Vraagstukken over natuurkunde: Ten gebruike bij de propaedeutische studie aan de Technische Hogeschool te Delft

VRAAGSTUKKEN

OVER NATUURKUNDE

ten gebruike

bij

de propaedeutische

studie

aan

de Technische Hogeschool te Delft

VERZAMELD DOOR

A.

N

.

BORGHOUTS

EN

H

.

SWIERS

ZESDE HERZIENE UITGAVE

No.

c-6

-HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE

HOGESCHOOL TE DELFT - ONDER REDACTIE VAN DE

VOO RBERl CHT

Deze verzameling vraagstukroen is door leden van het wetenschappelijk corps van de afdeling voor Technische Natuurkunde van de Technische Hogeschool te Delft samengesteld ten behoeve van de studie voor de propaedeutische ,examens in de natuurkunde. De vraagstukken betreffen de onderdelen mechanica, warmteleer, 'elektriciteitsleer, thermodynamica, o'ptica en' atooJ?fysica. De antwoorden zijn achter-in opgenomen.

In

dez'e zesde druk zijn vooral in de hO'ofdstukken mechanica, warmteleer en elektricil'!eitsJeer vele wijzigingen aangebracht. Van de examen-opgaven zijn enige specimina van de jaren 1962-1964 opgenomen.

Aan allen die hun medewerking bij deze nieuwe uitgave verleenden, wordt hier dank betuigd.

Delft, september 1964

Laboratorium voor Technische Natuurkunde

A. N. BORGHOUTS H. SWIERS

'I

INHOUD

MECHANICA (1- 123) . . . . WARMTELEER (151-178) . . . ELEKTRICITEITSLEER (201-305) THERMODYNAMICA (401~80) OPTICA (601- 761) . . . . ATOOMFYSICA (801- 835). . . EXAMENOPGAVEN T.H.-DELFT (1962-1963- 1964) Mechanica en warmteleer A Mechanica en warmteleer C Warmteleer B . . Elektriciteitsleer A Elektriciteitsleer C Elektriciteitsleer B Elektriciteitsleer C-2 Thermodynamica A Thermodynamica B Optica A-I Optica A-Ir . Optica B . Atoomfysica A Atoomfysica E ANTWOORDEN

HET GRIEKSE ALFABET

a A alfa ')J

fJ

B bèta ~ ?'

r

gamma 0 0 Ll delta Jl e E epsilon

_e

t

Z zêta 0 'fJ H êta 1 {} ((})

e

_{thêta v} I iota cp % K kappa _X À A labda _'lP ft M mu w N E

0

n

p ~ T Y

cp

X IJl Q nu xi blz. 5 30 36 59 76 97 102 104 108 110 113 117 120 121 124 126 129 131 133 135 139 o'mikron pi rho sigma tau upsilon phi ehi psi omega

l

r.

MECHANICA

Kinematica

Indien niet anders vermeld. is stee.ds 9

=

9.81 m/s2 gesteld.

1. Een deeltje beweegt langs een rechte lijn. De plaats van het deeltje ten opzichte van een op de rechte gekozen vast punt (= oorsprong van het één~

dimensionale coördinatenstelsd) is op elk tijdstip bepaald door de kinematische bewegingsvergelijking x -: 7

+

25 t - 10 t2

+

_t3 _{cm als t in seconden uit~} drukt is.

Welke zijn de dimensies van de coëfficiënten in deze vergelijking?

Analyseer de beweging van het deeltje aan de hand van de volgende vragen. Bereken de snelheid v en de versnelling a als functies van t .en stel deze grafisch voor. Hoe groot zijn Vo en ao? Op welke tijdstippen is de snelheid nul? Verandert de richting van de snelheid in de Jo'op van de tijd? Verandert de richting van de versnelling in de loop van de tijd?

/ 2. De beweging van een deeltje langs een rechte lijn t.o.v. een bepaalde oor~

sprong op die lijn. wordt beschreven door de kinematische bewegingsvergelij~

king x = 3 sin 5t - 6 cos 5t. Op welke tijdstippen passeert het deeltje de oorspnmg?

Uit het resultaat volgt dat de beweging van het deeltje een periodieke bewe~

ging is. Bereken de grootste afstand tot de oorsprong ,die het deeltje bereikt. Bereken ook de trillingstijd van het deeltje. dat is de tijd die verloopt tussen twee opeenvol'g'ende gelijke toestanden van het deeltje. voor wa.t betreft de plaats en grootte en richting van de snelheid.

3. Twee deeltjes bewegen langs een rechte lijn in dezelfde richting met gelijke versnellingen. Bepaal hun onderlinge afstand als functie van de tijd.

4. Een man loopt 's avonds in een straat met een snelheid van 2

mis.

Achter hem staat een straatlantaarn, die 10.8m hoog is. De lengte van de man is 1.80 m. Welke snelheid heeft de top van zijn schaduw ten opzichte van de lantaarn~

paal? Met welke snelheid ziet de man zelf de top van zijn schaduw voor zich heen bewegen?

5. Een deeltje beweegt langs een cirkel waarvan de straal 25 cm is. Op het tijdstip t is de lengte van de boog vanaf een vast punt van de cirkel tot het

deeltje s = 5 t2 - 5 t

+

3 cm, voor de toeschouwer in de richting met de wijzers van een klok mee. Bereken op het tijdstip t

= 2 sec de snelheid, de hoeksnelheid,

de hoekversnelling, en grootte en richting van de versnelling.

6. Een auto rijdt met een snelheid van v mis. Hoe groot is de lineaire snelheid van een punt van de omtrek van een wiel ten opzichte van de as van het wiel? Van -de wielien spatten waterdruppels weg. Ga na dat 'een stilstaande waar~ nemer alle loslatende druppels naar vóór ziet bewegen. Hoe groot is de horizon~ tale snelheidscomponent ten opzichte van de weg van een druppel die ten op~

zich te van de auto achterwaarts, onder een hoek van 60° met de grond, weg~

vliegt?

7. Een auto'gaat van een eenparige beweging over in een versnelde beweging. Van dit tijdstip af is de hoek waarover elk van de wielen draait, gegeven door de betrekking cp

= 30

t

+

0,1 t3 _{radialen. Bereken de hoeksnelheid en de hoek~} versnelling van de wielen. Hoe groot zijn de snelheid en de versnelling van de auto? Welke weg legt de auto in de eerste 10 sec af? De straal van de wielen is 30 cm.

Dynamica van puntmassa's

8. Op een ruwe tafel ligt een blok, waarvan de massa 10 kg is. Aan het blok is 'een koord bevestigd dat over een gladde pin aan de rand van de taf.el hangt en dat aan het andere einde een gewicht van 5 kgf draagt. De wrijvingskracht van de tafel op het blok bedraagt 20 N. Bereken de spankracht in het koord en de versnelling van het blok. Verwaarloos de massa van het koord. Stel g = 10 m/s2.

Ho'e groot is de spankracht aIs het blok op de tafel vastgehouden wordt? 9. Over een horizontale pin glijdt een koord dat aan het ene einde een gewicht van 6 kgf draagt en aan het andere einde een gewicht van 3 kgf. Hoe groot is de kracht die het koord op de pin uitoefent? Verwaarloos de massa van het koord. Stel g

=

10 m/s2.

10. Een man, die een massa van 70 -kg heeft, staat in een lift op een,weeg~ schaal (veerbalans). Welk gewicht wijst de schaal aan bij elk van de vo\gende bewegingen van de lift, als g

=

10 m/s2 gesteld wordt:

a. eenparig naar boven met een snelheid van 2 m/ s; b. versneld naar boven; versnelling 3 m/ s2; c. vertraagd naar benooen; vertraging 4 m/s2; d. versneld naar beneden; v,ersndling 5 m/s2; e. versneld naar beneden; versnelHng 10 m/ s2; f. vertraagd naar bov,en; vertraging 10 m/ s2. 6

Mechanica

11. Een lichaam, waarvan de massa M is, hangt aan een losse katrol. Het koord, waar deze katrol aan hangt, is enerzijds aan een hijsbalk bevestigd en is anderzijds over een, eveneens aan de hijsbalk bevestigde, vaste katrol geslagen, terwijl aan het vrije einde van het koord een gewicht met massa m hangt. Als m

>

t M

bereken dan de versnellingen waarmee de massa's M en m bewegen. Bereken ook de spankracht in het koord. De massa's van de katrollen en van het koord worden nul gesteld .

.

4.

Een klein bolletje is aan een draad opgehangen. Men geeft het bolletje

. / l en zodanige beweging, dat de draad het oppervlak van een rechte cirkelkegel beschrij ft (zgn. konische sHnger). Hoe is het verband tussen d-e hoeksnelheid van het bolletje en de hoek die de draad met de verticaal door het ophangpunt maakt? Hoe groot is de omloopstijd van het bolletje?

Vi

(j)

13. Een homogene balk, waarvan de lengte 1 is en het oppervlak van de dwarse doorsnede A, wordt in zijn lengte~richting door een constante kracht F, die aan een van de uiteinden aangrijpt, over een horizontaal volkomen glad oppervlak voortgetrokken. Hoe groot is de spanning in de balk op een afstand x van het voorste eindvlak?

Hoe groot is de spanning als de balk in zijn lengte~richting vrij valt?

14. Om een wiel is een dunne ring van rubber gespannen. De spankracht in de ring is

P;

de massa per lengte~eenheid is!!; de breedte van de ring is 1; de straal van het wiel is

R.

Hoe groot is de druk die de ring op het wiel uitoefent? Als het wiel om zijn as gewenteld wordt, bij welke hoeksnelheid oefent de ring dan geen druk meer op het wiel uit?

15. Van de top van het oppervlak van een bol glijdt een puntmassa, vanuit de toestand van rust, naar beneden. De beginsnelheid is nul; het oppervlak va~" .. .;... de bol is volkomen glad. In welk punt verlaat de puntmassa de bol? f.J.f::::" ) v

16. Een cirkeIvormig-e, aan de binnenzijde open goot is ineen verticaal vlak opgesteld. De straal van de goot is

R

.

Een deeltje, waarvan de massa mis, glijdt langs een gebogen hellend vlak naar beneden, zo, dat het de goot in het laagste punt horizontaal binnentreedt. Hoe hoog moet het punt, waar het deeltje werd losgelaten, boven het onderste punt van de cirkelvormige goot liggen. opdat het deeltje juist het bovenste punt van deze goot bereikt? Onderstel dat

nergens wrijvingskrachten optreden.

Stel een uitdrukking op voor de tijd die het deeltje in dit geval nodig heeft om de cirkel te doorlopen (men vindt een elliptische integraal).

'-[)

17. Een schroefveer is aan een plafond opgehangen; de veerconstanteervan is

b. Aan het onderste einde van de veer wordt een steen, waarvan de massa mis,

gehaakt en uit deze stand losgelaten. De massa van de veer wordt verwaarloosd ten opzichte van die van de steen.

a. Hoe groot is de potentiële energie van de steen in de laagste stand die de

steen bereikt ten opzichte van de oorspronkelijke stand? (Er is een poten~

tiële energie ten gevolge van de gewichtskracht en 'een potentiële energi'e

t.g.v. de veerkracht!)

b. Over welke afstand is de steen gedaald in zijn laagste stand?

c. Het stelsel veer plus steen gaat een trillende beweging uitvoeren, die, ten~

gevolge van dempingskrachten, na enige tijd tot rust komt. Over welke

lengte is de veer in deze eindstand uitgerekt?

d. Met welk bedrag is in deze eindstand de potentiële energie van de steen ten opzichte van de oorspronkelijke stand veranderd?

18. Een deeltje kan langs een rechte lijn bewegen; de plaats ervan wordt

bepaald door de coördinaat x, gemeten vanaf een punt 0 op de rechte lijn.

Langs de lijn werkt een cons'erV'erende kracht. De potentiele energie van het

deeltje is V = cx" (c

>

0). Bereken gro'otte en richting van de kracht die op

het deeltje werkt. ,

Beantwoord dezelfde vragen voor een krachtenveld waarvoo~ V

=

cx3

(c

>

0) .

.... 19. Bereken de massa van de homogeen en bolvormig onderstelde aarde uit de

volgende waarnemingsgegevens: gravitatieconstante G

= 6,7

X 10--11 Nm2_{/kg2 ;}

Raarde

=

6370 km; gaardoppervlak

=

9,81 m/s2.

____ 20. In een punt binnen de - homogeen en bolvormig onderstelde - aarde,

op een afstand r van het middelpunt, ondervindt een lichaam slechts een gra~

vitatiewerking van de massa van het deel van de aarde dat zich binnen de bol met straal r bevindt. Bewijs dat.

-..,./ 21. Een lichaam wordt verticaal weggeschoten tot zulk een hOÇlgte dat de versnelling van de zwaartekracht langs de baan niet constant gerekend mag

worden. Welke hoogte bereikt het projectiel als de beginselsnelheid ervan Vo is?

~aat de wrijving van de lucht buiten beschouwing.

Hoe groot moet de beginsnelheid zijn opdat het projectiel niet meer op aarde terugkeert?

-- 22. Met welke snelheid moet een kogel in de nabijheid van het aardoppervlak

Mechanica vormig'e baan om de aarde gaat beschrijven als er ge,en luchtweerstand zou zijn? De straal van de aarde is 6370 km.

Als een kunstmatige satelliet op 300 km hoogte in een cirkelvormige baan om de aarde loopt, hoe groot is dan de omloopstijd van dit lichaam ongeveer?

De omloopstijd van de maan om de aarde is 27,3 etmalen. Bereken de afstand van de middelpunten van maan en aarde.

Impulsiewetten

23. Op een ljchaam werkt gedurende 5 seconden een naar grootte en richting constante kracht van 4 N. Beantwoord de volgende vragen zonder de versnel~ ling van het lichaam uit te rekenen.

a. Hoe groot is de impulsie (hoeveelheid beweging) die het lichaam krijgt, als het oorspronkelijk in rust was?

b. Als het lichaam een massa van 200 g heeft, en het, voor de kracht begon te werken, een snelhd d van 3 mis had in de -richting waarin de kracht werkt, hoe groot is dan de eindsnelheid?

c. Indien het lichaam (massa 200 g), voor de kracht begon tie werken, een snelheid van 4 mis had in de richting tegengesteld aan die waarin de kracht werkt, hoe groot is dan de eindsnelheid?

/ 24. In een dikke plank worden n kogels per seconde geschoten, die in het

hout blijven steken. Elke kogel heeft een massa m en een snelheid v loodrecht op de plank. Welke constante kracht is nodig om de plank op zijn plaats te houden?

Als de plank vervangen wordt door een stalen plaat waar de kogels tegen terugkaatsen met een snelheid even groot ais de trefsnelheid, hoe groot is dan de kracht, nodig om de plaat op zijn plaats te houden?

25. Men laat een ei en een tennisbal beide van één meter hoogte op een mar~ meren vloer vallen. Ei en tennisbal wegen ieder 50 gram.

Welk van beide lichamen ondervindt !bij de botsing de grootste krachtstoot? Bereken de numerieke waarden van de krachtstoten.

26. Hoe kunt ge verklaren dat een ei, dat van een bepaalde hoogte valt, op een harde bodem kapot valt en op een zachte bodem niet?

~27. Van een stapel damschijven kan men één der schijven uit de stapel weg~

, ~ stoten door er met een dun latje hard tegen te slaan, zonder dat de stapel om~ valt. Het lukt echter niet één schijf langzaam uit de stapel weg te trekken. Verklaar dat.

J

28. Een wagentje kan zonder WrlJvmg op zeer kleine wielen in een rechte richting rijden. Een man loopt in de genoemde richting met een snelheid van 2 mis op het wagentje toe. Het wagentje staat stil, de massa 'ervan is 50 kg; de massa van de man is 70 kg. Welke snelheid krijgt het wagentje als de man er op springt en zich dan aan het wagentje vast houdt?

Geldt bij deze gebeurtenis de wet van behoud van mechanische energie? Ver~ klaar uw bevinding.

Terwijl het wagentje rijdt, gooit men er nog een zak zand van 20 kg op, in een richting loodrecht op de rij~richting. Welke snelheid heeft het wagentje daarna? •

, Even later gooit de man de zak zand er weer af, eveneens loodrecht op de rij~richting. Welke snelheid heeft het wagentje nu?

28a. Twee auto's, waarvan de massa's 2 ton en 10 ton zijn, rijden langs onder~ ling loodrechte wegen naar elkaar toe, met snelheden van resp. 120 km/uur en 18 km/uur. Op het kruispunt botsen de auto's en haken aan elkaar. In welke richtingen met welke snelheid bewegen ze na de botsing?

Construeer in een tekening de krachtstoten die de auto's bij de botsing op elkaar uitoefenen.

29. Een aan zichzelf overgelaten wagentje, waarvan de massa m kg is, rijdt met de snelheid Vo over rechte horizontale rails. Wrijving, luchtweerstand en wielmassa zijn verwaarlo'osbaar klein. Het begint opeens te regenen, waardoor er per seconde r kg water in de wagen valt. De regen valt loodrecht naar beneden. Bereken de snelheid van de wag·en na t sec regenval in de volgende twee geva.1len:

a. het regenwater blijft in de wagen staan.

b. het regenwater vloeit door een verticale afvoerpijp in de bodem van de wagen weg, zo, dat er per seconde evenveel water wegstroomt als er in de

wagen val:t.

30. Een helikopter zweeft op constante hoogte. Onder het toestel neemt men een verticaal omlaag gerichte luchtstroom waar, waarvan de doorsnede

S

is en de snelheid v is. ,oe soortelijke massa van lucht is (!. Bereken met deze ge-gevens het gewicht van het toestel.

31. Van de aarde wordt een projectiel verticaal 'Omhoog geschoten; de begin~ snelheid is 100 mis. Het projectiel bevat een springlading die, als het projectiel op 320 meter hoogte is gekomen, ontploft. Door de ontploffing wordt het pro~ jeetiel in twee stukken gedeeld waarvan de massa's even groot zijn. Het ene deel vliegt weg in horizontale richting met een snelheid van 160 mis. De duur

van de ontploffing is zeer klein. Verwaarloos de massa van de springlading; verwaarloos de luchtweerstand. Stel g

=

10 m/s2.

a. Welke snelheid heeft het tweede deel van het projectiel. onmiddellijk na de ontploffing?

b. De massa van het oorspronkelijke projectiel is 20 kg. Hoeveel chemische energie moet 'er bij de explosie ten minst'e ontwikkeld zijn?

/32. Twee boHen, waarvan de massa's zijn m en Sm, bewegen naar elkaar toe met even grote snelheden IJ. Bereken de snelheden van de bollen na de botsing, als deze volkomen elastisch is.

Als de botsing volkomen onelastisch verloopt, hoe groot zijn dan de snel~ heden na de botsing? Hoeveel procent van de oorspronkelijke kinetische energie

van beide bollen tezamen is in dit geval v,erdwenen?

33. Een bewegende bol botst recht en volkomen elastisch tegen een andere. stilstaande. bol. De massa van de eerste bol is m. die van de tweede M. a. Welk gedeelte van zijn kinetische energie draagt maan M over?

b. Bereken hoeveel procent van zijn kinetische energie de eerste bol in de volgende g'evaHen verliest: M

=

m; M

=

lOm; M

=

lOOm; M

=

1000m. c. Als M zeer veel groter is dan m. zo dat

mi

M = 0 gesteld kan worden. hoe

groot is dan hel: energieverlies van de kleine ,boL?

34. Een atoom A. waarvan de massa m1 is,. botst recht tegen een atoom B. waarvan de massa m2 is. Bij kleine relatieve snelheden van de atomen is de botsing elastisch. Bij grote relatieve snelheden is de botsing onelastisch; in dit geval neemt de kinetische energie van beide atomen tezamen met een bepaald bedrag c af (een van de atomen wordt bijvoorbeeld aangeslagen). Hoe groot moet de kinetische energie van atoom A ten minste zijn. opdat de botsing on~ elastisch is. als atoom B vóór de botsing in rust was?

35. Een bol. waarvan de massa 2m is. heeft een snelheid v en botst scheef tegen een stilstaande bol waarvan de massa m is. De botsing verloopt elastisch. Op het ogenblik van botsing maakt de verbindingslijn van de massamiddel~ punten van de bollen een hoek van 45° met de richting van IJ. Over welke hoek

wijkt de eerstgenoemde bol ten gevolge van de botsing van zijn oorspronkelijke bewegingsrichting af?

36. Tegen de verticale achterstand van een rijdende zware vrachtauto werpt men een tennisbal in de bewegingsrichting van de auto. Hoe beweegt de bal na de - volkomen elastisch onderstelde - botsing? Onderzoek in het bijzonder het geval dat de snelheid van de bal tweemaal zo groot was als die van de auto.

,

Mechanica

37. Een knikker valt van 5 m hoogte op een horizontale glazen plaat en ver~ liest bij iedere botsing 10% van zijn kinetische energie. Stel g = 10

mi

S2. a. Hoe groot is de restitutiecoëfficiënt bij de botsingen?

b. Hoeveel tijd verloopt er tussen de vierde en de vijfde botsing?

c. Als de restitutiecoëfficiënt steeds dezelfde waarde zou behouden, na hoe~ veel seconden zou de knikker dan tot rust komen?

38. De snelheid van een kogel wordt gemeten met een ballistische slinger. De kogel, waarvan de massa 2,5 gram is, wordt in een met zand gevuld kistje ge~ schoten, dat aan een ,lang koord opgehangen is. De kogel blijft in het zand steken. De massa van het kistje met zand is 4 kg; de afstand van het zwaartepunt ervan tot het punt waar hd om kan sling'eren is 3,6 m. Het zwaartepunt van het kistje krijgt na het schot een maximum uitwijking van 0,1 m in horizontale richting. Bereken de sneLheid van de kogel vóór het treffen.

39. Langs een rechte lijn bewegen twee deeltjes, waarvan de massa's zijn m1

=

4 gram en m2

=

6 gram. Zij trekken elkaar aan met een kracht waarvan de grootte recht 'evenredig is met hun afstand; de evenredigheidsfactor is 2 X 10-5

_Nim.

_{Langs de lijn is een coördinatena::; aangebracht met een bepaalde}

oorsprong. Op het tijdstip t

=

0 bevinden de deeltjes zich op de plaatsen Xl

=

7 cm en X2

=

57 cm. Zij bewegen op dit tijdstip in tegengestelde richtingen van elkaar af. met snelheden respectievelijk 3 cmlsen 2 cm/s.

a. Toon aan dat de snelheid van het massamiddelpunt nul is. Bepaal de plaats van dat punt.

b. Hoe groot is de potentiële energie van het stelsel van de twee deeltjes, ten opzichte van de toestand van dichtste nadering, als hun onderlinge afstand r cm is?

~ c. Welke snelheden hebben de deeltjes vlak vóór zij botsen?

~ d. Welke is de grootste afstand tussen de twee deeltjes vóór de botsing ge~ weest?

Trillingen

40. Tussen twee schroefveren is een lichaam geklemd, waarvan de massa 2 kg is. Het lichaam wordt 10 cm in de lengterichting van de veren verplaatst en dan losgelaten. Om het in die verplaatste stand te doen ~ blijven is een kracht van 3,2 N nodig. Bereken de trillings~ tijd van het lichaam. Wat verwaarloost u bij de berekening? Met welke snelheid passeert het lichaam de evenwichtsstand? ~

) 41. Een voorwerp hangt. in de toestand van rust, aan een schroefveer . Wordt . de veer, met dit gewicht er aan, nog 10 cm uitgerekt en daarna losgelaten. dan

ontstaat een trilling met een periode van 0,5 sec. 12

Mechanica a. Ga na dat de gewichtskracht die op het voorwerp werkt, geen invloed heeft

op de trillingstijd.

b. Met welke snelheid gaat het voorwerp door de evenwichtsstand?

-c. Hoe groot is de versnelling als het voorwerp zich 5 cm boven de evenwichts~ stand bevindt?

d. Hoeveel wordt de veer korter zodra het voorwerp weggenomen wordt? 42. Een voorwerp, waarvan de massa m is, is tussen twee verticale snaren opgehangen. Wordt m opzij getrokken in een richting loodrecht op de snaren, en dan losgelaten, dan trilt m heen en weer. De lengte van elke snaar is Z. In de 'evenwichtsstand is de spankracht in <elke snaar S(). a. Toon aan, dat voor kleine uitwijkingen het voorwerp harmonisch trilt. Bereken voor dit geval de trilli~gstïd. Laat de zwaarte~ kracht buiten beschouwing.

~

~

b. Toon aan dat, indien in de evenwi hts nd de spanning in de snaren nul zou zijn, het voorwerp geen harmonische trilling uitvoert.

43. Een deeltje, waarvan de massa m1 is, trilt harmonisch. De amplitude is

~ a. Op het ogenblik dat de uitwijking

+

a/2 is, botst het volkomen elastisch

, tegen een deeltje waarvan de massa m2 is.

a. Bereken de amplitude af van het trillende deeltje ná de botsing.

b. Tengevolge van de botsing verspringt de fasehoek van het trillende deeltje. Hoe groot is deze verspringing als m2

=

m1?

44. Door de aarde wordt in een willekeurige richting een tunnel geboord. Aan ~ het ene einde ervan laat men een bal in de tunnel vallen. Toon aan dat de

!

bal een harmonische trilling gaat uitvoeren. Laat de aswenteling van de aarde

' buiten beschouwing en verwaarloos de wrijvingskrachten.

Met welke snelheid passeert de bal het midden van de tunnel? Hoe lang doet de bal er over om de hele tunnel te doorlopen? Dynamica van stijve lichamen

Rotatie om vaste as

45. Een homogene massieve cilinder is draaibaar, zonder WIljVmg, om zijn eigen as opgehangen. Om de cilinder is 'een koord gewikkeld, waarvan het ene einde aan de cilinder bevestigd is, terwijl aan het andere afhangende einde een lichaam hangt, waarvan de massa 3 kg is. De straal van de cilinder is 0,5 m; de massa ervan is 12 kg. De massa van het koord wordt verwaarloosd. a. Toon aan dat ihet aangehangen lichaam een eenparig versnelde beweging

b. Bereken de spankracht in het afhangende gedeelte van het koord.

c. Als het gehele stelsel aanvankdijk in rust is, bereken dan de hoeksnelheid van de cilinder na 2 seconden.

d. Zodra het koord geheel afgewikkeld is, draait de cilinder door en windt het koord met het aangehangen lichaam weer op. Hoe groot is tijdens die om~ hooggaande beweging de spankracht in het koord?

46. Over een katrol is een touw gelegd waaraan gewichten hangen waarvan de massa zijn resp. 1 kg en 1,5 kg. Het touw kan niet over de kat.rol glijden; de massa van het touw wordt verwaarloosd. De katrol is een massieve schijf waarvan de straa.J 20 cm en de dikte 2 cm is; de soortelijke massa van het materiaal ervan is 7000. kg/m3. Bereken de door de lichamen afgelegde weg als functie van de tijd. Stel t

=

0 op het tijdstip waarop de katrol in beweging komt.

47. Aan een balans hangt aan het ene einde een schaal, aan het ander einde een katrol, die een homogene cirkelvo'rmige schijf is, met straal

R

en massa mil Over de katrol hangt een touw, dat aan zijn uiteinden twee ongelijke massa's mi en m2 draagt (mi

>

m2). De massa's van de schaal en van het touw worden nul gesteld.

a. Indien de katrol geklemd is, en hij zo ruw is, dat het touwer niet over glijden kan, welke massa moet dan op de schaal geplaatst worden om de balans in evenwicht te brengen?

b. Welke massa moet op de schaal geplaatst 'worden, als de katrol glad is? c. Indien de katrol ruw is, en niet geklemd is, welke massa houdt dan de

balans in evenwicht?

A

SisChe slingers

q

•

Een d1:1nne homogene staaf is in één van zijn uiteinden draaibaar om een

, orizontale as opgehangen. De staaf, waarvan de lengte l is, wordt aan het slingeren gebracht. Bereken de slingertijd voor kleine uitwijkingen .

.;#

Een dunne hoepel met straal r en massa m is in een punt van zijn omtrek o gehangen. Bereken de slingertijd:

~

indien hij in zijn eigen vlak slingert;

;g;

indien hij loodrecht op zijn eigen vlak slingert.

Kunt u zonder berekening inzien in welk geval de slingertijd het grootst is?

q

50.

Een slinger bestaat uit een lange dunne staaf die aan het ene uiteinde een

-massieve cirkelvormige schijf draagt. De draaiing sas van de slinger bevindt zich aan het andere einde van de staaf en staat loodrecht op het vlak van de schijf;

M·echanica het middelpunt van de schijf ligt in het eerstgenoemde einde. De lengte van de staaf is l, de massa ervan m; de massa van de schijf is M, de straal ervan

R.

Bereken de slingertijd.

~

51. Een zware cirkdboog, waarvan de straal r is ·en de middelpuntshoek 2cp

radialen is, kan draaien om een horizontale as door het middelste punt van de boog, die loodrecht op het vlak van de boog staat.

Bereken de lengte van de mathematische slinger die een slingertijd heeft, gelijk aan die van de cirkelboog. (Voor de berekening hoeft men de plaats van het zwaartepunt niet te kennen.)

_ Twee bollen, waarvan de massa's 5 'kg en 2 kg zijn, zijn verbonden door

/.2

n staaf van 8 dm lengte. De diameters van de bollen zijn klein t.O.V. de lengte van de staaf; de massa van de staaf wordt verwaarloosd t.O.V. die van de bollen. De staaf is

draaibaa

Ii

~m

een horizontale as opgehangen in een punt dat 6 dm van de zwaarste bol verwijderd is.

Bereken de slingertijd als men dit stelsel met kleine amplitude laat slingeren.

Doe dit zonder eerst de plaats van het zwaartepunt van het stelsel te bepalen. Indien de bollen niet als puntmassa's opgevat mogen worden, en de gegeven lengte van de staaf de afstand van de middelpunten voorstelt, is de slingertijd dan groter of kleiner dan de zojuist berekende?

Arbeid

a.

Men blaast gedurende t seconden langs de rand van een homogene schijf

/ ( sf aal R

,

massa m), die zonder wrijving draaibaar is om zijn as door het

middel~

punt. Daardoor wordt een cons'tante kracht F, gericht langs een raaklijn, op de schij f uitgeoefend. Welke energie krij gt de schij f als deze aanvankelijk in rust was?

L1

Een koppel van 4 Nm geeft aan een lichaam, dat aanvankelijk in rust was,

]

j

rotatie~energie

van 120

J

.

Hoeveel omwentelingen heeft het lichaam

ge~

durende de werking van dit koppel gemaakt? .

Impulsiemoment

ft

I. Een homogeen wiel draait om zijn verticaal opgestelde as met een constante hoeksnelheid w. De massa van het wiel is m, de straal ervan is r. Toon aan dat de impulsie van het wiel nul is. Bereken het impulsiemoment van het wiel ten opzichte van de draaiingsas.

Ondervindt de as een krachtwerking tengevolge van de draaiing van het wiel? 11. Hetzelfde wiel draait thans om een excentrische verticale as, aangebracht

op de afstand r/2 van het middelpunt, met de constante hoeksnelheid w. Hoe

9

groot is nu de impulsie van het wiel? Bereken het impulsiemoment van het wiel

ten opzichte van de draaiingsas.

Welke krachtwerking ondervindt in dit geval de as ten gevolge van de draai~ ing van het wiel?

Á

56. Een man staat op een stilstaand tafeltje dat zonder wrijving om een verticale as kan draaien. Het traagheidsmoment van man en tafeltje samen, ten opzichte van de draaiing sas van het tafeltje, is 2,5 kg m2_{• Een helper geeft de} man op het tafeltje een draaiend wiel aan, dat deze bij de as vastgrijpt. Het wiel wentelt 4 maal per seconde om zijn eigen as; het traagheidsmoment van het wiel t.o.v. deze as is 1 kg m2_•

a. Welke hoeksnelheid krijgen tafeltje en man als de helper het wiel met de as in verticale richting heeft aangegeven?

b. De man verplaatst het wiel evenwijdig aan zichzelf zo dat de assen van het wiel en van het tafeltje in elkaars verlengden liggen. Daarna kantelt hij de wielas 1800

• Hoe groot is daarna de hoeksnelheid van man plus tafel? '7 c. De man grijpt daarna de omtrek van het wiel met de hand vast. Hoe groot

wordt dan zijn hoeksnelheid?

d. Welke complicaties ontstaan er bij b en c als de man de as van het wiel niet laat samenvallen met de draaiing sas van het tafeltje?

57. Een man staat op een tafeltje dat zonder wrijving om een verticale as kan draaien. Hij ·heeft in elke hand 'een gewicht waarvan de massa 5 kg is en d.raait met gestl1ekte armen - spanwijdte 2 m - eenmaal per seconde rond. Hij trekt vervolgens de armen in tot een spanwijdte van 1 m en draait dan tweemaal j er seconde rond.

r

.

Hoeveel bedraagt het traagheidsmoment van de man plus het tafeltje als dat tijdens de handeling constant ondersteld wordt?

Tijdens het intrekken van de armen heeft de man arbeid op de gewichten verricht. Bereken deze arbeid.

Ga na dat deze arbeid gelijk is aan de toeneming van de rotatie~energie. 58. Een dunne homogene staaf is in een horizontaal vlak draaibaar om een verticale as door een van de uiteinden van de staaf. Men schiet tegen het andere einde van de staaf, in het draaivlak van de staaf en in een richting lood~ recht er op, een kogel waarvan de massa m en de snelheid v is. De massa van de

sta~

is ms; de lengte ervan is Z. De botsing van kogel en staaf is volkomen veerkrachtig.

Met welke hoeksnelheid wentelt de staaf na de botsing?

(\ _ Hoe groot zijn de krachtstoten die door de botsing op de kogel en op de staaf uitgeoefend worden?

M,echanica

9

~

4.

Een staaf is aan één van zijn einden draaibaar om een horizontale as

.

~

~Jgehangen

.

De lengte van de staaf is I, de massa ervan ms. Tegen het andere einde wordt in horizontale richting~ in het sling.ervlak van de staaf, een kogeltje met een snelheid v geschoten. De massa van de kogel is m. Men constateert dat de kogel na de botsing recht naar beneden valt. Wat volgt daaruit over de aard van de botsing? Hoeveel kinetische energie is er bij de botsing verdwenen? Ga na wat er kan gebeuren als op de trefplaats van de staaf een beetje ontplofbare stof (bijv. een "klappertje") was geplakt.

~

Een plat liniaaltje. dat 'een lengte van 2 dm heeft. ligt zo op een tafel. dat het 1 dm buiten de rand uitsteekt. Men laat van 5 m hoogte een knikker van 10 gram op het uiterste punt van het vrije uiteinde van het liniaaltje val1en. De botsing is volkomen veerkrachtig.

a. Hoe groot moet de massa van het liniaaltje zijn. opdat de knikker bij de botsing zijn snelheid geheel verliest?

b. Hoe groot is in dat geval de hoeksnelheid van het liniaaltje onmiddellijk na de botsing?

(Stel bij dit vraagstuk g = 10

m

i

s2.) Vlakke dynamica van stijve lichamen

,( Met een wiel. waarvan de straal r en de massa m is. worden twee

experi~

~~ten

uitgevoerd in een zwaartekrachtvrije ruimte. Het traagheidsmoment

van het wiel t.o.v. het massamiddelpunt is I.

l. Men oefent in het middelpunt een constante kracht F uit.

a. Hoe groot is de hoeveelheid beweging van het wiel na één seconde? b. Over welke afstand wordt het middelpunt van het wiel in één seconde

verplaatst?

c. Hoeveel arbeid v,erricht F in één seconde? d. Waar is deze arbeid in omgezet?

11. Om het wiel is een dunne draad gewikkeld. Men trekt aan de draad. in de richting van ,een raaklijn. met een constante kracht F.

e. Hoe groot is de hoeveelheid beweging van het wiel nu na één seconde? Hoe groot is dan het moment van hoeveelheid beweging van het wiel?

f. Over welke afstand is het middelpunt van het wiel in één seconde ver~ plaatst?

g. Over welke lengte wordt de draad in één seconde afgewikkeld? h. Hoeveel arbeid verricht F in één seconde?

1. Waar is deze arbeid 1n omgezet?

62. Een homogene staaf rust met het ene einde op een gladde vloer. terwijl het andere einde met een touwtje is opgehangen. zo. dat dit einde zich op de

hO'O'gte h bO'ven de vlO'er bevindt. Het tO'uwtje wordt doO'rgebrand. Beschrijf de beweging die de staaf daarna uitvoert.

Welk gedeelte van de kinetische energie eÏie de staaf heeft als hij O'p de vJo'er terecht kO'mt, is translatj.e~energie van het zwaartepunt en welk gedeelte ervan is rotatie~energie O'm de wentelingsas dO'O'r het zwaart'epunt?

63. Als men een stO'el O'p een linO'leumvlO'er achterO'ver laat hellen en hem daarna lO's laat, valt hij vO'O'rO'ver, waarbij de achterpoten niet O'ver de vloer verschuiven. ZO'dra de vO'O'rpO'ten O'p de vlO'er kO'men, schuift de stO'el echter enige centimeters vO'O'ruit. Verklaar dat.

In

hO'everre zO'u het verschijnsel zich O'p een volkO'men gladde vlO'er anders afspelen?

64. Een hO'mO'gene staaf. waa'rvan de lengte I is en de massa m, bevindt zich, in de tO'estand van rust, bO'ven een horizO'ntale vlO'er. De asrichting van de staaf maakt een hO'ek a met de vlO'er; de afstand van het O'nderste eindpunt van de staaf tO't de vlO'er is h. Vanuit deze tO'estand valt de staaf. De bO'tsing met de vlO'er is vO'lkO'men veerkrachtig; de vlO'er is vO'lkO'men glad.

a. Beschrijf de beweging van de staaf vóór de bO'tsing.

b. Als de staaf bO'tst, ondervindt hij een krachtstO'O't tegen het ene uiteinde. Bereken deze krachtstO'O't.

65. Bewijs de stelling: het impulsiemO'ment van een lichaam (= stelsel punt~ massa' s) ten O'pzichte van een vast punt A is gelijk aan het impulsiemO'ment van het lichaam ten O'pzichte van het massamiddelpunt C, plus het mO'ment ten O'pzichte van A van de impulsie van een met C meebewegend fictief deeltje,

waarvan de massa gelijk is aan die van het gehele lichaam.

66. Een hO'mO'gene schijf ligt plat O'p een vO'lkO'men glad hO'rizO'ntaal vlak. Men geeft tegen de schijf een stO'ot naar rechts, evenwijdig aan het vlak en lO'O'drecht O'p de middellijn AB, zO', dat het massamiddelpunt de snelheid Oe krijgt en de hO'eksnelheid wis,

in de figuur linksO'm. De massa van de schijf is m, de straal ervan is

R.

a. HO'e grO'O't is het impulsiemoment van de schijf ten O'pzichte van het punt Q, na de stO'O't. Q ligt in het genO'emde vlak; QB is lO'O'drecht O'p AB.

b. Op welke afstand x van de lijn QB mO'et de stO'O't tO'egebracht wO'rden, O'pdat het punt A na de stO'O't aanvankelijk in rust blijft?

67. Ga na hO'e het impulsiemO'ment van het stelsel aarde plus maan t.O'.V. de aardas berekend moet wO"rden, als men aanneemt dat de maan een cirkel~ 18

Mechanica vormige baan om de aarde beschrijft en de rotatie~assen v.an maan en aarde evenwijdig zijn. (Uit het feit dat wij steeds hetz,elfde deel van het maanopper~

vlak zien, volgt dat de maan een aswenteling heeft!)

/S.

Een staaf (lengte 1, massa m) wentelt in een horizontaal vlak met een

/ hdeksnelheid W om een verticale as door één der uiteinden. Plotseling breekt

de as. Besohrijf de heweging die de staaf daarna uitvoert, als de zwaartekracht buiten beschouwing 'wordt gelaten. " .,

In hoeverre is de beweging anders als ~e zwaartekracht wel aanwezig ge~

dacht wordt?

fl.

Een staaf wentelt met een hoeksnelheid Wo om zijn massamiddelpunt op

~r~

volkomen glad horizontaal vlak. Plotseling wordt een pin door een klein oogje aan één der uiteinden van de staaf gestoken, waardoor de staaf om de vêrticale pin gaat draaien. Bereken de hoeksnelheid van de staaf om de pin.

Bereken de kinetische energieën van beide bewegingstoestanden en verklaar het verschil.

70. Op een gLad horizontaal vl1ak ligt 'een dunne homogene staaf (lengte 1, massa ms). Tegen het ene uiteinde wordt een knikker geschoten in een rich~

ting evenwijdig aan het horizontale vlak en loodrecht op de staaf. De massa van de knikker is m, de snelheid ervan is IJ'. De botsing van knikker en staaf

is volkomen veerkrachtig. Beschrijf de beweging van de staaf na de botsing.

W.aar ligt het momentele rotatiecentru111 van de staaf bij het begin van zijn beweging?

In welk geval blijft de knikker na de botsing stil liggen?

d.

Een

yo~yo

bestaat uit twee massieve schijven, verbonden door een asje

~

~ar

een lange draad op gewonden ,is. Het ene einde van de draad is aan het asje bevestigd, het andere einde wordt met de hand vastgehouden. De yo~yo

rolt vanuit de toestand van rust naar beneden af. De massa van de beide schijven tezamen is m, de straal van de schijven is

R;

de massa van het asje wordt verwaarloosd, de straal ervan is r

=

R/6;

de massa van de draad wordt verwaarloosd.

Bereken de versnelling waarmee het massamiddelpunt van de yo~yo naar beneden, gaat.

Met welke kracht trekt de draad aan de hand tijdens de omlaaggaande beweging?

Nadat de' draad geheel afgewikkeld is, "klimt" de yo~yo weer omhoog. Waardoor krijgt de yo~yo deze opwaartse beweging?

Met welke kracht trekt de draad tijdens de opwaartse beweging aan de hand?

;4.

Een massieve cilinder rolt van een heIl end vlak dat een hoek van 30· met

-h~t

horizontale vlek maakt, zo, dat de as van de cilinder steeds' 'evenwijdig is aan de snijlijn van beide vlakken. De cilinder heeft een massa van 1 kg en een straal van 10 cm. Bereken de weg die de cilinder, 10 sec nadat hij werd losgelaten, heeft afgelegd.

Hoe groot is op dat tijdstip de kinetische energie van de cilinder? Welk gedeelte daarvan is energie van rotatie om de as van de cilinder?

4

Gegeven zijn drie cilinders A, B en C, met gelijke massa's en gelijke

;a~meters.

A is hol en heeft een dunne wand; B is massief; bij C mag de massa geheel in de as geconcentreerd gedacht worden (C is bijvoorbeeld een plastic cilinder met een metalen as).

a. Men legt de cilinders op gelijke hoogte op een helIend vlak neer. Er is geen wrijving tussen het vlak en de cilinders. Na hoeveel tijd zal elk ván de cilinders onder aan het heIlend vlak aankomen?

b. Men voert de proef vervolgens uit op een heIlend vlak (met zelfde helling en de cilinders op dezelfde hoogte als bij a plaatsend) met wrijving, zo, dat de cilinders zuiver gaan roIlen. Na hoeveel tijd zuIlen de cilinders nu beneden aankomen?

74. De buitenste omtrek van een garenklosje, waarvan de massa m is, heeft een diameter van 4 cm; de diameter van de spoel is 2 cm. Er zit nog één laagje garen op. Het klosje ligt op de grond. Als men het klosje naar zich toe wil \ ,halen door aan het vrije draadeinde te trekken, lukt dat dan altijd? Onder ~welke hoek met de grond moet men daartoe aan de draad trekken? Als de

wrijvingscoëfficiënt

f

is, hoe groot moet dan de trekkracht zijn?

~.

Op een massieve cilinder die over een ruw horizontaal vlak rolt, werkt een koppel, waarvan de krachten liggen in een vlak loodrecht op de as van de cilinder. Het moment van het koppel is

M;

.

de massa van de cilinder is m, de straal ervan is r. Bereken de versnelIing van de cilinderas.

Als de sleepwrijvingscoëfficiënt van het vlak

f

is, welke is dan de grootste waarde die

M

mag hebben, opdat de cilinder nog juist niet slipt?

~

Op een billardbal die over een ruw horizontaal vlak rolt, werkt een

cO'n~

-

~~~te

kracht

F

in de richting van de voortgaande beweging van de bal. De kracht grijpt aan op een hoogte x boven het vlak; de straal van äe bol is r, de massa ervan is m. De maximumwaarde van de wrijvingskracht tussen bol en vlak is zo groot dat de bol altijd zuiver rolt. Bereken de grootte van de wrij~ vingskracht Wals functie van x.

In welk geval heeft

W

dezelfde richting als de voortgaande beweging van de bol, en in welk geval de tegengestelde richting?

Mechanica In welk geval is W = O? Op welke hoogte bov,en het tafe'lrvlak moet men dus in horizontale richting tegen een stilliggende billardbal stoten, opdat deze

zuiver gaat roUen, l'eeds onmiddellijk na de stoot?

~

We}'ke

is de voortstuwende kracht bij een rijdende auto? Als de motor op

~

achte

r

as

van een aanv.ankelijk stilstaande auto een ko'ppel uitoefent waarvan het moment M is, terwijl de achterwiden onmiddellijk zuiver gaan l'ollen, be~ reken dan de Vlersnelling van de auto bij het wegrijden. De massa van de auto is m; de straal v.an een achterwiel is r.

78. Het zwaartepunt van een rijdende auto ligt 60 cm boven de grond. De afstanden van het zwaartepunt tot de voor~ en de achteras zijn, horizontaal gemeten, 1,20 m. De auto wordt geremd, waarbij de voorwielen geblokkeerd worden. De remweg is 10 m. Tijdens het remmen komen de achterwielen net vrij van de grond.

a. Door welke oorzaak komen de 'achterwielen van de grond?

b. Hoe groot moet de wrijvingscoëfficiënt tussen weg en band zijn, opdat de genoemde remming mogelijk is?

c. Welke snelheid had de auto voor het remmen?

79. In een holle cilinder, waarvan de as horizontaal is, kan een andere holle, dunwandige cilinder heen en weer rollen. De straal van de buitenste cilinder is 1 m; die van de binnenste is 10 cm.

a. Wat is het verband tussen de hoeksnelheid van de smalle cilinder om diens eigen as en de hoeksnelheid van die as t.O.V. de as van de buitenste cilinder? b. Hoe groot is de totale kracht die het heen en weer .rollen bepaalt?

c. Bereken de periode van het heen en weer rollen.

~

tica

8 • Een ladder (lengte l, gewicht G), waarvan liet zwaartepunt l/.3 van het o dereinde ligt, rust met de bovenkant tegen een volkomen g'Jad verticaal vlak e met de. onderkant op een ruwe horizontale vloer. De wrijvingscoëfficiënt met de vloer is

f

.

Teken alle kracht.en die op de ladder werken.

Welke hoek maakt de ladder met het horizontale vlak als hij op het punt is

~

i te glijden? .

1. Een rechthoekig blok (lengte l, breedte b, hoogte h) ligt op een horizon~ taal vlak. Evenwijdig aan de ribben b grijpt in het bovenvlak van het blok een kracht F aan, waarvan de werklijn door het snijpunt van de diagonalen van dit vlak gaat. De wrijvingscoëfficiënt met het horizontale vlak is

f.

Hoe groot mag F zijn opdat:

a. het blok nog juist niet gaat glijden? b. het blok nog juist niet gaat kantelen?

c. Welke betrekking moet er tussen b en h bestaan, opdat het blok bij toe~ neming van kracht

F

kantelt, alvorens te gaan glijden?

&d.

Bereken de plaats van het zwaartepunt van een halve hoepel, waarvan

lt.

straal r: is.

Traagheidskrachten

83.

À

.

Een trein wordt geremd met een eenparige vertraging a. Onder welke hoek met de verticaal gaat een schietlood in deze trein hangen, als de versnel~ ling van de zwaartekracht g is? Is de uitwijking naar voor of naar achter ge~ richt?

/

~

\

b. In een stilstaande trein hangt een schietlood. Bij het vertrek begint het schietlood te slingeren (waarom?). De trein rijdt enige tijd met constante ver~ snelling. Gedurende deze tijd wordt de slingertijd van het schietlood gemeten; deze blijkt 2,09 sec te zijn. De lengte van de ophangdraad is 110 cm; de ver~ snelling van de zwaart'ekracht is 9,81 m/s2. Bereken uit deze gegevens de versnelling van de trein.

84. Van een glad hellend vlak glijdt een slee. De hellingshoek van het vlak is 30°. Een man die op de slee staat, heeft bij zich een homogene staaf, waar~ van de lengte l en de massa m is, en een schroefveer, waarvan de veercon~ stante bis.

a. Hij hangt de staaf aan de veer. Bij welke uitrekking is de veer in even~ wicht?

b. Hij laat de staaf slingeren om een ophangpunt aan één van de uiteinden. Bereken de slingertijd van de staaf voor kleine uitwijkingen.

85. Op een wagen die van een hellend vlak rijdt, staat een bak die gedeeltelijk met water gevuld is. De hellingshoek van het vlak is a; de massa van de wagen, zonder de wielen, en de bak water tezamen is M; de totale ma~sa van de wielen, waarvan de traagheidsstraal gelijk gesteld mag worden aan de meet~ kundige straal, is m. Welke stand heeft het wateroppervlak t.O.V. het horizon~ tale vlak?

86. Een dunne homogene staaf is aan één uiteinde opgehangen, zo, dat hij in het ophangpunt draaibaar is om een horizontale as. De staaf maakt n om~ wentelingen per seconde om de verticaal door het ophangpunt en wijkt daar~ door over een zekere hoek uit de verticaal. De lengte van de staaf is {, de massa ervan is m.

Mechanica Hoe groot is de resultante van de centripetale krachten die op elk deeltje van de staaf moeten werken? Waar grijpt deze resultante aan?

Over welke hoek wijkt de staaf uit? Bereken deze hoek vanuit het standpunt van een stilstaande waarnemer en vanuit het standpunt van een meedraaiende waarnemer!

Construeer in een tekening de richting van de kracht die in het ophangpunt op de staaf uitgeoefend wordt.

87. Bewijs, dat als een stijf lichaam om een vaste as wentelt, de resultante

van de centrifugale krachten even groot is als de centrifugale kracht op een

deeltje, waarvan de massa gelijk is aan die van het lichaam, en dat met het

massamiddelpunt mee beweegt. Is dit punt tevens het aangrijpingspunt van die resultante?

88. Een wielrijder rijdt, op een horizontale weg, met een snelheid van 5 mis

in een bocht en beschrijft daarbij een cirkelboog met een straal van 7 m. Het

gewicht van fiets en berijder samen bedraagt 80 kgf.

~. Hoe groot is de benodigde centripetale kracht?

~ Wie levert deze kracht?

.Jl

Heeft u voldoende gegevens om uit te rekenen over welke hoek de fietser

met het verticale vlak moet hellen, om de bocht te kunnen maken?

d. Hoe groot is de kracht, waarmee de fiets op de grond drukt?

Y

Hoe groot moet de wrijvingscoëfficiënt tussen band en bodem ten minste

zijn, opdat de fiets niet uitglijdt?

A

Een massieve homogene

recht~

cirkelcilinder staat op een horizontale

draaiende schijf, waarvan de verticale draaiingsas met één van de beschrijvende

lijnen van de cilinder samenvalt. Het toerental is 120 per minuut. Hoe hoog

mag de cilinder ten hoogste zijn, opdat hij niet omvalt? En Ihoe groot mag, bij

deze hoogte, de straal van de cilinder zijn, opdat hij net niet gaat schuiven,

als de wrijvingscoëfficiënt

t

=

0,5?

90. Een bifilaire slinger is opgehangen aan een statief, dat op een horizontale draaischijf bevestigd is. In de toestand van rust bevindt het slingerlichaam, dat als een puntmassa beschouwd mag worden, zich precies boven het middel~ punt van de draaischijf. Hoe groot is de slingertijd van de slinger als de schijf

met een hoeksnelheid w draait?

91. Men laat aan de 'equator van 300 meter hoogte een steen vallen. Bereken

de horizontale afwijking die de steen ten gevolge van de corioliskracht zou krijgen als er geen luchtweerstand zou zijn.

92. Aan de equator wordt een deeltje verticaal opgeworpen met de beginsnel~ heid voo Bewijs dat het bij terugkeer de grond treft op de afstand 4wv03J3g2 van de plaats waar het werd opgeworpen, als de hoeksnelheid van de aarde

=

w. In welke kompasrichting is deze afwijking?

Elasticiteit

93. Een lange dunne staaf hangt verticaal. Onder invloed van zijn gewicht ontstaan trek~ en schuifspanningen in de staaf. Leid formules af die deze span~ ningen in elk punt als functie van plaats en richting geven.

94. Een massieve staaf heeft de vorm van een afgeknotte kegel. De doorsnede is cirkelvormig; de stralen van de eindvlakken zijn a en 2a,; de lengte van de staaf is 100a. De elasticit:eitsmodulus van het materiaal is E. Bereken de lengte~ vermeerdering van de staaf als deze door een kracht F wordt uitgerekt. 95. In een lange cilindrische buis van rubber, die aan beide einden afgesloten is, wordt lucht gepompt. Voor elke 0,1 atm overdruk neemt de diameter 10% toe. De dikte van de wand van de buis is 1 mm; de gemiddelde diameter van de buis is 2 cm. De constante van Poisson voor rubber is 0.5.

a. Toon aan dat de lengte van de buis door het oppompen niet verandert. b. Bereken uit de gegevens de elasticiteit~modulus van rubber.

96. Een metalen balk, waarvan de doorsnede rechthoekig is, bestaat uit twee even dikke aan elkaar gelaste lagen. De lengte van de balk is I, de breedte ervan is b, de dikte ervan is a. De elasticiteitsmodulus van de onderste laag is

E

o,

die van de bovenste laag is

2E

o

.

a. Bereken de lengteverandering van de balk als deze belast wordt met een trekkracht F.

b. Bereken de ligging van de neutrale vezel van de balk als deze gebogen wordt.

97. Een massieve homogene cirkelcilindrische staaf is, in horizontale stand, met zijn ene einde vastgeklemd in een verticale muur. Van de staaf is de lengte l, de straal r, de dichtheid (! en de elasticiteitsmodulus van het materiaal is

E

.

Bereken de zakking van het vrije einde ten gevolge van het eigen gewicht van de staaf.

98. Een cirkelcilindrisch buisje rust in het midden dwars op een messnede. In beide einden zijn bolletjes, waarvan de massa's m zijn, geklemd. De massa van het buisje wordt verwaarloosd; de binnenstraaI ervan is r, de lengte l, de wand-dikte d (r» d; r « l).

Mechanica a. Toon aan dat de uiteinden t.o.v. het midden doorzakken met een bedrag

mg['dJ24nEdr3. In welk geval zal het 'evenwicht stabiel zijn?

b. Het buisje kan bij deze opstelling twee soorten trillingen uitvoeren: elastische. waartoe men aan beide einden gelijk gerichte verticale stootjes van gelijke grootte moet geven, en gravitationele. waartoe men even grote verticale stootjes in tegengestelde richting moet geven. Bereken voor beide gevallen de trillingstijd.

99. Van een dunwandige buis is de lengte Z, de straal r, de wanddikte d. De glijdingsmodulus van het materiaal is

G.

Hoeveel arbeid moet men verrichten

om de buis over een hoek q; t,e torderen?

100. Aan een stalen draad is een cirkelvormige schijf in zijn middelpunt hori~

zontaal opgehangen. De torsie~slingertijd van dit stelsel is 12,3 sec. De lengte van de draad is 308 cm; de diameter ervan is: 1 mm; de diameter van de schijf is 20 cm; de massa ervan is 1 kg. Bereken de glijdingsmodulus van het staal.

Mechanica van vloeistoffen

101. Een sluisdeur is 6 m hoog en 5 m breed. Aan de ene zijde staat het water

3 m hoog; aan de andere kant staat het tot de bovenkant van de deur. Bereken de resultante van de krachten die de deur van het water ondervindt en bepaal de plaats van het aangrijpingspunt van de resultante.

102. In 'een vierkante uitsnijding van 2 X 2 meter in de verticale wand van een

bak is een houten cilinder aangebracht op de wijze als i~ de figuur geschetst is. De cilinder kan zonder wrijving om zijn horizontale as wentelen. De bak wordt met water gevuld tot een hoogte van 2 m boven de cilinderas. De dichtheid van het hout is 0,7 g/cm3 •

a, ,op de linkerhelft van de cilinder werkt, een opw.aarts'e kracht. Toon aan dat desondanks de cilinder niet als een perpetuum mobile om zijn as gaat draaien.

b. Teken de totale kracht die de cilinder op zijn astappen uitoefent. Bereken die kracht in newtons.

103. Bereken de kracht waarmee twee luchtledig gemaakte Maagdenburger

halve bollen, waarvan de diameter 10 cm is, tegen elkaar gedrukt worden. Ga na dat de kracht op de afsluitplaten van een drukketel even groot is op platte platen als op gebogen platen.

104. Een cilindrische glazen buis is in vorm van eén V gebogen; de hoek

over een lengte Z, gevuld met een vloeistof waarvan de soortelijke massa

e

is

en waarvan de inwendige wrijving verwaarloosd wordt. Als de vloeistof schom~

melt, hoe groot is dan de slingertijd?

105. Een cirkelcilindrische bak, waarvan de as verticaal staat, en die gedeel~

telijk met vloeistof gevuld is, draait eenparig met een hoeksnelheid w radJs

om deze as. De vloeistof wentelt met de bak mee. De soortelijke massa van de

vloeistof is {!. De druk in een willekeurig punt in de vloeistof is dan een

functie van de coördinaten zen r; z is de hoogte boven de bodem en r de

afstand van dit punt tot de as. Bewijs de volgende betrekkingen voor de druk p:

(

~)=-eg

à

z r

en

(à

p ) =

e

w2 _'r

à r z

106. Een cilindervormige bak die gedeeltelijk met vloeisto'f gevuld is, staat

op een horizontale schijf, die met een hoeksnelheid w om zijn as wentelt. De

draaiing sas valt samen met de symmetrie~as van de bak. Welke vorm heeft

de oppervlakte van de vloeistof?

Bereken di'e vorm door de situati.e te onderzoeken in een stilstaand en in

een meebewegend coördinatenstelsel.

Oppervlaktespanning

107. Bereken de stijghoogte van een vloeistof in een capillair waarvan de

doorsnede cirkelvormig is, indien de oppervlaktespanning y is, en de contact~

hoek van de vloeistof met de wand a is.

108. Van een U~vormige buis is de diameter van het ene been -4 mm, die van

het andere 10 mmo Er wordt water in geschonken. Hoe groot is het hoogte~

verschil tussen de niveau's in de benen als de buis verticaal staat? Hoe groot

is het niveauverschil voor ether? Bij kamertemperatuur is Ywater = 72 dynJcm;

Yether = 16 dynJcm; ('ether = 0,7 g/cm3• Onderstel dat de vloeistoffen de wand geheel bevochtigen.

109. In een horizontaal opgesteld capillair buisje, waarvan het inwendige

zwak konisch is, wordt in het midden een beetje water gebracht. Toon aan dat

dit water naar het nauwe einde van het buisje gaat bewegen. - Gebeurt het~

zelfde als men het water door kwik vervangt?

110. In een vlak raam is een zeepvlies gespannen. In het vlies bevindt zich

een luchtbel waarvan de inhoud 10nJ3 cm3 _{is. De oppervlaktespanning van de}

zeepopJossing is 25 dynl cm.

Mechanica a. Hoe is de v.orm van de luchtbel precies? (Verwaarloos de invloed van de

zwaartekracht. )

b. Hoe groot is de overdruk in de luchtbel?

(De inhoud van een bolsegment is nh2 _{(3r - h) /3, als r}

=

_{straal van de}

bol en h

=

hoogte segment.)

111. Bereken de overdruk in een bolvormige vloeistof druppel, waarvan de straal r is, als de oppervlaktespanning van de vloeistof y is.

Hoeveel procent is de overdruk in een zeepbel, waarvan de straal 10 cm is,

als van de zeepoplossing y = 25 dyn/ cm?

112. Wordt een met water gevulde, verticaal gehouden pipet, waarvan het ondereinde tot een nauwe capillair uitgetrokken is, voor de helft leeggeblazen, dan blij ft onderaan een bolvormig druppeltje hangen. De resterende water~ hoogte in de pipet is h; de opper"laktespanning van de vloeistof is y. Voor de straal

R

van het druppeltje is er een evenwichtswaarde

R

e

zo, dat als

R

<

R

e,

de druppel inkrimpt; als

R

=

R

e

blijft de druppel hangen; als

R

>

R

e

dan groeit de druppel aan (en valt tenslotte af). Bereken

R

e.

Wet van Bernoulli

113. Door een buisleiding stroomt per seconde 45 dm3 _{water door een door~}

snede. In een punt A is de doorsnede van de leiding 0,5 dm2 ; in een ander punt B, dat 10 m lager ligt. is de doorsnede 4,5 dm2 • Hoe groot is het druk~ verschil tussen A en B, uitgedrukt in N/m2 _{en ook in atmosferen? (Stel 1 at~}

mosfe'er gelijk 1 kgf! cm2 en g = 10 m/ s2.)

114. Een baksteen ligt met zijn grote zijde op de harde, horizontale. bodem

van een rivier. Deafmetingen van de steen zijn 5 X 10 X 20 cm; het S.g. ervan is 2,5. De stroomsnelheid van het water is overall m/sec. Bereken de resultante

van de verticale kracht'en die op de steen werken. Bereken dezelfde kracht

voor een steen die slechts 2,5 cm dik is.

115. In een kanaal, met rechthoekig dwars profiel, stroomt water met een snelheid van 60 cm/sec. Het water staat 30 cm diep. Dwars over de bodem van het kanaal' ligt een dr·empd van 1,5 cm hoogte. Bereken hoev.eel cm de waterspiegel boven de drempel lager ligt dan elders. Stel de inwendige wrij~ ving nul en verwaarloos de tweede en hogere machten van de spiegelverlaging. 116. Een wijde bak is gevuld met vloeistof die onderaan, door een horizontale buis' in de zijwand van de bak, weg stroomt. De hoogte h van het 'Vloeistof~ niveau boven de bodem wordt constant gehouden. De vloeistof wordt zonder inwendige wrijving ondersteld. Bereken de uitstroomsnelheid van de vloeistof.

117. Een wrijvingsloze vloeistof stroomt met een

A B

c

D

,

snelheid v .door een lange horizontale buis, in de aangegeven richting. De dichtheid van de

:2r

, vloeistof is (2; de straal van de buis is t. In de buis zijn, op grote af~ standen van elkaar, vier vloeistofmanome~ ters geplaatst. ,Manometer A mondt uit in de onderkant van de buis, de mano~ meters B, C en D in de hartlijn. De openingen van B en C zijn horizontaal ge~ plaatst, die van D verticaal. Vlak achter de opening v,an C staat een klein ver~ ticaal scherm S. Als A een druk P aanwijst, welke drukken wijzen B, C en D dan aan?

Viskeuze vloeistoffen

118. In welke grondeenheden wordt de poise (= eenheid van de coefficiënt

van inwendige wrijving in het cgs~stelsel) uitgedrukt? Hoe verhoudt zich de mks-eenheid van de dynamische viscositeit tot de poise? En in welke grondeen~ heden-de stokes

=

eenheid van kinematische viscositeit in het cgs-stelsel?

119. Twee cirkelvormige schijven, waarvan de diameters 2 dm zijn, draaien

om hun gemeenschappelijke as met 'e,en constante snelheid van één omwenteling per sec t.O.V. elkaar. Tussen de schijven, die 1 mm van elkaar verwijderd zijn, bevindt zich water. Hoe groot is het moment van het wrijvingskoppel dat op elk van de schijv,en uitgeoefend wordt? De kinematische viscositeit van water be-draagt 0,01 cm2_Js.

120. Een dun laagje vloeistof stroomt stationair en laminai,r van een hellend

vlak. De dichtheid van de vloeistof is (2, de viscositeit ervan is 1]; de dikte van het laagje is h; de hellingshoek van het vlak is a.

a. Hoe verloopt de snelheid met de hoogte in de vloeistof? b. Berekev. de gemiddelde snelheld in het laagje.

c. Hoe kan men nagaan of de onderstelling van laminaire stroming, bij toe~ passing van de gevonden uitkomst op een numeri'ek geval, geoorloofd is?

121. Tussen twee lange coaxiale cilinders stroomt in de asrichting een viskeuze

vloeistof, onder invloed van een drukverschil tussen de uiteinden van de buizen. De drukken zijn Pi en P 2 (Pi

>

P2); de stralen van de cilinders zijn Rl en R2

(R2

>

Rl); de lengten ervan zijn l. Hoe verloopt in de stationaire toestand en als de stroming laminair is, de snelheid van de vloeistof met de afstand t tot de

as van de cilinders?

Bereken ook het debiet van deze stroming.

122. Uit een wijde bak stroomt door een lange nauwe verticale buis, die in de bod~m uitmondt, een viskeuze vloeistof. De stroming in de buis geschiedt l:aminair. De hoogte van het vloeisto'fniveau. in de bak is h, de lengte van de buis is

Z,

de straal ervan r, de dichtheid van de vloeistofe, de viscositeit ervan 1]. Hoe groot is het per seconde uitstromende volume vloeistof?

123. In een bak glycerine laat men beneden het vloeistofoppervlak een stalen bolletj'e vallen, zonder het een beginsnelheid te geven. De diameter van het bolletje is 2 mm; estnal

=

7,8 g/cm3_{; egl)"c}

=

_{1,3 g./cm}3_{; 'Yjglyc}

=

_{8,3 poise.} Bereken de eindwaarde van de snelheid van het bolletje. Ga na of de wet van Stokes in dit geval mag worden toegepast.

Na hoeveel tijd heeft het bolletje een snelheid verkreg,en die gelijk is aan 99% van de eindwaarde?