Zastosowanie parametrycznego programowania liniowego z algorytmem Chačijana do dwukryterialnych problemów rozdziału

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL ĄSKIEJ Seria: A U TO MA TY KA z. 63

________ 1982 Nr kol. 735

Oarosław WARCZYŃSKI Politechnika Poznańska

ZASTOSOWANIE P A R A M E T R Y C Z N E G O P R OG RA MO WA NI A LINI OW EG O Z AL GO R Y T M E M CHAĆ IJ AN A DO DWUKRY TE RI AL NY CH PROBLEMÓW R O ZD ZI AŁ U ZA SOBÓW

St r e s z c z e n l e . W prac y pr ze dstawiono metodę rozwięzania dwukryte- rialnych problemów rozdziału za sobów na drodze pa ra me tr yc zn eg o p r o­

g ramowania liniowego, z zastos ow an ie m w i e l om ia no we go algorytmu Che- cij8na. Do we rs ji wyjściowej tego algorytmu w p r o wa dz on o kilka m o d y ­ fikacji, które oolepszaję Jego efektywność.

WPROWADZENIE

Problemy rozdziału za so bó w dotyczę sytuacji, w których należy wy konać pewne powiązane ze sobą operacje, dyspon uj ąc określoną ilością og ra n i c z o ­ nych zasobów. Duże znaczenie praktyczne mają zwłaszcza badania doty cz ąc e rozdziału za sobów odnawialnych, ni eo dn aw ia ln yc h oraz tzw. podwójnie o g r a ­ niczonych, ro zpatrywanych we w s p ó ln ym modelu [6, ej. Podejście takie zn a c z ­ nie wierniej odzwierciedla sytuacje praktyczne i stanowi obecnie jeden z najbardziej pożądanych kierunków badawczych.

Przedmiotem rozważań niniejszej pracy Jest właśnie oroblem rozdziału zasobów odnawialnych i nieo dn aw ia ln yc h przy dy sk retnych zapotr ze bo wa ni ac h zasobowych operacji, w przypadku operacji podzielnych i niezależnych. W celu rozwiązania tego problemu prop on uj em y zastosowanie metody p a r a m e ­ trycznego pr ogramowania liniowego z wi el o m i a n o w y m algory tm em ChaSijana.

„Zastosowanie algorytmu ChaĆijana oo rozwiązania za ga dn ie ni a pa ra m e t r y c z ­ nego pr og ramowania liniowego, wy ko rz y s t a n e g o do rozwiązania dwukry te ri al - nego programowania liniowego, do Jakiego możne sprowadzić ws po m n i a n y p r o­

blem rozdziału zasobów, w y da je się szczególnie celowe ze wz gl ęd u na pewne wł aś ci wo śc i tego algorytmu^ Mianowicie, w odróżnieniu od algorytmu pa ra­

metrycznego programowania liniowego, opartego na metodzie synoleksów, m e ­ toda oparta na algorytmie ChaĆijana pozwala na obserwacje procesu d o c h o ­ dzenia do rozwiązań sprawnych. Cech8 ta daje decydentowi możliwość lep­

szego wy boru rozwiązania zapewn ia ją ce go najlepszy, w przyjętym sensie, komoromis pomiędzy kryteriami.

Rozdział 1 poświecony jest prezentacji oryginalnej we rsji algorytmu ChaĆijana. W rozdziale 2 przeds ta wi am y mo dy fikacje wpro wa dz on e do tego algorytmu, które Dolepszaja jego ogólną efektywność. '•'! rozdziale 3 pr ze d­

stawiamy metodę pa ra me tr yc zn eg o programowania liniowego opartą na algo-

Y

186 O. Warczyński

rytmie Chaiijana. . W rozdziale 4 pokazano możliwość zastosowanie, opisanej w rozdziale 3 metody do rozwiązanie problemu rozdziału zs so bó w sf or mu ło­

wanego w oostaci dw u k r y t e r i a l n e g o zadania nrogramowania liniowego.

1. ALGOfiY fk! CH/\£l3ANA

Od 1979 roku, kiedy L.G. Ch Sc ij an op ub li ko wa ł swój wi el on i a n o w y al go­

rytm rozwiązania problemu pr og ramowania liniowego, rozstrzygnięta Z03t3ła kwestia pr zy należności prob le mu p r o g r a m o w a n i a 'liniowego do klasy oroole- mów P. Fakt ten ma duże znaczenie teoretyczne w związku z tym. Ze wiele p roblemów de cy zy jn yc h może być sp rowadzonych do problemu programowania li­

niowego . a tym samym staje się możliwe rdzwięzsnie ich w czasie zależnym wi el om l a n o w o od rozmiaru.

Pr ze dstawimy w skrócie ideę działania tego algorytmu. Al gorytm Chaci- jana jest algorytmem stwierdzającym, czy układ nierówności liniowych:

o ws pó łc zy nn ik ac h całkowitych, posiada rozwiązanie. 3eśli tak, to algo­

rytm znajduje je. Jak wiadomo, problem pr ogramowania liniowego może być pr ze ks zt ał co ny w układ nier ów no śc i liniowych. Idea algorytmu Jest nastę-

wiera się w hiperkuli o promieniu za leżnym od pa ra me tr ów układu. Na każ­

dej iteracji zbiór ten jest otaczany przez kolejne elipsoidy, których ob­

jętość meleje. Jedn oc ze śn ie w każdym kroku sprawdza się, czy środek ko­

lejnej elipsoidy należy do zbioru'•rozwiązań S. Jeśli nałoży, to algorytm znalazł rozwiązanie i zatrzymuje się. Jeżeli nie należy do zbioru S, to przeprowadza się przez niego h i p e r p ła sz cz yz nę tnącą, równoległą do jednej z ni espełnionych nierówności. H i po rp ła oz cz yz na ta d z ie li daną elipsoid?

na dwie części, z których tylko jedna zawiera zbiór S. Część tę otacza się kolejną elipsoidą o objętości mniejszej od poprzedniej, po czym pow­

tarza się opisano postępowanie. W wy padku sp rz ec zn oś ci układu (l.l) algo­

rytm zatrzymuje się, gdy objętość kolejnej utworzonej elipsoidy Jest mniej­

sza niż najmniejsza teoretyczna objętość zbioru S.' Ta sprzeczność w s k a ­ zuje no to, że obszar S jest zbiorem pustym.

Prze ds ta wi my obecnie w skrócie, we rsję tego algorytmu podaną w [i].

Niech U będzie ilością bitów po tr ze bn yc h do zakodowania układu nie­

równości (l.l)

n n n

A x < b (1.1)

pujaco :

Zbiór rozwiązań S układu ni er ów no śc i (l.l),, Jeśli istnieją, to za-

L =

( 1 . 2 )

U = 1 J=1 1 = 1

Z a st os ow an ie p a ra me tr yc zn eg o programowania.. 187

g d z i e :

r - jest liczbę ograni cz eń w (l.l), r- - jest liczbę zmiennych.

[x] oznacz.- nejwi-ksza liczbę całkowitę, mn iejszę lub równę x.

Oznaczmy przez:

- w e kt or ko lu mn ow y złożony z el e m e n t ó w • J * l,2,..,,n.

k - numer iteracji algorytmu,

,.x - w e kt or n-elerr'ntowy, reprez en tu ję cy środek 1/ elipsoidy E w i t e r a ­ cji k,

B k - ma cierz ki-adratowę n« n ( s y m e t r y c z n ę , doda tn io określona).

Działanie algorytmu Jest nastęoujęce:

Krok 1

x°:=0, 9G :-22 L I, K:»0.

Krok 2

Jeśli xk Jest rozw ię za nl em d o p u s z cz al ny m układu (l .l).to zakończ o b ­ liczenia. Jeżeli k ■< 4 ( n * l ) 2 L, to przejdź do kroku 3. W orzeci wn ym razie układ (l.l) nie ma rozwlęzania.

Krok 3

k T k

Wy bi er z dowolnę n i er ów no ść (l.l) nie spełnionę przez x , np.

i podstaw:

_ ł p TJ-.. fi

? T T T j ~- ■ feiB ii

k + 1 n 2 , k 2 (Bką . ) ( B ka . )T

8 ! ■ 7 r r r (s - t t K — b r r — * {l-4) - i 0 ii

k:«k+l.

Wróć d o kroku 2.

Dla Symetrycznej, d o d a tn io określonej m a ci er zy B oraz da ne go punktu a R n , zbiór

E - jx: (x->0T8 " 1 (x -jĄ aS łj, (1.5)

określa elipsoidę ze środkiem w x' Oz na cz my przez ^ E 0 półellpsoidę :

jE, " E n | x : a[(x-x) < 0 j (1.6)

/

\

a przez £' zbiór:

H'

180 3. Warczyński

E* - { * : (y-ynT B ," 1 (y-yO < lj ) (l-7>

gdz la

1 -i

v “ *' - i T T T 7 = = ?

o (Ba )(Ba.)T

8». .(a - ~ Ł . ...■->— ) (1.9) n 2 - 1 " + 1 £^

g e ometrycznie oznacza to utworzenie e l ip so id y E1, stycznej do elipsoidy E w ounkcio D, bę dącym punktem stycznoóci el ip so id y E i hi pa rp ła sz cz yz ny aT x « d ( d < o T x„). równolecłej do naru sz on eg o przaz x, i-tego oarani-

— i— — i-0 • y 7

czonia or az przecinającej hioerp ła sz cz yz nę * a Ax0 w tych samych pun­

ktach co elipsoida E (rys. l''.

U ,

Rys. 1. Ge om etryczna interpretacja dzia ła ni a algorytau Chacijana

Oak wy ka za no w £lj elipsoida

E,(y!Br) 2 |e> (x',B) (l.lO)

Z a a t o s o w n i e pararretryczncgo p r o g r a m o w a n i » .

oraz

A(E') = c(n)*(E) (l.ll)

przy czy»

c(n) < 2 - V 2 ( n+l), (1.12)

g d z i e :

JiiE1) 1 A(E) - obję to śc i elipsoid E' i E.

Oośli układ (l.l) J»«t n i e e p r z e c z n y , to zb i ó r jego rozwiązań za wiera się w hiperkuli o promieniu »n le js zy m od 2 L , objętość tego zbioru

*(s) > 2 ' (n+l)L . (1.13)

2 faktu, Ze w każdej iteracji zbiór rozr/ięzań S zawiera się wewnątrz bie­

żącej elipsoidy:

S C Ek n j x : e [ ( x - x ,k) < 0 j C E k+1

oraz z (l.ll) i (1.13) wynika, że górna granice liczby iteracji wynosi k « 4 ( n + l ) 2 L. S p ro wa dz en ie problemu pr og ra mo wa ni a liniowego do problemu rozwiązania układu nier ów no śc i może być przeprowadzone no podstawie teo­

rii du al no śc i progra mo wa ni a liniowego [l].

3ak wi adomo. Jeśli problem prymelny pr ogramowania liniowego P L , m a k s y ­ malizacji funkcji celu:

max £ T£ (l.14)

przy og ra ni cz en ia ch

Ax « b, x > O

pesiada skoóczene ro zw ią za ni e optymalne, to Jest ono rćwne rozwiązaniu problemu d u a l ne go minima li za cj i funkcji:

min b Tx (1.15)

przy og raniczeniach

190 0. W*rczyń*ki

stąd układ nierówności;

cT x > bT£

A* ^ b

x > 0 (1.16)

a\ > ę

l > 9 .

\

ma rozwiązanie wteo y 1 tylko wtedy, gdy problem (1.14) ma »kończone roz­

wi ąz an ie optymalne.

2. M 0 D Y F1 KA C0 E A L G O R Y T M U CHĄĆ IG AN A

Powyżej pr zedstawione we rsja algo ry tm u cechuje się kilkoma m a n k a m e n t a ­ mi, które można w pewnym stopniu przezw yc ię ży ć n» d r od ze wprowadzenia kil­

ku modyfikacji. Mo dy fi ka cj e te polepszają zn ac zn ie ogolną efektywność al­

gorytmu.

2.1. Promień hipersfery p o c z ą t k ó w . 1

Liczba iteracji algorytmu w wy pa dk u istnienie rozwiązania d o p u s z c z a l ­ nego zależna Jest mi ęd zy innymi od promienia hioerkuli początkowej. Pro­

mień ten noże być w sposób istotny zred uk ow an y [¿J. Oa d y n y m ograniczeniem na dł ugość tego promienia Jeet fakt, że powinien być on wi ęk sz y niż odle­

głość od początku układu w s p ó ł r zę dn yc h najbardziej odoalo ne go wierzchołka wi el o ś c i a n u rozwiązań dopuszczalnych. Ws DÓ ł r z ę d n e w i e r z c h o ł k ó w można osza­

cować stosując regułę Cramera do układu równań

Ax « b (2.1)

dla którego « > n , powsta łe go z układu (l.l). Ws pó łr zę dn e te można w y r a ­ zić Jako:

= jji, i - 1 , 2 n (2.2)

gdzie :

D - jest w y z n a c zn ik ie m m a c i er zy n x n w s p ó ł c z y n n i k ó w orioowieunich r ó w n a ń .

- jest wyznac zn ik ie m tej samej macierzy, w ktorei kolumna i zawiera od po wi ed ni e elementy wektora b.

Z astosowań j e caraoct-vcz- eqo nT -g re mo wa ni a .

Poni ew aż ws pó ł c z y n n i k i m a c i er zy A oraz we kt or a b są liczbami c a ł ­ kowitymi. to jeżeli

D / 0 to x^ < 0^, i » 1 n. (2.3;

Wartość w y z n ac zn ik a D i można oszacować w otarciu o nierów no ść Hędamarda:

< 2 -41 if! k-1

Stęd wart o-rć w y z n a c z n i k a P, może być oszacowana :ako iloczyn n-elenion- towych norn w e k t o r ó w r.aiierzy A. W celu znal ez ie ni a maksymalnej wsocł- rzędne;, - njdalazego (od ojcz ęt ku układu współr zę dn yc h) wi er z c h o ł k a v.ie- loćcienu roz-.-ięzań d o pu sz cz al ny ch , na le ży znaleźć iloczyn !n-l) m a k s y m a l ­ nych n-eleme. towych norm w e k t o r ó w m a ci er zy A i oo nnozyć go orzez maksy- sialnę n-elemen" jwę normę wektora b . Po nieważ ch cs ry zn al ez ć długość p r o­

mienia R hiperkuli zawiera iscej wi er zc ho łe k o ma ks ymalnej w s o ó ł r z ę d n e j . należy ot rz y m a n y wyni k oomnożyc jeszcze przez VrT.

Dla or ty k ł a d o w e g p problemu:

Xl * *2 < ?

x^ + 2X2 <-2

wartość j r o n i e m ; ft. obli cz on eg o vi op isanv spor fc. .v, nosi R = 7, wobec R » V » :16-c. cli « e r s i i orvçinelnej algorytmu.

2 . 2 . t ą o - . l n p r -c n u - ę - y c : -' «

Miar ę stabilno-, n rurerycznej algorytmu C h ai ij ar a Jest lczba w a r u n k o ­ we macierz'/ - c o ^ d i .•'<J [4.J z d ef in io wa na jako iloczyn norm 3*1 1 jej macierzy odwrotnej. .In* ! i '.iczba wa ru n k o w a m a c i e r z 1 D* zw iększa się, to zwiększa sic również dOKi=. no śc niezbędna do oblicz en ia w (i.3) pdyż obliczano test wó wc za s sala różnica dwóc h w e k t o r o w o d u ży ch s k ł a d o ­ wych. Począt ko wo liczba .var-_nkowe, cond(3°l = 1 we w s zy st ki ch orzyDad- kach, 00 czy* ror.nis ona w kolejnych iterac ja ch alnorytmu aż osięgnie swo- Ję wa r t o ś ć maksymalną. C o n d ( S k ! nie zmniejsza si° praktycznie nigdy po­

niżej 1/2 swojej wa rtości maksymalnej. Wykazano, ze

CondÍB*4) » Jcond(A)J^ (2.5)

192 O. Warczyński

Z m ni ej sz an ie liczby wa ru nk ow ej c o nd (B ) możliwe Jest dzięki zamienia ma ci er zy 0 k przez iloczyn O k (Ok )T . gdzie O k jest ma ci er z? kwadratów»

o rozmiarach n x n [5. 10] . W zwięzku 7 po wy żs zy m wz ór na uaktualnienie macierzy B można nacisać w formie następujęcaj :

..k* 1/ -,k+l% T n 10 ) *

n - 1

2

kI " H T T ą * 0 (3 ) '»i (O )k^T

O z na cz aj ęc przez

* * \ l

_2 n - 1

można zapisać (2.6) w następującej formie:

^ . 1 ( ^ . 1 , . „ k j , . _ J _t ,l.(, » )l ] (, k )T ,

. (y E Z T . < r

Z (2.9) wynika, że

0 k+1 - V ? O k [l + t z k (zk )T],

gdzie:

t »

1 + n + Y n 2 - 1 Stęd x k+1 może byc określone Jako:

k+1 k __ 1 -.k k x » x n ♦ 1 O z

Ma ci er z 0 winn a być określona jeko:

0° - Yk1! ,

( 2 . 6 )

(2.7)

(

2

.

6

)

(2.9)

(2 .10)

(2.11’

(

2.121

(2.13)

gdzie fi jest promie ni em hicerkuli początkowej o k re śl on ym jak w rozdzia­

le 2.1.

Zast os ow an ie pa ra m e t r y c z n e g o p r o g r a m o w a n i a . . 193

Oo isana mody fi ka cj a po wo du je lepaze uwarun ko wa ni e ma cierzy nlaorytmu.

C o n d ( j ^ ) < w Cond(A) (2.14)

W zw iązku z tym. że ob li cz en ia prowadzone przez m a sz yn y cyfrowe do ko­

nywana są za skończoną dokład no śc i« , na skończonej dł ug oś ci rejestrach, zdarza się, Jak pokazuję e k sp er ym en ty obliczeniowe, że macierz 3 ( 0 T orze- staje być m a c i e r z « symetryczną.

W p r zy pa dk u takiego w y r a d z a n i a się m a ci er zy J ( J ) T zo staje ona z a m i e ­ niona na ma ci er z di ag on al ną gdzie A „ ax Jest maksymalną w a rt oś ci ą w ł as ną poprzedniej. Jeszcze nie w y r o d z o n e j , macierzy j(j) . G e o ­ metrycznie oz na cz a to, że w mo me nc ie w y ro dz en ia się maci er zy 0 ( j ) T u t w o ­ rzona zo staje, nie kolejna elipsoida, lecz kula o pr om ie ni u równym n a j­

dłuższej pćłoai poprzedniej e l ip so id y [

3

^].

2.3. E f e k t y w n i e j s ze cięcia

N i et ru dn o pr ze ko na ć się, że apro wa dz on le zagadnienie programowania li­

niowego do u k ł a d u ni er ów no śc i liniowych poprzez po łą cz en ie ograniczeń p r o ­ blemu o r ym al ne oo i d u a l n e g o oraz dodanie nierówności:

bTy * * c Tx (2.15)

stanowi najmniej k o rz ys tn y przypadek z punktu wi dz en ia al go ry tn u Chofiija- na. A l g o r y t m musi bowiem, w tym przypadku, zn al eź ć Jeden punkt będący r o z ­ wiązaniem. to znaczy, że środek kolejnej utworzonej a l ip so id y musi pokryć si« z p u nk to m st an o w i ą c y m rozwiązanie, lub też, trafić w obszar o g r o m i e ­ niu £ , jeśli (2.15) z a pi sz em y w oostaci :

CT x - bTx < |£ I , (2.16)

g d z i e :

fi - Jest do kł ad n o ś c i ą z Jaką al gorytm po winien działać.

Z do św i e d c z e ń z a l go ry tm em Ch a£ ij an a wi adomo, że dla z n a l ez ie ni a r o z­

wi ąz an ia leżącego w pe wn ym obszarze nie potrzebuje on zbyt wi el u iter a­

cji. Stąd ef ek ty wn ie js zy m będzie ni ec o inne post ęp ow an ie w w y p a d k u r o z­

wi ąz yw an ia za ga dn ie ni a progra mo wa ni a liniowego. Mi an ow ic ie , Jeśli kolejne x nie leży w obszarze rozw ią za ń d e ou az cz el ny ch da nego zadanie p r o g r a m o ­ wa ni a liniowego, to po st ępowanie Jest anal og ic zn e Jak w w e r s j i oryginol- nej. Jeśli jednak x u na leży do zb ioru rezwlązsn dopu sz cz al ny ch , to hi- pe rp łeszczyzną tnącą będzie w tym w y n a n k u h i pe ro ła sz cz yz na równoległe do funkcji celu, tj.

194 J. Warczyński

Ko lejno eUpsoifio -tocz- tę połowo ooorzedniei , w ktirej noże byt 'p eł­

niona nierów no ść :

T T k

£ X > C X .

' Zaosdnit-rie progrcmowar ia liniowego zostało więc w tyir pd zy pa dk u s ro '.t- d.Tone dc układu nierówności:

Ax i b

x ^ O .'.17)

CT X >. C 7X k

3. M E TO OA PA RA M E T R Y C Z N E G O PR OG RA MO WA NI A LI N I O W E G O O P AR TA NA ALGORYTC.It:

C H AĆ I3 AN A

Perame tr yc zn a progra mo wa ni e liniowa, w od ni es ie ni u do zm i a n w s p ó ł c z y n ­ ni kó w kosztu, pozwala badać z a ch ow an ie się rozwięzań za ga d n i e n i a p r og ra­

mowania liniowego przy zmianach w s p ó ł c z y n n i k ó w w funkcji celu.

Ro zp a t r z m y na st ęoujęce za ga dn ie ni e progra mo wa ni a linio/ego:

M e x j \ c T + (l - A c |!J x . J c < 0 , 1 >

przy ogra ni cz en ia ch :

A ' x ^ b ' (5.1)

x > O .

Sp ro w a d z a m y zaga dn ie ni e (3.1) do układu nierówności:

£ ^cT * ( l - A ) / ] x Ja c1 + (l -A )ę /TJ x k

A 1 x ^ b' (3.2)

x 5*- O

.

Do rozwięzania tego pr oblemu prop on uj em y z a st os ow an ie a l g o r y t m u , który po­

niżej p r z e d s t a w i a m y . Schemat błokov/y teoo algorytmu or ze ds ta wi a rys. 2 13.

Ides algorytmu orerta Jest na znanej zasadzie oodz ia łu o d c i n k a . W pi er­

wszy m kroku badamy, czy istnieje rozwiązanie opty ma ln e dla para me tr u & »

»■ JkmŁr,. W y k o r z y s t u ;er-y do tego celu a l o c rytm Chaći.iara, W celu wc ze ś n i e j ­ szego wy krycia n i ei st ni en ia »k oń cz on eg o rozwiązania, ró wn ol eg le p r ow ad zo­

ne jest posz uk iw an ie rozwięzania ukłanu dualnego, ni er ów no śc i:

*ys. Schemat blokowy algorytmu metody p a re me tr yc zn eg o pr ogramowania liniowego z al go ry tm em ChaSijona

Zastosowanieparametrycznegoprogramowanie.

196 3. Warczyński

Rye.

z rys-Z

STOP

. Schemat bl okowy algorytmu metody p a r a m e tr yc zn eg o programowania li­

niowego z al go ry tm em Ch a2 ij an a

Za st os ow an ie p a ra me tr yc zn eg o programowania. 197

A Tx 5» 0

Y > 0 (3.3)

b \ < 2 , gdzie

A jest macierzą powstałą z m a c i er zy A 1 poorzez dodanie wiersza:

A c T + (l -A)e'T ,

b jast we ktorem powstałym z we ktora b' poprzez do da ni e elementu:

[¡^cT + (l-A)c/ ^ x k ,

Jak wiadomo, układ ni er ów no śc i (3,3) posiada rozwiązanie wted y i tylko wtedy, gdy układ (3.2) rozwiązania nie posiada. Stąd, algorytm zarówno w przypadku sprzeczności. Jak 1 nies pr ze cz no śc i układu (3.2) znajduje r o z­

wi ązanie po liczbie iteracji mniejszej niż maksym al na liczba - konieczna do określ an ia problemu wyjściowego.

Jeśli rozwiązanie problemu (3.2) istnieje, to algo ry tm naszej metody znajduje Je, po czym bada, czy rozwiązanie to - X 1 Jast rozwiązaniem op­

tymalnym dla A = ^ m a x ‘ Z teorii pr og ramowania liniowego w i a d o m o , ż e pr ze­

dział parametru, w którym istnieją rozwiązania ootymalne, skończone Jest przedziałem d o mk ni ąt ym i spójnym. Stąd, Jeśli znalez io na w kroku 1 roz­

wiązania optymalne. Jest ro zw ią za ni em optymalnym także dla A max to zna­

czy, że Jest ono rozw ią za ni em op ty ma ln ym dis w s z y st ki ch lz p r z e d z i a ł u ł m i n , jlmax. Jeśli nie Jest ro zw ią za ni em op ty ma ln ym dlaA,max, to al gorytm

bada czy X 1 Jest rozw ią za ni em op ty ma ln ym dla

« ^ m i n + J^max

* 1 --- 5--- '

1 i + A.

Jeśli nie, to postępowanie powtarza się, tzn. A 2 = — W wy padku zn al ez ie ni a A , dla którego X.1 Jeet ro zw iązaniem optymalnym, następuje posz uk iw an ie z zadaną dokł ad no śc ią 6 granicznej w a rt oś ci parametru X »

" ^ g r a n i c z n e ' dl 8 kt ó r , J ** J est rozw ią za ni em optymalnym.

W kroku następnym do znalezionej wartości X = ^ nr0r)jC -, dodaje się wiel ko ść 26, po czym następuje powrót do kroku oierwszepó, tzn. p o sz uk i­

wanie rozwiązania opty ma ln eg o dla nowej w a rt oś ci A = A + 2f,. Po- granicz.

stępowanie to powtarza się dopóki algorytm nie osiągnie końcowej wa rt oś ci A z zadaną dokł ad no śc ią £ lub zostaje przerwane z chwilą, gdy dla ko le j­

nego A “ O g r a n i c z + 2 ^ ni0 i s tn l8J° skoń cz on e rozwiązanie optymalne,

19(1

3. Warczy ńs ki

co oznaczę, że rozwiązania optymalne nie istnieją w na st ęo ny ch p r z e d z i a ­ łach parametru.

Deśli w kroku pierwszym. aloorytmu okaie się. Ze nie istnieje r o zw ią za­

nie optymalne dla A » A win, to nastęouje badanie czy istrieje rozwięza- nie optymalne dla A = ^ m e x - 3eśli tak, to całe, opisane powyżej oostęno- wanie powtarza się, z tym, że tym razem przedziel zmienności parametru'' jest badany od pr ze ci wl eg łe go krańca.

Oeżeli nie istnieia rozwiązania optymalne ani dla a, = A n i n , ani dla 1 , wó wc za s ooszukuje się rozwiązania do pu sz c z a l n e g o oorani cz eń problc-

"n ax

mu dualnego, w których. Jak wiadomo A w y st ęp uj e w we kt or ze prawych stron.

Parametr A traktujemy jako zmienną. 3eśli rozwiązanie takie nie i s tn ie­

je, to znaczy, ze nie istnieję skończone rozwiązania ootymalne w całym przedziale parametru A c < 0 , 1 > .

Oeśli rozwiązanie zostaje znalezione, to tym samym znaleziona zostaje wa rtość parametru A = A , dla której musi istnieć skończone rozwiązanie optymalne problemu prymalnego (3.2). Wa rt oś ć A = A , zostaje zapamiętana, po czym następuje rozwiązanie problemu PL (3.2) dla danego A = A . Po zn al ez ie ni u rozwiązania X 1 , optymalnego dla A nastęouje, analogicznie Jak w kr okach opisanych powyżej, posz uk iw an ie lewostronnej gr anicy w a r t o ­ ści parametru, przy której znalezione rozwiązanio X 1 Jost jeszcze o p t y ­ malne.

W kolejnych krokach poszukuje się gr an icznych wartości para me tr u dla kolejnych rozwiązań optymalnych.

Z chwilą stwierdzenia, że nie istnieje rozwiązanie optymalne dla ko­

lejnej wa rt oś ci parametru:

^ ~ ^ granicz. ” 2 £ '

— — 1

następuje powrót do A i x = x , dla którego «n al ez io na zostaje p r a w o ­ stronna granica parametru. Następnie, anal og ic zn ie jak w krokach po pr ze d­

nich, poszukuje się nowych rozwiązań op ty malnych odpo wi ad aj ąc yc h przedzia­

łom parametru położonym na orawo od A i gr an ic zn yc h wa rt oś ci parametru, dla których rozwiązania te pozostają optymalnymi.

W momencie nie znalezienia rozwiązania opty ma ln eg o dla kolejnej w a r t o ­ ści parametru:

— k r-k-1 ,. c

* granicz. + 2 £ '

algorytm zatrzymuje się.

W celu sprawdzenia czy dane rozwiązanie optymalne x = 2-opt J est roz~ 1/

wiąz an ie m ootymalnym dla następnej w a r t o ś c i .oaramotru A stosujemy oroca- durę z algorytmem Cheiijana, która bada układ nierówności:

a Tj< > J ^ £ T + (1-JV)£'

TJ

^x

oTx ^ [a £ T + * £ (3.41

Deśli układ jest n i e s p r z e c z n y . to x = *.ODt u oozostaje ro zw ią za ni em op­

tymalnym również dla & = & * * * * .

4. Z A S T O S O W A N I E PA RA M E T R Y C Z N E G O P R OG RA MO WA NI A LI NI O W E G O Z A L G O R Y T M E M CHA- ĆI OANA UO D W U K R Y T E R I A L N E G O PROB LE MU RO ZD Z I A Ł U Z A SO BÓ W

Oak zo stało w s po mn ia ne na wstę pi a, pr ze ds ta wi on a w rozdziale 3 metoda może być w y k o r z y s t a n a do ro zw ię za nl a pewnej klasy o r ob le mó w rozdziału z a ­ sobów. Mi an ow ic ie , do problemu rozdziału za so bó w odnawialriych i n i e o d n a ­ wialnych, przy dy sk r e t n y c h za po t r z e b o w a n i a c h za so bo wy ch operacji, w p r z y ­ padku operacji podzielnych. Tutaj ogra ni cz ym y się do orzypadku operacji niezależnych.

Pr zy pomnijmy, że problem rozdziału polega na znal ez ie ni u takiego orzy- działu z a so bó w ze zbioru Jl do operacji ze zbioru , który zapewni w y k o ­ nanie w s z y s t k i c h operacji, przy zachow an iu na ło żo ny ch o g ra ni cz eń i który zapewni najlepszy, w p r zy ję ty m sensie, kompromis p o m i ę d z y kryteriami ze zbioru Q fuj .

Zbiór Ji za wiera za so by odnawialne, tzn. takie, na które nałożone sę og ra niczenia na d o st ęp no ść w każdej chwili oraz z a s o b y ni eo dn aw ia ln e, na które na łożone są ogra ni cz en ia zużycia w pe wn ym p r ze dz ia le czasowym.

Zb i ó r Jl za wiera niezal eż ne i podzielne operacje ch er ak t e r y z u j ę c e sięt - dysk re tn ym i z a po tr ze bo wa ni am i zasobowymi,

- mo de le m ma te m a t y c z n y m w postaci w e kt or a c z a s ó w wykonywania.

Zb i ó r Q zawiera kryterium typu czasowego, które Jest zwlęzane z w y k o ­ rzystaniem z a so bó w o d na wi al ny ch oraz Jedn o lub więcej kr yt er ió w typu k o s z ­ towego, zw ię za ny ch z w y k o r z y s t a n i e m za sobów nieodnawialnych. Kryteria k o s z ­ towe i cz asowe sę sobie przeciwstawne.

W f7j pokazano, że problem taki może być sp ro wa dz on y do oroblemu wie- lokr yt er iB ln eg o progra mo wa ni a liniowego. Gęśli kryteria typu k o sz to we go zagreguje się w jedno kryterium, to ot rz ym am y pr oblem d w u k r y t e r i a l n y , któ­

ry można rozwięzać za pomocę przedstawionej metody p a ra me tr yc zn eg o progra­

mowania liniowego.

Kr yt er ia kosztu K i czasu T wy ko n a n i a zbioru op er ac ji ,# p r ze ds ta­

wimy w postaci funkcji D8rametrycznej :

Zast os ow an ie p a r a m e tr yc zn eg o pr ogramowania...______________________________ 199

200 0. Warczyński

Z - \ K * (l-A)T. (4.1)

VI w y ni ku za st os ow an ia za pr opanowonej aatody ot rz y m a m y wó w c z a s zbió r roz- wi ęzań sprawnych ( p a r e t o - o p t y m a l n y c h ) , który w pr ze s t r z e n i kryteriów przed­

stawia się w postaci krzywej k ( t ) , z któroj decydent będzie mógł wybrać ro zw ię za ni e optymalne w sensie na jl ep sz eg o kompro mi su między ob ydwoma kry­

teriami.

LITERA TU RA

.1 ■ '

.

flj As pvall R . , Stone R.E. : K h a c h i y a n ’s linear prog ra mm in g algorithm. Re­

port ST AN -C S- 79 -7 76 . Depart me nt of Co mp ut er Science. S t a n fo rd Uni­

versity.

[2] Berre sford G.C. , Itockatt A.M., S t ev en so n O.C. : K h a c hi ya n' s algorithm and the mi cr oc om pu te r. Byte. Aug. 1980.

[

3

] Ka li ńs ki 0, : Referat w y g ł o s z o n y na se mi na ri um IA P o li te ch ni ka Poz­

nańska. Czerwiec 19B1

[4l Rose n 0.8. , Fr aw le y G. : A c o m p u t at io na l test of K h a c hi ya n' s algorithm for linear inequalities. T e ch ni ca l Report 79-28, C o m p ut er Science Department, U n iv er si ty ef Minesota.

f5] R u s z cz yń sk i A.: The re lation be tween the Khac hi ya n' s al g o r i t h m and the subgradient method with space dilation. Raport IA Politechnika Warszawska.

f6j S ł ow iń sk i R. : Two a p pr oa ch es to pr oblems of reso ur ce allocation among project a c ti vi ti es - a c o m p ar at iv e study. 0. Opi. Res. Sec. 31/1980/

n. 2.

[

7

] Słow iń sk i R. : M u l t i o b j e c t i v e network sc he du li ng wi th e f f i c i e n t use of renewable and n e nr en ew ab le resources. EOOR 1981, n. 3.

f8j Wę g l a r z 0.: N e w mo de ls and proced ur es for resource a l l o c a t i o n pro­

blems. Proc. of 6-th Internet Congres. vo 12, VDI Gm bH Busseldorf, 197*.

0 ] W ę g l a r z 0.: S t er ow an ie w syst em ac h typu ko mpleks operacji. PWN, War- S z aw a- P o z n a ń 19*1.

[10] Wolf e P h . : A bibl io gr ap hy for the ellipsoid algorithm. R e se ar ch Re­

port. RC 8 2 3 7 (35829) 4/39/80. M a t h e m a t i c a l Sc ie nc e Department. IBM Th. 0. W a t s o n R e se ar ch Center.

Re ce nz en t: Doc. dr inź. W o j c i e c h TARNOWSKI

W p ł y n ę ł o do Re da kc ji 15.05, 19 82 r.

Za st os o w a n i e p a r a m e t r y c z n e g o p r o o r a m o w a n i a . 201

UPHMEHEHHE HAPAMETPH'IECKOrO JMHEÜHOrO nPOrPAMMHPOBAHHH C AJIPOPHTiiOM i XAMHHHA U ÆByX KPHIEPHAJIbHOfi nPOEJTEMB PACIIPEJiEJlEHiiH PECypCOB

P e 3 a u e

B

Haoxoaqeii padoxe

paccMoxpeHa

npoGjiewa pacnpeflejiewM no

onepaiptaM

^oGho-

nnaeuHx k Heo6HOBJiKeiu»oe pecypooB, b cnyuae HKCKpeiHociH 3anpocoB onepapjiîi Ha pecypon.

npexcxaBJieH ue ro a penejtun AByxKpHiepHa*i.HOii npoGzeiiH pacnpenejieiuta pe- cypcoB nyxën napauexpateoKoro xnsettuoro nporpaiuiHpoBaHHJi c npHweHeHHeis uo- AH4)nnHpuBaHHoro nojiHHomtajikHoro ajiropaiMa XauzaHa. JieiiciBjte Mexo.ua ocao- BaHo Ha H3Be cx H0 M npHHipine pa*nez eH MH oxpe3Ka.

A P P L I C A T I O N OF P A RA ME TR IC LINEAR PROG RA MM IN G W I T H KH AC HI YA N' S A L G O R I T H M TO T W O - O B O E C T I V E R E S O U R C E A L L O C A T I O N PROBLEM

S u m m a r y

We pres en te d a method of eolving ce rtain al lo ca ti on problem based on a m o d i f i c a t i o n of the polyno mi al K h a c h i y e n ’s algorithm. Two ca te go ri es of c o ns t r a i n e d resources ere co ns id er ed : reneveble end n o n r e n e v a b l e . The g e ­ neral idea of our method is based on the wall known sector d i vi si on p r i n ­ ciple.