KRZYSZTOF TARGOSISKI
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Streszczenie
Celem artykułu jest wykorzystanie metod wielokryterialnego programowania li-nowego do optymalizacji ofert aukcji w wirtualnym serwisie aukcyjnym. Niepewno danych wejciowych odzwierciedla model z rozmytymi współczynnikami kryterium maksymalizacji przychodu. Wykorzystano parametryczne przekształcenie zadania rozmytego na zadanie zdeterminowane oraz metod STEM zaimplementowan w aplikacji „Protass2”. Wyznaczono trzy alternatywne rozwizania, poprzez degra-dacj funkcji celu w zalenoci od wymaga decydenta oraz zastosowano cztery po-dejcia do modelu rozmytego: pesymistyczne, umiarkowanie pesymistyczne, umiar-kowanie optymistyczne oraz optymistyczne.
Słowa kluczowe: zarzdzanie serwisem aukcyjnym, wielokryterialne programowanie liniowe z rozmytymi współczynnikami, modelowanie matematyczne ofert aukcji w serwisie aukcyjnym.
1. Wprowadzenie
Od kilku lat rozwijajcym si i stale zyskujcym na znaczeniu, a przy tym niezwykle atrak-cyjnym rynkiem w Polsce s internetowe serwisy aukcyjne. Wybór sporód szerokiej gamy ofert, dokonanie bezporedniego porównania cen, moliwo zamówienia produktu o dowolnej porze dnia, wreszcie nisze ceny w stosunku do zakupów w tradycyjnych, czy te internetowych skle-pach, to wszystko sprawia, e internetowe serwisy aukcyjne s dla Polaków atrakcyjn, a take konkurencyjn ofert zakupow [7].
W artykule zastosowano wielokryterialne programowanie linowe do optymalizacji ofert aukcji w wirtualnym serwisie aukcyjnym. Zakładamy, e firma dysponuje kilkoma działami, które decy-duj o sukcesie rynkowym. Naley jednak zauway, e działaj one niezalenie od liczby reali-zowanych aktualnie aukcji, std koszty ich działalnoci mona traktowa jako koszty stałe przed-sibiorstwa. Dla uproszczenia modelu pominito koszty zarzdu, administracyjne, koszty działal-noci Działów: Handlowego, Rozwojowego, Bezpieczestwa, IT. Nie uwzgldniono równie kosztów napraw, gdy nowo zakupiony sprzt podlega naprawom gwarancyjnym na koszt produ-centa. Wanym działem jest natomiast Dział Obsługi Aukcji. Zatrudnionych w nim jest 50 pra-cowników, przy czym w kadym momencie pracuje 30 osób (zmiany, urlopy, przerwy, itd.).
Kierownictwo przedsibiorstwa pragnie osign maksymalny zysk. Teoretycznie oznacza to maksymalizacj dochodu brutto lub te maksymalizacj przychodu i minimalizacj kosztów, jed-nake główn cz kosztów stanowi koszty stałe i ich minimalizacja jest nieustannym procesem podejmowanym przez kierownictwo, dlatego te jako pierwsze kryterium przyjto maksymalizacj przychodu. Drugim kryterium jest maksymalizacja liczby ofert aukcji, gdy szeroki asortyment i duy wybór zachcaj uytkowników do korzystania z Serwisu.
W celu uwzgldnienia niepewnoci współczynników przychodu, rozwaono notacj w postaci trapezowych liczb rozmytych. Wykorzystano przekształcenie zadania rozmytego na zadanie twar-de zaproponowane w [1] oraz zastosowano metod STEM [2], zaimplementowan w aplikacji „Protass2”. Oprócz wyznaczenia rozwizania kompromisowego, którego ocena w przestrzeni kry-terialnej ley blisko punktu idealnego (w sensie metryki L∞), metoda STEM umoliwia uwzgld-nienie preferencji decydenta przy generowaniu rozwiza Pareto-optymalnych poprzez degradacj wartoci kryteriów mniej istotnych.
2. Programowanie z rozmyt funkcj celu
Poniewa rozmyte współczynniki wystpi tylko w funcji celu maksymalizujcej przychód, mona załoy, e pewne (k-te) kryterium jest postaci [3,5]:
1 1 2 2
( ) T max
k k k k kn n
f x =c x =c x +c x ++c x → ,
gdzie wektor x spełnia wszystkie ograniczenia modelu, a rozmyte współczynniki s w reprezenta-cji L-R [4]:
(
L, R, L, R)
,{
1, ,}
,{
1, ,}
kj kj kj kj kj
LR
c = c c γ γ j∈ n k∈ q .
Z operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych [4] wynika, e dla kadego wektora zmien-nych decyzyjzmien-nych x warto funkcji T
k
c x jest liczb rozmyt, któr mona zapisa w reprezentacji L-R nastpujco:
(
)
( ) L( ), R( ), L( ), R( ) k k k k k LR = c x c x c x x x .W problemie maksymalizacji funkcji liniowej powinno si dy do optymalizacji kadego kryterium twardego, które naley do nonika rozmytej wartoci c xk( ). Zakładajc, e decydent nie jest zainteresowany wyznaczeniem wszystkich rozwiza sprawnych, moemy zastpi rozmyt funkcj celu jedn funkcj tward. Proponuje si, aby decydent wyraał swoje preferencje poprzez wykorzystanie podejcia dwuparametrycznego [1], okrelajcego połoenie funkcji twardej T
k
c x wzgldem kresów nonika oraz stopie jej przynalenoci do rozmytej liczby c xk( ). Parametry
(
α βsk, k)
s interpretowane nastpujco:• s
k
α – stopie przynalenoci T k
c x do c xk( ) gdzie s∈
{
L R,}
oznacza dolny (L) lub górny (R) kres -przekroju;• β ∈k 0,1 – okrela połoenie funkcji
T k
c x wzgldem kresów jdra. Rozwaania te mona sformalizowa w postaci:
(
,)
( , ) ( , 1 ))
dla 1, 0,1 , ( , 1) dla 0,1 . L R L R k k k k k k k s k k s s k k α β = α − β α = α = β ∈ α β = α α ∈Ze wzgldu na maksymalizacj funkcji celu kompromis nazywa si najbardziej pesymistycz-nym przy lewym kresie nonika, natomiast przy prawym – najbardziej optymistyczpesymistycz-nym.
W zwizku z przyjtymi załoeniami par
(
s,)
k k
α β okrela si mianem dwuparametrycznego stopnia kompromisu przy maksymalizacji k-tej funkcji celu [1]. W efekcie zadanie rozmytego pro-gramowania liniowego sprowadza si do maksymalizacji funkcji celu:
(
)
)
)
(
)
( , ) ( ) ( )(1 ) dla 0,1 , i 1, ( ) ( )(1 ) dla 0,1 , i 1, ( ) ( ) ( ) dla 1 i 0,1 , k k L L s s k k k k k s T R R s s k k k k k k L R L L k k k k k k s L x s R α β − − α α ∈ = β = = + − α α ∈ = β = + − β α = β ∈ c x x c x c x c x c x c xgdzie x jest wektorem zmiennych decyzyjnych.
3. Wielokryterialny model optymalizacji ofert aukcji
Klient Serwisu moe wybra jeden z czterech typów aukcji [8,9]: zwykła jednoprzedmiotowa, zwykła wieloprzedmiotowa, „Kupuj!” – jednoprzedmiotowa, „Kupuj!” – wieloprzedmiotowa. Do-datkowo moe on wybra opcje dodatkowe: aukcja z galeri, aukcja trwajca 14 dni, aukcja wy-róniona pogrubion czcionk na stronie kategorii, aukcja wywy-róniona kolorem tła na stronie kate-gorii, aukcja dodatkowo umieszczona na stronie katalogu, aukcja umieszczona dodatkowo na stro-nie głównej. Wszystkie te opcje mog wystpowa w dowolnej konfiguracji. W celu łatwiejszej budowy modelu zmienne x14 i x16 okrelaj odpowiednio: liczb aukcji 14-dniowych umieszczo-nych na stronie katalogu oraz liczb aukcji 14-dniowych umieszczoumieszczo-nych na stronie głównej. Ka-da aukcja jest rozliczana w momencie zakoczenia, a opłaty s pobierane zarówno za wystawienie aukcji jak i za sprzeda produktu. Kwoty te bd stanowiły współczynniki pierwszej funkcji celu f1 maksymalizujcej przychód firmy. Dla lepszego zobrazowania sytuacji dane przedstawia tablica 1. Przyjto e modelowanie obejmuje okres jednego miesica. Aby wyznaczy współczynniki funkcji celu konieczne jest wyznaczenie ceny kocowej aukcji. Mona tutaj zastosowa prognozy w stosunku do cen kocowych w przyszłych okresach wykorzystujc rónego rodzaju narzdzia. W tworzonym modelu wykorzystano redni cen sprzeday w poszczególnych kategoriach aukcji na podstawie danych z serwisu Allestat.pl [9]. Pozwala to sformułowa kryterium przychodu:
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ( ) 3,32 9, 68 5, 62 12,94 5 5 5 5 0,1 0, 2 2,5 5 20 20, 2 35 35, 2 max f x x x x x x x x x x x x x x x x = + + + + + + + + + + + + + + + + → x
gdzie np. 3,32 zł = 2,5 + 0,01 * 82,21 (por. tab.1 i [9]). Drug funkcj stanowi maksymalizacja liczby ofert aukcji:
2( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 max .
Tabela 1. Zmienne decyzyjne oraz opłaty za wystawienie aukcji i prowizje od sprzeday ze wzgldu na typy aukcji (w PLN)
Zmienne
decyzyjne Rodzaj aukcji
Wystawienie
aukcji Sprzeda Razem
x1
Aukcja zwykła
jedno-przedmiotowa 1 1,50 + 1% ceny kocowej 2,50 + 1% ceny kocowej x2
Aukcja zwykła
wielo-przedmiotowa 1 3 + 3% ceny kocowej 4 + 3% ceny kocowej x3 Aukcja „Kupuj!” – jednoprzedmiotowa 1 1,50 + 2% ceny kocowej 2,50 + 2% ceny kocowej Z e sp rz ed a x4
Aukcja „Kupuj!” –
wielo-przedmiotowa 1 3 + 4% ceny kocowej 4 + 4% ceny kocowej x5
Aukcja zwykła
jedno-przedmiotowa 5 0 5
x6
Aukcja zwykła
wielo-przedmiotowa 5 0 5 x7 Aukcja „Kupuj!” – jednoprzedmiotowa 5 0 5 Be z sp rz ed a y x8
Aukcja „Kupuj!” –
wielo-przedmiotowa 5 0 5 x9 Aukcja z galeri 0,10 0 0,10 x10+ x14+ x16 Aukcja 14 dniowa 0,20 0 0,20 x11 Aukcja z pogrubion czcionk 2,50 0 2,50
x12 Aukcja z kolorem tła 5 0 5
x13+ x14 Aukcja na stronie katalogu 20 0 20
D o d at k o w e o p cj e
x15+ x16 Aukcja na stronie głównej 35 0 35
ródło: Opracowanie własne.
Ograniczenia wystpujce w modelu mona podzieli na trzy główne grupy. Pierwsza z nich to ograniczenia funkcjonalne. Wynikaj one z przyjtych załoe dotyczcych układu graficznego serwisu, funkcjonalnoci, moliwoci wykorzystania niektórych opcji itp. Drug grup stanowi ograniczenia rynkowe. S to wszelkie ograniczenia, które wynikaj z sytuacji rynkowej, w jakiej znajduje si serwis oraz z przyjtych załoe strategicznych. Zostały one ustalone na bazie do-wiadcze i analiz dotychczasowych zachowa uytkowników, jak i prognoz odnonie ich dalsze-go trendu. Trzeci grup ogranicze s ograniczenia dotyczce zasobów serwisu. Głównym ele-mentem tych ogranicze jest ilo miejsca dostpnego na serwerach oraz liczba ofert aukcji, jak s w stanie kontrolowa pracownicy Działu Obsługi Aukcji.
4. Model rozmyty
Do wyznaczenia współczynników funkcji celu posłuono si danymi statystycznymi, których moliwe odchylenia decydent powinien wzi pod uwag. Mog one wystpi w przypadku współczynników przychodu przy zmiennych: x1, x2, x3, x4 (por. tab.1) i dotyczy odchyle od wy-znaczonych cen kocowych aukcji. Trudnoci z okreleniem dokładnych wartoci powoduj, e moemy uwzgldni t niepewno przez zastosowanie liczb rozmytych. Funkcja celu przyjmuje nastpujc posta:
f1(x) = 3,32x1 + 9,68x2 + 5,62x3 + 12,94x4 + 5x5 + 5x6 + 5x7 + 5x8 + 0,1x9 + 0,2x10 + + 2,5x11 + 5x12 + 20x13 + 20,2x14 + 35x15 + 35,2x16→ max.
Mona przyj, e zarzdzajcy serwisem aukcyjnym na podstawie dowiadcze, wyników z poprzednich miesicy oraz prognoz, ustalaj odchylenia od wyznaczonych przecitnych przy-chodów z aukcji zakoczonych sprzeda. Decydent bez zastrzee przyjmuje odchylenie o 5% w stosunku do modelu zdeterminowanego, natomiast odchylenia wiksze ni 15% uznaje za niere-alne. Załoenie to pozwala wyznaczy trapezowe współczynniki rozmyte w reprezentacji L-R, a przyjcie czterech rodzajów stopnia kompromisu umoliwia zastpienie współczynników rozmy-tych czterema liczbami rzeczywistymi, co obrazuje tablica 2.
Tabela 2. Rozmyte współczynniki funkcji celu w zalenoci od stopnia kompromisu
Zmienna decyzyjna Współczynniki twarde (0,5L;1) (1L;1) (1R;1) (0,5R;1)
x1 3,32 2,988 3,154 3,486 3,652
x2 9,68 8,712 9,196 10,164 10,648
x3 5,62 5,058 5,339 5,901 6,182
x4 12,94 11,646 12,293 13,587 14,234
ródło: Opracowanie własne. 5. Wyniki i podsumowanie
Rozwizania Pareto-optymalne rozwaanych modeli wyznaczono za pomoc programu PRO-TASS2, dostpnego w zasobach WI ZUT w Szczecinie. Wyniki zestawiono w tablicach 3 i 4. W modelu zdeterminowanym zasymulowano degradacj drugiej i pierwszej funkcji celu, otrzymu-jc odpowiednio drugie i trzecie rozwizanie sprawne (por. tab. 3), wyznaczaotrzymu-jce skrajne wartoci rozwaanych kryteriów.
Wyniki ukazuj, e przyjcie przez decydenta pewnego poziomu ryzyka moe da potencjalne zwikszenie przychodów. Naley przy tym zauway, e odchylenia przychodu w modelu rozmy-tym od wartoci uzyskanej w modelu zdeterminowanym nie przekraczaj 8%. Jest to zdecydowa-nie mzdecydowa-niej ni przyjte przez decydenta maksymalne poziomy odchyle rozmytych współczynni-ków funkcji celu. Wynika to z faktu, e silny udział w ogólnej liczbie ofert aukcji maj aukcje niezakoczone sprzeda, z których przychód jest niezaleny od ceny przedmiotu. Aukcje bez sprzeday, pozornie niekorzystne, s dla analizowanego serwisu aukcyjnego wanym czynnikiem zmniejszajcym poziom ryzyka.
Tabela 3. Wyniki uzyskane dla modelu zdeterminowanego Zmienne decyzyjne Pierwsze rozwizanie sprawne Drugie rozwizanie sprawne Trzecie rozwizanie sprawne x1 0 0 2 007 767 x2 0 2 133 873 0 x3 0 0 0 x4 3 164 569 3 200 795 0 x5 2 691 852 12 4 684 177 x6 0 0 0 x7 0 0 0 x8 0 0 0 x9 5 856 421 5 334 680 4 015 166 x10 5 856 391 5 334 650 0 x11 3 221 031 2 934 074 0 x12 2 049 747 1 867 138 0 x13 75 75 75 x14 15 15 15 x15 25 25 25 x16 15 15 15 Przychód f1(x) 74 470 221,66 80 348 716,94 30 491 394,04 Liczba aukcji f2(x) 5 856 421 5 334 680 6 691 944
ródło: Opracowanie własne na podstawie wyników z aplikacji „Protass2”.
W podejciu optymistycznym decydent moe załoy wiksz redni warto cen koco-wych aukcji, co moe wynika np. z zakupów prezentów przed witami Boego Narodzenia. Oczekiwany przychód dla tego podejcia jest niemal równy uzyskanemu w drugim rozwizaniu sprawnym, natomiast liczba aukcji jest o ponad 450 tysicy wiksza. Trzecie rozwizanie sprawne zdecydowanie odbiega od pozostałych, zarówno w wartoci przychodu, jak i w liczbie ofert aukcji. Decydent moe si zatem zorientowa w potencjalnych korzyciach w zalenoci od przyjtego priorytetu dla danego kryterium.
Uwzgldnienie w modelu wszystkich czynników wpływajcych na analizowane zagadnienie, wobec dynamicznie zmieniajcej si rzeczywistoci, jest zadaniem niezwykle trudnym. Podejmu-jc prób modelowania rzeczywistej sytuacji decyzyjnej musimy posłuy si pewnymi uprosz-czeniami i załoeniami. W analizowanym przypadku przedstawiono wirtualny serwis aukcyjny działajcy na wyimaginowanym rynku. Przyjte załoenia dotyczce struktury organizacyjnej przedsibiorstwa, konstrukcji i funkcjonalnoci samego serwisu oraz ogranicze s jedynie prób uwzgldnienia pewnych czynników, jakie mog wpływa na jego funkcjonowanie.
Tabela 4. Wyniki uzyskane dla modelu rozmytego Zmienne decyzyjne (0,5 ;1) L (1 ;1)L (1 ;1)R (0,5 ;1)R x1 0 0 0 0 x2 0 0 0 0 x3 0 0 0 0 x4 2 803 183 3 000 877 3 301 989 3 418 745 x5 3 149 115 2 898 972 2 517 973 2 370 241 x6 0 0 0 0 x7 0 0 0 0 x8 0 0 0 0 x9 5 952 298 5 899 849 5 819 962 5 788 986 x10 5 952 268 5 899 819 5 819 932 5 788 956 x11 3 273 764 3 244 916 3 200 979 3 183 942 x12 2 083 304 2 064 947 2 036 986 2 026 145 x13 75 75 75 75 x14 15 15 15 15 x15 25 25 25 25 x16 15 15 15 15 Przychód f1(x) 68 781 263,618 71 594 820,661 77 390 555,643 80 344 097,13 Liczba aukcji f2(x) 5 952 298 5 899 849 5 819 962 5 788 986
ródło: Opracowanie własne na podstawie wyników z aplikacji „Protass2”.
Warto zauway, e wraz z rozwojem technicznym znaczenie wykorzystania metod optymali-zacji w procesie podejmowania decyzji wzrasta. Od dowiadczenia, wiedzy i intuicji decydenta, a take od wykorzystania narzdzi pozyskiwania wiedzy, bdzie zaleało skuteczne wykorzystanie informacji, jakich dostarcza model.
%LEOLRJUDILD
[1] Bana J.: Adaptacja algorytmów wielokryterialnych do optymalizacji zada rozmytych. Praca doktorska, Wydział Informatyki Politechniki Szczeciskiej, Szczecin 2002.
[2] Benayoun R., de Montgolfier J., Tergny J., Larichev C.: Linear programming with multiple objective functions: step method (STEM). Mathematical Programming, 1971.
[3] Branke J. i in.: Multiobjective Optimization. Interactive and Evolutionary Approaches, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2008.
[4] Dubois D., Prade H.: Operations on fuzzy numbers. International Journal of Systems Science, 1978.
[5] Kacprzyk J.: Zbiory rozmyte w analizie systemowej. PWN, Warszawa 1986. [6] Sikora W.: Badania operacyjne. PWE, Warszawa 2008.
[7] „Polski rynek e-commerce”, raport Stowarzyszenia Marketingu Bezporedniego z dnia 25.03.2009 r.
[8] http://aukcjostat.pl – statystyki polskich serwisów aukcyjnych. [9] http://www.allestat.pl/ – statystyki dla serwisu allegro.
APPLICATION OF FUZZY LINEAR PROGRAMMING IN INTERNET AUCTIONS WEBSITE MANAGEMENT
Summary
In this paper multi-criteria linear programming methods was applied in order to optimize the auctions set. Model with fuzzy coefficients in maximization objective function of income represents uncertainty of input data. Parametric transformation of fuzzy linear programming problem to definite goal function using STEM method applied in “Protass2” is proposed. This paper presents three alternative solutions depending on decision-maker requirements obtained by objective function degrada-tion. There are also presented four different fuzzy models: pessimistic, moderate pes-simistic, moderate optimistic and optimistic.
Keywords: auctions website mangement, multi-criteria linnear programming with fuzzy coeffi-cients, mathematical modelling auctions set in auctions website.
Joanna Bana
Krzysztof Targosiski Wydział Informatyki
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie e-mail: jbanas@wi.zut.edu.pl
krzysztof_targosinski@interia.pl http://kmsiims.wi.zut.edu.pl/
