Ukªady równa« liniowych
Informacje pomocnicze
De nicja 1. Ogólna posta¢ ukªadu m równa« liniowych z n niewiadomymi x1, x1, . . . xn, gdzie m, n ∈ N jest nast¦puj¡ca
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
, (U RL)
gdzie aij, bi ∈ R dla ka»dego i ∈ {1, 2, . . . m}, j ∈ {1, 2, . . . n}.
Rozwi¡zaniem powy»szego ukªadu nazywamy n−k¦ liczb (x1, x1, . . . xn) liczb speªniaj¡cych ka»de z równa«.
De nicja 2. Ukªad (URL), w którym b1 = b2 = . . . = bm = 0 nazywamy jednorodnym ukªadem równa« liniowych. W przeciwnym przypadku jest toukªad niejednorodny.
De nicja 3. Je±li (URL) posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie, to taki ukªad nazywamyukªadem oznaczonym(ukªad równa« niezale»nych).
De nicja 4. Je±li (URL) posiada niesko«czenie wiele rozwi¡za«, to taki ukªad nazywamyukªadem nieoznaczonym (ukªad równa« zale»nych).
De nicja 5. Je±li (URL) nie posiada rozwi¡za«, to taki ukªad nazywamy ukªadem sprzecznym.
De nicja 6. Je±li w ukªadzie (URL) ilo±¢ niewiadomych jest równa ilo±ci równa« m = n, to taki ukªad nazywamy ukªadem kwadratowym.
Ukªad (URL) mo»na zapisa¢ za pomoc¡ macierzy:
A · X = B, gdzie
A =
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ...
am1 am2 . . . amn
, X =
x1 x2 ...
xn
, B =
b1 b2 ...
bm
.
Macierz A nazywamy macierz¡ gªówn¡ (U RL), macierz X macierz¡ (kolumn¡) niewiadomych, natomiast macierz B nazywamy macierz¡ (kolumn¡) wyrazów wolnych.
De nicja 7. Macierz AU = [A|B] =
a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 ... ... ... ...
am1 am2 . . . amn bm
nazywamy macierz¡ rozszerzon¡
(uzupeªnion¡) ukªadu (URL).
De nicja 8. Ukªad równa« liniowych
A · X = B,
w którym A jest macierz¡ kwadratow¡ nieosobliwa (detA 6= 0) nazywa si¦ ukªadem Cramera Twierdzenie 1. Ukªad Cramera posiada dokªadnie jedno rozwi¡zanie:
x1 x2 ...
xn
= 1
det A
det A1
det A2
det A... n
,
gdzie wyznaczniki det Aj, j = 1, 2, . . . n otrzymujemy poprzez zast¡pienie w macierzy A j−tej kolumny kolumn¡ wyrazów wolnych.
W przypadku, gdy macierz gªówna ukªadu jest kwadratow¡ macierz¡ osobliw¡ det A = 0, wówczas:
• ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za« je±li
det A1 =det A2 = . . . =det An = 0
• ukªad jest ukªadem sprzecznym je±li przynajmniej jeden z wyznaczników det Aj jest ró»ny od zera.
Uwaga 1. Jednorodny ukªad Cramera posiada tylko jedno rozwi¡zanie. Jest to rozwi¡zanie zerowe tzn. x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn= 0.
Metoda eliminacji Gaussa
Zaprezentuj¦ teraz tzw. metod¦ eliminacji Gaussa dla ogólnego ukªadu równa« liniowych (U RL).
Przedstawmy najpierw tzw.operacje elementarne wykonywane na ukªadzie równa«, które nie zmieniaj¡ zbioru rozwi¡za« rozwa»anego ukªadu.
Uwaga 2. Poni»sze operacje elementarne s¡ wykonywane jedynie na wierszach .
Operacje elementarne wykonywane na wierszach rozszerzonej macierzy ukªadu równa« liniowych AU:
• mno»enie (dzielenie) dowolnego wiersza przez liczb¦ ró»n¡ od 0;
• zamiana mi¦dzy sob¡ dwóch wierszy;
• dodania do dowolnego wiersza innego wiersza przemno»onego przez dowoln¡ liczb¦;
• skre±lenie wiersza zªo»onego z samych zer;
• skre±lenie wiersza proporcjonalnego do innego wiersza.
Uwaga 3. Na kolumnach dopuszcza si¦ jedynie zamiany kolumn (nie dotyczy kolumny wyrazów wolnych ) ale nale»y to odpowiednio oznaczy¢.
Operacje elementarne wykonujemy na wierszach macierzy uzupeªnionej ukªadu, tak aby otrzy- ma¢ zera pod gªówn¡ przek¡tn¡
Kolejne etapy metody eliminacji Gaussa:
1 tworzymy macierz rozszerzon¡ ukªadu [A|B];
2 Je»eli a11 6= 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a11 (wtedy po przeksztaªceniu wyraz w pierwszym wierszu i w pierwszej kolumnie wynosi 1. Nast¦pnie posªuguj¡c si¦ tym wierszem (operacje elementarne), uzyskamy zera w pierwszej kolumnie poni»ej wyrazu a11. Gdyby wyraz a11 = 0, ale inny wyraz w pierwszej kolumnie jest ró»ny od zera, to przestawiamy najpierw pierwszy wiersz z tym wierszem i dalej post¦pujemy tak jak poprzednio.
3 Przechodzimy teraz do wyrazu a22. Je»eli nowy a22 6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a22 i posªuguj¡c si¦ tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poni»ej a22, itd.
4 Post¦powanie kontynuujemy a» do n-tej kolumny.
W efekcie takiego post¦powania uzyskamy macierz schodkow¡, w której ka»dy element na gªównej przek¡tnej wynosi 1. Macierz ta pozwala na proste znalezienie rozwi¡zania.
Mamy wówczas trzy mo»liwo±ci:
1 otrzymana macierz nie ma wierszy postaci [0 0 . . . 0|1] i liczba niezerowych wierszy jest równa liczbie niewiadomych, tzn. macierz jest postaci (trójk¡tnej):
1 a12 a13 . . . a1n b1 0 1 a23 . . . a2n b2 0 0 1 . . . a3n b3 ... ... ... ... ...
0 0 0 . . . 1 bn
.
Macierz ta odpowiada ukªadowi:
x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1 x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2 x3 + . . . + a3nx3 = b3
... ...
xn = bn
Wówczas ukªad ma jedno rozwi¡zanie, które otrzymujemy wykonuj¡c tzw. podstawienie wsteczne: z ostatniego równania wyznaczamy xn,wyznaczon¡ warto±¢ podstawiamy do przed- ostatniego i wyznaczamy xn−1, itd.
2 Je»eli w otrzymanej macierzy wyst¦puje wiersz [0 0 . . . 0|1], to ukªad jest sprzeczny.
3 W macierzy nie ma wierszy postaci [0 0 . . . 0|1], ale jest wi¦cej kolumn ni» wierszy. Stosujemy, tak jak w punkcie pierwszym, podstawienie wsteczne rozwi¡zuj¡c ten ukªad od doªu, ale za niewiadome, które odpowiadaj¡ kolumnom dodatkowym przyjmujemy dowolne warto±ci (tzw.
staªe albo parametry rozwi¡zania) i przenosimy je na praw¡ stron¦ odpowiednich równa«.
Przykªad 1. Stosuj¡c metod¦ eliminacji Gaussa rozwi¡» ukªad:
2x + y − z + t = 1 y + 3z − 3t = 1 x + y + z − t = 1.
Tworzymy macierz uzupeªnion¡ i dokonujemy operacji na wierszach:
2 1 −1 1 1 0 1 3 −3 1 1 1 1 −1 1
w1↔w3
=
1 1 1 −1 1 0 1 3 −3 1 2 1 −1 1 1
w3−2w1
=
=
1 1 1 −1 1
0 1 3 −3 1
0 −1 −3 3 −1
w3+w2
=1 1 1 −1 1 0 1 3 −3 1
.
Zatem otrzymujemy ukªad
(x + y + z − t = 1 y + 3z − 3t = 1.
Z ostatniego równania mamy y = −3z + 3t + 1. Podstawiamy tak wyznaczony y do równania pierwszego
x − 3z + 3t + 1 + z − t = 1.
St¡d x = 2z − 2t.
Ostatecznie przyjmuj¡c z = a i t = b (gdzie a, b ∈ R), mamy
x = 2a − 2b, y = −3a + 3b + 1, z = a,
t = b.
Ukªad posiada niesko«czenie wiele rozwi¡za«, które s¡ uzale»nione od dwóch parametrów a i b.
Uwaga 4. Jest jeszcze inny sposób rozwi¡zywania ukªadów z wykorzystaniem Metody eliminacji Gaussa. Pocz¡tek jest taki sam jak w krokach 1-4 (tzn. otrzymujemy macierz w której na gªównej przek¡tnej s¡ jedynki, a pod ni¡ same zera). Nast¦pnie jedynkami z gªównej przek¡tnej, w oparciu o metody elementarne, doprowadzamy do otrzymania jedynek nad gªówn¡ przek¡tn¡. W ten sposób otrzymujemy rozwi¡zanie bez u»ycia podstawienia wstecznego.
Wró¢my do poprzedniego przykªadu (ukªadu zapisanego w postaci ostatniej macierzy) i prze- ksztaª¢my t¡ macierz w sposób opisany powy»ej: 1 1 1 −1 1
0 1 3 −3 1
w1−w2
= 1 0 −2 2 0 0 1 3 −3 1
. Przyjmuj¡c tak jak poprzednio za z = a, t = b, mamy
x = 2a − 2b, y = −3a + 3b + 1, z = a,
t = b.
Przykªad 2. Stosuj¡c metod¦ eliminacji Gaussa rozwi¡» ukªad:
x − 2y + z = 4 x + y + z = 1 2x − 3y + 5z = 10 5x − 6y + 8z = 19.
Tworzymy macierz uzupeªnion¡ i dokonujemy operacji na wierszach:
1 −2 1 4
1 1 1 1
2 −3 5 10 5 −6 8 19
w2− w1 w3− 2w1 w4− 5w1
=
1 −2 1 1 0 3 0 −3
0 1 3 2
0 4 3 −1
w2:3
=
=
1 −2 1 1 0 1 0 −1
0 1 3 2
0 4 3 −1
w3− w2 w4− 4w2
=
1 −2 1 1 0 1 0 −1
0 0 3 3
0 0 3 3
w3:3
=
1 −2 1 1 0 1 0 −1
0 0 1 1
.
Zatem otrzymujemy ukªad
x − 2y + z = 1 y = −1
z = 1.
Ostatecznie
x = −2 y = −1 z = 1.
Zadania
1. Stosuj¡c wzory Cramera rozwi¡» poni»sze ukªady równa« liniowych:
(a)
2x + y = −1
−x + 3y = 11 (b)
x + 3y − 4z = 0 2x − y + z = 2 5x + y − 3z = −1 (c)
−3x + 5y + 5z = 16 17x − 6z = 15
−x + 8y + 6z = 25
(d)
x + y + 2z = 5 x + y + z = 6 2x + y + z = 3 (e)
x + 2y + 3z = 14 3x + y + 2z = 11 2x + 3y + z = 11
(f)
x + 2y + 3z − 2w = 6 2x − y − 2z − 3w = 8 3x + 2y − z + 2w = 4 2x − 3y + 2z + w = −8
2. Stosuj¡c metod¦ eliminacji Gaussa rozwi¡za¢ podane ukªady równa«:
(a)
4x + y + z − t = 10 y + 3z + t = 8 x − 2y − 2z + 2t = 7
(b)
x + 2y + z + t = 7 2x − y − z + 4t = 2 5x + 5y + 2z + 7t = 1
(c)
x − 2y + z = 4 x + y + z = 1 2x − 3y + 5z = 10 5x − 6y + 8z = 19
(d)
2x + 3y + 2z − t = 3 2x + y + z + 2s + 3t = 6
3x − z + s + t = 3 y + 4s + t = 1 2x + y + z − 2s + 5t = 8 (e)
x + y + z + u + v = 1 x − y + z − u + v = 5 x + z + v = 3 x + y + v = 1
(e)
x + y + z + t = 4 2x − y + z = 2 4x + y + 3z + 2t = 8 3x − 3y + z − t = 0
Odpowiedzi:
1. a)
(x = −2,
y = −3; b)
x = 117, y = 437, z = 5;
c)
x = 3, y = −1, z = 6
d)
x = −3, y = 10, z = −1;
e)
x = 1, y = 2, z = 3;
f)
x = −2, y = 1, z = 2, w = −1.
2. a)
x = 3, y = 2a − 7, z = −a + 5, t = a.
b)brak rozwi¡za«, c)
x = 1, y = −1, z = 1.
d)
x = 1, y = 0, z = 1, s = 0, t = 1
e)
x = a − b + 3, y = −a − 2, z = −a, u = a, v = b e) brak rozwi¡za«.
