Liczby kwantowe 2

(1)

Liczby kwantowe

1

● symetrie i prawa zachowania

● ładunek elektryczny

● liczba barionowa

● modele GUT – rozpad protonu

*******

● liczba leptonowa

*******

● spin

*******

● skrętność ( helicity )

***

● parzystość przestrzenna

● sprzężenie ładunkowe

● symetria CP

● izospin

● parzystość G

(2)

Teorie wielkiej unifikacji – rozpad protonu

2

●

Teoria GUT – Grand Unified Theory

unifikacja oddziaływań elektromagnetycznych, słabych i silnych :

grupa symetrii oddz. elektrosłabych SU(2)_weak x U(1)_em i grupa symetrii oddz. silnych SU(3)_kolor”zanurzone” w większej grupie symetrii

Symetria ta ujawniałaby się przy bardzo wysokiej energii ( E_GUT ~ 1016 _{GeV )}

– przy tej skali energii efektywne stałe sprzężenia poszczególnych oddziaływań przecinają się w jednym punkcie – jedna uniwersalna stała sprzężenia

α

_GUT

●

pierwszy model GUT – Georgi i Glashow (1974), teoria z grupą cechowania SU(5)

●

Podstawowe multiplety zawierają zarówno leptony jak i kwarki

●

Masywne bozony cechowania X i Y

(12 nowych kolorowych bozonów cechowania z ładunkiem elektr. -4/3 i -1/3)

●

Dozwolone procesy kwark lepton i kwark antykwark

●

Niezachowanie liczby barionowej i leptonowej ( zachowane B - L )

(3)

3 Model Standardowy : SU(3)_kolor x SU(2)_weakx U(1)_em

●

Biegnące stałe sprzężenia

- zależność efektywnych stałych sprzężenia od energii (od odległości)

●

Stała sprzężenia oddziaływań elektromagnetycznych

( związana z abelową grupą U(1) ) rośnie wraz z energią

●

Stałe sprzężenia związane z grupami nieabelowymi ( SU(2) i SU(3))

maleją wraz z energią (dla oddz. silnych takie zachowanie wynikajace z symetrii cechowania SU(3) nosi nazwę asymptotycznej swobody )

α_S > α_weak > α_em

Ekstrapolacja stałych sprzężenia od energii odp. skali elektrosłabej

( E ~100 GeV, do takiej skali energii są pomiary) do skali unifikacji GUT

stałe sprzężenia przecinają się w jednym punkcie → α_GUT

Punkt unifikacji

Masa unifikacji 1015 _GeV

●

pomiary przy niskich energiach przed eksp. na zderzaczu e+_{e־ LEP w CERN} SU(5) : E_GUT ~ 3 · 1014

●

precyzyjne pomiary na LEP ( Z0 ₎

stałe sprzężenia nie przecinają się w jednym punkcie

●

model SU(5) + supersymetria (!) E_GUT ~ 3 · 1016 _{GeV, przecięcie}

stałych sprzężenia w jednym punkcie Siła oddziaływania

SU(3) SU(2)

(4)

Rozpad protonu

}

π

0

}

π

0

Proton ( uud )

}

_π

+

}

π

+

Diagramy opisujące rozpad protonu w modelu SU(5) w wyniku wymiany ciężkich bozonów X i Y (leptokwarków), M_X(Y)~1015 _GeV/c2

Model SU(5) bez supersymetrii :

2 p 2 GUT 4 X p

M

AM

α

τ

=

Przewidywania SU(5) niezgodne z wynikami eksperymentalnymi

≈ 10

30±1

_lat,

(

A ≈ 1 )

(

p

e

)

5

10 lat

33 0 p

→

+

>

×

+

_π

τ

4 Modele GUT z supersymetrią → dłuższe czasy życia protonu (1032 _{- 10}35 _lat)

(5)

Poszukiwanie rozpadów protonu

IMB

Warunki eksperymentalne (

τ

_p 1032-35 _{lat ??)}

●

wielotonowe detektory

mają liczbę protonów rzędu 1032-35

1000 ton materii – ok. 3 · 1032 _protonów

●

umieszczone głęboko pod ziemią

redukcja tła od promieniowania kosmicznego

●

różne kanały rozpadu

●

rozpad p → e+ ₊

π

0 _,

π

0 _→2

γ

b. dobra sygnatura – elektrony rejestrowane

za pomocą wodnych liczników promieniowania Czerenkowa ; fotony z rozpadu π0

konwertują na relatywistyczne pary elektron-pozyton w polu kulombowskim jąder tlenu

5 ● Eksp. Irvine -Michigan-Brookhaven (1983 -1990) – pierwszy wielki wodny detektor

– masa 8000 ton, ~2000 fotopowielaczy

● Eksp. Superkamiokande – największy wodny detektor (działa od 1993) – masa 50 000 ton, ~11 000 fotopowielaczy

● Eksperymenty z żelaznymi matrycami ( źródło protonów )

(6)

Eksperymentalne ograniczenia na czas życia protonu

w porównaniu z przewidywaniami teoretycznymi ( modele GUT, SUSY )

(7)

Liczba leptonowa

●

3 generacje par leptonowych (naładowany i neutralny lepton) o spinie ½

(e־,

ν

_e

), (

µ־, ν

_µ

), (

τ־, ν

_τ

)

●

każdy typ (zapach) leptonów posiada odpowiednią

liczbę leptonową L

_e

, L

_µ

i L

_τ

, która jest zachowana

przez wszystkie oddziaływania opisywane

Modelem Standardowym z bezmasowymi neutrinami

do niedawna oddzielne zachowywanie trzech liczb leptonowych L_e, L_µ i L_τ było całkowicie zgodne ze wszystkimi danymi doświadczalnymi

●

Liczne eksperymenty neutrinowe (począwszy od 1998, SuperKamiokande) ewidencja na oscylacje neutrin → neutrina mają masę

( małą w porównaniu z masą elektronu ) oscylacje zapachu neutrin :

przejścia między neutrinami o różnych zapachach ( np.

ν

_µ

→

ν

_τ)

naruszone oddzielne zachowanie liczb leptonowych L_e, L_µ i L_τ

(8)

● 1975 Odkrycie ciężkiego naładowanego leptonu

τ

zderzacz e+_{e⎯ w Stanford (SLAC), M. Perl}

e

+

_{+ e⎯ →}

τ

+

₊

τ⎯

_{w stanie końcowym ślady}

_µ

+

_{i e⎯}

µ

+

_{+ ν}

µ

+ ν

τ

e⎯ + ν

e

+ ν

τ

Zachowanie przekroju czynnego i jego wielkość zgodne z produkcją punktowej cząstki Diraca o spinie ½

Masa

τ ~ 1777 MeV ~ 3480 m

_e

τ

jest jedynym naładowanym leptonem,

który oprócz rozpadów czysto leptonowych posiada również rozpady na hadrony

⎯

Odkrycie

τ

wpłynęło na poszukiwania towarzyszącego mu neutrina taonowego

(9)

● Odkrycia neutrin elektronowych, mionowych i …

1956 eksperyment Reinesa – Cowana

Detekcja oddziaływań antyneutrin

elektronowych z reaktora Savannah River w zbiorniku ( H₂O + CdCl₂) otoczonym licznikami scyntylacyjnymi 9 odwrotny rozpad β ν_e z reaktora fotony z wychwytu neutronu fotony z anihilacji e+ _{+ e⎯→2γ}

Detekcja fotonów z wychwytu neutronu 5 µs po sygnale anihilacji pozytonu

n + 108_Cd 109 _Cd* 109_{Cd + γ}

⎯

1962 odkrycie neutrina mionowego M. Lederman, M. Schwartz i J. Steinberger

brak rozpadu µ → e + γ ( foton )

istnienie dwóch różnych neutrin ??

● wysokoenergetyczna akceleratorowa wiązka neutrin z rozpadów π → µ + ν ● w wyniku oddziaływań tych neutrin

z materią produkują się głównie miony neutrino z rozpadu π (ν_µ) różne

od neutrina (ν_e) z rozpadu jądrowego β

Synchrotron protonowy w Brookhaven π pion µ mion ν_µ neutrino mionowe Komory iskrowe

ν

_e

+ p → e

+

_{+ n}

osłona

⎯

(10)

● Odkrycie neutrina taonowego …

10 2000 eksp. DONUT w Fermilabie

Direct Observation of Nu Tau

Sygnatura leptonu τ : ślad długości ~1 mm + zakrzywienie odp. rozpadowi

τ → 1 prong + neutrals (~86%)

Znaleziono 4 przypadki odpowiadające oddziaływaniom ν_τ

protony 800 GeV

1990 liczba zapachów lekkich neutrin

Rejestracja oddziaływań ν_τ w tarczy z płyt żelaznych i bloków emulsyjnych

v

_τ

+ N →

τ⎯ + X

Eksperymenty na wielkim zderzaczu e + _e⎯ LEP w CERNie :

pomiar szerokości bozonu Z0

istnieją 3 zapachy lekkich neutrin

przekrój czynny σ( e+_{e⎯→ Z}0 _{→ hadrony )} w funkcji energii w układzie środka masy

N_ν = 2.984 0.0082 2005

E_CM

[ GeV ]

(11)

Liczba leptonowa L

leptony L = + 1 antyleptony L = – 1 inne cząstki L = 0 Model Standardowy z bezmasowymi neutrinami

Zarówno całkowita liczba leptonowa L jak i liczby leptonowe L_e, L_µ i L_τ odpowiadające różnym zapachom leptonowym są zachowywane

w oddziaływaniach silnych, elektromagnetycznych i słabych

e

־ i

ν

_e mają L_e = 1

e

+ _i

ν

e mają Le = – 1

µ

־ i

ν

_µ mają L_µ = 1

µ

+ _i

ν

µ mają Lµ = –1

τ־

i

ν

_τ mają L_τ= 1

τ

+ _i

ν

τ mają Lτ = –1 ־ ־ ־ 11

(12)

Liczba leptonowa

elektromagnetyczna produkcja pary e+_e־

słaby rozpad

π

słaby rozpad

µ

(13)

Liczba leptonowa

niezachowanie liczb leptonowych L_e i L_µ

całkowita liczba leptonowa L zachowana Dotychczas nie zaobserwowano rozpadu

µ

+ _→

e

+ ₊

γ ,

_{stosunek rozgałęzienia}

dla tego rozpadu < 10-9

Doświadczalne ograniczenie na niezachowanie liczby leptonowej

– średni czas życia dla bezneutrinowego podwójnego rozpadu

β

76Ge

τ

( 76_{Ge →} 76_{Se + 0}

ν

_{+ e־ + e}+ _{) > 10}26 _lat

13 Rozpad ten jest wynikiem przemiany dwóch neutronów w dwa protony i dla standardowego rozpadu β w stanie końcowym powinny pojawić się dwa antyneutrina

2n → 2p + 2e־ + 2ν_e ( tutaj neutrino jest neutrinem Diraca , cząstką o spinie ½ występującą tylko w jednym stanie spinowym, ν jest lewoskretne,

ν jest prawoskrętne ) ־

(14)

Moment pędu

Cząstki elementarne mogą posiadać :

●

Orbitalny moment pędu związany z ruchem cząstki i mający odpowiednik w fizyce klasycznej

●

Spin – wewnętrzny moment pędu, będący wewnętrzną liczbą kwantową

wynikającą z efektów kwantowo – mechanicznych

J

r

L

r

S

r

S

L

J

r

+

=

●

Całkowity moment pędu jest sumą orbitalnego momentu pędu i spinu

14

●

Funkcja falowa ψ cząstki posiadającej spin jest złożeniem przestrzennej funkcji

falowej ψ( r ) i spinowej funkcji falowej χ : ψ = ψ( r )χ

●

Niezmienniczość hamiltonianu względem obrotów o mały kąt δΘ względem kierunku n prowadzi do prawa zachowania całkowitego momentu pędu

Unitarny operator obrotów Ř_n(δΘ) = (1 + i ∂ΘĴ·n) wyraża się poprzez hermitowski

operator całkowitego momentu pędu [Ĵ, H] = 0

całkowity moment pędu jest zachowany

∧ ∧ ∧ + = L S J

(15)

Orbitalny moment pędu → → →

×

=

r

p

L

Fizyka klasyczna Mechanika kwantowa

zasada nieoznaczoności Heisenberga wartości r i p są skwantowane wartości L przyjmują dyskretne wartości Dla cząstki bezspinowej zachowanie orbitalnego momentu pędu wynika z niezmienniczości hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni

Operator orbitalnego momentu pędu L jest generatorem transformacji

infinitezymalnych obrotów Ř w przestrzeni wokół osi zadanej jednostkowym wektorem n

Ř_n(δΘ) = (1 + i ∂Θ L·n) [ L, H ] = 0

15 Potrafimy jednocześnie zmierzyć wielkość krętu oraz jego składową względem wybranego kierunku w przestrzeni [ L2_{, L}

z] = 0

Stany własne operatora L2 _{i L}

z, |ψlm>, spełniają równania własne:

L

2

_|ψ

lm

> =

l(l+1)ћ

2

|ψ

lm

>

orbitalna liczba kwantowa

l = 0, 1, 2 …

L

_z

|ψ

_lm

> =

mћ

|ψ

_lm

>

dla danego l występuje 2l+1 stanów odp. składowej z

m = -l, -l+1, … l-1, l

(16)

Orbitalny moment pędu w mechanice kwantowej Przykład dla l = 2

wartośc własna

odpowiadająca operatorowi L2 _:

l ( l + 1 )ħ2 _{= 6ħ}2

( 2l + 1 ) ustawień względem osi z odp. rzutowi na tą oś :

- 2ħ, -ħ, 0, +ħ, +2ħ

Orbitalny moment pędu nie może być zorientowany całkowicie w kierunku osi z ( odpowiadałoby to rzutowi [(2l+1)ħ2_]½_{= √6 ħ,} a taki nie istnieje ) .

analogiczne reguły kwantowania dla spinu Cząstka może znajdować się w dowolnym

stanie kwantowym orbitalnego momentu pędu ( l= 0, 1, 2 … ) ,

ale wartość jej spinu jest jednoznacznie określona

(17)

Spin

17

●

wewnętrzna liczba kwantowa charakteryzująca cząstki elementarne

zarówno fundamentalne składniki materii bez wewnętrznej struktury

jak i cząstki bardziej złożone np. hadrony zbudowane z kwarków (qqq,qq)

●

posiadanie spinu jest cechą definującą cząstkę,

wynikającą z efektów kwantowo – mechanicznych !

(spinowi nie odpowiada żadna fizyczna wielkość klasyczna)

●

spin jest wielkością wektorową

ma wymiar momentu pędu (wewnętrzny / własny moment pędu)

i przyjmuje dyskretne wartości ► ½ ħ, 3/2 ћ, 5/2 ћ, … dla fermionów ► 0ћ, 1ћ, 2ћ, … dla bozonów

●

funkcja falowa cząstki o spinie s ≠ 0 ma dwie lub więcej składowych ψ_i( r )

przy obrotach o kąt Θ wokół osi zadanej jednostkowym wektorem n przekształcają się one zgodnie z regułą

ψ’ _i ( r ) =

Σ

_j[ exp(– iΘ n · S ]_ij ψ_j( R-1 _{r )}

macierze S odp. składowym operatora spinu (Ŝ2 _{= Ŝ}

x2 + Ŝy2 + Ŝz2)

spełniają te same związki przemienności co składowe operatora moment pędu L

[ S_i , S_j] = S_iS_j– S_jS_i= i ћ

ε

_ijkS_k ,

ε

_ijk – symbol Leviego - Civity

־

spin cząstki złożonej = całkowitemu momentowi pędu cząstki w jej układzie spoczynkowym

(18)

Spin

●

spin podlega analogicznym regułom kwantowym jak orbitalny moment pędu wewnętrzne stany cząstki o spinie s charakteryzują wartości własne dwóch przemiennych operatorów Ŝ2 _{i Ŝ}

i, [ Ŝ2 , Ŝi ] = 0

stany spinowe |ψ_s, _ms> spełniają równania własne :

Ŝ

2 _|

_ψ

s, ms> =

s( s+1 )ħ

2|

ψ

s, ms> zależnie od liczby ”wewnętrznych stanów”

cząstki

s

= 0, 1/2, 1, 3/2 …

Ŝ

_z

|ψ

_{s, ms}

> =

m

_s

ħ

|ψ

_{s, ms}

>

rzut spinu na oś z przyjmuje 2s + 1 wartości,

wewnętrzne stany cząstki charakteryzuje wartość własna operatora Ŝ_z_, m_s = –s, –s+1, … s –1, s

●

Elektron ( proton lub neutron) ma dwa wewnętrzne stopnie swobody, spin s =½

Dla cząstki o spinie ½ operator Ŝ =( ħ /2 )

σ , σ

_i

–

macierze Pauliego (2×2), i = 1- 3

18 spin s = 1

m

_s

= +1

m

_s

= – 1

m

_s

= 0

spin s = ½

m

_s

= + ½

m

_s

= – ½

Cząstka o spinie ½ - dwa stany m_s przyjmuje wartości +½ lub -½

rzut spinu na oś z Cząstka o spinie 1 - trzy stany m_s przyjmuje wartości -1, 0, +1

(19)

Skrętność ( helicity )

●

Relatywistyczna mechanika kwantowa : cząstka o spinie s jest opisana przez spinową liczbę kwantową S oraz S_z, rzut spinu na oś z.

Te dwie liczby kwantowe można zdefiniować tylko dla cząstek o niezerowej

masie spoczynkowej, dla których zawsze istnieje układ spoczynkowy ( pęd cząstki = 0 )

●

Dla cząstki o zerowej masie ( np. fotonu ) wewnętrzne stany cząstki opisuje

skrętność

|

p

||

s

|

s

p

r

r ⋅

=

λ

Znormalizowana wartość rzutu spinu cząstki na kierunek jej pędu ( kierunek ruchu ) (dla cząstki bezmasowej wyróżnionym kierunkiem jest kierunek

jej pędu ) ▼ skrętnośc jest niezmiennikiem transformacji Lorentza

( jest taka sama we wszystkich układach odniesienia )

▼ rzut spinu na kierunek pędu przyjmuje tylko dwie wartości S_z = ± S

skrętność

λ = ± 1

19

Dla cząstki masywnej skrętność nie jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza ( dla v < c zawsze istnieje układ odniesienia, w którym pęd cząstki ma przeciwny zwrot i

λ

→ –

λ

)

(20)

Skrętność 20 Skrętność neutrin

|

p

||

s

|

s

p

r

r ⋅

=

λ

Zgodnie z równaniem Diraca dla cząstek bezmasowych ( lub ultrarelatywistycznych ) skrętność

λ =

± 1

Eksperyment : obserwuje się jedynie stany neutrin z rzutem spinu na kierunek ruchu S_z = – ½ ħ , czyli ze skrętnoscią

λ

= – 1. Natomiast antyneutrina mają skrętność

λ

= + 1.

ν

p

_ν

p

S

_z

S

_z Neutrina są całkowicie spolaryzowane podłużnie –

(21)

Skrętność Polaryzacja fotonów

foton J

P

_{= 1־}

Fotony rzeczywiste ( m = 0, v = c ) – występują w stanach o skrętności

λ

= ± 1.

fotony o polaryzacji poprzecznej tzn. stowarzyszone z nimi pola elektryczne

i magnetyczne, E i B, są prostopadłe do wektora propagacji fali elekromagnetycznej k ( poprzeczna polaryzacja fal elektromagnetycznych)

Foton wirtualny, który jest nośnikiem oddz. elektromagnetycznych m-dzy cząstkami i nie jest ściśle bezmasowy, może także posiadać polaryzację podłużną tzn.

λ

= 0.

Pole E jest równoległe do kierunku propagacji fali elektromagnetycznej.

21

k

S

_z

= -1,

λ = -1

E

S

_z

= +1,

λ = +1

S

_z

= 0,

λ = 0

k

foton spolaryzowany poprzecznie foton spolaryzowany podłużnie

(22)

Moment pędu w modelu kwarkowym

●

Hadrony są zbudowane z kwarków : mezony( qq ) i bariony( qqq )

●

Zakładamy, że L i S są dobrymi liczbami kwantowymi [ H, L2 _{] = [ H, S}2 _{] = 0}

●

Najlżejsze mezony i bariony – układy kwarków z krętem orbitalnym L = 0 ־

22 Mezony – stany związane qq

► układ spoczynkowy mezonów – układ środka masy (CM) systemu qq

► spin mezonu = całkowity moment pędu pary qq w bukładzie CM, J = L + S

► lekkie mezony - zakładamy L = 0, suma spinów kwarków S = S_q + S_q,

( anty )kwarki mają spin ½ → S = 0 lub S = 1 → ponieważ J = S to J = 0 lub J = 1

dla dowolnej kombinacji zapachów ud, us, cc … oczekujemy, że najlżejsze stany mezonowe będą miały spin 0 i 1

dla

L = 0

2S+1

_L

J

=

1

S

0

(stany singletowe) i

3

S

1

( stany tripletowe )

notacja spektroskopowa : 2S+1_L

J konwencja L = 0,1,2,3 oznaczamy jako S, P, D, F

●

L ≥ 1 dla S = 0 spin J = L dla S = 1 spin J = L ± 1, L dla L ≥ 1 2S+1_LJ ₌1_L L , 3LL+1, 3LL, 3LL-1 ־ ־ ־ ־ ־ ־ ־

(23)

Lekkie mezony – stany z orbitalnym momentem pędu L = 0 klasyfikacja SU(3)_zapach, tylko stany z u, d i s

Nonet mezonów ( L=0, S = 0, J = 0 )

π

0

_{, η}

_i

_η

_{’ są kombinacjami uu, dd i ss} masy / MeV :

π

(140), K(495)

η

(550), η’(950)

Spin = 0

Nonet mezonów ( L=0, S = 1, J = 1 )

Spin = 1

ρ

0

_{, ω}

0 _i

_φ

0 _{są kombinacjami uu, dd i ss} masy / MeV :

ρ

(770), K*(890)

ω

(780),

φ

(1020)

J

P

_{= 0}

־

J

P

_{= 1}

־ dziwność _dziwność izospin, I₃ _{izospin, I} 3 23

(24)

Moment pędu w modelu kwarkowym

Bariony – stany związane qqq

► układ spoczynkowy barionów – układ środka masy (CM) systemu qqq

► w układzie CM systemu qqq

dwa orbitalne momenty pędu związane ze względnym ruchem 3 kwarków : ● orbitalny moment pędu L12 wybranej pary kwarków

● kręt L3 trzeciego kwarka względem środka masy pary

Spin barionu = całkowity moment pędu systemu qqq , J = L + S

q

₁

Całkowity orbitalny moment pędu L = L₁₂ + L₃

Suma spinów S = S₁ + S₂+ S₃ → S = 3/2 lub S = ½

Jeżeli L₁₂ = L₃ = 0 ( lekkie bariony ) → L = O i J = S

Dla L = 0 2S+1_L

J = 2S1/2 i 4L3/2

Najlżejsze bariony mają spin ½ lub 3/2

q

₃

L

₁₂

L

₃

q

₂

(25)

Lekkie bariony – stany z orbitalnym momentem pędu L = 0 klasyfikacja SU(3)_zapach, tylko stany z u, d i s

Oktet barionów ( L=0, S = ½, J = ½ )

Spin = ½

dekuplet barionów ( L=0, S = 3/2, J = 3/2 )

Spin = 3/2

J

P

₌

_½+

J

P

=

_3/2+ dziwność dziwność izospin, I₃ izospin, I₃ Masy / MeV : ∆(1230), Σ(1385) Ξ(1530), Ω(1670) Masy / MeV : nukleon(940), Σ(1190)

Λ(1190), Ξ(1320)

(26)

Pomiary spinu

●

pomiar przekrojów czynnych

dla procesu a + b → c + d przekrój czynny σ zależy od liczby dostępnych stanów spinowych cząstek w stanie początkowym i końcowym

σ(a + b → c + d) ~ (2S_c+ 1)(2S_d+1) × inne czynniki , S_i – spin cząstki

tą zależność można wykorzystać do pomiaru spinu cząstek

●

spin cząstki można wyznaczyć mierząc rozkłady kątowe produktów jej rozpadu

(27)

Związek spinu ze statystyką

Wszystkie cząstki elementarne są albo

fermionami

albo

bozonami

:

●

fermiony posiadają spin połówkowy ½ћ, 3/2ћ, 5/2ћ …

(podlegają statystyce Fermiego-Diraca)

●

bozony posiadają spin całkowity 0, ћ, 2ћ, …

(podlegają statystyce Bosego-Einsteina)

Jakie są własności symetrii funkcji falowej ψ opisującej zbiór identycznych fermionów / bozonów względem zamiany współrzędnych dowolnej pary cząstek ?

Zamiana miejscami dwóch nierozróżnialnych cząstek nie zmienia wartości |ψ|² , czyli

ψ → ± ψ

Kwantowa teoria pola – twierdzenie o związku spinu ze statystyką

– zamiana miejscami dwóch identycznych bozonów

nie zmienia stanu kwantowego ; funkcja falowa ψ jest symetryczna ψ → + ψ – zamiana miejscami dwóch identycznych fermionów prowadzi do zmiany znaku

funkcji falowej ψ → – ψ ; funkcja falowa jest antysymetryczna

27

Historycznie, zakaz Pauliego (zabraniający zajmowania danego stanu kwantowego przez wiecej niż jeden elektron) przybrał postać warunku antysymetrii funkcji falowej układu wielu elektronów (fermionów) względem wszystkich współrzędnych przestrzennych i spinowych .