- -V
A. J . S t o d ó ł k i e w i c z .
O C A Ł K O W A N I U
P OD P O S T A C I Ą S K O Ń C Z O N Ą
RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH
RZĘDU n-go.
^ OKRAKÓW.
NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.
S K Ł A D ' G ŁÓW NY W KSIĘG A R N I S PÓ Ł K I W Y D A W N IC Z EJ P O L S K IE J .
1893.'
A. J. S t o d ó ł k i e w i c z .
O C A Ł K O W A N I U
P OD P O S T A C I Ą S K O Ń C Z O N Ą
RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH
RZĘDU n-go.
KRAKÓW.
NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.
SK ŁA D G ŁÓW NY W KSIĘG A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z EJ P O L S K IE J.
1893.
Osobne odbicie z Tomu XXVI. Rozpraw W ydziału matematyczno-przyrodniczego Akademii Umiejętności w Krakowie.
' b i 5 8 5 6 6 jjT
K ra k ó w , 1893. — D ru k arn ia U n iw ersytetu Jagielloń skiego, pod zarządem A . M . K o sterkiew icza.
O c a ł k o w a n i u
poci postacią skończoną równań różniczkowych liniowych, rzędu n-go.
Przez
A. J. Stodółkiewicza.
(Rzecz przedstawiona na posiedzeniu Wydz. mat.-przyr. z dnia 4 lipoa 1892 r.;
referował członek W. Zajączkowski.) --- o— °---
K sz ta łt ogólny ró w n ań różniczkow ych liniow ych je s t
o * ł ' + ^ P ' + 2 t P ' + . . . . + x
w dxn n 1d x a~ 2d x "~ 2 1 n ' d x ^ y ’
gdzie X i} X s, . . . , X n, X są pew ne fu n k c y e zm iennej niezależnej ar.
A żeb y w yprow adzić w aru n k i, pod k tó ry m i m ożna znaleźć pierw szą całkę tak ieg o rów nania, zastosujm y sposób D ’A lem berta. Połóżm y nasam przód
. dur"~-' , , d y :"~’: d y ' dy
( 2 )
j — = y(" 0, — =
y(n2 ) —
y, =
y ,w d x * : d x J ’ d x J d z
natenczas, rów nanie (1) m ożna napisać ta k :
(3) dę ‘- = X - X y ‘- ^ - X 2y ^ - . . . - X n_ , y ' - X ^
M nożąc ró w n an ia (2) odpow iednio przez czy n n ik i nieoznaczone (x,, jj., , . . . , i dodając do rów nania (3), m ieć będziem y
2 A . J . S T O D Ó Ł K I EWICZ. [101]
d y Cn~‘) , d y ("~3) , dy' d y ...
— , + (/-. ' ,--- h (A, 7---M.„_. -=--- f- [X -j— = (4)
d x ' d x { d x [ d x d x
■ ^ X - X i y ^ - X i y ^ ~ . . . - X n_ l y ' - X ny + M Cn~t)+ [ h y (n- * +
. . . + W- „ _ 2y " + y'.
N astępnie, połóżm y:
«/r" ' lJ + (*i / ”_2J + 1*2 + • ■ • + ( V -..«/' + [V-« y = « (5) natenczas, ru g u ją c z rów nania (4) p rz y pom ocy zw iązk u (5), o trzy m am y
. . . - o y j , ^ = f = x + (|t, - . z , ) « -
d x J d x d x d x d x 1
~ - 2 i ) + X 8 - . . .
• • • y fp*»—2 ([^"1 "^1 ) [Al—i] y [(At—j ([^1 -^-1 ) 4" -X«]
R ó w n ając w powyższem spółczy n n ik i p rzy y , y ’, y do zera, m ieć będziem y jedno rów nanie n a w yznaczenie u:
-V,)« (6)
d x sk ą d w ynika.:
/ i|11 ~jr- j c,+ J c' / |! ■ ~-v'),to xdx j,
u dH
11 l! r , , ) e'/ y
tudzież, n — 1 n astęp u jący c h ró w n a ń :
l*i (l*i — ^ r Z2 — [J-2
( 7 )
(8) d x
| j f- ^ ( [ x 1 - X 1) + 1Ą - f * g,
= !Ai- 2 ( R - x 1) + x _ , - [x„_1,
słu żący ch do w yznaczenia p.,, p.4, . . . ,
R ozw iązanie u k ła d u (8) pod postacią skończoną, przy dzisiejszym stanie n au k i, należy do z ad ań n iew y k o n aln y ch ; są je d n a k szczególne p rzy p ad k i, godne uw agi, w k tó ry ch znalezienie fu n k c y i ^ , ix2, ..., je s t możliwe.
D ajm y n a to, że zachodzą n astęp u jące zw iązki:
_ X 2 _ X 3 __ _ X _ _ _ X„
1*1 ) 1*2 - y ” > ’ ‘ ’ (A» - * J 5 ( * » - « — J j r - • ( 9 )
natenczas z ró w n ań (8) będziem y mieli dy.}
d x d [\
[102] O CAŁKOWANIU.
d x
d x dy.n_,
- d r * * - ' *
czyli, w s k u te k zw iązków (9) będzie
d / X s \ _ i X., _ X s
d x ’ ,V. : “ -V, ' .V, •d ( Ą \ = 5 l 5 ^ 4
d x VX j X { ' X, ’ (10) ...
d ( X n_ , \ X n_1 x 2 x „
dx ■ A", 1 .V, ' X x X j
L ( I
a=
r ' !d ( X . \ X„ X 2 d x ' X j ' X t ' X t 5
Jeżeli rów nania w a ru n k o w e (10) b ęd ą się spraw dzać tożsamościowo, n a tenczas fu n k cy e ;x,; jx2, . . . , będziem y m ogli w yznaczyć z rów n a ń (9). W ty m p rz y p a d k u rów nanie (5) przedstaw i nam pierw szą całkę rów nania (1). C hcąc znaleźć d ru g ą całkę, należy zastosow ać podobny sposób do rów nania (5).
D o rów nań, czy n iący ch zadość w arunkom (10), należy nastę p u jace d ° y ( d 2y 2 d y 2 \
( U ) d P + 1 -x d x + x * - v = x ’
w k tó rem X 1 i X sa ja k iek o lw iek fu n k c y e zm iennej niezależnej x. W e d łu g teo ry i w yłożonej, rów nanie (5) będzie m iało w danym p rzy p ad k u k sz ta łt
„ 2 , 2
(! 2 )
y - - y + — y = u ,gdzie
W id z im y dalej, źe m am y do scałkow ania dw a następ u jące rów nania
4 A. J. stodołkieW icz. fi03]
d y ' 2 , 2
d i ~ u + x >
? - / •
d x
M nożąc d ru g ie z pow yższych ró w n ań przez k i dodając do pierw szego, otrzym am y
<14)
Połóżm y n astępnie//' + t y = v , (IB)
natenczas z rów nania (14) będziem y mieli
dv d k
d x
Celem w yznaczenia k, połóżm y sp ółczynnik zm iennej rów nym zeru,
c z y li-- LU
S “ T
iJ/tAs tAs iAy j|J(17)
wówczas fu n k c y ę V znajdziem y z rów nania
dv vi +
d x
z k tó reg o w y n ik a
v = e ^ x |c a+ (18)
R ów nanie (17), za pom ocą podstaw ienia &=•§-, łatw o zam ienia się na jednorodne i po scałkow aniu daje
<19>
N akoniec, ca łk u ją c ostatnie rów nanie (15), otrzym am y
y = e f { c 3+ \ ^ v e ^ d x ^ (20)
Celem o trzym ania całk i ogólnej rów nania (11) ru g u je m y v i u z rów nania (20) p rz y pom ocy zw iązków (13) i (18) tudzież podstaw ia
m y w artość (19) n a Tc. P o w y k o n an iu łatw y ch uproszczeń będzie
[104'] O CAŁKOWANIU. 5
D o rów nań, w k tó ry c h w a ru n k i (10) sp raw d zają się, należy, m iędzy in- nem i, ta k ż e następ u ją ce rów nanie 4-go rz ę d u :
d iy { d at/
2
d 1/2
d y2
\ „j , + X 1 ( --- --- — h —- y ) = X , a x \ d x x d x x d x x / k tó re m ożna scałkow ać sposobem pow yżej w yłożonym .
