I N Ż Y N I E R I A R U C H U M O R S K I E G O 2 00 5
ZESZYTY NAUKOWE NR 6(78)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIEKrzysztof Kołowrocki, Joanna Soszyńska
Ocena niezawodności i gotowości
portowego elewatora zbożowego
Słowa kluczowe: portowe systemy transportowe, niezawodność, gotowość. Zaproponowano użycie granicznych funkcji do oceny niezawodności i gotowo-ści systemów oraz zastosowanie procesów Semi-Markova do modelowania ich procesu eksploatacji. Analizowano też podejście do rozwiązania bardzo ważnego, praktycznego problemu powiązania niezawodności systemów z ich procesem eks-ploatacji. Zastosowanie przedstawionej metody omówiono na przykładzie oceny niezawodności i gotowości portowego systemu transportu zboża.
The Evaluation of Reliability and Availability
of a Port Grain Transportation System
Keywords: port transportation systems, reliability, availability.
The paper proposes the use of the limit reliability functions in the systems’ re-liability and availability evaluation and semi-markov processes application for their operation modelling. The paper offers an approach to the solution of a prac-tically very important problem of linking the systems’ reliability and their opera-tion processes. An applicaopera-tion of the proposed method is illustrated in the evalua-tion of reliability, risk and availability of the port grain transportaevalua-tion system.
1. Opis działania systemu
Elewator zbożowy jest podstawowym obiektem Bałtyckiego Terminalu Zbożowego Portu Gdynia przeznaczonym do obsługi eksportu i importu zboża. Rozwiązania technologiczne elewatora pozwalają na łączenie różnych relacji za-ładunkowych i wyza-ładunkowych statków, samochodów i wagonów. Jego wydaj-ność w procesie przyjmowania zboża wynosi około 400 ton/godz., a w procesie wydawania około 360 ton/godz. Cały proces technologiczny sterowany jest elek-tronicznie. Stanowisko komputerowe dostarcza pełnej wizualnej informacji o przebiegu strumienia zboża, jego bilansie i stanie pracy urządzenia.
Jedną z podstawowych funkcji elewatora jest załadunek wagonów zbożem. Załadunek wagonów odbywa się w kolejno po sobie następujących etapach:
grawitacyjne podanie zboża z miejsca składowania znajdującego się na 8 piętrze elewatora poprzez 45 komór na przenośniki poziome, znajdu-jące się w suterenie elewatora;
transport zboża poprzez przenośniki poziome do podnośników kubełko-wych pionokubełko-wych transportujących zboże do rozdzielni głównej, znajdu-jącej się na 9 piętrze elewatora;
grawitacyjny przesyp zboża przez rozdzielnię główną do wagi, znajdują-cej się na 6 piętrze elewatora;
przesyp zważonego zboża przez zespół klap, znajdujących się na 4 pię-trze elewatora na przenośniki poziome, znajdujące się na 2 piępię-trze ele-watora;
przesyp zboża z przenośników poziomych na przenośniki ślimakowe; przesyp zboża z przenośników ślimakowych do wagonów kolejowych.
W procesie załadunku wagonów zbożem uczestniczą następujące podsys-temy transportowe elewatora (rys. 1): S1 poziome przenośniki taśmowe typu 1,
S2 pionowe podnośniki kubełkowe, S3 poziome przenośniki taśmowe typu 2,
S4 przenośniki ślimakowe oraz rozdzielnia i waga.
2. Identyfikacja parametrów procesu eksploatacji systemu
Biorąc pod uwagę opinię ekspertów w procesie eksploatacji Z(t), t 0 rozpa-trywanego systemu zostały wyróżnione 3 stany eksploatacyjne, a mianowicie:
stan 1 – eksploatacja systemu z najwyższą wydajnością, kiedy wszystkie jego podsystemy S1, S2, S3 i S4 są używane;
stan 2 – eksploatacja systemu z mniejszą wydajnością, kiedy pierwszy transporter podsystemu S1, pierwszy i drugi podnośnik podsystemu
S2, pierwszy transporter podsystemu S3 oraz pierwszy i drugi
stan 3 – eksploatacja systemu z najmniejszą wydajnością, kiedy pierwszy transporter podsystemu S1, pierwszy podnośnik podsystemu S2,
pierwszy transporter podsystemu S3 oraz pierwszy transporter
pod-systemu S4 są używane.
Warunkowe dystrybuanty czasów θbl
przebywania procesu Z(t) w stanie eksploatacyjnym zb przy warunku, że następne przejście nastąpi do stanu eksplo-atacyjnego zl 3 , 2 , 1 ,l
b są dane w postaci następującej macierzy [1]:
. 0 1 1 1 0 1 1 1 0 )] ( [ 20 5 , 12 5 20 5 78 . 2 t t t t t t bl e e e e e e t H
Oszacowane przez ekspertów, zdefiniowane w pracy [1], prawdopodobieństwa przejść pomiędzy stanami eksploatacyjnymi dane są w następującej macierzy: . 0 615 . 0 385 . 0 2 . 0 0 8 . 0 643 . 0 357 . 0 0 ] [ bl p
Tak więc, bezwarunkowe dystrybuanty czasów θb
przebywania procesu Z(t) w stanach eksploatacyjnych zb, określone są wzorami:
], 5 exp[ 643 . 0 ] 78 . 2 exp[ 357 . 0 1 ) ( 1 t t t H ], 5 exp[ 2 . 0 ] 20 exp[ 8 . 0 1 ) ( 2 t t t H ], 20 exp[ 615 . 0 ] 5 . 12 exp[ 385 . 0 1 ) ( 3 t t t H
natomiast wartości oczekiwane i wariancje tych zmiennych wynoszą odpowied-nio: , 25712 . 0 2 . 0 643 . 0 36 . 0 357 . 0 ] [ 1 1 E M , 08 . 0 2 . 0 2 . 0 05 . 0 8 . 0 ] [ 2 2 E M , 06155 . 0 05 . 0 615 . 0 08 . 0 385 . 0 ] [ 3 3 E M , 072 . 0 04 . 0 643 . 0 1296 . 0 357 . 0 ] [ 1 1 D D , 01 . 0 04 . 0 2 . 0 0025 . 0 8 . 0 ] [ 2 2 D D . 004 . 0 0025 . 0 615 . 0 0064 . 0 385 . 0 ] [ 3 3 D D
Z układu równań: 1 0 615 . 0 385 . 0 2 . 0 0 8 . 0 643 . 0 357 . 0 0 ] , , [ ] , , [ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 otrzymujemy 10.3742, , 321 . 0 2 3 0.3048.
Wtedy, niezbędne w dal-szych rozważaniach, graniczne wartości prawdopodobieństw chwilowych prze-bywania procesu Z(t) w poszczególnych stanach eksploatacyjnych, wynoszą odpowiednio: , 684 . 0 1 p 20.1826, p 30.1334. p (1)
3. Oszacowanie charakterystyk niezawodności nieodnawialnego
portowego elewatora zbożowego
Ze względu na jakość pracy systemu transportowego wyróżniamy trzy sta-ny niezawodnościowe jego elementów:
stan 2 – zapewniający największą jakość pracy elewatora,
stan 1 – zapewniający gorszą jakość pracy elewatora wymuszoną przez wy-sypywanie się zboża z taśmy,
stan 0 – powodujący niezdatność elewatora.
W artykule, na podstawie wyników badań [1], oszacowane zostaną funkcje niezawodności systemu w poszczególnych stanach eksploatacyjnych oraz wy-znaczone będą wartości średnie i odchylenia standardowe czasu przebywania systemu w podzbiorach stanów niezawodnościowych. Następnie wyznaczona zostanie bezwarunkowa funkcja niezawodności portowego elewatora zbożowego oraz jego bezwarunkowe wartości średnie czasów przebywania elewatora w po-szczególnych stanach niezawodnościowych. Oszacowana zostanie również funk-cja ryzyka systemu, przy założeniu, że stanem krytycznym systemu jest stan 2.
W stanie eksploatacyjnym 1, system jest systemem szeregowym zbudowa-nym z 4 niejednorodnych podsystemów szeregowo-równoległych.
Podsystem S1 składa się z:
1 taśmy gumowej, której warunkowe funkcje niezawodności w podzbio-rach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,1)(t,1) (1)
] = exp[0.1262t], [R(1,1)(t,2) (1)
] = exp[0.1674t], 2 bębnów, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach
[R(1,2)(t,1) (1)
] = exp[0.044t], [R(1,2)(t,2) (1)
] = exp[0.048t],
117 rolek nieckowych, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,4)(t,1) (1)
] = exp[0.0714t], [R(1,4)(t,2) (1)
] = exp[0.0798t].
Rys. 1. Schemat struktury niezawodnościowej portowego elewatora zbożowego w stanie eksploatacyjnym 1
Podsystem S2 składa się z:
1 taśmy, której warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach sta-nów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,1)(t,1) (1)
] = exp[0.178t], [R(1,1)(t,2) (1)
] = exp[0.182t],
2 bębnów, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,2)(t,1) (1)
] = exp[0.0437t], [R(1,2)(t,2) (1)
] = exp[0.0479t], 740 kubełków, których warunkowe funkcje niezawodności w
podzbio-rach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą: [R(1,3)(t,1) (1)
] = exp[0.1954t], [R(1,3)(t,2) (1)
] = exp[0.2764t]. Podsystem S3 składa się z:
1 taśmy gumowej, której warunkowe funkcje niezawodności w podzbio-rach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,1)(t,1) (1)
] = exp[0.126t], [R(1,1)(t,2) (1)
] = exp[0.167t],
2 bębnów, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,2)(t,1) (1)
] = exp[0.0437t], [R(1,2)(t,2) (1)
117 rolek nieckowych, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,3)(t,1) (1)
] = exp[0.0798t], [R(1,3)(t,2) (1)
] = exp[0.0978t],
19 rolek podtrzymujących, których warunkowe funkcje
niezawod-ności w podzbiorach stanów niezawodniezawod-nościowych odpowiednio
wynoszą:
[R(1,4)(t,1) (1)
] = exp[0.0714t], [R(1,4)(t,2) (1)
] = exp[0.0798t].
Podsystem S4 składa się z 3 przenośników zgrzebłowych (łańcuchowych).
W dwóch przenośnikach podsystemu znajdują się:
2 koła napędowe, których warunkowe funkcje niezawodności w pod-zbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,1)(t,1) (1)
] = exp[0.0798t], [R(1,1)(t,2) (1)
] = exp[0.101t],
160 ogniw, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(1,2)(t,1) (1)
] = exp[0.124t], [R(1,2)(t,2) (1)
] = exp[0.151t], 80 elementów z funkcjami „niezawodności”:
[R(1,3)(t,1) (1)
] = exp[1(1)t], [R
(1,3)(t,2) (1)
] = exp[2(2)t], gdzie 1(1)= 2(2) = 0.
W trzecim transporterze znajdują się:
2 koła napędowe, których warunkowe funkcje niezawodności w pod-zbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(2,1)(t,1) (1)
] = exp[0.167t], [R(2,1)(t,2) (1)
] = exp[0.182t],
240 ogniw, których warunkowe funkcje niezawodności w podzbiorach stanów niezawodnościowych odpowiednio wynoszą:
[R(2,2)(t,1) (1)
] = exp[0.208t], [R(2,2)(t,2) (1)
] = exp[0.231t].
Zatem funkcja niezawodności całego systemu, w stanie eksploatacyjnym 1 okre-ślona jest wzorem:
) , ( ) 1 ( t R [R(1)(t,1), R(1)(t,2)],t0, gdzie: ) 1 , ( ) 1 ( t R R(21,129) (t,1)R3(1,)743(t,1)R(21,)139(t,1) R 3(1,242) (t,1)
= 24exp[185.9767t] – 24exp[330.8617t] –12exp[205.9659t] – 12exp[196.8882t] + 12exp[350.8509t] + 12exp[341.7732t] – 12exp[196.1677t] + 12exp[341.0527t] + 8exp[475.7474t]
+ 6exp[216.8774t] – 6exp[361.7624t] +6exp[216.1569t] + 6exp[207.0792t] – 6exp[361.0419t] – 6exp[351.9642t] – 4exp[495.7366t] – 4exp[486.6589t] – 4exp[485.9384t] + 3exp[371.9534t] – 3exp[227.0684t] + 2exp[506.6481t] + 2exp[505.9276t] + 2exp[496.8499t] – exp[516.8391t], (2) ) 2 , ( ) 1 ( t R R(1) ( ,2) 129 , 2 t R ( ,2) ) 1 ( 743 , 3 t R ( ,2) ) 1 ( 139 , 2 t R (,2) ) 1 ( 242 , 3 t
= 24exp[254.8318t] – 24exp[459.6768t] – 12exp[279.177t] – 12exp[268.0507t] + 12exp[484.022t] + 12exp[472.8957t] – 12exp[267.2545t] + 12exp[472.0995t] + 8exp[664.5218t] + 6exp[292.3959t] – 6exp[497.2409t] – 6exp[496.4447t] + 6exp[291.5997t] + 6exp[280.4734t] – 6exp[485.3184t] – 4exp[688.867t] – 4exp[677.740t] – 4exp[676.9445t] + 3exp[509.6636t] – 3exp[304.8186t] + 2exp[702.0859t] + 2exp[701.2897t] + 2exp[690.1634t] – exp[714.5086t] (3) natomiast wartości średnie i odchylenia standardowe czasu przebywania syste-mu w podzbiorach stanów wynoszą odpowiednio:
, 01197 . 0 ) 1 ( ) 1 ( M M(1)(2)0.0086, (4) , 0073 . 0 ) 1 ( ) 1 ( (1)(2)0.0052. (5) W stanie eksploatacyjnym 2, system jest systemem szeregowym zbudowa-ny z 2 niejednorodzbudowa-nych podsystemów szeregowych i 2 niejednorodzbudowa-nych podsys-temów szeregowo-równoległych. Przy założeniu, że funkcje niezawodności elementów tych podsystemów są takie same jak w stanie eksploatacyjnym 1, funkcja niezawodności całego systemu jest określona wzorem:
) , ( ) 2 ( t R [R(2)(t,1), R(2)(t,2)], t 0, gdzie: ) 1 , ( ) 2 ( t R = R1(,2129) (t,1)R(22,743) (t,1)R1(2,139) (t,1)R(22,242) (t,1) = 4exp[185.9945t] – 2exp[206.0015t] –2exp[330.8795t]+ exp[350.8865t] (6) ) 2 , ( ) 2 ( t R = R1(2,129) (t,2)R ( ,2) ) 2 ( 743 , 2 t R (,2) ) 2 ( 139 , 1 t R ( ,2) ) 2 ( 242 , 2 t = 4exp[254.8676t] – 2exp[279.2486t] –2exp[459.711t]+ exp[484.092t], (7)
natomiast wartości średnie i odchylenia standardowe czasu przebywania syste-mu w podzbiorach stanów wynoszą odpowiednio:
, 0086 . 0 ) 1 ( ) 2 ( M (2)(2)0.0062, M (8) , 0065 . 0 ) 1 ( ) 2 ( (2)(2)0.0048. (9) W stanie eksploatacyjnym 3, system jest systemem szeregowym zbudowa-nym z 4 niejednorodnych podsystemów szeregowych. Przy założeniu, że funkcje niezawodności elementów tych podsystemów są takie same jak w stanie eksplo-atacyjnym 1, funkcja niezawodności całego systemu określona jest wzorem:
) , ( ) 3 ( t R [R(3)(t,1),R(3)(t,2)],t0, gdzie: ) 1 , ( ) 3 ( t R = R(3) ( ,1) 129 , 1 t R (,1) ) 3 ( 743 , 1 t R ( ,1) ) 3 ( 139 , 1 t R (,1) ) 3 ( 242 , 1 t exp[185.9545t], (10) ) 2 , ( ) 3 ( t R = R(3) (,2) 129 , 1 t R ( ,2) ) 3 ( 743 , 1 t R (,2) ) 3 ( 139 , 1 t R ( ,2) ) 3 ( 242 , 1 t exp[254.8676t], (11)
natomiast wartości średnie i odchylenia standardowe czasu przebywania syste-mu w podzbiorach stanów wynoszą odpowiednio:
, 0054 . 0 ) 1 ( ) 3 ( M (3)(2)0.0039, M (12) 0054 . 0 ) 1 ( ) 3 ( (3)(2)0.0039. (13) Ostatecznie więc [1] bezwarunkowa funkcja niezawodności portowego elewato-ra zbożowego ma postać: ) , (t R = [1,R(t,1), R(t,1)], gdzie (14) ) 1 , (t R 0.684 (1)(,1) t R + 0.1826R(2)(t,1) + 0.1334 R(3)(t,1), (15) ) 2 , (t R 0.684 (1)( ,2) t R + 0.1826 (2)( ,2) t R + 13340. (3)(,2), t R (16) oraz R(1)(t,1), R(2)(t,1), R(3)(t,1) i R(1)(t,2), R(2)(t,2), R(3)(t,2) są
od-powiednio określone przez wzory (2), (6), (10) i przez (3), (7), (11).
Uwzględniając natomiast wzory (4), (5), (8), (9) oraz (12) i (13), otrzymu-jemy bezwarunkowe wartości średnie i odchylenia standardowe czasów przeby-wania elewatora w podzbiorach stanów niezawodnościowych:
0104782 . 0 0054 . 0 1334 . 0 0086 . 0 1826 . 0 01197 . 0 684 . 0 ) 1 ( (17) 000048 . 0 ) 0054 . 0 ( 1334 . 0 ) 0065 . 0 ( 1826 . 0 ) 0073 . 0 ( 684 . 0 ) 1 ( 2 2 2 2
, 0069321 . 0 000048 . 0 ) 1 (
(18) 0075347 . 0 0039 . 0 1334 . 0 0062 . 0 1826 . 0 0086 . 0 684 . 0 ) 2 ( (19) 0000247 . 0 ) 0039 . 0 ( 1334 . 0 ) 0048 . 0 ( 1826 . 0 ) 0052 . 0 ( 684 . 0 ) 2 ( 2 2 2 2 . 004973 . 0 0000247 . 0 ) 2 (
(20)Następnie [1], bezwarunkowe wartości średnie czasów przebywania elewatora w poszczególnych stanach niezawodnościowych wynoszą:
) 1 ( ˆ
(1)(2)0.0029435, ˆ(2)(2) 0.0075347. (21) Jeśli krytycznym stanem niezawodnościowym jest r = 2, to jego funkcja ryzyka
przyjmuje postać r(t) 1 R(t,2), gdzie R(t,2) określona jest wzorem (16). Stąd, chwila kiedy ryzyko przekroczy poziom krytyczny = 0.05 jest
= r1() 0.00106 lat.
4. Oszacowanie charakterystyk gotowości odnawialnego portowego
elewatora zbożowego
Na podstawie danych uzyskanych od ekspertów ustalono, że czas odnowy systemu jest niepomijalny, natomiast jego przybliżone wartości średnie wynoszą odpowiednio 0(1)0.005, 0(2)0.005, natomiast ich odchylenia standar-dowe 0(1)0.005,0(2)0.005.
Zatem dla ustalonego niezawodnościowego stanu krytycznego r 2, ma-my [1]:
czas SN(2)
do N-tej odnowy systemu, dla dostatecznie dużego N, ma w przybliżeniu rozkład normalny N(0.0125347N,0.0070498 N), tzn. dla N1,2,..., mamy: ) 2 , ( ) ( t F N ), 0070498 . 0 0125347 . 0 ( ) ) 2 ( ( (0,1) N N t F t S P N N
wartość oczekiwana i wariancja czasu SN(2)
do N-tej odnowy syste-mu, dla dostatecznie dużego N, w przybliżeniu odpowiednio wynoszą:
, 0125347 . 0 )] 2 ( [S N E N , 0000496 . 0 )] 2 ( [S N D N czas
(
2
)
NS
do N-tego przekroczenia niezawodnościowego stanu kry-tycznego systemu, dla dostatecznie dużego N, ma w przybliżeniu postać:
)
2
,
(
) (t
F
N ), 000025 . 0 0000496 . 0 005 . 0 0125347 . 0 ( ) ) 2 ( ( (0,1) N N t F t S P N N wartość oczekiwana i wariancja czas
(
2
)
N
S
do N-tego przekroczenia niezawodnościowego stanu krytycznego systemu, dla dostatecznie duże-go N, w przybliżeniu odpowiednio wynoszą:, 005 . 0 ) 1 ( 0075347 . 0 )] 2 ( [ N N S E N , 000025 . 0 ) 1 ( 0000247 . 0 )] 2 ( [ N N S D N rozkład liczby N(t,2)
odnów systemu do chwili t,t0, dla dostatecz-nie dużego ,t jest w przybliżeniu postaci:
) ) 2 , ( (N t N P ) 778535 . 79 0070498 . 0 0125347 . 0 ( ) 1 , 0 ( t t N FN ), 778535 . 79 0070498 . 0 ) 1 ( 0125347 . 0 ( ) 1 , 0 ( t t N FN
wartość oczekiwana i wariancja liczby N(t,2)
odnów systemu do chwili
, 0
,t
t dla dostatecznie dużego ,t w przybliżeniu odpowiednio wyno-szą: , 778535 . 79 ) 2 , (t t H , 235654 . 25 ) 2 , (t t D rozkład liczby N(t,2)
przekroczeń niezawodnościowego stanu krytycz-nego systemu, dla dostatecznie dużego t,t0, jest w przybliżeniu po-staci: ) ) 005 . 0 ( 778535 . 79 0070498 . 0 005 . 0 0125347 . 0 ( ) ) 2 , ( ( (0,1) t t N F N t N P N ), ) 005 . 0 ( 778535 . 79 0070498 . 0 005 . 0 ) 1 ( 0125347 . 0 ( ) 1 , 0 ( t t N FN
wartość oczekiwana i liczby N(t,2)
przekroczeń niezawodnościowego stanu krytycznego systemu, dla dostatecznie dużego t,t0, odpowied-nio wynoszą: ), 005 . 0 ( 778535 . 79 ) 2 , (t t H D(t,2)25.235654(t0.005), asymptotyczna wartość współczynnika gotowości, dla dostatecznie
du-żego t , wynosi: , 6011073 . 0 005 . 0 0075347 . 0 0075347 . 0 ) 2 , ( t K
współczynnik gotowości systemu w przedzialet,t
),
0, dla do-statecznie dużego t , wynosi: ,2) 79.778535 , (t
K R(t,2)dt, gdzie R(t,2) określone jest wzorem (16).
Literatura
1. Kołowrocki K. et al., Asymptotic approach to reliability analysis and opty-misation of complex transport system. Project founded by the Polish Commit-tee for Scientific Research, Gdynia 2002.
2. Grabski F., Semi-Markov Models of Systems Reliability and Operations. Sys-tems Research Institute, Polish Academy of Sciences, Warsaw 2002.
3. Kołowrocki K., Reliability of large Systems. Elsevier. Amsterdam-Boston-Heidelberg-London-New York-Oxford-Paris-San Diego-San Francisco-Singapore-Sydney-Tokyo 2004.
4. Kołowrocki K., Asymptotic Approach to System Reliability Analysis. Mono-graph, System Research Institute, Polish Academy of Sciences, Warsaw 2001.
Recenzenci
dr hab. inż. Roman Śmierzchalski, prof. AM w Gdyni prof. dr hab. inż. Krzysztof Chwesiuk
Adres Autorów
prof. dr hab. Krzysztof Kołowrocki 1
mgr Joanna Soszyńska 2
Akademia Morska w Gdyni Katedra Matematyki ul. Morska 81-87 81-225 Gdynia
1 katmatkk@am.gdynia.pl 2 joannas@am.gdynia.pl
