Ukªady równa« liniowych
Ukªad m równa« liniowych z n niewiadomymi
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm mo»na zapisa¢ jako równanie macierzowe
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
·
x1 x2 ...
xn
=
b1 b2 ...
bm
Przyjmuj¡c oznaczenia
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
, b =
b1 b2 ...
bm
, x =
x1 x2 ...
xn
mo»emy dany ukªad zapisa¢ w postaci Ax = b,
gdzie A ∈ Matm×n(R) i b ∈ Rm s¡ dane, za± x ∈ Rn jest szukane.
Macierz A nazywamy macierz¡ ukªadu równa«.
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
Macierz [A|b] nazywamy macierz¡ rozszerzon¡ ukªadu równa«.
[A|b] =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n
... ... ...
am1 am2 . . . amn
b1 b2 ...
bm
Przeksztaªceniami elementarnymi wierszy macierzy nazywamy:
pomno»enie wiersza przez liczb¦ ró»n¡ od zera,
zamian¦ dwóch wierszy,
dodanie do wiersza innego pomno»onego przez liczb¦.
Metoda eliminacji Gaussa.
Za pomoc¡ przeksztaªce« elementarnych doprowadzamy macierz rozszerzon¡ [A|b] do zredukowanej postaci górnoschodkowej.
Przy przeksztaªceniach elementarnych tej macierzy nie zmienia si¦ zbiór rozwi¡za« ukªadu równa« Ax = b.
Posta¢ górnoschodkowa macierzy rozszerzonej
0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . ∗ ∗ . . . ∗ ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . ... ... . . . ...
0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ... . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . ... ... . . . ...
0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0
∗
∗
∗
∗...
∗
? 0...
0
Elementy ∗ s¡ ró»ne od zera.
Zredukowana posta¢ górnoschodkowa macierzy rozszerzonej
0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0
∗
∗
∗...
∗
? 0...
0
Minorem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy wyznacznik jej podmacierzy kwadratowej:
ai1j1 ai1j2 . . . ai1j
k
ai2j1 ai2j2 . . . ai2j ... ... ... k
ai
kj1 ai
kj2 . . . ai
kjk
,
gdzie 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m, 1 6 j1 < j2 < . . . < jk 6 n.
Rz¦dem macierzy A ∈ Matm×n(R) nazywamy najwi¦kszy stopie«
jej niezerowego minora.
Przeksztaªcenia elementarne nie zmieniaj¡ rz¦du macierzy.
Twierdzenie Kroneckera Capellego (wersja krótka)
Ukªad równa« Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm, x ∈ Rn po- siada rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank(A) = rank[A|b].
Uwaga: "posiada rozwi¡zanie" oznacza "posiada co najmniej jed- no rozwi¡zanie".
Twierdzenie Kroneckera Capellego (wersja dªuga)
Rozwa»my ukªad równa« Ax = b, gdzie A ∈ Matm×n(R), b ∈ Rm, x ∈ Rn.
a) Je±li rank(A) = rank[A|b] = n, to ukªad równa« ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.
b) Je±li rank(A) = rank[A|b] = r < n, to ukªad równa« ma nie- sko«czenie wiele rozwi¡za«. Rozwi¡zanie zale»y od n − r para- metrów.
c) Je±li rank(A) 6= rank[A|b], to ukªad równa« nie ma rozwi¡za«.
Co to znaczy, »e rozwi¡zanie zale»y od n − r parametrów?
Wszystkie rozwi¡zania ukªadu Ax = b s¡ postaci x = x0 + c1v1 + . . . + cn−rvn−r
dla dowolnych warto±ci parametrów c1, . . . , cn−r ∈ R, gdzie x0, v1, . . . , vn−r ∈ Rn.
Dla ró»nych warto±ci parametrów c1, . . . , cn−r otrzymujemy ró»ne rozwi¡zania x.
Rozwi¡zania ukªadu jednorodnego Ax = 0 s¡ wówczas postaci x = c1v1 + . . . + cn−rvn−r
dla c1, . . . , cn−r ∈ R.
Niech x0 b¦dzie pewnym rozwi¡zaniem ukªadu równa« Ax = b.
Wówczas wszystkie rozwi¡zania tego ukªadu s¡ postaci x = x0 + v,
gdzie v jest dowolnym rozwi¡zaniem ukªadu Ax = 0.
Dowód. Je±li Ax0 = b i Av = 0, to
A(x0 + v) = Ax0 + Av = b + 0 = b.
Je±li Ax0 = b i Ax = b, to dla v = x − x0 mamy
Twierdzenie. Dla macierzy kwadratowej A ∈ Matn×n(R) nast¦- puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
macierz A jest odwracalna,
det(A) 6= 0,
rank(A) = n.
Niech A ∈ Matn×n(R), det(A) 6= 0, b ∈ Rn. Ukªad równa«
Ax = b
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, które wyra»a si¦ wzorem x = A−1b.
Wzory Cramera:
x1 = W1
W , . . . , xn = Wn W , gdzie W = det A 6= 0,
Wi - wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A przez zamia- n¦ i-tej kolumny na kolumn¦ b:
Wi =
a11 . . . b1 . . . a1n a21 . . . b2 . . . a2n
... ... ...
an1 . . . bn . . . ann
.
