Verslag van de studie van de bewegingen van een schip op zee

§1,

[ 1 ]

I n l e i d i n g .

De bestudeerde l i t e r a t u u r omvat de volgende a r t i k e l e n : G.G. Maiming [2] G. V^einblum en tó.St. Denis B u i l en Baker [ 5 ] P r o f . G. Vedeler [ 6 1

in

1 "The P<lotion o f Ships Miong Vïaves" u i t " P r i n c i p l e s o f Naval Arch." door

R o s s e l l and Chapmaii.

j"On the Motions of Ships a t 3ea". S.K.A.M.E. 1950.

:"0n Sustained Sea Speed". S.K.l.M.E. 1951. :"The Measurement and Recording o f the

Forces a c t i n g on a Ship a t Sea", ( g e d e e l t e l i j k ) . T.I.fi.A. 1949¬ »Introductory Report and Remarks on

Seegoing qgaalities of Ships.

S i x t h I n t e m a t i o n a l Gonference o f Ship Tank Superintendents.

«Brief aan P r o f . I r J.V/. Bonebakker dd. 26 Mei 1952.

!De Algemene Bewegingsvergelijkingen van een v l i e g t u i g .

TJit het d i c t a a t VI i e g e i gen schappen.

Van t l ] i s een v e r t a l i n g aanwezig. Van J 2 ] een v e r t a l i n g en een a a n t a l fotooopieën. Van [ 3 ] één f o t o c o p i e . Van [41 en [ 5 ] worden u i t -t r e k s e l s gemaak-t. De b r i e f van P r o f , Vedeler [ 6 ] b e v i n d -t z i c h i n h e -t a r c h i e f . Van [ 7 J i s een exemplaar aanwezig en nog een aanted erop volgende gedeelten u i t h e t z e l f d e d i c t a a t .

De waarde van deze a r t i k e l e i i voor ons werk i s v e r s c h i l l e n d . A r t i k e l l l ] g e e f t een goed o v e r z i c h t van de voor I940 g e b r u i k e l i j k e methode om h e t probleem aan t e pakken. De zeegang en de bewegingen van het s c h i p worden t e v e e l { j e i d e a l i s e e r d . De grootheden i n de v e r g e l i j k i n g e n worden zoveel m o g e l i j k betrokken op de ontmoetings-periode eu de eigen ontmoetings-periode v a n de beweging. D i t g e e f t een verwrongen beeld van wat er gebeurt. De k w e s t i e van h e t meebewegend water wordt verkeerd aangepakt. Het a r t i k e l i s voor ons werk vaui w e i n i g belang en wordt daarom ook verder n i e t besproken.

De o v e r i g e p u b l i c a t i e s z i j n van veel meer belang, met u i t z o n d e -r i n g van [ 4 ] . Z i j z u l l e n v e -r s c h i l l e n d e ke-ren i n het v e -r s l a g t e -r sp-rake komen.

Om z i c h een j u i s t beeld t e kunnen vormen van de gedaante der b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n i s h e t n o o d z a k e l i j k de algemene bewegingsver-g e l i j k i n bewegingsver-g van een s t a r lichaam a f t e l e i d e n . H i e r t o e worden e e r s t de t e gebruiken a s s e n s t e l s e l s g e d e f i n i e e r d .

^ D e f i n i t i e van de t e gebmiken aasenatelaela,

Oodat h e t h i e r een sohip b e t r e f t , warden de t e gebruiken assen-s t e l assen-s e l assen-s en coördinaten a l assen-s v o l g t gekozent *

/

\

\

\

1e* Een orthogonaal, r e c h t s d r a a i e n d a s s e n s t e l s e l , v a s t l i g g e n d i n de r u i m t e geddetisoh a s s e n s t e l s e l . De oorsprong Og l i g t i n h e t ongestoorde wateroppervlak. OgXg i s h o r i z o n t a a l en J. op de g o l f -t o p l i j n . OgYg i s h o r i z o n -t a a l en / / aan de g o l f -t o p l i j n . OgZg i a v e r t i c a a l naar beneden g e r i c h t .

A l l a punten i i i de m i m t e worden t e n opzichte van h e t geodetisch a s s e n s t e l s e l vastgelegd met de coördinaten X »Tg,Z_, behalve de coördinaten van de oorsprong 0. l . '

2e. Een orthogonaal r e c h t s d r a a i e n d a s s e n s t e l s e l X'Y*Z< met z i j n oor-sprong gelegen i n een zeker punt van h e t sohip en met z i j n assen // aan d i e van h e t assenstdsel X^-YgZg. De oorsprong O l i g t i n h e t

s n i j p u n t van 5 vlakken n a m e l i j k n e t middenlangavlak, h e t v l a k van de l a s t l i j n en h e t dwarsscheepse v l a k , gelegen op de h a l v e l e n g t e tussen de l o o d l i j n e n . O wordt t e n opzichte van h e t geodetisch a s s e n s t e l s e l vastgelegd met de coördinaten Xg, yg, Zg. Aangenomem wordt d a t h e t gewichtsawaartepunt Q van h e t s c h i p i n O l i g t .

3e. Een orthogonaal r e c h t s d r a a i e n d a s s e n s t e l s e l XYZ met z i j n oorsprong eveneens i n 0. De assen bewegsn met h e t sohip mee.

De p o s i t i e v e X-as l i g t i n h e t middenlangevlak, / / aan de b a s i s l i j n en l s nasr voren g e r i c h t . De p o s i t i e v e Y-as s t a a t ± op h e t middiMH-l a n g s v middiMH-l a k en middiMH-l s naar stuurboord g e r i c h t . De p o s i t i e v e Z-as middiMH-l i g t l n h e t middenlangevlak, s t a a t X op de X-as en i s naar beneden g e r i c h t .

De coördinaten van een punt worden t . o . v . d i t a s s e n s t e l s e l door x,y,z, de coördinaten van h e t huidoppervlak door Xg, yg, Zg, gegeven.

De p o s i t i e van h e t a s s e n s t e l s e l XYZ (en dus van h e t s o h i p ) wordt ten o p z i c h t e vfu-i h e t a s s e n s t e l s e l X*Y*Z' gegeven door de hoeken van E u l e r .

draaien over de hoeken 9 (om de Z-as), (om de Y-as) sn 9 (om de X-as). De Z-as (Zg, Z' en Z) wordt steeds naar heneden p o s i t i e f genomen. D i t i s een gevolg van het f e i t dat de a s s e n s t e l s e l s a l s r e c h t s d r a a i e n d g e d e f i -n i e e r d z i j -n . A l l e groothede-n d i e hiermede t e make-n hebbe-n, worde-n ook r e c h t s d r a a i e n d a l a p o a i t i e f g e d e f i n i e e r d . I n [ 2 ] en [ 5 ] wordt de Z-as naar boven p o s i t i e f genomen, dus een l i n k s d r a a i e n d a s s e n s t e l s e l aange-nomen, t e r w i j l tooh de genoemde grootheden r e c h t s d r a a i e n d a l s p o a i t i e f worden gemeten. I n andere l i t e r a t u u r v i n d t men wel de Z-as naar beneden p o s i t i e f .

Het i s consequent om een r e c h t s d r a a i e n d a s s e n s t e l s e l aan t e nemen, daarom i s d i t h i e r ook gedaan.

5. De algemene bewegingsvergelijkinf^ van een s t a r l i <

De beweging van h e t liohaam wordt beschreven met behulp van de componenten van de l i n e a i r e s n e l h e i d en v e r s n e l l i n g van het zwaarte-pixnt l a n g s , en de hoeksnslheid en - v e r s n e l l i n g om de X-, Y- en Z-as.

u - s n e l h e i d van het zwaartepunt langs de X-as.

; r» II tt tt fl lt y_nB.

w - " w M II If II z-as. = hoeksnelheid van h e t liohaam om de X-as.

tl H

I n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n b l i j k e n n a a s t de hoeksnelSHden om de meebewegende a s s e n w^, ««Jy en»*'^ ook nog de hoeken *,^(p en © voor t e komen. Tussen <^2> '*^y '*^z hoeksnelheden Q, ^ en ^ besteiat een k i n e m a t i s o h verband, a l s a f g e l e i d i n C7J .

4.

Teng«T0lf« TKI d« beweging yuxi h e t liohaam, b e z i t een punt met coördinaten x,y,z op e«i bepaald ogenblik een s n e l h e i d v en een v e r s n e l -l i n g a t e n o p z i c h t e van de aarde (geodetisch a s s e n a t e -l s e -l ) . De compo-nenten h i e r v a n z i j n ; langs de X-as de Y-as " de Z-as de Y-as j Sy rx en Vg en a. De beweging van het punt kan i n d i e van h e t zwaartepunt worden u i t g e d r u k t . Vx - u + Z.W y - y.w; a Vy - V + X.Wg - Z.lA^Jf Vg - w + y.<A;^ - x.wjy Stx h i e r u i t v o l g t i *x I I

ax - u + Vg.Wy - Vy.Wg + z.Wy - y.lOg _{y 'y «} - V • r^,u} 2 - Va.4üx + x. cu

a; - ^ + v y . ^ x

y

5 ~ '^•'*'x Vx.«A)y + y.U,^ - x.di y

I n v u l l e n van v^, Vy en v^ i n a^^, ay en az l e v e r t t

Ox = u - y.^a - v.w^ + z.J)y + v/.Uy - x(wy2 + y.Wx.Wy + z.Wx*<'z(7) = y - z,<ij^ - w.w,^ + x.w^ + u.W^ - yiu}^^ +u^x^) + ^-WyW^ + x.Wx.tUy ( 8 ) a^ - w - x.ttiy - u,uly + y.<i^ + v.i*)x - z(wx^ +Wy^) + ^.tü^.wx + ^'**^r'*^z im worden i n £5J eveneens u i t d r u k k i n g e n feegeven voor ax,ay en Sg.

Deze wijken a f van d i e h i o r a f g e l e i d z i j n . D i t v e r s c h i l komt w a a r s c h i j n -l i j k doordat men daar n i e t de hoeken van Ba-ler g e b r u i k t ,

..'elke hoeken mrni wel neemt, wordt n i e t vermeld.

De bewegingsvergelijkingen worden opgesteld met behulp van de wet van riewtoni Icracht r/aarinj impuls e.- X ( 1 0 ) en moment - massa x s n s l h e i d . d(impulsmoment) d T b i j d T " ( 1 1 )

I Impulsmomsnt - massa x s n s l h e i d x a f s t s n d van massa t o t de as ( v s o t o r i e e l ) .

van Newton over i n i

k r a c h t = massa x v e r s n e l l i n g f l 2 ) moment = massa x v e r s n e l l i a i g x a f s t a n d van massa t o t de as ( l 3 )

( v s o t o r i e e l ) Men kan nu de bewegiugsvergelijkingeu zowel a f l e i d e n v i a de v e r g e l i j -kingen ( 1 0 ) en ( 1 1 ) , a l a v i a de v e r g e l i j k i n g e n ( 1 2 ) en ( 1 3 ) .

c.oemen w i j ;

Resulterende kraoht langs X-as =» Fy^^ Resulterend moment om de X-as = M^t " " " Y-as - Pyt " " " " Y-as = Myt " " " Z-aa - Pat " " " " Z-as - M^t dan l e v e r t de wet va/i Newton ( v e r g e l i j k i n ^ ^ e n ( 1 2 ) en ( 1 3 ) } v o o r een massa s l s m s n t j s u i t h s t l i o h a a a i Fxt-/»x*<ira (14' P y t - ; a y . d m (15, P a t - / 4 . d " ' ( 1 ^ ! Mxt - Siy-^z - z-ay).dm (17, Myt = / ( ^ . a x - x.az).d« (10, M*zt = ;(3C.ay - y.ax).dm ( 1 9 )

I n bovenstaande v e r g e l i j k i n g e n worden a^, ay en a^ i n g e v u l d . I n d i e n w i j nu bedenke»; dat /x.dm = ƒy.dm • /z.dm = O, omdat de o o r -sprong van h e t a s s e n s t e l s e l i n h e t zwaartepunt l i g t sn verder dat per d e f i n i t i e :

l x = Siy^ + z2).dm , I y = / ( z ? + x2).dm , I ^ = / ( x ^ + y2).dm lyz = i y-^-^'^ » I z x - J z ' ^ ' d m , I x y - Jx.y.dm

dan gaai' de v e r g e l i j k i n g e n over i n i

Pxt = m(ü + w.Wy - v.iOg^ ( 2 0 ) T?yt = ïf(y + u.Wg - VMix) (21^ Pat = m(w + v.Wx - u.Wy)

Mxt - Ix.V(lz-Iy)-Wy.'-a-Izx('^z4-«x.Wy>Iya(Wz - i J 2^ (23

Myt • Iy-«y+ l y - I z -Wz-Wx-IxyC^x+^y-w. + I z x U x 5 - " 4 ~ ^ y 4 ^ Mat - Iz.'-z+(ly-Ix).«^r.«^y-Iy2('^.y+«z."x)+W(V-"'f )-^«("-x-V (25.

Indiër nu do X-as, Y-as en Z-as hoofdassen van h e t liohaam z i j n dan g e l d t l y a - I z x =* I x y - 0. Dan l u i d e n de v e r g e l i j k i n g e n i

Pxt =• m(u + w.w^ - v.w^) ( 2 6 ) P_yt = ra(v + u.«J'^ - w.«-x) (2?;

F ^ t = i;r(7/ + v.«x - '^'*^Y) (28

Mxt = Ix-«x + (ï:, - Iy1.'^y.<^z ( 2 9 ' '•'vl-. - ' - I^-' -«^z-^x ( 5 " Ki = I z - ^ z + ( T y - Ix)."x-«-y ( 5 1 )

I n d i e n w i j voor de a f l e i d i n g van de v e r g e l i j k i n g e n waren u i t g e -gaan van ( 1 0 ) en ( 1 1 ) , dan zouden w i j u i t e r a a r d h e t z e l f d e r e s u l t a a t verkregen hebben. Het i a dan n i e t n o d i g om de v e r s n e l l i n g e n ( v e r g l , a ( 4 ) t/m ( 1 1 ) ) op t e s c h r i j v e n , maar wel de impuls i n 3 r i c h t i n g e n

en het impulsmoment om 3 asssn. Differentiëren van impuls sn i m p u l s -moment naar de t i j d l e v e r t dan de 6 b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n .

6„

^ 4 . De algemene b e w a g i n g a v e r g e l i j k i n g betrokken op h e t s o h i p .

I n de voorgaande paragraaf werd de algemene b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g voor een s t a r lichaam a f g e l e i d .

De massa van h e t liohaam en ook de l i g g i n g v«ui h e t zwaartepunt lagen h i e r b i j ondubbelzinnig v a a t . B i j een schip hebben w i j e c h t e r , behalve met de massa vaii h e t aohip, ook t e maken met de massa vaui h e t meebewegend water.

Het i s i n de l i t e r a t u u r g e b r u i k e l i j k de i n v l o e d h i e r v a n op de maasa van het schip t e v e r d i s c o n t e r e n i n een grootheid» v i r t u e l e massa (massatraagheidamoment) vaïi het meebewegend water. De w i j z e waarop deze g r o o t h e i d i n de bewegingsvergelijkingen i n rekening wordt gebracht i a a l s v o l g t j

Men beschouwt één beweging van h e t s c h i p , b.v. dompen, met de v e r o n d e r s t e l l i n g dat a l l e andere bewegingen afwezig z i j n . Men h e e f t dan a l l e e n t e maken met de v e r a n e l l i n g van h e t zwaartepunt langs de Z-as. A l l e andere v e r s n e l l i n g e n worden g e l i j k aan n u l o n d e r a t e l d .

Nu wordt K - m.a. toegepast. H i s r i n i s m samengesteld u i t twee gedeelten, t e weteni de massa van h e t sohip z e l f en de v i r t u e l e maasa. De massa van h e t aohip h e e f t de v e r s n e l l i n g van h e t s c h i p . De v e r s n e l l i n g van de v i r t u e l e massa i s g e l i j k aan de r e l a t i e v e v e r a n e l l i n g van h e t schip t e n o p z i c h t e van h e t water.

Dezelfde werkwijze wordt toegepast voor de o v e r i g e t r a n a l e t i e s ; voor de r o t a t i e s svsnsens, maar dan mst toepaasing van de wet i

Moment «. traagheidamoment x h o e k v e r a n e l l i n g . H i e r b i j behoeft dus n i e t geïntegreerd t e worden over de massa. Noch de v i r t u e l e massa, noch h e t traaglieidsmoment van de v i r t u e l e massa leggen m o e i l i j k h e d e n i n de weg b i j deze vereenvoudigde v o o r s t e l l i n g .

Dat i s b i j de a f l e i d i n g d i e w i j volgden wel h e t g e v a l . D a a r b i j wordt n a m e l i j k geïntegreerd over de massa{(vergln (14) t/m (19) ) en deze i s v e r s c h i l l e n d i n d r i e r i c h t i n g e n , omdat de v i r t u e l e massa i n d r i e r i c h t i n g e n v e r s c h i l l e n d i s .

De massatraagheidsmomenten van aohip èn v i r t u e l e maaaa z i j n beiden v e r s c h i l l e n d om de d r i e assen en dat i a dus op z i c h geen c o m p l i -c a t i e , i n v e r g e l i j k i n g t o t de a f l e i d i n g voor h e t s t a r r e li-chaam.

De i n v l o e d van het meebewegend water kan i n de door ona gevolgde a f l e i d i n g op twee manieren aangepakt worden:

l e . De i n v l o e d van h e t meebewegend water onderbrengen i n P en M. Dan kan de a f l e i d i n g u i t } 5 zonder meer voor h e t achip gehandhaafd b l i j v e n . Voor zover bekend i a d i t n o o i t gedaan; w a a r s c h i j n -l i j k i s h e t vraagstuk t e m o e i -l i j k om het op deze w i j z e t e benaderen.

2e. Vasthouden aan de g e b r u i k e l i j k e v o o r a t e l l i n g a w i j z e omtrent v i r t u e l e maaaa en de algemene bewegingavergelijkingen a f l e i d e n voor h e t

s p e c i a l e geval dat de massa i n d r i e r i c h t i n g e n v e r s c h i l l e n d i a . D i t l a a t a t e i a m o g e l i j k i n d i e n vooraf enige o n d e r a t e l l i n g e n ge-maaict vïorden. W i j gaan h i e r b i j u i t van de algemene v e r g l n . ( l o ) en ( l l ) en n i e t van de v e r g l n (12) en ( i j ) zoala i n f 5.

De v i r t u e l e maaaa h e e f t de r e l a t i e v e v e r s n e l l i n g van h e t achip t e n o p z i c h t e van h e t water. Hiermede wordt v o o r l o p i g geen r e k e n i n g ge-houden. L a t e r z u l l e n w i j t r a c h t e n d i t ala nog t e doen. Aangenomen wordt, dat de v i r t u e l e massa de v e r a n e l l i n g van h e t aohip z e l f h e e f t .

d i e besproken moet wordan, n l . de l i g g i n g van het zwaartepunt.

Het zwaartepunt van het a c h i p l i g t o n d u b b e l z i n n i g v a a t . Doordat de, i n d r i e r i c h t i n g e n v e r s c l i i l l e n d e , v i r t u e l e masaa e r b i j komt h e e f t het s c h i p nu voor de 3 r J o h t i n g e n een v e r a o h i l l e n d zwaartepunt, en wel l a g e r gelegen dan het zwaartepunt van h e t aohip z e l f . D i t k l o p t dua wel met de aanname dat het zwaartepunt i n liet v l a k van de l a s t l i j n l i g t , dat i s v e e l a l l a g e r dan de p o s i t i e van het gewiohtszwaartepunt van h a t a c h i p z e l f .

Wij nemen nu aan, dat het zwaa.rtepunt van s c h i p + v i r t u e l e massa voor de d r i e r i c h t i n g e r i n h e t z e l f d e punt gelagen i a en wel i n 0.

Verder dat de r o t a t i e a s t e e d s om d i t punt p i a n t a v i n d e n .

§ 5. A f l e i d i n g vat^ de alge"'e.ne b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g voor h e t s c h i p . Teng*v»lfe r a n de beweging van het sohip b e z i t een punt mat coördinaten x, y, x op een bepaald o g e n b l i k een s n e l h e i d v t e n o p z i c h t e van h e t g e o d e t i s c h a s s e n s t e l s e l , waarvan de oomponenten aijn»

l a n g a de X-aa

" Y-as Vy " " Z-aa Vz

De bsweging van h e t punt kan i n d i e van en om het zwaartepunt worden u i t g e d r u J t t :

Vy = u + z.Wy - y.Wj, ( 1 ) = V + x.Wg - z.w^ ( 2 ) Va = w + y.fcbc - ^.«»»y ( 5 )

'.Vij s c h r i j v e n nu op de impuls l a n g s de X-aa, Y-as en Z-aa en h e t impuls'noment om deze d r i e asfjeni

Per d e f i n i t i e breidt:

y2).dra

Deze grootheden hebben nu b e t r e k k i n g op sohip + v i r t u e l e massa* De v e r g e l i j k i n g e n (32) t/m (37) g*an h i e r d o o r over i n :

Nu wordt de wet ran Newton i n z i j n algemene gedaante t o e g e p a s t . k r a c h t . iÜïïEEisi _{( 1 0 ) •nt -} d(impulsmoment) d t ( 1 1 ) D i t g e a f t i P x t = u,Jdm -fWy.Sg dS , 5. _w ^ dt z-^y dS dt ( 4 4 ) Pyt = v j d m +'*'z-dS «-X-S:-. dt dS z dt ( 4 5 ) dS , d t y ^ x dS X ( 4 6 ) . dS„ . d3. + w,3y + w, ^ - ;,33 - V, - j f ( 4 7 ) t d l , d l , d l ^ V ^ y T i " ^ y ^ z . T f '«'c.ixy «x d f -dS , -dS + u.S^ + ^- " d t - ''^-Sx - " d t (^Ö) d l , cil . d l z T m ^ zx t . yz «zt = ^ - i z - T f - ^ - i - -"x. - d f - ^ - V . -•'y - d f ^ t dS^ . dS + ^-^x ^- " d t - ^ - ^ y - ^- " d t ( 4 9 ) Omdat de oorsprong van het a s s e n a t e l s e l in het zwaartepunt l i g t , g e l d t

Sx " Sy = = O,

V e r r l e r ' g e l d t dat l y g - I ^ y - O omdat het s c h i p symmetrisch i s t.o,v, het middenlangsvlak. O n d e r s t e l l e n v/iJ v e r d e r dat h e t s o h i p , wat b e t r e f t de m a s s a v e r d e l i n g , ook symmetrisch i s t,o,v. h e t dwarsscheepse v l a k door O daji g e l d t nog I^x = O,

Dar gaaji de v e r g e l i j k i n g e n ( 4 4 ) t/m ( 4 9 ) over i n j

( 5 0 ) Py, - v,Jdm+«)^. (51) F z t = dS dS z dS dt z dt dS dS X _{_w . z} dt X dt dS dS - J C _{- w.} X dt • y dt

" x t •CO .1 _{X X} /! i X dt y dt z* d l ZX dt dS * " d t - V, ^^z dt ( 5 3 ) M =w .1 y y y d l Z d l - A':. d l ^ y dS z ^^X _{( 5 4 )} y t =w .1 y y y dt Z dt X dt ^* " d t -V,'. _dt ( 5 4 ) »zt =w .1 z z d l z dt d l dt -w . y d l . y? dt dS X ^ ^ " d t -u. dS ( 5 5 ) W i j bar«k«nen nui d l " d f "

l^^'^'

= ƒ yz.dm - ƒ ( y . v ^ + z,v^)dm = w Jydni +w^Jy''.dm -«^Jxydm +

+ v/zdm +«"„fzxdm -W /z^.dm = w.S +w ( l - I ) -w ,1 + j 7.} xj y r'' 7. yl y* x y + V.S = u j ( i _ I ) ( 5 9 ) z z ZX x^ 7, y ' ^•'^1 Analoog» d l d t d t ° "^j^*^ • j ^ ^ ' ^ X ^ - " ^ 2 ) ^ ^ - " y( l x - I , ) ( 6 0 ) = J x y d m - J ( x. V y + y . v ^ ) d m - w^ ( l y - I ^ ) ( 6 1 )

10.

VerderI d3

dm

= u |dra +'»>y.S2 - ^ z ' ^ y = u|dm (62)

Ari a l oogt

= Jy-t^'» = Jvy.dm = V ƒ dm (63)

'.Vij gaan nu over op de volgende notatie» maasa van h e t schip z e l f + v i r t u i meebewegend water i n de X - r i c h t i n g ,

m . « m + m =1 massa van h e t schip z e l f + v i r t u e l e massa van het

x t X Zo ook» m . = m + m y t y m. . = ro + m z t z Wij kunnen nu sclirijven»

V ƒ dm = ''^yf ''^ vjdia = w j d m = fflgt** » v/Jdm = ^ y - t * " din = m j. ,ü . u fdm = m , .u x t ^ ^ ^ x t V J dm = m , .V , f ' ' , y t •» y t

Omdat de traagheidsmomenteii b e t r e k k i n g hebben op schip + v i r t u e l e massa vervangen w i j I door I ^ t enz., zodat I ^ t - + ^xx = maaaa^ traagheidsmoment van net schip z e l f + traagheidsmoment van de v i r t u e l e aaaaa on de X-aa. Zo ook: ^ y t = V ^yy ^ z t = ^zz De u i t d r u k k i n g e n (56) t/m {61) worden nu i n g e v u l d i n de v e r g e l i j k i n g e n (50) t/m ( 5 3 ) : ^ x t = ^xt-V + '^7t.''^-'»»y - inyt.v.uig (65J

Fyt = myt-Y + myt.u.uJz - m^f^.^^x (66

^7,t = ™ z f " + «"yt-v.Wx - mxt-a.w (67,

Mxt = I x t ' ^ X + C l z t - I y t ) ' ^ y ^ Z * ("yt " " ' z t ) ' ^ - ' ^'yt - T y t ' ^ y + ( l x t - l z t ) - * * ' z - ' * J x + (™zt - "xt)-^«*

'•'zt = I z t - * ^ z + ( l y t - I x t ) ' W x ' U J y + (m^, - rayt).u,v (70

D i t z i j n dus de algemene bewegingavergelijkingen voor een lichaam dat i i l 3 r i c h t i n g e n een v e r a o h i l l e n d e massa h e e f t , dus van toepassing op h e t s c h i p .

I n d i e n w i j deze v e r g e l i j k i n g e n hadden a f g e l e i d met de wet van newton volgens (12) en (13) dan zouden w i j de termen

( o y t - OztJ'V.w (m^t - nijjt)«U'W

D i t z i j n de termen d i e A. Gray ook a f l e i d t i n ••Gyroatatios and

R o t a t i o n a l Motion", London 1918, P \M<i • ^ 6 . Con f r o n t a t i e v-ar' hetgeen i n de l i t e r a t u u r ^^rebruikeli j k i a . met

de a f l e i d i n g u i t de v o r i g e paragrafen.

iNa de a f l e i d i n g i n par. 5» waardoor w i j weteji hoe de beweginga-v e r g e l i j k i n g er w e r k e l i j k behoort u i t t e z i e n , kan het i n obeweginga-verweging genomen u'ordeii om die termen u i t de v e r g e l i j k i n g e n (65) t/m (70), d i e produoton van anelheden bevatten, te achrappen. D i t kaji b.v. nodig z i j n omdat w i j de l i n e a i r e a.nelheden van het zwaartepunt n i e t kunnen meten. Deze termen z i j n een orde van g r o o t t e k l e i n e r dan de termen d i e een v e r s n y l l i n g bevatten.

Doen w i j d i t , dan z i e n de v e r g e l i j k i n g e n (65) t/ra (70) er a l s v o l g t u i t :

^ x t = \t'^ (^^) V = V - ^ ^^'^ ^ z t - ^ t • ^ ^^5) «xt = htA ^74) = I y , . a , y (75) = I g t - i l ) , (76)

Met wordt bedoeld de t o t a l e kracht langa een aa, bestaande u i t i opwekkende k r a c h t , h e r s t e l l e n d e k r a c h t , deapende kraoht sn krachten a l s gevolg van de koppeling der bewegingen. Idem met M f

Het i a onze bedoeling om, ondanks a l l e verwaarlozingen, d i e miüachien n o o d z a k e l i j k z i j n , de bewegingen op exacte grondslag t e beschouweii, dus langs en om de bewegende assen OX, OY en OZ, met de s n e l -heden en v e r s n e l l i n g e n langs en ora deze assen. En ook, voorzover nodig, raet a l l e krachten en momenten ontbonden langs deze assen. Door d i t

laatsLe worden de bewegingen n i e t a l s o n a f h a n k e l i j k van elkaar

be-schouwd, want i n dat geval zou iedere v e r g e l i j k i n g s l e c h t s één v a r i a b e l e onbekende mogen bevatten.

Wij volger, deze methode omdat w i j o n d e r s t e l l e n d a t meerdere bewegingen g e l i j k t i j d i g aanwezig z i j n . Om deze reden werden ook de a s s e n s t e l s e l s zo scherp g e d e f i n i e e r d .

De methode i s zo exact m o g e l i j k ; l a a t ons zien welke termen i n de v e r g e l i j k i n g e n horen en welke n i e t ; geeft ondubbelzinnig aan hoe hoeken, hoeksnelheden en - v e r s n e l l i n g e n gemeten moeten worden, en b i e d t ons de m o g e l i j k h e i d om verwaarloosde termen op de j u i a t e w i j z e i n de v e r g e l i j k i n g e n t e brengen.

I n [ 2 ] en [ j J doet men h e t volgende: Er wordt een coördinaten-s t e l coördinaten-s e l XYZ g e d e f i n i e e r d , coördinaten-samenvallend met de hoofdacoördinaten-scoördinaten-sen van het achip. D i t a a s e n s t e l s e l beweegt met het schip mee. Het a s s e n s t e l s e l XgY Z_ wordt ook vermeld i n [5] .

De bewegingen worden a l a o n a f h a n k e l i j k van e l k a a r beschouwd, dus één t e g e l i j k i n afwezigheid van a l l e anderen. B.v. een s l i n g e r e n d schip ( r o t a t i e om de X-as) h e e f t een u i t w i j k i n g 9. B i j deze bev/eging b l i j f t de X-as nu volkomen op z i j n p l a a t s . Men behoeft nu geen assen-s t e l assen-s e l X'Y'Z' t e definiëren, om t e weten dat 9 de hoekverdrassen-swiiing vai dfl X-as u i t de r e c h t e stand i s . De hoeksnelheidsvector d'p/dt v a l t langs de X-as en i s g e l i j k &anüdj^; de h o e k v e r s n e l l i n g s v e c t o r i^<f/it^ v a l t even-eena langs de X-as en i s g e l i j k aanw^. Producten veui snelheden komen n i e t t e r sprake want men past simpelweg de wet toet moment » massatreiagheids-raoment x h o e k v e r a n e l l i n g , en v a n u i t deze beschouwingswijze geredeneerd weet men n i e t dat termen d i e producten van anelheden bevatten, v e r -waarloosd z i j n . Bn deze behoren toch wel i n de v e r g e l i j k i n g voor t e

komen o f op z'n minst behoort men t e weten dat er d e r g e l i j k e termen z i j n , want s l i n g e r e n a l l e e n komt n o o i t voor.

Verder worden de krachten en momenten tengevolge van de koppe-l i n g der bewegingen verwaarkoppe-loosd. Dus z i j n de krachten en momenten waarmede wel rekening wordt gehouden a l l e e n een f u n c t i e van 9. De d i f f e r e n t i a a l - v e r g e l i j k i n g bevat a l l e e n deze onbekende.

Hetzelfde g e l d t b i j de beschouwing van a l l e e n starapen (om de s t i l s t a a n d e Y-as) en g i e r e n (ora de s t i l s t a a n d e Z-as).

Treden echter de d r i e r o t a t i e s g e l i j k t i j d i g op, dan i a h e t n i e t zonder meer d u i d e l i j k hoe de hoeken gemeten moeten worden en het i s dua nodig h i e r o m t r e n t een afspraak t e maken.

Wij doen dat door de hoeken van Kuier t e nemen. Dan v a l t , b i j d r i e r o t a t i e s g e l i j k t i j d i g , de v e c t o r tp nog wel langs de X-as (dus samen meti^J^), maar 4- en è v a l l e n nu n i e t meer langa de Y-aa, reapec-t i e v e l i j k Z-as.

D i t geval (3 r o t a t i e s g e l i j k t i j d i g ) wordt i n[ ï ] en [3] n i e t be-schouwd en er wordt ook n i e t vermeld hoe dan de coördinaten gemeten laoeten worden. I n [ 3 ] worden dompen en stampen samen bekeken, maar ook dan bestaat er geen t w i j f e l omtrent de w i j z e waarop de ataraphoek gemeten moet worden.

Uoe de coördinaten van het zwaartepunt Xg, yg en Zg genomen moeten worden i s zonder meer d u i d e l i j k , ook i n d i e n de d r i e t r a n a l a t i e a g e l i j k t i j d i g optreden. A l l e e n moeten dan de anelheden en v e r a n e l l i n g e n langa de bewegende X-as, Y-as en Z-aa gemeten «orden.

Het principiële v e r a c h i l i a dus het volgende: Wij gaan u i t van h e t algemene g e v a l , komen t o t de v e r g l . (65) t/m (70) en na even-t u e e l een a a n even-t a l verwaarlozingen even-t o even-t (71) t/m (76). Wij o n d e r a t e l l e n Pt en Mt n i e t a l s a l l e e n a f h a n k e l i j k van de v a r i a b e l e d i e i n de e e r s t e , eventueel enige, v e r a n e l l i n g s t e r m voorkomt,

I n [ 2 ] en [ 3 ] wordt er van uit^^egaan dat de bewegingen onafhan-k e l i j onafhan-k van e l onafhan-k a a r optreden, één i n afwezigheid van a l l e anderen, de bewegingsvergelijkingen worden opgesteld en deze z i j n van dezelfde c o n s t r u c t i e a l s ( 7 I ) t/m ( 7 6 ) . Echter weet men dan n i e t hoe de d i v e r s e v a r i a b e l e n gemeten moeten worden a l s meerdere bewegingen g e l i j k t i j d i g optreden, Pt en Mt worden o n d e r s t e l d a l l e e n a f h a n k e l i j k t e z i j n van de enige v a i i a b e l e , d i e i n de v e r s n e l l i n g s t e r m voorkomt,

I n [ 2 ] en [ 3 ] worden dus v e r g e l i j k i n g e n verkregen, d i e e l k één v a r i a b e l e bevatten, en h i e r d o o r z i j n z i j oplosbaar.

Het oplosbaar z i j n van de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n wordt door de s c h r i j v e r s a l s e s s e n t i e e l beachouwd. Z i j s i g n a l e r e n wel termen als gevolg van de k o p p e l i n g der bewegingen, d i e e i g e n l i j k i n de verge-l i j k i n g e n opgenomen moeten worden, maar z i j doen dat n i e t , want dan be-v a t t e n de be-v e r g e l i j k i n g e n meer dan een be-v a r i a b e l e ,

I n f3 ] wordt behandeld het geval dat het schip dompt en stampt i n r e c h t inkomende zeegang. D i t i s ook weer een t y p i s c h voorbeeld van het o n a f h a n k e l i j k en l i n e a i r houden der v e r g e l i j k i n g e n ,

Wu s t e l l e n w i j ons voor op zee t e meten. Dan t r e d e n a l l e bewe-gingen g e l i j k t i j d i g op. Wij moeten dus de 6 bewegingsvergelijkingen zodajdg o p s t e l l e n , dat hlle verklarende v a r i a b e l e n e r i n voorkomen. Slechts dan mogen w i j hopen op enige overeenstemming tussen t h e o r i e en p r a k t i j k . D i t betekent, dat oplossen van de v e r g e l i j k i n g e n n i e t meer m o g e l i j k i s o f i n i e d e r geval e m s t i g b e m o e i l i j k t wordt. Echter z u l l e n wi t r a c h t e n de m e e t r e s u l t a t e n t e verwerken met behulp v ^ de c o r r e l a t i e r e k e n i n g , zoals i n een vroeger r a p p o r t i s u i t e e n g e z e t . W i j gaan d a a r b i j u i t van de v e r g e l i j k i n g e n z e l f en n i e t van de o p l o s s i n g . Het i a dus voor ons n i e t n o d i g om verklarende v a r i a b e l e n t e weren, opdat de verga-l i j k i n g e n opverga-losbaar z i j n .

Wat b e t r e f t de a f l e i d i n g van de algemene bewegingavergl. nog het volgende. I n ^ 7 ] geschiedt d i t voor het v l i e g t u i g . Vedeler g e e f t i n [^1 een a a n t a l termen d i e erop w i j z e n , dat h i j de a f l e i d i n g ook voor h e t achip gevonden h e e f t en g e e f t deze g e d e e l t e l i j k i n j^ól .

^ 7. Opaomming en beapreking van de k r a c h t e n en momenten d i e op het achip werken.

De krachten en momenten d i e op h e t achip werken z i j n : l e . Opwekkende en h e r a t e l l e n d e krachten en momenten.

2e. Dempende krachten en momenten. 3e. Traagheidakrachten en momenten.

4e. Krachten en momenten a l a gevolg van de k o p p e l i n g der bewegingen. B i j de berekening van de opwekkende k r a c h t e n (en momenten) wordt g e b r u i k gemaakt van de Proude-Krylov-hypotheae ( z i e ook t2j , b l z , 6 ) , hetgeen op het volgende neerkomt:

Hydrodynamiache werkingen kunnen verwaarlooad worden i n verge-l i j k i n g t o t h y d r o a t a t i a c h e werkingen.

Door de aanwezigheid van het achip verandert de d r u k v e r d e l i n g i n de g o l f n i e t .

De exacte methode voor h e t berekenen van de h y d r o a t a t i a c h e k r a c h t e n i a een volkomen w i l l e k e u r i g e atand van het achip t e onder-a t e l l e n met coördinonder-aten vonder-an het zwonder-aonder-artepunt X g , y™, Zo. en hoeken O, en cp. 6 K 6

I n deze atsnd een s t i l a t a a n d e g o l f op het aohip t e l a t e n werken en dan berekenen hoe g r o o t de zo ontatane h y d r o a t a t i a c h e k r a c h t e n en momenten z i j n .

D i t wordt echter t e i n g e w i k k e l d , I n de l i t e r a t u u r v i n d t men dar ook v e e l a l de g r o o t t e van deze krachten en momenten a f g e l e i d voor het optreden van e l k e beweging a f z o n d e r l i j k . Hierop komen w i j nader t e r u g .

Dempende k r a c h t e n .

De demping d i e een i n water bewegend achip o n d e r v i n d t i a h e t gevolg van: wrijvingaweeratand over het nat oppervlak, wervelweer-atand en golfopwekking.

De i n v l o e d van de eerate term kan u i t g e d r u k t worden i n een term d i e kwadratiach i s , en de i n v l o e d van de l a a t s t e i n een term die l i n e a i r i a , i n de hoekanelheid o f l i n e a i r e a n e l h e i d ,

Dua P o f M = N i ( | | ) .

I n de r e g e l wordt de demping tengevolge van de w r i j v i n g a en w e r v e l -weeratand verwaarlooad. B i j a l i n g e r e n wordt er aoma r e k e n i n g mee ge-houden. Z i e £43 •

Vooral b i j dompen en atampen i a de demping voor h e t o v e r g r o t e deel het gevolg van golfopwekking. De g r o o t t e van deze demping wordt ook weej; voor dompen en stampen a f g e l e i d i n [ 3] ,

De demping b i j andere bewegingen dan dompen en atampen wordt i n de beatudeerde l i t e r a t u u r n i e t u i t v o e r i g behandeld.

ri..,

D i t z i j n de termen u i t de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g d i e weergegeven wordt door massa x v e r s n e l l i n g . De a f l e i d i n g van deze teroen i a i n par. 5 geschied. H i e r b i j i s aangenomen dat het meebewegend water dezelfde v e r a r i e l l i n g h e e f t a l a het sohip. D i t i s voor sommige bev/egingen n i e t j u i s t . Het meebewegend water h e e f t de r e l a t i e v e v e r s n e l l i n g van h e t schip t e n o p z i c h t e van h e t water. I n een volgende paragraaf wordt h i e r o p nader teruggekomen.

Krachten tengevolge van de k o p p e l i n g der bewegingen.

D i t z i j n h y d r o s t a t i s c h e J-o-achten. Bijvoorbeelds een s l i n g e r e n d schip r o e p t krachten op d i e het aohip doen stampen. Dompen i n d u c e e r t stampen en omgekeerd.

De v i e r groepen van krachten vTorden i n de volgende paragrafen nadK besproken. Voordat w i j h i e r t o e overgaan, worden nog de g o l f v e r g e l i j k i n g e n ! a f g e l e i d , en wordt aangegeven hoe de v i r t u e l e maasa sn maasatraagheids-raoraent van h e t meebewegend water bepaald v/orden.

^8. De g o l f v e r g e l i j k i n g e n .

I n de s t u d i e s van de l a a t a t e t i j d worden de golven a l a a i n u s -o i d a a l besch-ouwd en w-ordt -onderateld dat de w a t e r d e e l t j e s i n de g -o l f n i e t r o t e r e n . D i t l a a t s t e brengt met z i c h mee, dat men geen r e k e n i n g houdt met de v e r a n d e r l i j k e r i c h t i n g van de zwaartekracht. Er wordt dus o n d e r s t e l d dat er a l l e e n een v e r t i c a l e wateranelheid i s .

De g o l f v e r g e l i j k i n g wordt gegeven t e n o p z i c h t e van h e t aasenst'alsel Xg, Yg, Zg. Teji o p z i c l i t e van d i t a s s e n s t e l s e l worden a l l G punten vastgelegd door do coördinaten Xg, Yg eu Zg, behalve d i e van de oorsprong 0. Voor de nu volgende a f l e i d i n g z i e ook [ 5 ^ •

ïïij beachotiwen dus golven van s i n u s o i d a l e vorm, wsarvan de v/aterdeel t j e s n i e t r o t e r e n .

A'Tiplitude van de oppervlalcte g o l f = 2TJ^ g o l f l e n g t e = ^ = . De golven bewegen z i c h i n de p o s i t i e v e r i c h t i n g van OgXg met

s n e l h e i d o - . Verder g e l d t : c = \ / ^ - en ck^ = g.

co

J

O

Het g o l f p r o f i e l wordt ge,geven door

^ z , = r^'^~-"'^^'Oo:{k.X^-i^^t) ( 7 7 ) r ^ = o r d i n a a t van da g o l f op d i e p t e Zg (naar beneden p o s i t i e f ) ,

eif-h a n k o l i j k van Xg.

Voor Zg = O k r i j g e n 'wij de bekende v e r g e l i j k i n g van de o p p e r v l a k t e g o l f : r = rni.cos(k.Xg - c o ^ t ) ( 7 8 ) Alct deze v e r g e l i j k i n g wordt gewerkt i a [ 2 I . I n [ 5 ] eohter met de u i t g e b r e i d e v e r g o e l i j k i n g ( 7 7 ) , hetgeen j u i s t e r i s .

De s n e l h e i d o p o t e n t i a a l wordt gegeven door Lamb (Hydrodynamics,6e ed,p,38]) • - (^).«"^-^«.ain(k,Xg - u ) o t ) (79)

De v e r t i c a l e w a t e r a n e l h e i d i n de g o l f op een d i e p t e Zg wordt nui d t ^ = s i = %.r,.e-'-^-^e.ain(k.X^. - i O ^ t ) ( 8 0 ) en de v e r t i c a l e v e r a n e l l i n g ; d2 d t ^ " : (81) ^ : — 1 = I t ïi / / / / /

\

\

Het verband tuaaen de coördinaten van ean punt ten o p z i c h t e van h e t aasen-a t e l s e l XgY-Z^ en t e n op-z i c h t e van n e t XYZ-aaaaii-• t e l s e l l u i d t i i Xg = x . c o s X - y . s i n X + Yg = x . a i n X + y . c o 8 X + yg z + z D i j h e t o p a t e l l e n van d i t v * r -baiid i a aangenomen (p = O en V = 0. Dat i a i n w e r k e l i j k h e i d n a t u u r l i j k n i e t zo. B i j de beapreking van de opwekkende en de h e r s t e l l e n d e k r a c h -ten wordt d i t nader beaproken..

Ket g o i l ' p r o i i e l , betroklcen op h e t s c h e e p s a s s e n a t e l s e l kan nu alö v o l g t geschreven worden»

r^.e .cos(-y- .x.cosX jj^.y.3in)( + - ^ . v . t . c o s X - o j ^ t )

n . l . : Xg = v . t . c o s X , k = . De term e^^ i s weggelaten. D i t gebeurt i n ook. Of d i t v e e l i n v l o e d h e e f t i s n i e t t e beoordelen.

• l l e n w i j nu = Ag, - kg en k ( o - v.cos A ) = •' " e

dan gaat de v e r g e l i j k i n g over i n ;

r ^ = r ^ . e - * ' • ^ c o s [ k e ( x - y . t g ; ( ) - W ^ t ] ( 8 2 )

//oiaieer de g o l f l e n g t e groot i s t e n o p z i c h t e veui de breedte van h e t s c h i p ( X > MB ) , dan kan de term y . t g X verwaarlooad worden. D i t i s v e e l a l h e t g e v a l .

Va/i de zo verkregen g o l f v e r g e l i j k i n g maken w i j g e b r u i k voor da b e p a l i n g vaji opwekkende k r a c h t en moment b i j dompen, stampen en s c h r i k k e n ( l o n g i t u d i n a l e o s c i l l a t i e ) .

-k.z

16.

IngeToard wordt ^ ^ ^ ^

dan r ^ - rn.a'^'-^.ooBCy.iS - u ) g t ) (84)

verder = Uio.rB.e"^'^.8in(Yl5 - w ^ t ) ( 8 5 )

^ - -u;/.r„.e-^-.ooa(y.^ - u ^ . t ) (86)

^ 9 . V i r t a e l e aaasa mi naaaatraagheidanoaant van h a t meebewegend water. I n h a t navolgende wordan deze grootheden nader bekeken. Hoa z i j i n de v e r g e l i j k i n g e n worden ondergebracht, wordt i n de volgende para-graaf beaproken. Voor h e t b e g r i p i a h e t eehter n u t t i g om ze a p a r t onder de loupe t a nemen.

V i r t u e l e aaaaa an maasatraaghaidamomant van h e t maabawafand water worden bepaald voor de diepgang van h e t aohip i n v l a k water, w a a r b i j h e t aohip rechtop l i g t , Daza maaaa k r i j g t de v e r a n e l l i n g van h e t achip o f de r e l a t i e v e v e r a n e l l i n g van h e t aohip t . o . v . h e t water. Er wordt dua gaan r e k e n i n g gahoudan met h e t f e i t , d a t da v i r t u e l e maaaa z a l f ook nog aan mat de t i j d v e r a n d e r l i j k e g r o o t h e i d i a ( b . v , b i j stampan kcman voor en achterachip i n an u i t h e t w a t e r ) .

Voor dompen kan de v i r t a e l e maaaa bepaald worden met h e t voor • a r t i o a l e t r i l l i n g e n opgeatalda diagram van Prohaaka. Z i e h i e r v o o ri

Rapport ïïo. 1 van h e t Studiecentrum T.fi.O. vcor Schaapabouw en K a v i -g a t i e , o f l.T.H.A. 1 9 4 7 .

I n d i a n nu ook de v e r d e l i n g van da v i r t u a l e OMaa bekend l a ( b . v . volgana Lockwood T a y l o r ) , dan kan ook h e t v i r t u e l e maaaatraag-haidamoment om da T-aa bepaald wordan (atampau). D i t analoog aan de navolgende a f l e i d i n g w a a r b i j met de gegevans van Lewla wordt gewerkt. Zle 12] an [5] .

DonQ>en en stampen. De l n v e r t i c a l e r i c h t i n g meebewegende watermaaaa p e r eenheid van l e n g t e , voor een c i l i n d e r van e l l i p t i s c h e doorsnede (twee dimensionale atromlng) - l / s nQ.b2. H i e r b i j i s de c i l i n d e r , met breedte b, h a l f boven an h a l f onder water gedacht.

Voor een dooranede o n g e l i j k aan d i e van de c i l i n d e r , maar met dezelfde breedte v o e r t Lewis een o c e f f l o l e n t c i i n en definieert» de meebewegende watermaasa i s l n d a t geval g e l i j k aan l/8.ClnQ.b2.

Se g r o o t t e van C§ kan aan da hand van door hem opgestelde diagrammen bepaald worden.

De meebewaganda watermaaaa over een l e n g t e dx i s nu g s l i j k aant

dm, - l/8.CiiiQ.b2.dz ( S 8 ) . H i e r i n i a b g e l i j k aan de breedte van een p l a a t s e l i j k e doorsnede, dus b - 2yg.

B i j invoeren van de dimansieloae ooordinaten ~ = ^Ij en = ^ w o r d t i

dmz - -^.Q.L.B^.Tj^.ci.d? (89)

H i e r u i t v o l g t i

z = f "^•«•I'.B^.Tj^.ci.d (90)

- 1

De o o i f f i o i V n t Ci wordt ingevoerd om de i n v l o e d van de driedimenaionala atroming t e v e r d i s o o n t e r a n . Zie [5] b l z . 24* + 1 m. - •:j|-*Q*L*B2.Ci ƒ T ) 2.c'.d5 (91) -1 Per d e f i n i t i e f + 1 ƒ T,2.c'.d§ = 2 C j (92) 1

H i e r i n i s t e besohouwen a l s h e t gewogen gemiddelde van de Cj waarden.

Dus mz = I.Q.L.B^.C^.cJ (93)

De g r o o t t e van c J wordt i n [5] berekend.

Verder g e l d t per d e f i n i t i e - kg - ^ — = (94)

.

dus kg.V = •|.L.B2.C[.cf (95)

Hiermede i s dus ds g r o o t t e van de v i r t u e l e maaaa i n v e r t i c a l e r i o h t i n g bepaald*

Hat maaaatraaghaidamomant van de v i r t u e l e maasa om de T-aa ( b i j atampen) wordt a l s v o l g t r a r k r e g a n d l y y - dmz*x2 - l/8*CS.K*Q*b2*x2 dx (96) ^yy " °i ƒ ^.Q.L^B2.T,2.cè* i ^ ^ . d ^ (98) Per d e f i n i t i e ! + 1 y n 2 * o' * : ? ^ d | -2 c f (99) i

18.

•«dat I - f l

hy'-k'^'^^^'^'^i

Verder g e l d t per d e f i n i t i e kyy - ( l O l ) zodat

^ y y ' V " .Q.L5.B2.C».C|" (102)

Hiermede i s de g r o o t t e Tan h e t v i r t u e l e maasatraagheidamoment om da ï-aa bepaald.

Voor h e t berekenen van deae grootheden hadden w i j n a t u u r l i j k ook ineana g e b r u i k kunnen makan van da r e a u l t a t e n , door Lamb verkregen voor de e l l i p a o i d e . Hiermede a i j n n a m e l i j k kg en k y y ineena t e bepalen. Zie de diagramman l n [2] b l z . 6 en 7. D i t l a n a t u u r l i j k v e e l minder nauwkeurig, omdat het aohip gaan e l l i p a o i d e l a . Bovendien i a van da v i r t u e l e maaaa i n v e r t l o a l e r i o h t i n g door proeven v e e l méér bekend. V/el kan mat da diagrammen van Lamb de o o l f f i o l l n t berekend worden. , k (a/b w e r k e l i j k e waarde)

( 0 1 ) , wordt bepaald mat f l g . 8 . ( C ^ ) , - (105)

, k (a/b w e r k e l i j k e waarde)

[Cl)^ wordt bepaald met f i g . 10 ( 0 ^ ) ^ - (a/b-ac.) ~ (104)

Overige bewegingen. U i t g e b r e i d e gegevens over de v i r t u e l e maaaa a l s voor dompen (dua ook voor stampen) z i j n e r voor de resterende bewegingen n i e t . I n d i e g e v a l l e n i a de enige m o g e l i j k h e i d om de v i r t u e l e maaaa (maasa^ traagheidamoment) t e bepalen, h e t g e b r u i k van Lamb'a diagramman. Zo kan dus ook k^^ = bepaald wordan ( s l i n g e r e n ) .

De diagramman vmn Lamb z i j n opgaateld voor de geheel pelde ellipsoïde. Da o n d e r s t e l l i n g i s nu, dat voor de h a l f ondergedom-pelde e l l i p s o i d s de v i r t u e l e maaaa*a «n maaaatraa^eidaaomenten de h e l f t z i j n van d i e voor de e l l i p s o i d s i n de onbegrensde y l o e i s t o f . D i t komt b i j da diagrammen t o t u i t i n g door h e t b i j s c h r i f t i i . verhouding komt overeen met . Door deae o n d e r s t e l l i n g wordt de i n v l o e d van h e t v r i j e oppervlak ( z w a a r t e k r a o h t ) verwaarlooad. U l t proeven l a gebleken, dat d i t t a m e l i j k wel overeenkomt met de w e r k e l i j k h e i d b i j de t o t nu t o e besproksn v e r t i o a l e bewegingen (dompen, stampen, s l i n g e r e n ) .

B i j de h o r i z o n t a l e bewegingen ( s o h r l k k e n , v e r z e t t e n en g i e r e n ) kunnen k,^, k y en k^z bepaald worden met de diagrammen van Lamb voor da h a l f ondergedompelde e l l i p s o i d t . H i e r mag eohter de i n v l o e d van h e t v r i j e oppervlak n i e t verwaarlooad worden, zodat de aldus verkrsgsn waarden w e i n i g met de w e r k e l i j k h e i d overeenstemaen.

Resumsrsnd kannen w i j das zeggen dat de v i r t u e l e maaaa o f maasa-traagheidamoment voor doiBpen en atampen met r e d e l i j k e graad van nauw-k e u r i g h e i d bepaald nauw-kan worden. Voor s l i n g e r e n eohter minder goed en voor de h o r i z o n t a l e bewegingen mat w e i n i g kans op J u i s t h s l d .

M h««ft h«t i n d«ze pavagrssf b««prok«n onderwerp de l e ^ t s t e t l J d nogal de aaudaoht b l i j k e n s de l i t e r a t u u r d i e e r o r e r y e r s o h l j n t . Het r e r d l e n t aanberellng deae a r t i k e l e n ( a l e o.a. h a t kaartayateem) t e baatuderan om t e onderaoeken o f z l j r o o r ona wark van n u t kunnen z i j n .

T e n s l o t t e d i e n t nog h s t volgende opgemerkt t e wordan. De v i r t u e l e massa wordt p e r d e f i n i t i e betrokken op de massa van h e t aohip. Da massa van h e t sohip i s sen g r o o t h e i d d i e op eenvoudige wlJae nauwkeurig be-paald kan worden. I n d i e n d i t ook met de v i r t u e l e maaaa het geval i s dan kan, langs t h s o r o t i s c h e weg, ds i n v l o e d h i s r v a n worden nagegaan.

Het traagheidamoment van de v i r t u e l e maaaa wordt per d e f i n i t i e betrokken op het maaaatraaghaidamomant van h e t sohip. I n d i e n h e t v i r t u e l e maassr-traagheidamoment v r i j nauwkeurig t e bepalen l a , dan a i j n w i j e r daarmee nog n i e t , want h e t maaaatraaghaidamomant van het sohip i s n i e t bekend. Contrdle van da mat metingen verkregen waarden, met d i e langs t h e o r e -t l s o h e veg i s ao dus n i e -t m o g e l i j k .

§ 10. Traaafaeidskrachten.

D i t a i j n de termen u i t de bewegingsvergelijkingen d i e weerge-geven worden door maaaa x v e r s n e l l i n g . De a f l e i d i n g van deze termen i s i n par. 5 geaohied. H i e r b i j i a aangenomen dat h e t meebewegend water deaelfde v e r s n e l l i n g h e e f t e l s h e t sehip. D i t i s eehter o n j u i s t . Het meebewegend water h e e f t de r e l a t i e v e v e r a n e l l i n g vsn h e t sohip t e n opzichte van het water. Zowel i n l2\ a l s i n [3] wordsn s i n u s o i d a l e golven o n d e r s t e l d , waarvan de w a t e r d e e l t j e a n i e t r o t e r e n . D i t i m p l i o e e r t dat e r a l l e e n een v e r t l o a l e w a t e r s n s l h e i d i n de golven heerst sn dat a r geen h o r i a o n t a l e watersnelheid aanwealg l a . Het i s eohter bekend u i t de p r a k t i j k dat de w a t e r d e e l t j e s wèl r o t e r e n en d i t komt ook t o t u i t i n g i n de t r o o h o i d a l e g o l f t h e o r i e .

Atvaloog aan hetgeen i n (2] en [3] gedaan wordt a u l l e n w i j onder-s t e l l e n dat e r t e n gevolge van de golven i n h e t water a l l e e n v e r t i c a l e snelheden en v e r a n e l l i n g e n voorkomen.

De vraag i s nu» hoe wordt d i t verdisconteerd? Hiervoor komen w i j t e r u g op de g e b r u i k e l i j k e w i j z e van behandeling i n [2] en [3] . Daar wordt i e d e r e b e w ^ i n g a f a o n d e r l i j k beschouwd en voor d i e ena beweging een-v o u d i g k r a o h t - maMa z een-v e r s n s l l l n g o f momant - massatraagheidamoment x h o e k v e r s n s l l i n g toegepast.

Voor de horiaontsLle bewegingen l a het dan eenvoudig ora de i n v l o e d van h e t meebewegend water i n r e k e n i n g t e brengen. De massa (massatraagheida-moment) h i e r v a n wordt opgeteld b i j de maaaa (maaaatraagheids(massatraagheida-moment) van het s c h i p . De v e r t i c a l e w a t e r v e r a n a l l i n g h e e f t h i e r geen i n v l o e d .

Oij de v e r t i c a l e bewegingan u i t e r a a r d w e l . Hiermede r e k e n i n g t e houden g e e f t geen b i j z o n d e r e m o e i l i j k h e d e n . Voor dompen en atampen s t a a t da u i t g e b r e i d e a f l e i d i n g l n [5] . H i e r b i j zien w i j , d a t wordt aangenomen,

dat de v i r t u e l e massa de r e l a t i e v e v e r s n e l l i n g h e e f t van h e t sohip t e n o p z i c h t e van h e t water op een gemiddelde diepgang a.

B i j de reaterende v e r t i c a l e beweging, s l i n g s r e n , i s de k - f a c t o r ( k x x ) v e e l k l e i n e r dan b i j dompen en staunpsn. Ds i n v l o s d van de v e r t i o a l e w a t e r v e r s n e l l i n g , d i e a l s o o r r s o t l e op de g r o o t t e van h e t v i r t u e l e

massatraagheidsmoment i s t s bsschouwsn, s s l h i e r dus vsrwaarloosbaar k l e i n z i j n .

Beaohouwan w i j nu de a f l e i d i n g u l t par. 5. H i e r i n tainnen w i j ook r ^ e n l n g houden met h e t f e i t d a t de v i r t u e l e maasa aen andere v e r a n e l -l i n g h e e f t dan h e t aohip. De r e o h t e r -l e d e n van de v e r g e -l i j k i n g e n (32)

t/m (37) worden daarvoor g e e p l i t s t i n 2 gedeelten, t e wetwu voor de maaaa van h e t schip a e l f en voor de v i r t u e l e maasa.

w i j beaahoav«Q h«t al|Mwn« g « - v m l . S t e l de w a t e r s n e l h e i d i n een seker punt v a n d s v i r t u e l e maaaa i a v^wi ^yw *^ •sw*

Hiermede r e k e n i n g houdend, l u i d e n de v e r g e l i j k i n g e n (32) t/m (37) ndt ( i m p u l s ) ^ - ƒ •x'dm + / ( V x " ^xw)*"! (103) S V ( i m p u l s ) y - J v y. d m + J ( v y - Vy,).dm (l04) V ( i m p u l s ) z = ƒ Vz.dm + / ( v ^ - V2„).dm (105) s V

(impttl8momant)x -/ ( y. V z - a.Ty)dm + /[y.(vz-Taw) - « ( v y- V y w ) ] dm (106)

I \ • '

( l a f a l S M a e n t ) y - / ( e . T x - x.v,)dm + /[«.(Ti-Yjor) - «(vj-Vz,,)] dm (107)

T

(impulsmoment )z = ƒ (x, V y - y.Vx)dm + / j? . ( v y - V y w ) - y(vx-V3nr)] dm ( 1 0 8 ) V

H i e r i n h e b b e n v^» Vy en v , de betekenis volgens ( 1 ) , (2) eu ( 3 ) . De tweede termen u i t de r e o h t e r l e d e n worden n u weer g e s p l i t s t i n twee gedeelten. Het eerste gedeelte i s g e l i j k aan de e e r s t e term u i t h e t

r e o l i t e r l i d maar dan o v e r de v i r t u e l e maaaa geïntegreerd. Dese twee kunnenj samengevoegd worden en geïntegreerd over sohip + v i r t u e l e maasa. Het

tweede gedeelte b l i j f t a f g e s p l i t s t en bevat a l l e e n de snelheden Vxw» Vy, en Vzw» We k r i j g e n n u i ( I m p u l s) j . = ƒ Vjc.dm - Jvjc^.dm (109) s+v V (Impuls )y - ƒ Vy.dm - J v y w . d m ( I I O ) S+V V ( i m p u l s ) j j = ƒ vz.dm - Jvzw«dm ( I I I ) 8+T V

( i m p u l s m o m e n t = ƒ ( y . v , - z.Vy)dm + ƒ ( - y.Vzw + "••yw)*dn (1121

S+V V

(impulsmoment)y => ƒ (z.v^^ - x.V2)dm + ƒ ( - z.Vx» + x.Vzw)'dm (113) S+V T

M wordt woer de wet ran Wewton toegepast, v e r g l . (10) an (11)• M t l e v e r t t • d t

ƒ

ƒ

i. V y , - X.Vy, + y.Vzw + y.vzw)d!s

115) 116) 117) 1 1 8 ) 119) 120)

Afgezieii van ds tweede teraen u i t de r e o h t e r l e d e n , l e i d t s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n t o t dezelfde u i t d r u k k i n g e n a l s (65) t/m (70) i n par. 5,

" i j moeten nu de tweede termen u i t de r e o h t e r l e d e n nader bepalen. Deze termen hebben a l l e e n b e t r e k k i n g op de v i r t u e l e aaasa, zodat1 X = Vy - V j ^ = u + z. u;^ - y. Wz - V y - Vy - ^yw - V + X. - z.u>3j - Vy, ^ = v^ - v ^ , - w + y.«»>x - x.U>y - Vg, Da v a r g e l i j k i n g e n gMB nu over i n t 'xt V p y , . d a /^zw-d» J. T , . dm — (121) (122) (125) (124) (125) (126)

^xt = ƒ (y.Vz - z.Vy)dm - V |va,.dm - ƒx.V2w•dm +

f^'^zm*

+ J v y^ . V g^ . d m - J y. V z, d m + w j Vy,.dm + j' y. V y^ . d a

-V v r v

22. S+V r V V J v j^ . V g^ . d m - J z . v ^ ^ . d a + u T g^.dm + Wy ƒz. V j^ . d i n = V T V V - / y - ^ z W * » + f•xwVaw-<i» + ƒx.Vzwdm (1 2 8 ) V V V V V l^xw^Vyw***" "/ * * ^ y i r * ' ^ °

f^xn'^^

H e t i n t e g r e r e n van de bijkomende termen u i t de v e r g l , (127) t/m (129)

l e v e r t m o e i l i j k l i e d e n op d i e nog n i e t opgeloat z i j n . Het i s b i j v o o r b e e l d

d e v r a a g hoe v ƒ. V z ^ bepaald moet worden. V

Er g e l d t v | d m « m^ - v i r t u e l e maaaa i n da X - r i c h t i n g .

V

Maar samen met Vg, zou tooh a l l e e n de v i r t u e l e maaaa i n da Z - r i c h t i n g

^aan. Een en ander z i e n w i j nog d u i d e l i j k e r i n d i e n w i j

Vxw = » V j c - Vy, » O s t e l l e n , dus sen e v e n t u e l e a a n w e z i g h e i d van de h o r i z o n t a l e w a t e r a n e l h e i d negeren, ZOELLS i n h e t voorgaande

betoogd. ^2^

noemen w l J d a n v , , - - j | en v , , - — , s c a l a i n [ 2 ] e n [ 5 ] .

d t

dan gaan d e v e r g l n . ( l 2 4 ) t/m (129) o v e r in»

^ x t =

A

^zt = l t

ƒ

' z - ^ "

I'TI-'^ ^152)

r ^ ^ a

r

r

r

" y t " d t J (*'Vx i.ira).<im + u j j ^ . d m + u > y j z . ^ . d m -^"^a

r

Van a l l e bijkonanda tarman u l t bovanataanda varge11jkingen z i j n er twee, waarvan het zonder meer d u i d e l i j k l a , hoe ae bepaald kunnen worden.

F d^r a Dat a i j n - j

1

^ ^ - V

^ i

ƒ

Deze worden i n [5] verkregen door dm n i e t t e nemen a l s de massa van een o n e i n d i g k l e i n volume-elementje dx,dy.dz, maar voor dm i n t e v u l l e n i dm^ = -^.Q.L.B2.T)2.c\d'f ( 8 9 ) en 0^ voor h e t i n t e g r a a l t e k e n t e z e t t e n .

D i t z i j n de termen d i e met de vereenvoudigde v o o r s t e l l i n g van zsken i n [ 5 ] verkregen worden, b i j dompen en stampen, t e r w i j l de overeenkomstige term b i j s l i n g e r e n

y. S-.dm, zoals reeds eerder vermeld, verwaarloosd wordt. T "

Wij hebben geprabeerd een an ander op exaote grondslag a f t e l e i d e n . D i t b l i j k t op m o e i l i j k h e d e n t e s t u i t e n , d i e misschien l a t e r opgelost kunnen worden. De termen d i e i n [3] bepaald worden r o l l e n e r inderdaad u i t . De o v e r i g e bijkomende termen z i j n , van de kant van de i n £5] gevolgde a f l e i d i n g e n geaien, o o r r e o t i e s op c o r r e c t i e s , zodat w i j deae v o o r l o p i g moeten negeren.

De v e r g e l i j k i n g e n (65) t/m (70) zien e r met de ( g e d e e l t e l i j k e ) o o r r e o t i e s voor de v e r t i o a l e w a t e r s n e l h e i d a l s v o l g t uit» Pxt = % t - ^ i + 'aat-»-«»»y - fflyt •» v.Wg (136) ' y t ' V ' " ^ "»xt«»i'<*>z - ^ z t ' ^ ' ^ x (157) ^ z t = " a f ' ' + " y f ^ ' * * * x - "xt'U.Wy + zp-Q'V.uJj2.r^.s^(r,2,Y).oo8U)^t (158) °z

24.

«xt = I x f ^ x + d z t - l y t ) - ^ y ^ z + (»yt - " z t ) - v . w (159)

«yt = ^ y t - ^ y + (^xt " Izt)» W^. + (mgt " " x t ^ * " * * •*•

+ 1 7 - - •'^yy-V^o^'^'m-^i (^^»Y).8inCü,t (140)

«zt = I z f ^ z + ( l y t - I x t ) - W x . W y + («"xt - V ^ ' ^ - ^ ^^'^^^

^ 1 1 . Dempende k r a c h t e n .

I n $ 7 werd vermeld, dat de demping i n de bewegingsverge-l i j k i n g e n vertegenwoordigd wordt door de termj

F o f M = N i ( i f ) + W2(|f)2.

Hiervan g e e f t de eerste term weer het gedeelte van de demping, v e r -oorzaakt door w r i j v i n g s - en wervelweerstand, en de tweede term de i n v l o e d van de golfweeratand.

Voorzover i n de beatudeerde l i t e r a t u u r de demplngafactoren a f g e l e i d worden, berust d i t op ingewikkelde hydrodynamiache beachou-wingen. D a a r b i j gaat men weer van de vereenvoudigde o n d e r s t e l l i n g u i t , dat één beweging o p t r e e d t , i n afwezigheid van a l l e anderen. Hierdoor kunnen w i j n i e t m o t i v e r e n o f de demping b i j een volkomen w i l -l e k e u r i g e steuid van het s c h i p , -langa en om de acheepsassen werkt. Het l i g t echter voor de hand om d i t t e v e r o n d e r s t e l l e n , zeker wanneer h e t gaat om de demping tengevolge van de w r i j v i n g s - en wervelweerstand. Deze o n d e r s t e l l i n g z u l l e n w i j dan ook aanhouden. O n t b i n d i n g van de dempingskrachten langs en om de scheepsassen i a h i e r dua n i e t n o d i g . Dompen en atampen.

Algemeen i a men van mening dat de demping b i j deze bewegingen g r o o t i a . Het i s dus van belang deze zo nauwkeurig m o g e l i j k t e bereke-nen. De demping tengevolge van golfmaking i a weer zeer g r o o t t e n op-z i c h t e van d i e door w r i j v i n g a - en wervelweeratand, wasurdoor deop-ze l a a t s t e verwaarloosd kan worden.

I n [ 2 ] wordt de demping door golfmaking besproken. Er wordt echter geen t h e o r e t i s c h e a f l e i d i n g en geen rekenmethode gegeven om de dempingsfactor t^e bepalen. Dat wordt i n [ 5 ] wel gedaan. I n C2] wordt de dempingsfactor N2 besproken, d i e vermenigvuldigd moet worden met v e r s c h i l l e n d e c o r r e c t i e f a c t o r e n , Eén daarvan i s een f a c t o r om de i n -vloed van de voorwaartse s n e l h e i d i n r e k e n i n g t e brengen.

I n Q53 s t a a t de t h e o r e t i s c h e a f l e i d i n g vermeld en een reken-methode om de r e a u l t e r e n d e dempingafactor t e bepalen. H i e r wordt met a l l e f a c t o r e n u i t C23 r e k e n i n g gehouden, behalve met de i n v l o e d van de voorwaartae anelheid van het aohip. Het zou gebleken z i j n u i t model-proeven dat d i t n i e t n o d i g i a .

Dompen. De dempingskracht wordt berekend a l s de i n t e g r a a l van h e t product van de dempingsfactor over een k l e i n e l e n g t e dx, en de s n e l h e i d van h e t schip t e n o p z i c h t e van h e t water.

D i t l e i d t t o t de u i t d r u k k i n g : F^^ = N(w + P.Wb.rm.sin cOgt) (142)

Het tweede l i d tussen de haken g e e f t weer de i n v l o e d van de v e r t i c a l e w a t e r s n e l h e i d .

Stampen. Het dempend moment wordt berekend a l s de i n t e g r a a l van h e t product van de dempingsfactor over een k l e i n e l e n g t e dx, de s n e l h e i d van het achip t e n o p z i c h t e van h e t water en de a f a t a n d van dx t o t 0.

D i t l e i d t t o t de u i t d r u k k i n g : Myd = N(<**y - P.ke.%.rnj.coaUfet) (145)

N en P hebben hun voor dompen en atampen v e r a o h i l l e n d e betekenia a l s gegeven i n [ j ] ,

S l i n g e r e n .

B i j a l i n g e r e n i a de demping door golfmaking v e e l k l e i n e r dan b i j dompen en atampen. De i n v l o e d van de v e r t i c a l e w a t e r a n e l h e i d i a h i e r verwaarlooabaar. Z i e [ 2 l b l z . 51,

Een t h e o r e t i a c h e a f l e i d i n g van de dempingafactor b i j a l i n g e r e n Nqji, a t a a t i n de beatudeerde l i t e r a t u u r n i e t vermeld. Er wordt soma wel r e k e n i n g gehouden met de demping tengevolge van w r i j v i n g a - en wervelweerstand: Nq,2.ü?x» omdat deze h i e r i n verhouding t o t de demping door golfmaking v e e l g r o t e r i a . Of d i t z i n h e e f t , nadat we de i n v l o e d var de v e r t i c a l e wateranelheid verwaarlooad hebben, dua o f we e r i n nauw-k e u r i g h e i d op v o o r u i t g a a n i a n i e t t e v o o r a p e l l e n .

I n d i e n we beide aoorten demping meerekenen en de v e r t i c a l e w a t e r s n e l h e i d verwaarlozen, dan k r i j g e n we de u i t d r u k k i n g :

Mxd = M(p1-<^ + N,2-<^^ (144)

H i e r i n z i j n dus N^^ ( g o l f m a k i n g ) en N,p2 ( w r i j v i n g s - en wervelweeratand) n i e t langa t h e o r e t i s c h e weg t e berekenen met de h u i d i g e kennis van

zaken. Er z i j n wel enige r e s u l t a t e n van proeven.

Schrikken, v e r z e t t e n en g i e r e n . Deze bewegingen z i j n s t i e f m o e d e r l i j k bedeeld met b e t r e k k i n g t o t h e t onderzoek naar de demping,

We kunnen de dempingatermen a l a v o l g t a c h r i j v e n : Fxd = Nx,u (145)

P y d - V ^ (146)

Mzd = %'<*>z (147)

Over de g r o o t t e van N^^, Ny en i a n i e t a bekend.

De v e r t i c a l e wateranelheid h e e f t h i e r geen i n v l o e d , want d i t z i j n de h o r i z o n t a l e bewegingen.

26.

§12. Opwekkende «n H e r a t s l l e n d e Krachten.

B i j de b e p a l i n g van deze k r a c h t e n inaken we o.a. g e b r a i k van de g o l f v e r g e l i j k i n g e n , a f g e l e i d i n 4 5, en van de nu t e bespreken v e r g e l i j k i n g voor de druk i n de g o l f .

De wet van B e r n o u i l l i voor h e t geval van i n s t a t i o n n a i r e p o t e n -t i a a l s-troming l u i d -t :

Waarin: $ = a n e l h e i d a p o t e n t i a a l .

•w » Vy , Vy = anelheden van een w a t e r d e e l t j e i n de r i c h t i n g / g * g van de X -, Y„- en Z^-aa.

T»" U.O * g tig—ao.

Pjj^ = druk i n een punt met coördinaat Zg.

1 Po St Denia v e r w a a r l o o s t i n f j l de termen -rCv-^ v ^ + v- ) en —

2^ Ag yg «g' Q

en k r i j g t dani

Met behulp van v e r g l . (79) v o l g t h i e r u i t :

PZg = + 9ê2g - (?gr„.e"^^«.cos(kXg - % t ) (150)

Onder i n v o e r i n g van het i n ^ 5 genoemde verband tussen de coördinaten Xg, Yg, Zg en x,y,z, na h e t overgaan op dimensieloze coördinaten, en het i n v o e r e n van enige i n ^ 5 genoemde a u b a t i t u t i e a , komt e r :

P = + Qg(z + Zg) - Qgrni.e"^^.co8(Y5 - w ^ t ) (151)

p i a de h y d r o a t a t i a c h e druk i n een punt met coördinaten x,y,z. De anelheidadruk (van hydrodynamiache a a r d ) i a verwaarloosd, i n overeenstemming met de Proude-Krylov-hypothese.

We paaaen v e r g , ( 1 5 I ) t o e om t e komen t o t de opwekkende k r a c h t b i j dompen en atampen. B i j de a f l e i d i n g van de v e r g e l i j k i n g werd g e b r u i k gemaakt van h e t i n ^ 5 genoemde verband tuaaen de coördinaten Xg, Yg, Zg en x,y,z. D i t verband i a a l l e e n j u i a t voor h e t g e v a l d a t 9= 0 ,

f = O, W i j o n d e r a t e l l e n a l l e bewegingen g e l i j k t i j d i g aanwezig en daardoor z i j n de u i t d r u k k i n g e n d i e w i j a f l e i d e n n i e t meer geheel j u i a t . Beter zou het z i j n , de h y d r o a t a t i a c h e k r a c h t e n t e bepalen

voor een volkomen w i l l e k e u r i g e atand van h e t aohip. Bovendien i a h e t n o d i g deze h y d r o a t a t i a c h e , dua i n v e r t i o a l e r i c h t i n g werkende, k r a c h -ten t e ontbinden Isuigs en om de acheepaaaaen. W i j z u l l e n d i t naMen, i n n a v o l g i n g van de beatudeerde l i t e r a t u u r .

Het s c h i p wordt o n d e r s t e l d rechtop t e l i g g e n ( 9 » O, Y - 0 ) , t e r w i j l O z i c h v e r p l a a t s t over een v e r t i c a l e a f s t a n d Zg. De g r o o t t e van de opwekkende en h e r s t e l l e n d e k r a o h t i s nu op twee manieren a f t e l e i d e n . De ene manier, welke wcardt gegeven i n ([2] , b e r u s t op het s i g n a l e r e n van een t e k o r t o f t e v e e l aan w a t e r v e r p l a a t a i n g , I n deze a f l e i d i n g wordt ^ l e e n de o p p e r v l a k t e g o l f betrokken. De andere manier wordt gevolgd i n [5] en beruat op het i n t e g r e r e n van de i n de z - r i c h t i n g variërende h y d r o a t a t i a c h e druk op h e t h u i d o p p e r v l a k .

Beide methoden l e i d e n t o t dezelfde u i t d r u k k i n g voor de h e r -a t e l l e n d e k r -a c h t en t o t n-agenoeg d e z e l f d e i n t e g r -a -a l voor de opwekkende k r a c h t . De l a a t a t e wordt i n [53 op meer voor berekening t o e p a a a e l i j k e w i j z e u i t g e w e r k t , We z u l l e n de methode u i t [5] aanhouden.

V e r g l , (151) g e e f t ona de h y d r o a t a t i a c h e druk i n i e d e r punt van h e t ondergedompelde gedeelte van de h u i d , l o o d r e c h t h i e r o p .

De v e r t i c a l e component h i e r v a n , welke g e r i c h t i a volgena de p o a i t i e v e Z - r i c h t i n g , wordt verkregen door de beide leden van v e r g l , ( I 5 1 ) t e vermenigvuldigen met de coainua van de hoek tuaaen de z-aa en de normaal op het oppervlak,

np = nQg(z + Zg) - T)Qgrn,,e-^*,coa(Y|-tOgt) —kz

np - nQgz + UQgZg - nqgr^.e ,COS(Y^ -<»>e*) (152)

De o p p e r v l a k t e i n t e g r a a l van deze druk g e e f t de op h e t schip werkende k r a c h t ,

Het r e c h t e r l i d van v e r g l . (152) beataat u i t d r i e termen, waarvan de i n t e g r a a l van de eerate de opwaartse k r a c h t l e v e r t voor h e t s t i l -liggende schip i n v l a k water. Deze k r a c h t i s g e l i j k en tegengesteld g e r i c h t aan h e t gewicht van het achip en v e r d w i j n t dus. De tweede term g e e f t na i n t e g r a t i e de h e r s t e l l e n d e k r a c h t , w a a r b i j Zg a a n l e i -d i n g g e e f t t o t h e t o s c i l l e r e n -d k a r a k t e r van -deze k r a c h t .

I n d i e n dS het oppervlak i a van een elementje van het huidoppervlak;

(153) + 1 +TJ D i t wordt L B 2 2 dx,dy _Qgzg + 1 +T) - 1 -n - QgO,i,z ₍₁₅₄₎ D i t i a de h e r a t e l l e n d e k r a c h t p.