaczonych wskaĨników dopasowuje grafiki kas. Proponowany tutaj sposób zakłada istnienie startowego zbioru dopuszczalnych grafików obsługi kas i wybór optymalnego pokrycia nimi czasu pracy kas. W pracy problem ten formułowany jest w postaci

mieszanego modelu liniowego i model ten rozwiązano za pomocą narzĊdzia SOLVER znanego z popularnego arkusza kalkulacyjnego.

Model pokrycia czasu pracy stanowisk kasowych. Elementami składowymi przyjĊtego modelu są róĪne dane i zmienne decyzyjne, a mianowicie:

A – {0, 1} – tablica rozmiaru mxn, gdzie m jest liczbą okresów (godzin pracy kas) a n – liczbą indywidualnych grafików pracy kasjerów.

b – prognoza obciąĪeĔ stanowisk kasowych, wektor rozmiaru m

x – całkowitoliczbowy wektor rozmiaru n reprezentujący przydział grafików do stanowisk kasowych

u – ograniczenia górne wektora x

c – wektor reprezentujący koszty grafików indywidualnych

y – wektor niedoborów obsady stanowisk kasowych, wektor rozmiaru m d – koszty niedoborów

z – wektor wielkoĞci przestojów stanowisk kasowych, wektor rozmiaru m g – koszty przestojów

NaleĪy wyznaczyü x i odpowiadające mu y i z takie, Īe cx + dy + gz = min

przy warunkach bilansujących w postaci: Ax + y – y(-1)–z = b x, y, z >= 0 x – całkowite

WielkoĞü y(-1) wystĊpująca w równaniu bilansowym to wektor niedoborów y z okresu poprzedniego.

W nastĊpnym punkcie pokazano rozwiązania przy załoĪeniu, Īe c jest wektorem zer a d, g – wektorami jedynek.

3. Prezentacja wybranych wyników optymalizacyjnych

NiĪej przytoczono kilka grafików obsługi kas uzyskanych za pomocą narzĊdzia SOLVR – dodatku do MS Excel. Wszystkie prezentowane tu grafiki opracowano dla piątku, dla którego statystyczny rozkład obciąĪeĔ pokazano na rysunku 1.

Kas-1 Kas-2 Kas-3 Kas-4 Kas-5 Kas-6 Kas-7

Harmonogramowi z Rys 3 odpowiada nastĊpujący rozkład niedoborów (kolejek) i nadmiarów (postojów) obsługi kas:

wska)niki niedoboru/nadm iaru kas

-1,00 -0,50 0,00 0,50

7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00

NastĊpny wariant uzyskano zwiĊkszając dwukrotnie liczbĊ startowych grafików indywidualnych: Kasier_1 Kasier_2 Kasier_3 Kasier_4 Kasier_5 Kasier_6 Kasier_7 Kasier_8

Rys. 4. Optymalny wybór harmonogramu obsługi kas dla pitku – wariant B Dla tego lepiej dopasowanego wariantu jest inny, korzystniejszy układ wskaĨników

ws ka)niki niedoboru/przes toju kas

-1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00

Dla porównania, przystający do przykładu grafik uzyskany za pomocą przybliĪonego algorytmu symulacyjnego z [1] wygląda nastĊpująco:

Kasier_1 Kasier_2 Kasier_3 Kasier_4 Kasier_5 Kasier_6 Kasier_7

Rys. 5. Przybliony wybór harmonogramu obsługi kas dla pitku – wariant C Odpowiadający wykres wskaĨników niedoboru i przestoju kas dla harmonogramu pokazanego na rysunku 5 wskazuje raczej na duĪe przestoje kas, ale na małe kolejki.

wska)niki niedoboru/przestoju kas

-1,00 -0,50 0,00 0,50 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 5. Wnioski

Przedstawiony w punkcie 2 model liniowy dostarcza moĪliwoĞci doboru lepiej dopasowanych grafików obsługi kas, wymaga jednak dopasowania kosztów c, d, g, a przede wszystkim uĪycia skutecznego specjalistycznego pakietu programowania liniowego mieszanego. Korzystając z tego modelu trzeba braü pod uwagĊ liczbĊ składowych wektora x. Jest to wektor, na który musimy nałoĪyü warunki całkowitoliczbowoĞci, co potencjalnie skutkuje wykładniczym wzrostem nakładów obliczeniowych. Zatem kluczowym zagadnieniem tego podejĞcia staje siĊ staranny dobór potencjalnych grafików pracy kasjerów. Ze skromnych doĞwiadczeĔ obliczeniowych wynika, Īe SOLVER wystarcza w przypadku zadaĔ, gdy łączna liczba tych wariantów nie przekracza 30. Wady tej, rzecz oczywista nie posiada algorytm przybliĪony; płacimy za to jakoĞcią rozwiązania. ZachĊcam do sporządzenia grafika obsługi kas dla statystycznej soboty.

%LEOLRJUDILD

[1] Deneka Robert (2007) Generowanie stanowiskowych grafików czasu pracy dla placówek handlowych. Praca dyplomowa – studia I stopnia (inĪynierskie), WIT Warszawa.

[2] Potrzebowski H. (1984) Modele planowania produkcji w warunkach zdeterminowanych (Production planning under deterministic conditions), Zeszyty Naukowe Politechniki ĝląskiej, SERIA automatyka z. 74 Gliwice.

[3] Potrzebowski H., StaĔczak J., SĊp K. (2006) Heurystyczne i ewolucyjne metody znajdowania pokrycia grafu, korzystajce z pojcia alfa-kliki i innych ogranicze
(eng.: Heuristic and evolutionary methods of solving graph vertex cover problem using alpha-cliques and other constraints) (in Polish), Badania operacyjne i systemowe 2006, Metody i techniki, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa.

[4] Eiselt H.A., Sandblom C.L.: Integer Programming and Network Models. Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 2000.

TIMETABLE PLANING PROBLEM FOR CASH BOXES IN A SUPERMARKET AS A MIXED INTEGER MODEL

Summary

To solve timetable planning problem for cash boxes in a supermarket a mixed linear programming model is formulated and solved using SOLVER. Based on a real data a short discussion is presented on SOLVER usefulness of the possibility of solving such model. The schedule obtained is then compared with that of approximation simulation procedure.

Keywords: timetable problem, linear mixed formulation.

Henryk Potrzebowski

Instytut BadaĔ Systemowych PAN ul. Newelska 5, 01-447 Warszawa