Wykad nr 5 (Rwnania rniczkowe czstkowe liniowe drugiego rzdu)

5 Równania ró»niczkowe cz¡stkowe liniowe

dru-giego rz¦du.

5.1 Równania ró»niczkowe cz¡stkowe drugiego rz¦du dla

funkcji dwóch zmiennych

Dla funkcji u = u(x, y) dwóch zmiennych równanie ró»niczkowe cz¡stkowe drugiego rz¦du ma ogóln¡ posta¢

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0.

Szczególnymi przypadkami s¡

a(x, y, u, ux, uy)uxx+ 2b(x, y, u, ux, uy)uxy+ c(x, y, u, ux, uy)uyy = g(x, y, u, ux, uy)

 równanie quasiliniowe,

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = g(x, y, u, ux, uy)

 równanie semiliniowe,

a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy+ d(x, y)ux+ e(x, y)uy+ f (x, y)u = g(x, y)

 równanie liniowe.

Równanie liniowe nazywamy jednorodnym, gdy g ≡ 0, i niejednorodnym w przeciwnym przypadku.

Wyró»niamy te» równania liniowe (jednorodne i niejednorodne) o staªych wspóªczynnikach: a, b, c, d, e i f sa niezale»ne od (x, y).

5.2 Zagadnienie Cauchy'ego dla równania

quasiliniowe-go

Zaªó»my, »e Ω ⊂ R2 jest obszarem.

Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz¡stkowe quasiliniowe drugiego rz¦du

(RRCzQ) a(x, y, u, ux, uy)uxx+ 2b(x, y, u, ux, uy)uxy+

+ c(x, y, u, ux, uy)uyy = g(x, y, u, ux, uy),

gdzie a, b, c, g : Ω×R3 _{→ R s¡ funkcjami wystarczaj¡co regularnymi na to, by}

dokonywane przeksztaªcenia byªy uprawnione(1)_{. Ponadto, stale zakªadamy,}

(1)_{Niekiedy dziedziny funkcji sa wªa±ciwymi podzbiorami wymienionego wzoru. Na}

przy-kªad, je±li u(x, y) oznacza g¦sto±¢ pewnej substancji w punkcie (x, y), naturalnym jest za-ªo»enie, »e rozwi¡zanie mo»e przyjmowa¢ tylko warto±ci nieujemne, i wówczas dziedzin¡ jest Ω × [0, ∞) × R2_.

»e |a(x, y, u, ux, uy)|+|b(x, y, u, ux, uy)|+|c(x, y, u, ux, uy)| > 0dla wszystkich

(x, y, u, ux, uy) ∈ Ω × R3.

Niech `0 b¦dzie krzyw¡ zawart¡ w pªaszczy¹nie XOY , klasy C1, bez

sa-moprzeci¦¢, zadan¡ w postaci parametrycznej

x = x0(s), y = y0(s), s ∈ [s1, s2] =: I.

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania (RRCzQ) polega na znalezieniu rozwi¡zania u = u(x, y) równania (RRCzQ) speªniaj¡cego warunki Cau-chy'ego: (5.1)        u(x0(s), y0(s)) = h(s), s ∈ I, ux(x0(s), y0(s)) = ϕ(s), s ∈ I, uy(x0(s), y0(s)) = ψ(s), s ∈ I,

gdzie h, ϕ i ψ s¡ zadanymi funkcjami.

Ró»niczkuj¡c funkcj¦ u(x0(s), y0(s)) po s otrzymujemy h0(s) = ϕ(s)x0₀(s) + ψ(s)y₀0(s), s ∈ I.

Wynika st¡d w szczególno±ci, »e nie wszystkie trzy funkcje h, ϕ i ψ mog¡ by¢ dowolne.

Cz¦stym zaªo»eniem jest, »e zadana jest pochodna normalna na krzywej

`0: (5.2)        u(x0(s), y0(s)) = h(s), s ∈ I, ux(x0(s), y0(s))y00(s) − uy(x0(s), y0(s))x00(s) q (x0₀(s))2_{+ (y}0 0(s))2 = χ(s), s ∈ I,

gdzie h i χ s¡ zadanymi funkcjami.

Wró¢my do ogólnego przypadku (5.1). Ró»niczkuj¡c funkcje ux(x0(s), y0(s))

i uy(x0(s), y0(s)) po s otrzymujemy

ϕ0(s) = uxx(x0(s), y0(s))x00(s) + uxy(x0(s), y0(s))y00(s), s ∈ I, ψ0(s) = uxy(x0(s), y0(s))x00(s) + uyy(x0(s), y0(s))y00(s), s ∈ I.

Otrzymali±my zatem ukªad trzech równa« liniowych

(5.3)      auxx + 2buxy + cuyy = g x0₀uxx + y00uxy = ϕ0 x0₀uxy + y00uyy = ψ0 .

Oznaczmy przez ∆ wyznacznik powy»szego ukªadu, czyli ∆ = a(y₀0)2− 2bx0₀y0₀+ c(x0₀)2.

Krzyw¡ `0 nazywamy charakterystyczn¡, gdy wyznacznik ∆ jest w

ka»-dym jej punkcie równy zeru, i niecharakterystyczn¡, gdy wyznacznik ∆ jest w ka»dym jej punkcie ró»ny od zera.

W przypadku krzywej niecharakterystycznej, warto±ci drugich pochod-nych cz¡stkowych uxx, uxy i uyy na krzywej `0 s¡ jednoznacznie wyznaczone

przez warunki Cauchy'ego. Co wi¦cej, w takim przypadku pochodne wy»-szych rz¦dów (o ile istniej¡) na krzywej `0 te» s¡ jednoznacznie wyznaczone

przez warunki Cauchy'ego.

W szczególno±ci, je±li wszystkie wyra»enia wyst¦puj¡ce zarówno w rów-naniu jak i warunkach Cauchy'ego s¡ funkcjami analitycznymi, otrzymujemy w ten sposób wzory rekurencyjne na pochodne kolejnych rz¦dów rozwi¡zania. Co wi¦cej, dowodzi si¦, »e otrzymany szereg Taylora rozwi¡zania ma nietry-wialny obszar zbie»no±ci. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Cauchy Kowalewskiej(2)_.

5.3 Równania ró»niczkowe cz¡stkowe drugiego rz¦du

se-miliniowe

B¦dziemy teraz rozwa»ali równania semiliniowe

(5.4) a(x, y)uxx+ 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = g(x, y, u, ux, uy).

Gªówn¡ uwag¦ b¦dziemy po±wi¦cali wyrazom zawieraj¡cym pochodne dru-giego rz¦du szukanej funkcji (cz¦±ci gªównej równania).

Mówimy, »e równanie semiliniowe jest w punkcie (x, y) ∈ Ω ˆ eliptyczne, gdy a(x, y)c(x, y) − (b(x, y))2 _{> 0,}

ˆ hiperboliczne, gdy a(x, y)c(x, y) − (b(x, y))2 _{< 0,}

ˆ paraboliczne, gdy a(x, y)c(x, y) − (b(x, y))2 _{= 0.}

Równanie jest eliptyczne (hiperboliczne, paraboliczne) na obszarze Ω ⊂ Rn,

je±li jest eliptyczne (hiperboliczne, paraboliczne) w ka»dym punkcie obszaru Ω.

Posta¢ kanoniczna równania ró»niczkowego semiliniowego drugiego rz¦du: ˆ uxx− uyy+ · · · = 0 (lub uxy = 0)  równanie hiperboliczne;

ˆ uxx+ · · · = 0  równanie paraboliczne;

ˆ uxx+ uyy+ · · · = 0  równanie eliptyczne.

W powy»szych, . . . oznacza wyrazy w których nie wyst¦puj¡ pochodne dru-giego rz¦du.

Je±li wspóªczynniki cz¦±ci gªównej nie zale»¡ od (x, y), wiadomo z algebry liniowej, »e za pomoc¡ liniowej zamiany zmiennych mo»na równanie semili-niowe sprowadzi¢, w caªej swej dziedzinie, do postaci kanonicznej.

W ogólnym przypadku, szukamy (nieliniowej) zamiany zmiennych (x, y) 7→ (ξ, η), klasy C2_{, takiej »e w nowych zmiennych wyj±ciowe równanie ma posta¢}

kanoniczn¡. Ponadto, odwrotna zamiana zmiennych (ξ, η) 7→ (x, y) musi by¢ te» klasy C2_{. W szczególno±ci, wynika st¡d, »e jakobian musi by¢ wsz¦dzie}

ró»ny od zera.

Elementarne rachunki wykorzystuj¡ce twierdzenie o ró»niczkowaniu funk-cji zªo»onej daj¡ nam:

ux = uξξx+ uηηx

uy = uξξy+ uηηy

uxx = uξξ(ξx)2+ 2uξηξxηx+ uηη(ηx)2+ uξξxx+ uηηxx

uxy = uξξξxξy+ uξη(ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy+ uηηxy

uyy = uξξ(ξy)2+ 2uξηξyηy+ uηη(ηy)2+ uξξyy+ uηηyy.

Po dokonaniu powy»szych podstawie« równanie (5.4) przyjmuje nast¦puj¡c¡ posta¢:

αuξξ+ 2βuξη + γuηη + · · · = 0,

gdzie

α = a(ξx)2 + 2bξxξy+ c(ξy)2

β = aξxηx+ b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy

γ = a(ηx)2+ 2bηxηy + c(ηy)2.

Mo»na wykaza¢, »e taka zamiana zmiennych nie zmienia typu równania. Zaªó»my teraz, »e wyj±ciowe równanie (5.4) jest typu hiperbolicznego na pewnym obszarze, i chcemy je doprowadzi¢ do postaci kanonicznej, w której cz¦±¢ gªówna ma posta¢ uξη. Chcieliby±my wi¦c, by α ≡ 0 i γ ≡ 0. Ustalmy

pewien punkt (˜x, ˜y), i zaªó»my, dla ustalenia uwagi, »e a(˜x, ˜y) 6= 0.

Zajmijmy si¦ najpierw pierwsz¡ równo±ci¡. Rozwa»my poziomic¦ funkcji

ξ, czyli krzyw¡ ξ = const, i zaªó»my, »e jest ona wykresem funkcji y = y(x).

Wiedz¡c, »e ∂ξ ∂x + ∂ξ ∂y dy dx = 0,

otrzymujemy, po odpowiednich przeksztaªceniach, a dy dx !2 − 2bdy dx + c = 0, co daje (5.5) dy dx =

b(x, y) ±q(b(x, y))2_{− a(x, y)c(x, y)}

a(x, y) .

We¹my, dla ustalenia uwagi, znak + w powy»szym równaniu. Okazuje si¦ wi¦c, »e poziomice funkcji ξ to krzywe caªkowe równania

dy dx =

b(x, y) +q(b(x, y))2_{− a(x, y)c(x, y)}

a(x, y) .

Za ξ bierzemy jak¡kolwiek caªk¦ powy»szego równania, której gradient jest wsz¦dzie ró»ny od zera.

Je±li chodzi o funkcj¦ η, zauwa»my, »e równanie ró»niczkowe zwyczajne na jej poziomice ma tak¡ sam¡ posta¢ jak (5.5). Poniewa» jakobian przeksztaª-cenia (x, y) 7→ (ξ, η) musi by¢ niezerowy w punkcie (˜x, ˜y), jedyna mo»liwo±¢ to wzi¡¢ znak −:

dy dx =

b(x, y) −q(b(x, y))2_{− a(x, y)c(x, y)}

a(x, y) .

Za η we¹miemy teraz jak¡kolwiek caªk¦ tego równania, której gradient jest wsz¦dzie ró»ny od zera.

Równanie przybiera teraz posta¢

β(ξ, η)uξη+ · · · = 0.

Dalej, z hiperboliczno±ci wynika, »e β(˜ξ, ˜η) > 0, gdzie ˜ξ = ξ(˜x), ˜η = η(˜y). Mo»na wi¦c, w pewnym otoczeniu punktu (˜ξ, ˜η) podzieli¢ obie strony przez

β(ξ, η), otrzymuj¡c równanie w »¡danej postaci kanonicznej.

Zauwa»my, »e krzywe ξ = const i η = const to krzywe charakterystyczne równania (5.4).

Przejd¹my teraz do przypadku, gdy równanie jest paraboliczne. Jedyna krzywa charakterystyczna przechodz¡ca przez punkt (˜x, ˜y) to krzywa caªkowa równania ró»niczkowego zwyczajnego

dy dx =

b(x, y) a(x, y).

Za ξ we¹miemy teraz pewn¡ caªk¦ powy»szego równania o niezerowym gra-diencie, za± za η dowoln¡ funkcj¦, której gradient w (˜x, ˜y) nie jest równolegªy do gradientu funkcji ξ.

W przypadku równa« eliptycznych podej±cie jest analogiczne jak dla rów-na« hiperbolicznych, wymaga jednak dopuszczenia rówrów-na« o wspóªczynni-kach zespolonych (i zespolonych krzywych charakterystycznych).

Naszkicowali±my powy»ej dowód nast¦puj¡cego twierdzenia.

Twierdzenie 5.1. Zaªó»my, »e równanie semiliniowe (5.4), gdzie a, b, c: ΩR s¡ klasy C2_{, ma ustalony typ na obszarze Ω ⊂ R}2_{. Dla ka»dego punktu (˜x, ˜y) ∈}

Ω istnieje otoczenie U ⊂ Ω i zamiana zmiennych (x, y) 7→ (ξ, η) klasy C2,

z odwrotn¡ zamian¡ te» klasy C2_{, takie, »e w zmiennych (ξ, η) równanie ma}

posta¢ kanoniczn¡.

Przykªad. Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz¡stkowe

x2uxx− y2uyy = 0.

Jest to równanie typu hiperbolicznego poza osiami wspóªrz¦dnych. Ogra-niczmy si¦, dla ustalenia uwagi, do pierwszej ¢wiartki. Równania krzywych charakterystycznych maj¡ posta¢

dy dx = ±

y x.

Caªki to, na przykªad, ξ = y/x, η = xy. Podstawiaj¡c odpowiednie pochodne do wzorów na uξξ, uξη i uηη otrzymujemy −4ξηuξη + 2ξuξ= 0, co daje uξη − 1 2ηuη = 0.

Równanie to mo»na ªatwo rozwi¡za¢: jest to liniowe równanie ró»niczkowe zwyczajne pierwszego rz¦du, gdzie niewiadom¡ funkcj¡ jest uξ; rozwi¡zuj¡c

je otrzymujemy

uξ(ξ, η) =

√

ηf0(ξ), co daje po scaªkowaniu wzgl¦dem ξ:

Powracaj¡c do starych zmiennych otrzymujemy u(x, y) =√xyf _y x  + g(xy), gdzie f i g s¡ dowolnymi funkcjami klasy C2.

W teorii przepªywów nadd¹wi¦kowych pojawia si¦ równanie Tricomiego(3) yuxx+ uyy = 0,

które jest typu eliptycznego dla y > 0 i typu hiperbolicznego dla y < 0.

5.4 Klasykacja równa« drugiego rz¦du dla funkcji n

zmiennych, gdy n ­ 2

Oznaczmy dowolny punkt w Rn _{przez x = (x}

1, . . . , xn).

Rozwa»my równanie ró»niczkowe cz¡stkowe semiliniowe drugiego rz¦du, dla funkcji u = u(x1, . . . , xn), postaci

(5.6) Xn

i,j=1

aij(x)uxixj+ · · · = 0,

gdzie . . . oznacza wyrazy zale»ne od x, u i pochodnych pierwszego rz¦du funkcji u (niekoniecznie w sposób liniowy). Cz¦±ci¡ gªówn¡ powy»szego rów-nania nazywamy

n

X

i,j=1

aij(x)uxixj.

O funkcjach aij: Ω → R, gdzie Ω ⊂ Rn jest obszarem, zakªadamy, »e s¡

ci¡gªe. Ponadto, zakªadamy, »e dla ka»dego x ∈ Ω macierz [aij(x)]ni,j=1 jest

symetryczna i niezerowa.

Mówimy, »e równanie (5.6) jest eliptyczne w punkcie x ∈ Ω, gdy macierz [aij(x)]ni,j=1 jest dodatnio (lub ujemnie) okre±lona.

Mówimy, »e równanie (5.6) jest hiperboliczne w punkcie x ∈ Ω, gdy ma-cierz [aij(x)]ni,j=1 ma jedn¡ ujemn¡ i n − 1 dodatnich warto±ci wªasnych (lub

jedn¡ dodatni¡ i n − 1 ujemnych warto±ci wªasnych).(4)

Mówimy, »e równanie (5.6) jest paraboliczne w punkcie x ∈ Ω, gdy macierz [aij(x)]ni,j=1 jest póªdodatnio okre±lona lecz nie dodatnio okre±lona (lub jest

(3)_{Francesco Giacomo Tricomi (1897  1978), matematyk wªoski.}

(4)_{Warto tu zaznaczy¢, »e poj¦cie hiperboliczno±ci wyst¦puje w wielu miejscach teorii}

równa« ró»niczkowych cz¡stkowych, oznaczaj¡c ró»ne, pozornie (?) ze sob¡ nie powi¡zane, rzeczy.

póªujemnie okre±lona lecz nie ujemnie okre±lona), i zero jest jej pojedyncz¡ warto±ci¡ wªasn¡.

Dla n = 2 powy»sze denicje pokrywaj¡ si¦ z denicjami z poprzedniego rozdziaªu.

Zauwa»my, »e dla n > 2 klasykacja równa« postaci (5.6) jako eliptycz-nych, parabolicznych lub hiperbolicznych nie jest zupeªna.

W przypadku równa« quasiliniowych, dla n = 2, klasykacja jako rów-nania typu hiperbolicznego, parabolicznego b¡d¹ eliptycznego te» odgrywa du»¡ rol¦. Jednak»e, w odró»nieniu od równa« semiliniowych, typ równania mo»e zale»e¢ nie tylko od punktu (x, y), lecz tak»e od warto±ci rozwi¡zania i jego pierwszych pochodnych w tym punkcie.