Index of /rozprawy2/10714

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Matematyki Stosowanej Katedra Równań Różniczkowych. Rozprawa doktorska. O strukturze algebraicznej i własności wierności grup automorfizmów struktur geometrycznych na rozmaitościach Agnieszka Kowalik. Promotor. dr hab. Tomasz Rybicki, prof. nadzw. AGH. Kraków 2013.

(2) Serdecznie dziękuję Promotorowi, Panu Profesorowi Tomaszowi Rybickiemu, za okazaną życzliwość i wszelką pomoc..

(3) Spis treści. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 1. Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 2. Własności algebraiczne grup homeomorfizmów . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Własność fragmentowalności grup homeomorfizmów . . . . . . . Doskonałość grup Hc (M ) i Hc∂ (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . Prostota grupy Hc (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ograniczoność grup - podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . Ograniczoność grup Hc (M ) oraz Hc∂ (M ) . . . . . . . . . . . . . . O uniwersalnych grupach nakrywających grup homeomorfizmów. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. Rozdział 3. Własność wierności grup automorfizmów . . . . . . . . . . . .. 3 8 12 12 13 15 20 21 22 26. . . . . . .. 31 31 33 36. . . . .. . . . .. 39 42 47 57. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Własność fragmentowalności grup dyfeomorfizmów . . . . . . . . . . . . . . Grupy homeomorfizmów na rozmaitościach z foliacją singularną . . . . . . . Grupy dyfeomorfizmów na rozmaitościach z foliacją singularną i modularne grupy dyfeomorfizmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Grupy automorfizmów rozmaitości symplektycznych . . . . . . . . . . . . . 3.6. Grupy automorfizmów rozmaitości kosymplektycznych . . . . . . . . . . . . 3.7. Grupy automorfizmów rozmaitości Poissona i rozmaitości Jacobiego . . . .. 2.

(4) Wstęp. Poniższa rozprawa dotyczy dwóch, częściowo niezależnych od siebie zagadnień z zakresu analizy globalnej. W pierwszej części pracy badana jest struktura algebraiczna grup homeomorfizmów na rozmaitościach. Niech M będzie rozmaitością zwartą lub dopuszczającą zwarte wyczerpanie, przy czym M może być rozmaitością z brzegiem. Symbolami Hc (M ), Hc∂ (M ), Hc (M 0 ) oznaczamy odpowiednio składową jedynki grupy homeomorfizmów o zwartych suportach na M , izotopijnych z identycznością poprzez zwartosuportowane izotopie, jej podgrupę o elementach stabilizujących się na brzegu oraz podgrupę zwartosuportowanych homeomorfizmów na wnętrzu M 0 := intM . Symbolami PHc (M ) i PHc∂ (M ) oznaczamy grupy izotopii grup Hc (M ) i Hc∂ (M ) odpowiednio. Paragraf 2.2 zawiera wyniki dotyczące własności fragmentacji powyższych grup. W 1971r. R.D. Edwards i R.C. Kirby wykazali, że dla dowolnej zwartej rozmaitości M grupa H(M ) jest fragmentowalna ([17]). Co więcej, wykazali także, że analogiczny rezultat jest prawdziwy dla grupy izotopii grupy H(M ). W rozprawie powyższe wyniki zostały rozszerzone. Wprowadzone zostało pojęcie lokalnej fragmentowalności w sposób ciągły, a następnie wykazano, że grupy Hc (M ) i Hc∂ (M ), jak również ich grupy izotopii, są lokalnie fragmentowalne w sposób ciągły (Twierdzenie 2.10). Uzyskane wyniki bazują na pracy [17]. W paragrafie 2.3 zajmujemy się studiami nad własnością doskonałości opisanych wyżej grup homeomorfizmów. Począwszy od lat 70-tych ubiegłego stulecia pojęcie doskonałości było badane dla wielu rozmaitych grup automorfizmów i uzyskane wyniki są bardzo bogate. Wymienimy tu jedynie te najważniejsze z punktu widzenia uzyskanych przez nas rezultatów, tj. wyniki dotyczące grup homeomorfizmów. I tak: w 1971r. J.N. Mather [37] udowodnił, że dla dowolnej rozmaitości gładkiej bez brzegu grupa Hc (M )0 jest doskonała. Drugim bardzo istotnym rezultatem jest opublikowany w 1978r. wynik uzyskany przez D. McDuff [39], rozszerzający wynik J.N. Mathera na grupę homeomorfizmów o niezwartych suportach. Jeśli mianowicie M jest wnętrzem pewnej rozmaitości zwartej M , to wówczas grupa H(M ) jest doskonała. Warto wspomnieć także o uzyskanym w 2001r. przez K. Abe i K. Fukui [1] wyniku dotyczącym homeomorfizmów lipschitzowskich, mówiącym że grupa HcLip (M )0 jest doskonała.. 3.

(5) Wstęp. W rozprawie rozrzerzamy wynik J.N. Mathera wykazując, że dla rozmaitości zwartej lub dopuszczającej zwarte wyczerpanie grupa Hc (M ) jest doskonała (Wniosek 2.17 i Twierdzenie 2.27). Zakładmy przy tym, że M może być zarówno rozmaitością z brzegiem, jak i bez brzegu. Jeśli ponadto brzeg rozmaitości M jest zwarty, to wówczas doskonała jest także grupa Hc∂ (M ) (Twierdzenie 2.28). W dowodach wykorzystujemy m.in. pewne własności tzw. otoczeń kołnierzowych brzegu. Na zakończenie paragrafu wprowadzamy pojęcia fragmentowalności w sposób ciągły i doskonałości w sposób ciągły i wykazujemy, że jeżeli grupa Hc (M ) jest fragmentowalna w sposób ciągły, to jest także doskonała w sposób ciągły (Propozycja 2.33 ). W paragrafie 2.4 formułujemy pewne rezultaty dotyczące prostoty grupy Hc (M ). Fundamentalnym wynikiem dotyczącym prostoty grup jest twierdzenie uzyskane w 1970r. przez D.B. Epsteina [19]. Gwarantuje ono prostotę grupy [G, G] dla fragmentowalnej, U-tranzytywnej i U- niezmienniczej podgrupy G grupy homeomorfizmów H(X), gdzie X jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa, zaś U jest bazą zbiorów otwartych. W szczególności, jako wniosek z Twierdzenia D.B. Epsteina oraz dzięki wynikom J.N. Mathera oraz R.D. Edwardsa i R. C. Kirby’ego uzyskujemy prostotę grupy Hc (M ), dla rozmaitości M gładkiej i bez brzegu. Naszym wynikiem jest swego rodzaju charakteryzacja rozmaitości za pomocą prostoty grupy Hc (M ), wykazujemy bowiem, że dla M spójnej i zwartej lub spójnej i dopuszczającej zwarte wyczerpanie M jest rozmaitością bez brzegu wtedy i tylko wtedy , gdy grupa Hc (M ) jest prosta (Wniosek 2.37). W tym samym paragrafie zajmujemy się także pojęciem quasi-prostoty grupy. W 1984r. W. Ling [36] udowodnił, że jeśli G jest fragmentowalną i bez punktów stałych podgrupą grupy homeomorfizmów parazwartej przestrzeni X, to wówczas grupa [G, G] jest quasi-prosta. Korzystając z tego wyniku, a także z rezultatów poprzednich paragrafów formułujemy wniosek, który mówi, że jeśli M jest rozmaitością zwartą lub dopuszczającą zwarte wyczerpanie, to wówczas grupa Hc (M ) jest quasi-prosta (Wniosek 2.36). Paragrafy 2.5 i 2.6 dotyczą własności ograniczoności grup homeomorfizmów. Pojęcie ograniczoności wprowadzone zostało w 2008r w pracy D. Burago, S. Ivanova i S. Polterovicha [12]. W tejże pracy znajdziemy również szereg rezultatów dotyczących ograniczoności grup, w szczególności dowiedziono ograniczoności grupy Diff ∞ (Sn )0 , gdzie Sn jest sferą, jak również dowiedziono ograniczoności grupy Diff ∞ (M )0 dla dowolnej, spójnej, zamkniętej, 3-wymiarowej rozmaitości M . Dowiedziono także, że jeśli M jest rozmaitością wygodną, to grupa Diff ∞ (M )0 jest ograniczona. Ten ostatni wynik został rozszerzony w 2011r przez T. Rybickiego [58] na grupy Dr (M ) i Dcr (M ) dyfeomorfizmów izotopijnych z identycznością na rozmaitości wygodnej. Również w 2011r. A. Kowalik, J. Lech i I. Michalik [30] wykazali ograniczoność grupy D∞ (M × Rk , F k ) dyfeomorfizmów izotopijnych z identycznością poprzez izotopie zachowujące liście foliacji produktowej F k = {{pt} × Rk }. W paragrafie 2.5 wprowadzamy pojęcie ograniczoności grupy i przytaczamy podstawowe fakty z pracy [12] dotyczące tejże. Następny paragraf zawiera już właściwe rezultaty tj. dowodzimy zależności ograniczoności grupy Hc (M ) od ograniczoności normy fragmentacji (Twierdzenie 2.47), wykazujemy, że jeżeli ∂M jest zwarty oraz grupa Hc (M ) jest ograniczona, to grupa Hc∂ (M ) jest także ograniczona 4.

(6) Wstęp. (Twierdzenie 2.48), wykazujemy także, że jeżeli grupa Hc (M 0 ) jest ograniczona, to jest również ograniczona grupa Hc∂ (M ) (Twierdzenie 2.49). Również w tym paragrafie wprowadzamy i omawiamy pojęcie rozmaitości wygodnej, a następnie wykazujemy, że jeżeli rozmaitość M jest wygodna, to grupa Hc (M ) jest ograniczona (Twierdzenie 2.52). Ostatni paragraf pierwszej części rozprawy dotyczy własności algebraicznych grup nakrywających rozważanych grup homeomorfizmów. Wykazujemy w szczególności, że jeżeli n = dim M ≥ 2 lub ∂M = ∅, to wówczas grupa Hc (M )∼ jest doskonała, gdzie indeks ∼ oznacza uniwersalną grupę nakrywającą danej grupy (Twierdzenie 2.62). W dowodzie wykorzystujemy znaną metodę Mathera [37] dla homeomorfizmów. Wykazujemy następnie ograniczoność grupy HB (M )∼ tj. uniwersalnej grupy nakrywającej grupy homeomorfizmów suportowanych w kuli B, formułujemy i udowadniamy również zależność ograniczoności grupy Hc (M )∼ od ograniczoności normy fragmentacji na grupie izotopii (Twierdzenia 2.63 i 2.64). Druga część pracy dotyczy zagadnień związanych z własnością wierności oraz z szerszym zagadnieniem problemu rekonstrukcji struktury geometrycznej z jej grupy automorfizmów. Własność wierności jest odpowiedzią na postulaty zawarte w Erlangen Programm F. Kleina, która w nowoczesnym ujęciu dotyczy traktowania geometrii danej struktury geometrycznej na rozmaitości gładkiej jako teorii niezmienników grupy automorfizmów tej struktury. Niech K oznacza klasę przestrzeni topologicznych wraz z wprowadzonymi na nich podgrupami automorfizmów tj. K = {(M, G) : M przestrzeń topologiczna, G ≤ Aut(M )}. Mówimy, że klasa K posiada własność wierności, jeśli dla dowolnych (M1 , G1 ), (M2 , G2 ) ∈ K z istnienia izomorfizmu ϕ : G1 → G2 wynika istnienie homeomorfizmu τ : M1 → M2 takiego, że dla dowolnego g ∈ G1 zachodzi ϕ(g) = τ gτ −1 . Niech teraz K oznacza klasę gładkich rozmaitości ze strukturą geometryczną, przy czym zakładamy, że klasa K posiada własność wierności. Problem rekonstrukcji dotyczy odpowiedzi na pytanie, czy homeomorfizm τ z definicji własności wierności jest dyfeomorfizmem i czy zachowuje daną strukturę geometryczną. W latach 50-tych ubiegłego stulecia pierwsze próby uzyskania własności wierności w obrębie kategorii rozmaitości gładkich podjęli L.E. Pursell i M. E. Shanks [44], charakteryzując rozmaitość przy pomocy algebry Liego zwartosuportowanych pól wektorowych. W tym samym okresie ukazały się publikacje M. Wechslera [70] i J.V. Whittakera [71], z których pierwsza dotyczyła dowolnej grupy automorfizmów, lecz z narzuconą szczególną topologią, zaś w drugiej rozważano „odpowiednio duże” podgrupy grupy wszystkich homeomorfizmów na rozmaitościach. W latach 70-tych H. Omori [42] rozszerzył wyniki z pracy [44] na przypadek rozmaitości symplektycznych, kontaktowych i z elementem objętości, zaś I. Amemiya [3] uzyskał analogiczny rezultat dla algebr Liego wszystkich pól wektorowych (bez założenia zwartości suportu). 5.

(7) Wstęp. W 1982 roku R.P. Filipkiewicz wykazał, że grupy Diff r (M ) lub Diff rc (M ) lub Diff rc (M )0 dla 1 ≤ r ≤ ∞ determinują gładką i spójną rozmaitość M . Lata 80-te i 90-te to szereg rezultatów dotyczących problemu rekonstrukcji rozmaitości symplektycznych i z elementem objętości (A. Banyaga [7]), kontaktowych (T. Rybicki [48]), a także pewne wyniki dotyczące rozmaitości Poissona i Jacobiego. Również w tym okresie zaczęły ukazywać się bardzo ważne dla rozwoju tej dziedziny prace M. Rubina [45], [46], [47], [8], dotyczące rekonstrukcji przestrzeni topologicznych przy pomocy ich grup homeomorfizmów, przy czym w pracach tych wykorzystywane są diametralnie inne metody dowodu, niż w pracach dotyczących rekonstrukcji przy pomocy grup dyfeomorfizmów. W roku 2002 ukazała się praca J. Borzellino i V. Brunsdena [10], w której problem rekonstrukcji został uogólniony na orbifoldy. Celem niniejszej rozprawy jest uzupełnienie dotychczasowych wyników dotyczących problemu rekonstrukcji. I tak: paragraf 3.2 dotyczy własności fragmentacji grup dyfeomorfizmów. Rozpoczynamy od wprowadzenia pojęć odwzorowania ewolucyjnego i prawej pochodnej logarytmicznej, by nastepnie, przy pomocy owych odwzorowań zdefiniować słabe podgrupy Liego. Kluczowym wynikiem w tym paragrafie jest lemat o fragmentacji regularnych grup Liego lub słabych podgrup Liego, przy założeniu fragmentowalności odpowiadających im algebr Liego (Lemat 3.20). W paragrafie 3.3 rozwiązujemy problem rekonstrukcji rozmaitości z foliacją singularną za pomocą jej grupy homeomorfizmów (Twierdzenie 3.31). Stanowi to rozszerzenie wyników uzyskanych przez M. Rubina i T. Rybickiego dla rozmaitości z foliacją regularną. W paragrafie 3.4 rozważamy problem rekonstrucji rozmaitości za pomocą modularnych grup dyfeomorfizmów. W szczególności dowodzimy rekonstrukcji rozmaitości z foliacją singularną za pomocą grup gładkich dyfeomorfizmów zachowujących liście foliacji (Twierdzenie 3.43). W dowodzie wykorzystujemy twierdzenie I. Amemiya z pracy [3]. Paragraf 3.5 dotyczy problemu rekonstrukcji rozmaitości symplektycznych. Wykazujemy rekonstrukcję rozmaitości symplektycznej za pomocą całej grupy symplektomorfizmów (Twierdzenie 3.58). Uzyskany w tym zakresie wynik A. Banyagi narzuca dodatkowe założenia na rozmaitość, które w niniejszej rozprawie, dzięki zastosowaniu twierdzeń M. Rubina, mogą zostać pominięte. Rozważamy również problem rekonstrukcji rozmaitości symplektycznej przy pomocy jej grupy dyfeomorfizmów hamiltonowskich, tak jak jest to zrobione w pracy [51], jednak w odróżnieniu od tej pracy, dyfeomorfizmy hamiltonowskie definiujemy przy użyciu operatora prawej pochodnej logarytmicznej. W paragrafie 3.6 zajmujemy się problemem rekonstrukcji rozmaitości kosymplektycznych. Wykazujemy, że rozmaitość tę można zrekonstruować zarówno przy pomocy grupy wszystkich kosymplektomorfizmów (Twierdzenie 3.88), jak również za pomocą grupy kosymplektomorfizmów hamiltonowskich, ewolucyjnych bądź gradientowych (Twierdzenia 3.84 i 3.88). Dla zdefiniowania kosymplektomorfizmów hamiltonowskich, gradientowych i ewolucyjnych używamy, jak w przypadku rozmaitości symplektycznych, operatora prawej pochodnej logarytmicznej. Ponadto, dla dowodu problemu rekonstrucji rozszerzamy i udowadniamy Twierdzenie Takensa [64] dla przypadku rozmaitości kosymplektycznych (Twierdzenie 3.86). Ostatnimi zagadnieniami rozważanymi w rozprawie są problemy rekonstrucji rozmaitości Poissona i Jacobiego, opisane w paragrafie 3.7. Wykazujemy tu rekonstrukcję 6.

(8) Wstęp. rozmaitości Poissona przy pomocy jej grupy dyfeomorfizmów hamiltonowskich (Twierdzenie 3.100). Opisujemy ponadto zagadnienie rekonstrucji dla rozmaitości Jacobiego, które pozostaje otwartym problemem. Pewne rezultaty dla tego typu rozmaitości zostały zawarte w [53].. 7.

(9) Rozdział 1. Pojęcia wstępne. Niech M i N będą przestrzeniami topologicznymi. Symbolem C(M, N ) będziemy oznaczać przestrzeń wszystkich odwzorowań ciągłych z M w N . Niech K ⊂ M będzie zwarty, zaś V ⊂ N będzie otwarty i niech N (K, V ) będzie zbiorem funkcji f ∈ C(M, N ) takich, że f (K) ⊂ V. Definicja 1.1. Topologię zwarto-otwartą na przestrzeni C(M, N ) definiujemy jako topologię, której podbazę stanowi rodzina wszystkich zbiorów postaci N (K, V ). Niech M i N będą rozmaitościami klasy C r . Symbolem C r (M, N ) oznaczamy zbiór wszystkich odwzorowań f : M → N klasy C r . Niech f ∈ C r (M, N ) i niech (U, ϕ), (V, ψ) będą mapami na M i N odpowiednio. Niech K ⊂ U będzie zwarty taki, że f (K) ⊂ V i niech 0 < ≤ ∞. Definicja 1.2. Słabą podbazę otoczeń definiujemy jako rodzinę zbiorów postaci N r (f ; (U, ϕ), (V, ψ), K, ), składających się z funkcji g ∈ C r (M, N ) takich, że g(K) ⊂ V oraz ||Dk (ψf ϕ−1 )(x) − Dk (ψgϕ−1 )(x)|| < dla x ∈ ϕ(K), k = 0, . . . , r. Topologię słabą (lub C r -zwarto-otwartą) definiujemy jako topologię, której podbazę stanowi słaba podbaza otoczeń. Przestrzeń topologiczną C r (M, N ) z topologią słabą oznaczamy symbolem Przestrzeń ta posiada metrykę zupełną i przeliczalną bazę. Ponadto, jeśli r M jest zwarta, to przestrzeń CCO (M, N ) jest lokalnie ściągalna. ∞ Niech C (M, N ) oznacza zbiór odwzorowań f : M → N klasy C ∞ . Słabą topologię na C ∞ (M, N ) definiujemy jako sumę topologii zadanych przez inkluzje r C ∞ (M, N ) → CCO (M, N ) dla skończonych r. Niech teraz Φ = {ϕi , Ui }i∈Λ będzie lokalnie skończoną rodziną map na M , K = {Ki } będzie rodziną zbiorów zwartych zawartych w M takich, że Ki ⊂ Ui dla dowolnego r CCO (M, N ).. 8.

(10) Pojęcia wstępne. i ∈ Λ, Ψ = {ψi , Vi }i∈Λ będzie rodziną map na N i niech = {i }i∈Λ będzie rodziną liczb dodatnich. Niech f ∈ C r (M, N ) będzie takie, że dla każdego i ∈ Λ f (Ki ) ⊂ Vi . Definicja 1.3. Silną bazę otoczeń definiujemy jako rodzinę zbiorów postaci N r (f ; Φ, Ψ, K, ), składających się z funkcji g ∈ C r (M, N ) takich, że g(Ki ) ⊂ Vi oraz −1 k ||Dk (ψi f ϕ−1 i )(x) − D (ψi gϕi )(x)|| < i. dla x ∈ ϕi (Ki ), k = 0, . . . , r, i ∈ Λ. Topologię silną (lub topologię Whitneya) definiujemy jako topologię, której bazę stanowi silna baza otoczeń. Przestrzeń topologiczną C r (M, N ) z topologią silną oznaczamy symbolem r CW (M, N ). Jeżeli M nie jest zwarta i wymiar N jest dodatni, to wówczas przestrzeń r topologiczna CW (M, N ) nie jest metryzowalna i nie ma przeliczalnej bazy w żadnym punkcie. Jak poprzednio, silną topologię na C ∞ (M, N ) definiujemy jako sumę topologii r zadanych przez inkluzje C ∞ (M, N ) → CW (M, N ) dla skończonych r. Jeśli M jest rozmaitością zwartą, to wówczas topologie słaba i silna się pokrywają. Niech M będzie rozmaitością. Symbolem H(M ) będziemy oznaczać grupę wszystkich homeomorfizmów M na siebie. Jeśli dodatkowo M jest klasy C ∞ , to wówczas symbolem Diff(M ) = Diff ∞ (M ) będziemy oznaczać podgrupę grupy H(M ), składającą się ze wszystkich dyfeomorfizmów klasy C ∞ . Dyfeomorfizm klasy C ∞ będziemy nazywać gładkim. Niech G będzie dowolną grupą. Mówimy, że G jest grupą topologiczną, jeśli jest grupą i jednocześnie przestrzenią topologiczną taką, że odwzorowanie G × G 3 (g, h) → gh−1 ∈ G jest ciągłe. Propozycja 1.4. Niech M będzie rozmaitością. Grupa H(M ) z wprowadzoną topologią zwarto-otwartą jest grupą topologiczną. Dowód. Niech K będzie zwartym, zaś U otwartym podzbiorem M i niech V(K, U ) = {f ∈ H(M ) : f (K) ⊂ U }. Niech teraz f = gh−1 . Wtedy g = f h i g ∈ V(h−1 (K), U ). Podobnie h = f −1 g i h ∈ V(g −1 f f (K), U ). W dalszym ciągu, grupę H(M ) będziemy traktować jako grupę topologiczną, wyposażoną w topologię zwarto-otwartą. Na podgrupach grupy H(M ) będziemy wprowadzać topologię indukowaną. Grupę Diff(M ) będziemy natomiast wyposażać w topologię Whitneya, zaś jej podgrupy w topologię z niej indukowaną. Dla grupy topologicznej G symbolem PG będziemy oznaczać ogół krzywych γ : I → G takich, że γ(0) = e. Przez I rozumiemy przedział [0, 1]. Dla g ∈ H(M ) określamy suport (lub nośnik ) g formułą supp(g) = {x ∈ M : g(x) 6= x}. Symbolem Hc (M ) będziemy określać grupę wszystkich homeomorfizmów o suportach zwartych tj. Hc (M ) := {g ∈ H(M ) : supp(g) zwarty}. Analogicznie, symbol. 9.

(11) Pojęcia wstępne. Diff c (M ) będzie oznaczał grupę gładkich dyfeomorfizmów o suportach zwartych. Niech U będzie otwartym podzbiorem M . Symbolem HU (M ) (odp. Diff U (M )) będziemy oznaczać grupę homeomorfizmów (odp. gładkich dyfeomorfizmów) o suportach zwartych zawartych w zbiorze U . Niech f, g ∈ H(M ). Definicja 1.5. Mówimy, że f i g są izotopijne, jeśli istnieje funkcja h : M × [0, 1] → M taka, że dla dowolnego x ∈ M h0 (x) := h(x, 0) = f (x), h1 (x) := (x, 1) = g(x) oraz dla każdego t ∈ [0, 1] funkcja ht : M → M jest homeomorfizmem. Funkcję h nazywamy izotopią łączącą f i g. W dalszym ciągu dla określenia izotopii będziemy używać symbolu ht . S Definicja 1.6. Przez suport izotopii rozumiemy zbiór supp(ht ) = t∈I supp(ht ). Niech H(M ) oznacza grupę wszystkich homeomorfizmów izotopijnych z identycznością tj. H(M ) = {g ∈ H(M ) : ∃gt izotopia : g0 = id, g1 = g}. Analogicznie określimy podgrupę D(M ) grupy Diff(M ). W niektórych przypadkach dla oznaczenia grupy odwzorowań izotopijnych z identycznością będziemy używać indeksu 0 tj. H(M ) = H(M )0 , D(M ) = Diff(M )0 itd. Wiadomo, że grupy H(M ) (odp. D(M )) pokrywają się ze składowymi spójnymi identyczności grup H(M ) (odp. Diff(M )) (patrz [25]). Symbolem Hc (M ) (Dc (M ) odp.) będziemy oznaczać podgrupę grupy H(M ) (Diff(M )) składającą się z elementów izotopijnych z identycznością poprzez izotopie o zwartym suporcie tj. Hc (M ) := {g ∈ H(M ) : ∃gt izotopia : g0 = id, g1 = g oraz ∀t gt ∈ Hc (M )}. Niech M = Rn . Wykorzystując tzw. trik Alexandera łatwo wykazać, że grupa H(Rn ) jest równa grupie Hc (Rn ). Rzeczywiście, jeśli supp(g) jest zwarty, definiujemy izotopię gt : Rn → Rn , t ∈ I, łączącą g z identycznością wzorem: tg( 1t x) dla t > 0 gt (x) = x dla t = 0. W szczególności, dla dowolnej rozmaitości M , grupa HB (M ), gdzie B jest kulą w M , składa się z homeomorfizmów o suportach zwartych, zawartych w B. Warto wspomnieć, że własności analogicznej do opisanego powyżej triku Alexandera nie uzyskamy w kategorii funkcji gładkich. Jedną z kluczowych własności, wykorzystywaną w dalszej części pracy, jest tzw. własność fragmentowalności grupy automorfizmów struktury geometrycznej na rozmaitości. Podamy teraz podstawową definicję fragmentowalności grup. Niech M będzie dowolną przestrzenią topologiczną, zaś G podgrupą grupy H(M ). Przez U oznaczymy dowolne pokrycie otwarte przestrzeni M . Podobnie jak wyżej, dla otwartego podzbioru U przestrzeni M symbolem GU będziemy oznaczać podgrupę grupy G składającą się z elementów izotopijnych z identycznością poprzez izotopie o suporcie zwartym, zawartym w U .. 10.

(12) Definicja 1.7. Mówimy, że grupa G jest fragmentowalna względem pokrycia U, jeśli dla dowolnego g ∈ G istnieją n ∈ N, U1 . . . Un ∈ U oraz g1 . . . gn ∈ G takie, że g = g1 . . . gn , przy czym gi ∈ GUi dla każdego i. Niech M będzie rozmaitością topologiczną z brzegiem lub bez brzegu i niech G będzie podgrupą H(M ). Przez kulę (odp. półkulę) B rozumiemy relatywnie zwartą (tj. zwartą po domknięciu) otwartą kulę (odp. półkulę taką, że ∂B = B∩∂M ), zanurzoną w M wraz z domknięciem. Symbolem B oznaczymy rodzinę wszystkich kul i półkul na M . Definicja 1.8. Mówimy, że grupa G jest fragmentowalna, jeśli jest fragmentowalna względem pokrycia B. Niech teraz U będzie otwartym pokryciem M . Definicja 1.9. Mówimy, że grupa G jest lokalnie fragmentowalna w sposób ciągły, jeśli dla dowolnego skończonego podpokrycia {Ui }di=1 pokrycia U istnieje P otoczenie identyczności id ∈ G oraz ciągłe odwzorowania σi : P → G dla i = 1, . . . , d takie, że dla dowolnego f ∈ P zachodzi: f = σ1 (f ) . . . σd (f ), przy czym supp(σi (f )) ⊂ Ui dla każdego i. Propozycja 1.10. Niech G będzie podgrupą grupy homeomorfizmów izotopijnych z identycznością. Jeżeli G jest lokalnie fragmentowalna w sposób ciągły, to jest także fragmentowalna. Dowód. Dowolna podgrupa grupy homeomorfizmów izotopijnych z identycznością jest oczywiście łukowo spójna. Mamy stąd, że G jest łukowo spójną grupą topologiczną, zatem jest generowana przez dowolne otoczenie identyczności, w szczególności przez otoczenie P z Definicji 1.9. Zauważmy, że Definicja 1.9 może być również sformułowana dla PG, gdzie G ≤ H(M ). Symbol G ≤ H(M ) oznacza, że G jest podgrupą grupy H(M ). W dalszym ciągu pracy omówimy własność fragmentowalności dla poszczególnych rozważanych grup homeomorfizmów i dyfeomorfizmów. Niech G ≤ H(M ). Definicja 1.11. Mówimy, że G nie ma punktów stałych, jeżeli dla dowolnego x ∈ M istnieje g ∈ G takie, że g(x) 6= x. Niech teraz {Ui }i∈Λ będzie pewną rodziną podzbiorów otwartych M . Definicja 1.12. Mówimy, że G działa tranzytywnie na rodzinie {Ui }i∈Λ , jeśli dla dowolnych U, V ∈ {Ui }i∈Λ istnieje g ∈ G takie, że g(U ) = V . Niech M0 będzie podzbiorem M , zaś G podgrupą grupy H(M ). Definicja 1.13. Mówimy, że M0 jest niezmienniczy względem G (lub G-niezmienniczy), jeżeli dla dowolnego g ∈ G i dla dowolnego x ∈ M0 zachodzi g(x) ∈ M0 ..

(13) Rozdział 2. Własności algebraiczne grup homeomorfizmów. 2.1. Wprowadzenie Niech M będzie metryzowalną rozmaitością topologiczną wymiaru n ≥ 1. Zakładamy, że M może być rozmaitością z brzegiem lub bez brzegu. Jeśli M jest rozmaitością z brzegiem, to wówczas symbolem ∂M będziemy oznaczać brzeg, zaś symbolem M 0 wnętrze rozmaitości M . Definicja 2.1. Mówimy, że rozmaitość M dopuszcza zwarte wyczerpanie, jeżeli istnieje ciąg zwartych podrozmaitości z brzegiem (Mi )∞ i=1 S takich, że dim(Mi ) = dim(M ) = n dla każdego i, M1 ⊂ M20 ⊂ M2 ⊂ . . . oraz M = ∞ i=1 Mi . Wiadomo, że każda rozmaitość, która spełnia drugi aksjomat przeliczalności dopuszcza zwarte wyczerpanie ([18]). Niech Hc∂ (M ) będzie podgrupą grupy Hc (M ) składającą się z homeomorfizmów izotopijnych z identycznością poprzez stabilizujące się na brzegu izotopie, tj. Hc∂ (M ) = {h ∈ Hc (M ) : ∃ht : h0 = id , h1 = h oraz ∀ t ht |∂M = id}. Propozycja 2.2. Prawdziwe są następujące inkluzje, przy których zakładamy oczywiste identyfikacje poprzez restrykcje do M 0 : Hc (M 0 ) ≤ Hc∂ (M ) ≤ Hc (M ) ≤ H(M 0 ). Dowód. Rozważmy inkluzję Hc (M 0 ) ≤ Hc∂ (M ). Załóżmy, że f ∈ Hc (M 0 ). Kładąc f |∂M = id rozszerzamy f na całe M i otrzymujemy f ∈ Hc∂ (M ). Inkluzja Hc∂ (M ) ≤ Hc (M ) jest trywialna, pozostaje wykazać Hc (M ) ≤ H(M 0 ). Niech f ∈ Hc (M ). Ponieważ f jest homeomorfizmem musi być ∀x ∈ ∂M f (x) ∈ ∂M . Zatem „odcinając” brzeg otrzymujemy f określone na M 0 , przy czym suport f nie musi być zwarty. Biorąc restrykcję izotopii do M 0 otrzymujemy, że f ∈ H(M 0 ).. 12.

(14) 2.2. Własność fragmentowalności grup homeomorfizmów. 2.2. Własność fragmentowalności grup homeomorfizmów Niech M będzie metryzowalną rozmaitością topologiczną wymiaru n ≥ 1. Zakładamy, że M może być rozmaitością z brzegiem lub bez brzegu. Niech U będzie podzbiorem M . Definicja 2.3. Przez właściwe zanurzenie U w M rozumiemy zanurzenie h : U → M takie, że h−1 (∂M ) = U ∩ ∂M . Niech C i U będą podzbiorami rozmaitości M takimi, że C ⊆ U . Symbolem I(U, C; M ) oznaczamy przestrzeń właściwych zanurzeń U w M , równych identyczności na zbiorze C, wyposażoną w topologię zwarto-otwartą. Symbol I(U ; M ) oznacza przestrzeń wszystkich właściwych zanurzeń U w M . Definicja 2.4. Izotopią U w M nazywamy rodzinę zanurzeń ht : U → M , t ∈ I taką, że odwzorowanie h : U × I → M zadane przez h(x, t) = ht (x) jest ciągłe. Definicja 2.5. Mówimy, że izotopia ht jest właściwa, jeśli dla każdego t zanurzenie ht jest właściwe. Niech A i B będą podzbiorami pewnej przestrzeni M. Definicja 2.6. Przez deformację A w B rozumiemy ciągłe odwzorowanie ϕ : A × I → M takie, że ϕ|A×0 = idA i ϕ(A × 1) ⊆ B. Jeśli P jest podzbiorem I(U ; M ) i ϕ : P × I → I(U ; M ) jest deformacją P, to możemy traktować ϕ jako odwzorowanie ϕ : P × I × U → M takie, że dla dowolnego h ∈ P i t ∈ I, odwzorowanie ϕ(h, t, ·) : U → M jest właściwym zanurzeniem. Wynika stąd, że deformacja P to zbiór {ht : U → M, t ∈ I, gdzie h ∈ P} właściwych izotopii zbioru U w M , indeksowanych w sposób ciągły przez P i takich, że h0 = h. W dalszym ciągu zakładamy, że wszystkie rozważane deformacje będą deformacjami otoczenia P inkluzji η : U → M w przestrzeń I(U ; M ), przy czym inkluzja η będzie punktem stałym każdej takiej deformacji. Definicja 2.7. Jeśli W ⊆ U , to deformację ϕ : P × I → I(U ; M ) nazywamy modulo W, jeśli ϕ(h, t)|W = h|W dla każdego h ∈ P i t ∈ I. Niech ϕ : P × I → I(U ; M ) i ψ : Q × I → I(U ; M ) będą deformacjami podzbiorów I(U ; M ) i załóżmy, że ϕ(P × 1) ⊆ Q. Definicja 2.8. Złożeniem ψ z ϕ, które będziemy oznaczać symbolem ψ ?ϕ, nazywamy deformację ψ ? ϕ : P × I → I(U ; M ), zdefiniowaną następująco: ϕ(h, 2t) dla t ∈ [0, 1/2] ψ ? ϕ(h, t) = ψ(ϕ(h, 1), 2t − 1) dla t ∈ [1/2, 1]. Najważniejszym wynikiem w pracy [17] jest następujące Twierdzenie 2.9. (Edwards, Kirby [17]) Niech M będzie rozmaitością topologiczną i niech U będzie otoczeniem zwartego podzbioru C, gdzie U i C są podzbiorami M . Dla dowolnego otoczenia Q inkluzji η : U ⊂ M w I(U ; M ) istnieją otoczenie P inkluzji η ∈ I(U ; M ) oraz deformacja ϕ : P × I → Q przeprowadzająca P w I(U, C; M ).. 13.

(15) 2.2. Własność fragmentowalności grup homeomorfizmów. Ponadto deformacja ϕ jest modulo uzupełnienia zwartego otoczenia C w U i taka, że ϕ(η, t) = η dla każdego t. Mamy ponadto, że jeśli Di ⊆ Vi dla i = 1, . . . , q jest skończoną rodziną domkniętych podzbiorów Di z ich otoczeniami Vi , to wtedy ϕ może być wybrane w taki sposób, że zacieśnienie ϕ do (P ∩ I(U, U ∩ Vi ; M )) × I ma wartości w I(U, U ∩ Di ; M ) dla każdego i. Ponadto, jeśli M ma zwarty brzeg ∂M , to ϕ zacieśnione do zbioru (P ∩ I(U, ∂M ∩ U ; M )) × I ma wartości w I(U, ∂M ∩ U ; M ). Wnioskiem z powyższego twierdzenia jest następujące twierdzenie o fragmentowalności. Twierdzenie 2.10. Niech M będzie rozmaitością zwartą lub dopuszczającą zwarte wyczerpanie. Zakładamy, że M może być rozmaitością z brzegiem lub bez brzegu. Wtedy grupy Hc (M ), Hc∂ (M ), PHc (M ), PHc∂ (M ) są lokalnie fragmentowalne w sposób ciągły. Dowód. (Dowód analogiczny jak w [17].) Rozważymy jedynie przypadek H(M ), w pozostałych przypadkach dowód jest podobny. Niech M będzie zwarta z brzegiem lub bez brzegu. Niech U będzie pokryciem otwartym M i niech {Ui }di=1 będzie skończonym podpokryciem U. Na początek zmniejszamy pokrycie {Ui }di=1 d razy, to jest wybieramy otwarte zbiory Ui,j dla S i = 1, . . . , d i j = 0, . . . , d, w taki sposób, że Ui,0 = Ui , di=1 Ui,j = M dla każdego j oraz Ui,j+1 ⊆ Ui,j dla wszystkich i, j. Wykorzystując Twierdzenie 2.9 d razy (dla qS= 1), dla i = 1, . . . , d otrzymujemy otoczenie Pi identyczności w przestrzeni ) oraz deformację ϕi : Pi ×I → Hc (M ), która jest modulo M \Ui,0 , I(M, i−1 α=1 Uα,i−1 ; MS ma wartości w I(M, iα=1 Uα,i ; M ) i jest taka, że ϕi (id, t) = id dla każdego t. Stosujemy tu Twierdzenie 2.9 S dla C = Ui,i , Si−1 U = Ui,0 , D1 = i−1 α=1 Uα,i−1 . Biorąc wystarczająco małe otoczenie α=1 Uα,i i V1 = identyczności P mamy, że ϕd ? · · · ? ϕ1 zacieśnione do P × I jest dobrze zdefiniowane. Dla każdego h ∈ P kładziemy h0 = h i hi = ϕi ? · · · ? ϕ1 (h, 1) dla i = 1, . . . , d. Wynika Qd stąd, że hd = id i h = i=1 hi h−1 i−1 . Wystarczy teraz zdefiniować σi : P → Hc (M ) jako −1 σi (h) = hi hi−1 dla każdego i. Niech teraz M dopuszcza zwarte wyczerpanie. Dla każdego f ∈ Hc (M ) istnieje j ∈ N takie, że supp(f ) ⊂ Mj , gdzie Mj jest rozmaitością zwartą. Wystarczy teraz zastosować pierwszą część dowodu dla M = Mj . Wniosek 2.11. Niech M będzie rozmaitością zwartą lub dopuszczająca zwarte wyczerpanie i niech ht : M → M , t ∈ I będzie zwartosuportowaną izotopią na M taką, że h0 = id. Wtedy istnieją izotopie hit : M → M dla i = 1, . . . , k takie, że ht = h1t . . . hkt , przy czym hi0 = id oraz supp(hit ) ⊂ Bi , gdzie Bi jest kulą lub półkulą w M . Ponadto, jeśli ∂M 6= ∅ i ht |∂M = id dla wszystkich t, to hit |∂M = id dla wszystkich i oraz t. Dowód. Dla rozmaitości zwartej teza wynika z [17], Wniosek 1.3. Załóżmy teraz, że M dopuszcza zwarte wyczerpanie (Mj )∞ j=0 i niech ht będzie izotopią w Hc (M ). Wówczas ht jest suportowane w Mj dla pewnego j ∈ N i ht = id na ∂Mj+1 . Z pierwszej części tezy dla M = Mj+1 otrzymujemy izotopie h1t . . . , hkt w Hc (Mj+1 ) takie, że h = h1t . . . hkt i hit = id na ∂Mj+1 dla wszystkich i. Rozszerzamy następnie każde hit do M kładąc hit = id poza Mj+1 .. 14.

(16) 2.3. Doskonałość grup Hc (M ) i Hc∂ (M ). Powyższy wniosek pozostaje prawdziwy, jeśli zamiast izotopii rozważa się homeomorfizmy. Wniosek 2.12. Niech M będzie rozmaitością zwartą lub dopuszczającą zwarte wyczerpanie. Wówczas grupy Hc (M ), Hc∂ (M ), PHc (M ), PHc∂ (M ) są fragmentowalne. Inną ważną konsekwencją Twierdzenia 2.9 jest następujące Twierdzenie o Rozszerzaniu Izotopii. Twierdzenie 2.13. (Edwards, Kirby [17]) Niech ft będzie izotopią w Hc (M ) oraz niech C ⊂ M będzie zwarty.SWtedy dla dowolnego otwartego otoczenia U śladu C względem izotopii ft , tj. zbioru t∈[0,1] ft (C), istnieje izotopia gt w Hc (M ) taka, że gt = ft na C oraz supp(gt ) ⊂ U .. 2.3. Doskonałość grup Hc (M ) i Hc∂ (M ) Niech G będzie podgrupą grupy H(M ) i niech f, g ∈ G. Komutatorem elementów f i g nazywamy [f, g] = f gf −1 g −1 . Przez [G, G] oznaczamy podgrupę komutatorów grupy G generowaną przez skończone złożenia komutatorów [f, g] dla f, g ∈ G. Definicja 2.14. Grupę G nazywamy doskonałą, jeżeli jest równa swojej podgrupie komutatorów [G, G]. Zaczniemy od prostego lematu, który gra kluczową rolę w studiach nad grupami homeomorfizmów. Lemat 2.15. Niech B ⊂ M będzie kulą oraz niech U ⊂ M będzie otwarty taki, że B ⊂ U . Wtedy istnieją ϕ ∈ HU (M ) oraz homomorfizm S : HB (M ) → HU (M ) takie, że h = [S(h), ϕ] dla wszystkich h ∈ HB (M ). Dowód. Wybieramy kulę B 0 taką, że B ⊂ B 0 ⊂ B 0 ⊂ U . Następnie ustalamy p ∈ ∂B 0 0 i kładziemy B0 = B. Istnieje ciąg kul (Bk )∞ k=1 takich, że Bk ⊂ B dla wszystkich k, 0 gdzie rodzina (Bk )∞ k=0 jest parami rozłączna , lokalnie skończona w B oraz Bk → p przy k → ∞. Wybieramy homeomorfizm ϕ ∈ HU (M ) taki, że ϕ(Bk−1 ) = Bk dla k = 1, 2, . . .. Wykorzystujemy tu fakt, że HU (M ) działa tranzytywnie na rodzinie kul w B0. Następnie definiujemy homomorfizm S : HB (M ) → HU (M ) następująco: k −k ϕ hϕ dla x ∈ B Sk , k = 0, 1, . . . , S(h) = id dla x ∈ / ∞ k=0 Bk . Mamy wówczas h = [S(h), ϕ]. Uwaga 2.16. Rozumowanie powyższe w oczywisty sposób nie jest prawdziwe dla odwzorowań klasy C 1 . Z powyższego lematu otrzymujemy następujące wyniki: Wniosek 2.17. Niech M będzie rozmaitością bez brzegu. Jeśli M jest zwarta lub dopuszcza zwarte wyczerpanie, to grupa Hc (M ) jest doskonała.. 15.

(17) 2.3. Doskonałość grup Hc (M ) i Hc∂ (M ). Dowód. Dla M zwartej teza wynika z Wniosku 2.11 i z Lematu 2.15. Przypuśćmy teraz, że M dopuszcza zwarte wyczerpanie. Jeśli h ∈ Hc (M ), to wtedy istnieją j ∈ N oraz izotopia ht takie, że h0 = id, h1 = h i supp(ht ) ⊂ Mj dla wszystkich t. Z Wniosku 2.11 wynika, że h|Mj może być zapisane jako h|Mj = hd . . . h1 takie, że hi ∈ HBi (Mj ), gdzie Bi jest kulą w Mj dla i = 1 . . . d. Zgodnie z Lematem 2.15 mamy hi = [Si (hi ), ϕi ] i Si (hi ) = id na ∂Mj dla każdego i. Ponadto ϕi możemy zdefiniować jako element Hc (M ) o suporcie we wnętrzu Mj+1 . Zatem kładąc hi = id poza Mj rozszerzamy każde hi do M , otrzymując tym samym doskonałość Hc (M ). Zajmiemy się teraz udowodnieniem odpowiednika Wniosku 2.17 dla rozmaitości M z niepustym brzegiem ∂M . Rozpocznijmy od następujących wniosków z Lematu 2.15. Wniosek 2.18. Niech M będzie rozmaitością z niepustym brzegiem ∂M i niech dim M = n ≥ 2. Niech U będzie otwartym podzbiorem M i niech B będzie kulą lub półkulą w M taką, że B ⊂ U . Wtedy istnieją ϕ ∈ HU (M ) oraz homomorfizm S : HB (M ) → HU (M ) takie, że h = [S(h), ϕ] dla wszystkich h ∈ HB (M ). Ponadto, dla h ∈ HB (M ), jeśli h = id na ∂M , to wówczas S(h) = id na ∂M . Dowód. Dowód analogiczny do dowodu Lematu 2.15. Przypuśćmy, że {Ui }i∈N jest parami rodziną zbioS rozłączną, lokalnie skończoną ∂ 0 rów otwartych w M . Połóżmy U = i Ui . Niech H[U ] (M ) (odp. H[U ] (M )) oznacza na podgrupę Hc (M ) (odp. Hc∂ (M )) składającą się z homeomorfizmów suportowanych S U takich, że dla rozkładu h = h1 h2 . . . otrzymanego dla podziału U = i Ui mamy hi ∈ HUi (M ) dla wszystkich i. Wniosek 2.19. Niech Bi ⊂ Ui dla i ∈ N i niech pary (Bi , Ui ) będą takie, jak S w Lemacie 2.15 lub Wniosku 2.18. Wtedy dowolny element h ∈ H[B] (M ) (gdzie B = i Bi ) wyraża ˜ h], ¯ przy czym h, ˜ h ¯ ∈ H[U ] (M ). się przez h = [h, ∂ ˜ h ¯ ∈ H∂ (M ). (M ), to h, Ponadto, prawdziwa jest implikacja: jeśli h ∈ H[B] [U ] Dowód. Dla dowodu wystarczy skleić S(hi ) i ϕi otrzymane dla poszczególnych Ui . Niech G będzie grupą. Przytoczymy teraz pewne pojęcia i rezultaty zawarte w pracy [12]. Definicja 2.20. Dla g ∈ [G, G] długością komutatorową g, oznaczaną symbolem clG (g), nazywamy najmniejszą liczbę naturalną r taką, że g może być przedstawione jako ¯ 1 ] . . . [hr , h ¯r] g = [h1 , h ¯ i ∈ G, i = 1 . . . r. dla pewnych hi , h Definicja 2.21. Niech H będzie podgrupą grupy G. Podgrupę H nazywamy silnie m-przesuwalną, jeśli istnieje f ∈ G takie, że podgrupy H, f Hf −1 , . . . , f m Hf −m są parami przemienne. Mówimy wówczas, że f m-przesuwa H. Twierdzenie 2.22. (Burago, Ivanov, Polterovich [12]) Niech G będzie grupą i niech H będzie podgrupą G. Jeżeli istnieje g ∈ G, które m-przesuwa H dla dowolnego m ≥ 1, to dla każdego h ∈ [H, H] zachodzi clG (h) ≤ 2.. 16.

(18) 2.3. Doskonałość grup Hc (M ) i Hc∂ (M ). Propozycja 2.23. (Burago, Ivanov, Polterovich [12]) Przypuśćmy, że U, V są otwartymi, rozłącznymi podzbiorami M takimi, że istnieje f ∈ Hc (M ) spełniające f (U ∪ V ) ⊂ V . Wtedy f m-przesuwa HU (M ) dla wszystkich m ≥ 1. W szczególności f i (U ) ∩ f j (U ) = ∅ dla i 6= j. Dowód. Mamy: f (U ∪ V ) ⊂ V ⇒ f (U ) ⊂ V \ f (V ). Skoro f jest homeomorfizmem, to otrzymujemy inkluzję f k (U ) ⊂ f k−1 (V ) \ f k (V ) dla wszystkich k ≥ 1. Stąd wynika teza. Niech M będzie rozmaitością z brzegiem ∂M . Przez otoczenie kołnierzowe brzegu ∂M rozumiemy zbiór Pr = ∂M × [0, r] zanurzony w M , gdzie ∂M × {0} identyfikujemy z ∂M , zaś r > 0. Wiadomo, że takie otoczenie istnieje (patrz [25], [17]). Niech a, b ∈ R+ , 0 < a < b. Symbolem P(a,b) będziemy oznaczać zbiór P(a,b) = ∂M ×(a, b), zaś symbolem P[a,b] zbiór P[a,b] = ∂M × [a, b]. Propozycja 2.24. Załóżmy, że ∂M jest zwarty i niech U = P(a,b) dla pewnych 0 < a < b. Wtedy dowolny element h ∈ HU (M ) jest złożeniem dwóch komutatorów elementów z HU (M ). Dowód. Niech h ∈ HU (M ). Z Wniosku 2.17 grupa HU (M ) jest doskonała, zatem h możemy przedstawić jako h = [h1 , h2 ] . . . [h2k−1 , h2k ], gdzie k ∈ N oraz hi ∈ HU (M ). Każde hi ma suport zwarty, zawarty w U , zatem każde hi możemy rozszerzyć na M kładąc hi = id poza U . Dobierzmy następnie a0 , b0 takie, że a < a0 < b0 < b oraz supp(hi ) ⊂ V := P(a0 ,b0 ) dla i = 1, . . . , 2k. W szczególności h ∈ [HV (M ), HV (M )]. Wybierzmy następnie c0 , d0 takie, że a < c0 < d0 < a0 oraz oznaczmy W = P(c0 ,d0 ) . Istnieje homeomorfizm u˜ : [0, ∞) → [0, ∞) o suporcie zawartym w (a, b) taki, że u˜((a0 , b0 ) ∪ (c0 , d0 )) ⊂ (c0 , d0 ). Kładąc u = id∂M × u˜ otrzymujemy u ∈ HU (M ) takie, że u(V ∪ W ) ⊂ W . Z Propozycji 2.23 u m-przesuwa HV (M ) dla każdego m ≥ 1, zatem z Twierdzenia 2.22 clHU (M ) (h) ≤ 2. Propozycja 2.25. Załóżmy, że ∂M jest zwarty. Niech b0 > ˜b0 > a ˜0 > a0 > b1 > ˜b1 > a ˜1 > a1 > . . . > 0 będzie ciągiem w R+ dążącym do 0 i niech Bi = P(ãi ,˜bi ) oraz Ui = P(ai ,bi ) . Wtedy S dowolny element h ∈ H[B] (∂M × R+ ), gdzie B = ∞ i=0 Bi , może być przedstawiony jako produkt dwóch komutatorów elementów z Hc (∂M × R+ ). Dowód. Dla dowodu należy zastosować Propozycję 2.24 dla każdego i, a następnie skleić otrzymane homeomorfizmy. Wykażemy następnie: Propozycja 2.26. Dla dowolnego f ∈ Hc (∂M × R+ ) takiego, że supp(f ) ⊂ Pa0 , gdzie a0 > 0 istnieje ciąg a ˜0 = a0 > b1 > ˜b1 > a ˜1 > a1 > . . . > 0 dążący do 0 oraz R+ ) takie, że f = gh oraz S istnieją g, h ∈ Hc (∂MS× ∞ 1. g = f na ∞ P , h = f na ˜ ai ,bi ] i=1 [˜ i=1 P[bi ,ai−1 ] ,. 17.

(19) 2.3. Doskonałość grup Hc (M ) i Hc∂ (M ). 2. supp(g) ⊂. S∞. i=1. P(ai ,bi ) , supp(h) ⊂. S∞. i=1. P(˜bi ,ãi−1 ) ,. 3. jeśli g = g1 g2 . . ., gdzie supp(gi ) ⊂ P(ai ,bi ) , to wówczas gi ∈ HP(ai ,bi ) (∂M × R+ ) dla i = 1, 2, . . . i analogicznie, jeśli h = h1 h2 . . ., gdzie supp(hi ) ⊂ P(˜bi ,ãi−1 ) , to wówczas hi ∈ HP(˜b ,ã ) (∂M × R+ ), dla i = 1, 2, . . .. i. i−1. Dowód. W dowodzie wykorzystamy Twierdzenie 2.13 dla M = ∂M × (0, ∞). Niech f ∈ Hc (∂M × R+ ) i niech ft będzie izotopią łączącą f z identycznością. Wybierzmy S ˜ a ˜0 = a0 > b1 > b1 > a ˜1 > a1 > 0 w taki sposób, aby t∈I ft P[ã1 ,˜b1 ] ⊂ P[a1 ,b1 ] . Z Twierdzenia 2.13 istnieje izotopia gt1 w Hc (∂M × R+ ) taka, że gt1 = ft na P[ã1 ,˜b1 ] i supp(gt1 ) ⊂ P(a1 ,b1 ) . Ponadto gt1 ∈ HP(a1 ,b1 ) (∂M × R+ ). Definiujemy następnie h1t = (gt1 )−1 ft na P(˜b1 ,ã0 ) i h1t = id poza P(˜b1 ,ã0 ) . Wówczas h1t = ft na P(b1 ,a0 ) , supp(h1t ) ⊂ P(˜b1 ,ã0 ) oraz h1t ∈ HP(˜b ,ã ) (∂M × R+ ). 1 0 Niech ft1 = (gt1 h1t )−1 ft . Wtedy supp(ft1 ) ⊂ Pa˜1 . W dalszym ciągu posłużymy się indukcją. Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy ciąg a ˜0= a0 > i ˜ ˜ b1 > b 1 > a ˜1 > a1 > . . . > bi > bi > a ˜i > ai oraz izotopię ft ∈ HPa˜i (∂M × R+ ). ˜ Wybieramy ˜i+1 > ai+1 > 0 w taki sposób, że ai > bi+1 > bi+1 > a S i ai+1 ,˜bi+1 ] ⊂ P[ai+1 ,bi+1 ] . Korzystając ponownie z Twierdzenia 2.13 otrzymut∈I ft P[˜ jemy izotopię gti+1 ∈ Hc (∂M × R+ ) taką, że gti+1 = fti na P[ãi+1 ,˜bi+1 ] oraz gti+1 ∈ HP(ai+1 ,bi+1 ) (∂M × R+ ). Definiujemy hi+1 ∈ Hc (∂M × R+ ) kładąc hi+1 = t t i+1 i+1 i+1 −1 i (gt ) ft na P(˜bi+1 ,ãi ) oraz ht = id poza zbiorem P(˜bi+1 ,ãi ) . Otrzymujemy ht = fti −1 i na P(bi+1 ,ai ) oraz hi+1 ∈ HP(˜b ,ã ) (∂M × R+ ). Niech następnie fti+1 = (gti+1 hi+1 t t ) ft . i+1 i Q Q∞ i Ostatecznie, kładziemy g = i=1 g1i , h = ∞ i=1 h1 . Tak zdefiniowane g i h spełniają tezę. Mając powyższe, możemy przejść do kluczowego twierdzenia dotyczącego doskonałości grup homeomorfizmów. Twierdzenie 2.27. Niech M będzie rozmaitością z brzegiem ∂M . Jeżeli M jest zwarta lub M dopuszcza zwarte wyczerpanie, to grupa Hc (M ) jest doskonała. Dowód. Jeżeli ∂M = ∅, to wówczas stosujemy Wniosek 2.17. Niech teraz ∂M 6= ∅. 1. Przypadek n > 1. Dla M zwartej teza wynika z Wniosku 2.11 i z Wniosku 2.18. Przypuśćmy teraz, że M dopuszcza zwarte wyczerpanie. Jeśli h ∈ Hc (M ), to wtedy istnieją j ∈ N oraz izotopia ht takie, że h0 = id, h1 = h i supp(ht ) ⊂ Mj dla wszystkich t. Z Wniosku 2.11 wynika, że h|Mj może być zapisane jako h|Mj = hd . . . h1 takie, że hi ∈ HBi (Mj ), gdzie Bi jest kulą lub półkulą w Mj dla i = 1 . . . d. Ponadto, mamy hi = id na ∂Mj dla wszystkich i. Zatem, zgodnie z Wnioskiem 2.18(1) mamy hi = [Si (hi ), ϕi ] i Si (hi ) = id na ∂Mj dla każdego i. Ponadto ϕi możemy zdefiniować jako element Hc (M ) o suporcie we wnętrzu Mj+1 . Zatem kładąc hi = id poza Mj rozszerzamy każde hi do M , otrzymując tym samym doskonałość Hc (M ). 2. Przypadek n = 1. Dowód poprowadzimy dla M = R+ = [0, ∞), pozostałe przypadki wykazuje się ana-. 18.

(20) 2.3. Doskonałość grup Hc (M ) i Hc∂ (M ). logicznie. W tej sytuacji zbiory P(a,b) to przedziały (a, b), dla a, b ∈ R, 0 < a < b. Niech f ∈ Hc (R+ ). Dzięki założeniu o zwartości suportu f istnieje a0 > 0 takie, że f ∈ HPa0 (R+ ). Z Propozycji 2.26 otrzymujemy f = gh, gdzie g i h takie, jak w tezie 2.26. Korzystając następnie z Propozycji 2.25 otrzymujemy, że zarówno g jak i h są komutatorami elementów z Hc (R+ ), zatem grupa Hc (R+ ) jest doskonała. Twierdzenie 2.28. Niech M będzie rozmaitością z brzegiem ∂M , zwartą lub dopuszczającą zwarte wyczerpanie. Jeśli brzeg ∂M jest zwarty, to grupa Hc∂ (M ) jest doskonała. Dowód. Niech f ∈ Hc∂ (M ). Rozważmy otoczenie kołnierzowe brzegu Pa , gdzie a > 0. Dzięki założeniu o zwartości brzegu ∂M zbiór Pa jest zwarty. Niech ft będzie izotopią S łączącą f z identycznością i niech U będzie otwartym otoczeniem śladu t∈[0,1] ft (Pa ). Korzystając z Twierdzenia 2.13 istnieje izotopia f1t ∈ Hc (M ) taka, że f1t = ft na Pa oraz supp(f1t ) ⊂ U . Niech f1 = f11 . Połóżmy f2 = f1−1 f . Wówczas f = f1 f2 , przy czym f2 = id na Pa . Możemy zatem przyjąć, że supp(f2 ) ⊂ M0 , gdzie M0 ⊂ M otwarta. Korzystając z Wniosku 2.17 otrzymujemy, że f2 możemy przedstawić jako złożenie komutatorów elementów z Hc (M0 ), zaś kładąc id poza M0 , f2 możemy przedstawić jako złożenie elementów z Hc∂ (M ). Wykażemy następnie, że także f1 jest złożeniem komutatorów elementów z Hc∂ (M ). Niech a0 > 0 będzie takie, że U ⊂ Pa0 . Wówczas z Propozycji 2.26 f1 możemy przedstawić jako złożenie f1 = gh, gdzie g, h takie, jak w tezie Propozycji 2.26. Dzięki ˜ 1 ][h2 , h ˜ 2 ], gdzie założeniu o zwartości brzegu ∂M g = [g1 , g˜1 ][g2 , g˜2 ] oraz h = [h1 , h ˜ i ∈ Hc (∂M × R+ ) dla i = 1, 2. Kładąc g = id na ∂M i h = id na ∂M gi , g˜i , hi , h ˜ i dla i = 1, 2 otrzymujemy tezę. i analogicznie rozszerzając gi , g˜i , hi , h Definicja 2.29. Grupę G nazywamy jednostajnie doskonałą, jeżeli G jest doskonała oraz norma clG jest ograniczona. Na zakończenie tego paragrafu wprowadzimy i omówimy pojęcie fragmentowalności w sposób ciągły oraz doskonałości w sposób ciągły. Niech M będzie rozmaitością, G ≤ H(M ) i niech B będzie rodziną kul i półkul na M . Definicja 2.30. Mówimy, że grupa topologiczna G jest fragmentowalna w sposób ciągły, jeżeli istnieją n ∈ N, B1 , . . . , Bn ∈ B oraz ciągłe odwzorowania Si : G → GBi , i = 1, . . . , n takie, że dla każdego g ∈ G g = S1 (g) . . . Sn (g). Definicja 2.31. 1. Mówimy, że grupa topologiczna G jest doskonała w sposób ciągły, jeśli istnieją r ∈ N oraz ciągłe odwzorowania Si : G → G, S¯i : G → G, i = 1 . . . r, spełniające równanie g = [S1 (g), S¯1 (g)] . . . [Sr (g), S¯r (g)]. (2.3.1). dla wszystkich g ∈ G. 2. Niech H będzie podgrupą grupy G. Mówimy, że H jest doskonała w sposób ciągły w G, jeśli istnieją r ∈ N oraz ciągłe odwzorowania Si : H → G, S¯i : H → G, i = 1 . . . r, spełniające równanie (2.3.1) dla każdego g ∈ H. Wtedy rH,G oznacza najmniejsze r jak powyżej. 19.

(21) 2.4. Prostota grupy Hc (M ). Oczywiście każda grupa doskonała w sposób ciągły jest także jednostajnie doskonała. Propozycja 2.32. Przypuśćmy, że domknięcie B zawiera się w U , gdzie B jest kulą (lub półkulą i n ≥ 2) oraz U jest otwartym podzbiorem M . Wtedy grupa HB (M ) jest doskonała w sposób ciągły w HU (M ) z rHB (M ),HU (M ) = 1. Dowód. Wystarczy zauważyć, że w dowodzie Lematu 2.15 homomorfizm S : HB (M ) → HU (M ) jest ciągły oraz że odwzorowanie S¯ jest stałą zależną od B i U . Następujący fakt jest konsekwencją Propozycji 2.32. Propozycja 2.33. Jeśli Hc (M ) jest fragmentowalna w sposób ciągły, to jest również doskonała w sposób ciągły. Dowód. Niech B1 . . . Bn ∈ B bedą takie jak w Definicji 2.30. Wybierzmy dowolne otwarte podzbiory U1 . . . Ud takie, że B i ⊂ Ui . Wtedy wykorzystując Propozycję 2.32 do każdej pary (Bi , Ui ) otrzymujemy tezę. Zauważmy, że w literaturze nie ma żadnych informacji co do tego, czy Hc (M ) jest lub nie jest fragmentowalna w sposób ciągły.. 2.4. Prostota grupy Hc (M ) Przypomnijmy, że grupę G nazywamy prostą, jeżeli nie posiada nietrywialnych dzielników normalnych. Niech H będzie podgrupą grupy G. Normalizatorem podgrupy H w grupie G nazywamy zbiór NG (H) := {g ∈ G : g −1 Hg = H}. Normalizator to największa (w sensie ¯ będą inkluzji) podgrupa G zawierająca H jako podgrupę normalną. Niech H i H ¯ jeśli podgrupami G. Mówimy, że podgrupa H jest normalizowana przez podgrupę H, −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dla każdego h ∈ H zachodzi hH h ⊂ H tj. NH¯ (H) = H. Twierdzenie 2.34. (Ling [36]) Niech M będzie parazwarta i niech G będzie fragmentowalną grupą homeomorfizmów na M . Jeśli G nie ma punktów stałych, to podgrupa [G, G] jest najmniejszą podgrupą G, normalizowaną przez [G, G], która nie ma punktów stałych. Definicja 2.35. Grupę G nazywamy quasi-prostą (patrz [28]), jeżeli G nie ma nietrywialnych podgrup normalnych, które nie mają punktów stałych. Wniosek 2.36. Jeśli rozmaitość M z brzegiem lub bez brzegu jest zwarta lub dopuszcza zwarte wyczerpanie, to grupa Hc (M ) jest quasi-prosta. Dowód. Dla rozmaitości zwartej z brzegiem lub bez brzegu grupa Hc (M ) jest fragmentowalna i doskonała, zatem teza wynika z Twierdzenia 2.34. Podobnie dla rozmaitości dopuszczającej zwarte wyczerpnie z brzegiem lub bez brzegu grupa Hc (M ) jest fragmentowalna i doskonała (Wniosek 2.12 i Twierdzenie 2.27) zatem z Twierdzenia 2.34 jest quasi-prosta.. 20.

(22) 2.5. Ograniczoność grup - podstawowe pojęcia. Wniosek 2.37. Niech M będzie rozmaitością spójną i zwartą lub spójną i dopuszczającą zwarte wyczerpanie. Wtedy ∂M = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy Hc (M ) jest prosta. Dowód. "⇒" Na początek przypuśćmy że ∂M = ∅ i grupa Hc (M ) nie jest prosta. Istnieje zatem N C Hc (M ), która na mocy Wniosku 2.36 posiada punkt stały. Niech x ∈ M będzie punktem stałym podgrupy N . Skoro N jest podgrupą normalną, to dla wszystkich g ∈ Hc (M ) mamy gng −1 (x) = x. Stąd ng −1 (x) = g −1 (x) dla wszystkich g ∈ Hc (M ). Z tranzytywności Hc (M ) na M oznacza to, że n musi być równe identyczności. Zatem N = {id}. "⇐" Przypuśćmy, że Hc (M ) jest prosta i ∂M 6= ∅. Wtedy podgrupa Hc∂ (M ) jest nietrywialną podgrupą normalną Hc (M ), co jest sprzeczne z założeniem prostoty Hc (M ). Wniosek 2.38. Jeśli ∂M 6= ∅, to grupa Hc∂ (M ) nie jest prosta. Istotnie, grupa Hc (M 0 ) jest nietrywialną podgrupą normalną grupy Hc∂ (M ).. 2.5. Ograniczoność grup - podstawowe pojęcia Niech G będzie grupą i niech d będzie metryką na G. Mówimy, że metryka d jest bi-niezmiennicza, jeśli dla dowolnych f, g, h ∈ G zachodzi d(hf, hg) = d(f, g) oraz d(f h, gh) = d(f, g). Definicja 2.39. Grupę G nazywamy ograniczoną, jeśli jest ograniczona ze względu na dowolną bi-niezmienniczą metrykę. Lemat 2.40. (Burago, Ivanov, Polterovich [12]) Niech G będzie grupą i niech H będzie grupą nieograniczoną. Jeżeli istnieje epimorfizm ϕ : G → H, to grupa G jest nieograniczona. Przypomnijmy, za [12], pojęcie normy niezmienniczej względem sprzężenia, które jest podstawowym narzędziem w studiach nad strukturą grup. Definicja 2.41. Normą niezmienniczą względem sprzężenia na G nazywamy funkcję ν : G → [0, ∞), która spełnia następujące warunki: dla dowolnych g, h ∈ G 1. ν(g) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy g 6= e; 2. ν(g −1 ) = ν(g); 3. ν(gh) ≤ ν(g) + ν(h); 4. ν(hgh−1 ) = ν(g). W dalszym ciągu przez normę będziemy rozumieć normę niezmienniczą względem sprzężenia. Zauważmy, że długość komutatorowa clG (patrz Definicja 2.20) jest normą na [G, G]. W szczególności, jeśli G jest doskonała, to clG jest normą na G. Lemat 2.42. Grupa G jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna norma na G jest ograniczona.. 21.

(23) 2.6. Ograniczoność grup Hc (M ) oraz Hc∂ (M ). Dowód. Oznaczmy symbolem D zbiór metryk bi-niezmienniczych na G, zaś symbolem Υ zbiór norm na G. Rozważmy odwzorowanie κ : D 3 d 7→ ν ∈ Υ zdefiniowane następująco: ν(f ) := (κ(d))(f ) = d(f, id),. d(f, g) := κ−1 (ν) = ν(f g −1 ).. Tak określone odwzorowanie jest bijekcją, stąd teza lematu. Ustalmy normę ν na G i załóżmy, że H ≤ G jest silnie m-przesuwalna (Definicja 2.21). Twierdzenie 2.43. (Burago, Ivanov, Polterovich [12]) Niech G będzie grupą wyposażoną w normę ν oraz niech H będzie podgrupą G. Jeśli istnieje g ∈ G m-przesuwajace H dla dowolnego m ≥ 1, to dla każdego h ∈ [H, H] ν(h) ≤ 14ν(g). Z powyższego twierdzenia wynika następująca, słabsza wersja Lematu 2.15. Wniosek 2.44. Przypuśćmy, że B jest kulą i B ⊂ U , gdzie U jest otwarty. Wtedy dowolny homeomorfizm o suporcie zawartym w B może być zapisany jako złożenie dwóch komutatorów o elementach z HU (M ). W przeciwieństwie do Lematu 2.15, metody bazujące na Twierdzeniu 2.43 pozostają prawdziwe w kategorii funkcji gładkich.. 2.6. Ograniczoność grup Hc (M ) oraz Hc∂ (M ) Rozpocznijmy od następującego twierdzenia, którego dowód można również znaleźć w pracy [12]. Twierdzenie 2.45. Niech B będzie kulą lub półkulą w M (w drugim przypadku zakładamy, że n ≥ 2). Wtedy grupa HB (M ) jest ograniczona. Dowód. Możemy wybrać otwarty podzbiór V zawarty w M rozłączny z B oraz homeomorfizm f ∈ Hc (M ) taki, że f (B ∪ V ) ⊂ V . Z Propozycji 2.23 f m-przesuwa HB (M ) dla każdego m ≥ 1. Zatem Twierdzenia 2.27 oraz 2.43 implikują tezę. Dla dowodu następnego twierdzenia będziemy potrzebować następującego lematu: Lemat 2.46. Niech ∂M będzie zwarty. Dla dowolnego R > 0 i dowolnego malejącego ciągu zmierzającego do 0, postaci R > ¯b1 > a ¯1 > ¯b2 > a ¯2 > . . . > 0 istnieje u ∈ Hc (∂M × R+ ) takie, że dla k = 1, 2, . . . mamy u(P[¯a2k−1 ,¯b2k−1 ] ∪ P[¯a2k ,¯b2k ] )] ⊂ P(¯a2k ,¯b2k ) . Ponadto, mając inny ciąg postaci R > d1 > c1 > d2 > c2 > . . . > 0, istnieje ψ ∈ Hc (∂M × R+ ) takie, że ψ(P[¯ak ,¯bk ] ) = P[ck ,dk ] dla k = 1, 2, . . .. 22.

(24) 2.6. Ograniczoność grup Hc (M ) oraz Hc∂ (M ). Dowód. Dowód wynika z własności inkluzywnej tranzytywności homeomorfizmów. Niech G ≤ H(M ). Przypomnijmy, że grupa G jest fragmentowalna, jeśli dla dowolnego pokrycia otwartego U rozmaitości M i dla każdego g ∈ G istnieją g1 , . . . , gn ∈ G oraz U1 , . . . , Un ∈ U takie, że g = g1 . . . gn , (2.6.1) gdzie dla każdego i supp(gi ) ⊂ Ui . Dla dowolnego g ∈ Hc (M ), g 6= id, oznaczmy przez fragM (g) najmniejsze n takie, że zachodzi warunek (2.6.1). Z definicji fragM (id) = 0. Tak zdefiniowane odwzorowanie fragM jest normą na grupie Hc (M ), nazywaną normą fragmentacji. Podobnie definiuiso jemy normę fragiso M na grupie izotopii PHc (M ). Oczywiście fragM (f ) ≤ fragM (ft ), jeśli ft jest izotopią łączącą f z identycznością. Pierwszym z kluczowych twierdzeń tego paragrafu jest następujące: Twierdzenie 2.47. Jeśli M jest zwarta lub dopuszcza zwarte wyczerpanie, to grupa Hc (M ) jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy norma fragM jest ograniczona. W szczególności grupa Hc (Rn ) jest ograniczona. Dowód. ” ⇒ ” Jeżeli grupa Hc (M ) jest ograniczona, to każda norma na Hc (M ) jest ograniczona, w szczególności norma fragM . ”⇐” 1. Przypadek n > 1 lub ∂M = ∅ Niech f ∈ Hc (M ). Z Wniosku 2.12 grupa Hc (M ) jest fragmentowalna, zatem istnieją funkcje fi dla i = 1, . . . , k takie, że f = f1 . . . fk i supp(fi ) ⊂ Bi , gdzie Bi jest kulą lub półkulą w M . Zakładając, że norma fragM jest ograniczona otrzymujemy, że istnieje N ∈ N takie, że dla każdej funkcji f ∈ Hc (M ) otrzymane z fragmentacji k jest mniejsze lub równe N . Następnie wybierzmy kulę lub półkulę B ⊂ M i funkcję g ∈ Hc (M ) takie, aby rodzina {g m (B)}∞ m=0 była parami rozłączna. W przypadku, gdy ∂M 6= ∅ i B jest półkulą, żądane g istnieje dzięki założeniu, że n > 1. Korzystając z inkluzywnej tranzytywności dla kuli lub półkuli Bi istnieje hBi ∈ Hc (M ) takie, że hBi (Bi ) ⊂ B. Rodzina −1każdej. ∞ m hBi g hBi m=0 jest parami rozłączna, zatem h−1 Bi ghBi m-przesuwa grupę HBi (M ) dla dowolnego m ≥ 1. Niech ν będzie dowolną normą na Hc (M ). P −1 Mamy ν(f ) = ν(f1 . . . fk ) ≤ ν(f1 ) + . . . + ν(fk ) ≤ N i=1 14ν(hBi ghBi ) = 14N ν(g). Stąd ν(f ) jest ograniczona. 2. Przypadek n = 1 i ∂M 6= ∅. Dowód poprowadzimy jedynie dla przypadku M = R+ := [0, ∞). Pozostałe przypadki wykazuje się analogicznie. Niech f ∈ Hc (R+ ) i niech Pa0 będzie otoczeniem kołnierzowym brzegu takim, że f ∈ HPa0 (R+ ). Z Propozycji 2.26 dla funkcji f istnieje ciąg zmierzający do 0, postaci: a0 > b1 > ˜b1 > a ˜1 > a1 > b2 > . . . > bk > ˜bk > a ˜k > ak > . . . > 0 oraz homeomorfizmy h1 , h2 , h3 , h4 ∈ Hc (R+ ) takie, że ∞ ∞ [ [ ˜ [˜ a2k−1 , b2k−1 ], supp(h1 ) ⊂ U1 := (a2k−1 , b2k−1 ), h1 = f na k=1. k=1. 23.

(25) 2.6. Ograniczoność grup Hc (M ) oraz Hc∂ (M ). h2 = f na. ∞ [. [˜ a2k , ˜b2k ],. supp(h2 ) ⊂ U2 :=. k=1. h3 = f na. ∞ [. (a2k , b2k ).. k=1. [b2k−1 , a2k−2 ],. supp(h3 ) ⊂ U3 :=. k=1. h4 = f na. ∞ [. ∞ [. (˜b2k−1 , a ˜2k−2 ).. k=1. ∞ [. [b2k , a2k−1 ],. supp(h4 ) ⊂ U4 :=. k=1. ∞ [. (˜b2k , a ˜2k−1 ).. k=1. oraz f = h1 h2 h3 h4 . Ponadto hi ∈ HUi (R+ ) dla i = 1, 2, 3, 4. Ustalmy następnie ciąg zmierzający do 0 postaci R > ¯b1 > a ¯1 > ¯b2 > a ¯2 > . . . > 0. Korzystając z Lematu 2.46 mamy funkcję u ∈ H(R+ ) taką, że a2k , ¯b2k ]) ⊂ (¯ a2k , ¯b2k ) u([¯ a2k−1 , ¯b2k−1 ] ∪ [¯ oraz funkcję ψ1 ∈ H(R+ ) taką, że ψ1 ([¯ ak , ¯bk ]) = [ak , bk ], dla k = 1, 2, . . .. Wówczas ψ1 uψ1−1 (U1 ∪ U2 ) ⊂ U2 . Z Propozycji 2.23 homeomorfizm ψ1 uψ1−1 m-przesuwa grupę HU1 (R+ ) dla każdego m ≥ 1. Z doskonałości grupy HU1 (R+ ) i z Twierdzenia 2.43 otrzymujemy ν(h1 ) ≤ 14ν(u), gdzie ν jest dowolną normą na Hc (R+ ). Używając analogicznych oszacowań dla h2 , h3 , h4 z pewnymi funkcjami ψ2 , ψ3 , ψ4 otrzymujemy ν(f ) ≤ ν(h1 ) + ν(h2 ) + ν(h3 ) + ν(h4 ) ≤ 56ν(u), co kończy dowód. Twierdzenie 2.48. Niech ∂M będzie zwarty. Jeśli grupa Hc (M ) jest ograniczona, to również grupa H(∂M ) jest ograniczona. Dowód. Skoro ∂M jest zwarty, korzystając z Twierdzenia 2.13 otrzymujemy, że odwzorowanie Hc (M ) 3 f 7→ f |∂ ∈ H(∂M ) jest epimorfizmem. Istotnie, skoro ∂M jest zwarty, to H(∂M ) ( Hc (M ). Niech g ∈ H(∂M ) i niech gt będzie izotopią łączącą g z identycznością. Z Twierdzenia 2.13 istnieje ft izotopia w Hc (M ) taka, że gt = ft na ∂M oraz supp(ft ) ⊂ U , gdzie U jest otwartym otoczeniem śladu gt (C). Przyjmując f = f1 mamy f ∈ Hc (M ) i f |∂M = g. Zatem korzystając z 2.40 otrzymujemy, że grupa H(∂M ) jest ograniczona. Twierdzenie 2.49. Jeśli grupa Hc (M 0 ) jest ograniczona, to jest również ograniczona grupa Hc∂ (M ). 24.

(26) 2.6. Ograniczoność grup Hc (M ) oraz Hc∂ (M ). Dowód. Niech f ∈ Hc∂ (M ) i niech ν będzie normą na grupie Hc∂ (M ). Podobnie jak pokazywaliśmy w dowodzie Twierdzenia 2.28 istnieją funkcje f1 , f2 takie, że f = f1 f2 , f1 ∈ HPa0 (M ) dla pewnego a0 > 0, f2 ∈ Hc (M0 ), gdzie M0 ⊂ M 0 . Podobnie jak pokazywaliśmy w dowodzie Twierdzenia 2.47 istnieją homeomorfizmy h1 , h2 , h3 , h4 należące do grupy Hc (∂M × R+ ) takie, że f1 = h1 h2 h3 h4 . Z konstrukcji hi dla i = 1, 2, 3, 4 możemy założyć, że hi ∈ Hc (M 0 ). Założenie ograniczoności grupy Hc (M 0 ) implikuje ograniczoność każdej normy na Hc (M 0 ), w szczególności normy ν określonej na Hc (M 0 ), indukowanej z normy ν określonej na Hc∂ (M ). Istnieje zatem pewne K > 0 takie, że ν(hi ) ≤ K dla i = 1, 2, 3, 4 oraz ν(f2 ) ≤ K, skąd ν(f ) ≤ ν(f1 f2 ) ≤ 5K. Definicja 2.50. Spójną i otwartą rozmaitość M nazywamy wygodną w szerszym sensie, jeśli istnieją rozłączne otwarte podzbiory U , V rozmaitości M oraz istnieje f ∈ Hc (M ) takie, że f (U ∪ V ) ⊂ V . Ponadto, dla dowolnego zwartego podzbioru K ⊂ M istnieje h ∈ Hc (M ) spełniające warunek h(K) ⊂ U . Uwaga 2.51. Analogiczne pojęcie dla rozmaitości gładkich i otwartych zostało wprowadzone w pracy [12] pod nazwą rozmaitości wygodnej. Pojęcie to jest specyficzne dla kategorii funkcji gładkich i nieco mocniejsze niż wprowadzone w Definicji 2.50 pojęcie rozmaitości wygodnej w szerszym sensie. Dla ułatwienia notacji w dalszym ciągu pojęciem rozmaitości wygodnej będziemy określać rozmaitość spełniającą Definicję 2.50. Klasa rozmaitości wygodnych zawiera w sobie m.in. przestrzenie euklidesowe Rn , czy rozmaitości postaci M × Rn (patrz [12]). Twierdzenie 2.52. Jeśli rozmaitość M jest wygodna, to grupa Hc (M ) jest ograniczona. Dowód. Niech ν będzie normą na Hc (M ) i niech g ∈ Hc (M ). Niech U, V ⊂ M i f ∈ Hc (M ) będą takie, jak w Definicji 2.50. Ponieważ supp(g) jest zwarty, to na mocy Definicji 2.50 istnieje h ∈ Hc (M ) takie, że h(supp(g)) ⊂ U . Następnie, skoro istnieje f ∈ Hc (M ) takie, że f (U ∪ V ) ⊂ V , to z Propozycji 2.23 f m-przesuwa grupę HU (M ). Stąd oraz z doskonałości grupy HU (M ) mamy: ν(g) ≤ 14ν(f ), a zatem norma ν jest ograniczona. Wniosek 2.53. Jeśli rozmaitość M 0 jest wygodna, to grupa Hc∂ (M ) jest ograniczona. Dowód. Z Twierdzenia 2.52 grupa Hc (M 0 ) jest ograniczona, a zatem z Twierdzenia 2.48 ograniczona jest także grupa Hc∂ (M ). W przeciwieństwie do powyższego, dla grup dyfeomorfizmów mamy następującą Propozycję. Propozycja 2.54. Niech M będzie gładką rozmaitością z brzegiem i niech D∂ (M ) będzie podgrupą składającą się ze wszystkich f ∈ D(M ) takich, że istnieje izotopia ft o zwartym suporcie, gdzie f0 = id i f1 = f taka, że ft |∂M = id dla każdego t. Wtedy D∂ (M ) jest grupą nieograniczoną.. 25.

(27) 2.7. O uniwersalnych grupach nakrywających grup homeomorfizmów. Dowód. Wybierzmy mapę w p ∈ ∂M . Istnieje wtedy epimorfizm D∂ (M ) 3 f 7→ Jacp (f ) ∈ R+ , gdzie Jacp (f ) jest jakobianem f w punkcie p w wybranej mapie. Z Propozycji 1.3 z pracy [12] wiemy, że grupa abelowa jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona. Zatem R+ jest grupą nieograniczoną. Korzystając z Lematu 2.40 otrzymujemy wobec tego, że grupa D∂ (M ) jest nieograniczona.. 2.7. O uniwersalnych grupach nakrywających grup homeomorfizmów Definicja 2.55. Niech G będzie grupą topologiczną. Grupę G nazywamy łukowo spójną, jeżeli dla dowolnych g, h ∈ G istnieje ciągłe przekształcenie f : I → G takie, że f (0) = g oraz f (1) = h. Takie f będziemy nazywać krzywą łaczącą g i h. Mówimy, że grupa G jest semi-lokalnie jednospójna, jeżeli dowolny element g ∈ G posiada otoczenie U ściągalne do punktu. Jeżeli G jest łukowo spójna oraz semi-lokalnie jednospójna, to G posiada nakrycie uniwersalne, zdefiniowane poniżej: Niech PG oznacza ogół krzywych γ : I → G takich, że γ(0) = e. Dla γ1 , γ2 ∈ PG takich, że γ1 (1) = γ2 (0) definiujemy mnożenie krzywych wzorem: γ1 (2t); dla 0 ≤ t ≤ 12 γ1 · γ2 (t) = γ2 (2t − 1); dla 12 < t ≤ 1. Wtedy PG wyposażone w operację mnożenia krzywych jest grupą topologiczną. Niech Pg G oznacza zbiór krzywych o punkcie końcowym g tj. dla dowolnego γ ∈ Pg G zachodzi γ(1) = g. Następnie, niech γ1 , γ2 ∈ Pg G. Definicja 2.56. Homotopia krzywych γ1 i γ2 to homotopia H(t, s) : I × I → G taka, że H(t, i) = γi (t) dla i = 1, 2, H(0, s) = e oraz H(1, s) = g. W dalszej części będziemy używać sformułowania krzywe homotopijne dla krzywych, dla których istnieje zdefiniowana wyżej homotopia krzywych, zaś homotopię krzywych będziemy nazywać krótko homotopią. Oczywiście relacja homotopii jest relacją równoważności na zbiorze wszystkich krzywych. Definicja 2.57. Uniwersalną grupą nakrywającą grupy G nazywamy grupę G∼ = PG/∼ , gdzie ∼ oznacza relację homotopii. Na przestrzeni krzywych PG wprowadzimy P G = {γ ∈ PG : γ(t) = e dla t ∈ [0, 21 ]}. Dla następująco: e dla ? γ (t) = γ(2t − 1) dla ?. następujące dwie operacje: niech wszystkich γ ∈ PG definiujemy γ ? t ∈ [0, 12 ] t ∈ [ 12 , 1] 26.

(28) 2.7. O uniwersalnych grupach nakrywających grup homeomorfizmów. Wtedy γ ? ∈ P ? G oraz podgrupa P ? G jest obrazem PG poprzez odwzorowanie ? : γ 7→ γ ? . Elementy P ? G nazywamy krzywymi specjalnymi w G. Istotny jest fakt, że grupa krzywych specjalnych jest niezmiennicza względem sprzężeń tj. dla dowolnego g ∈ PG mamy conjg (P ? G) ⊂ P ? G , gdzie conjg (h) = ghg −1 , h ∈ PG. Następnie, niech P G = {γ ∈ PG : γ(t) = γ(1) dla t ∈ [ 12 , 1]}. Dla wszystkich γ ∈ PG definiujemy γ wzorem: γ(2t) dla t ∈ [0, 12 ] γ (t) = γ(1) dla t ∈ [ 12 , 1] Jak poprzednio γ ∈ P G oraz podgrupa P G odpowiada obrazowi PG poprzez odwzorowanie : γ 7→ γ . Lemat 2.58. Dla dowolnego γ ∈ PG zachodzi γ ∼ γ ? oraz γ ∼ γ . Dowód. Naszym celem jest znalezienie homotopii Γ? między γ oraz γ ? . Dla dowolnego s ∈ I definiujemy Γ? następująco: e dla t ∈ [0, 2s ] ? Γ (t, s) = γ( 2t−s ) dla t ∈ ( 2s , 1] 2−s Proste sprawdzenie pokazuje, że tak zdefiniowane Γ? spełnia założenia. Aby dowieść drugiej części tezy zdefiniujmy Γ następująco: dla dowolnego s ∈ I 2t ) dla t ∈ [0, 2−s ] γ( 2−s 2 Γ (t, s) = 2−s γ(1) dla t ∈ ( 2 , 1] Przypomnimy teraz definicję grup homologii danej grupy G (patrz [11]). Zazwyczaj grupy homologii wprowadza się definiując standardowy kompleks łańcuchowy C(G), którego homologia jest homologią G. Niech G będzie grupą topologiczną. Dla dowolnej liczby naturalnej r ≥ 0 niech Cr (G) oznacza wolną grupę abelową na zbiorze wszystkich układów (g1 , . . . , gr ) długości r, gdzie gi ∈ G. Przypomnijmy, że wolna grupa abelowa to grupa abelowa posiadająca „bazę” w tym sensie, że każdy element grupy może być jednoznacznie zapisany w postaci skończonej liniowej kombinacji elementów z bazy o współczynnikach całkowitych. Kompleks łańcuchowy C(G) definiujemy jako ciąg wolnych grup abelowych Cr (G) dla r ≥ 0, połączonych homomorfizmami ∂r , zwanymi operatorami brzegu. Operator brzegu ∂r : Cr (G) → Cr−1 (G) definiujemy formułą: ∂r (g1 , . . . , gr ) =. (g1−1 g2 , . . . , g1−1 gr ). r X + (−1)i (g1 , . . . , gî , . . . , gr ), i=1. gdzie gî oznacza pominięcie elementu gi . Wówczas zachodzi ∂r−1 ∂r = 0. W dalszym ciągu będziemy pomijać indeksy i operator brzegu będziemy oznaczać symbolem ∂. Jądrem operatora brzegu, nazywanym grupą cykli, jest Zr (G) = {c ∈ Cr (G) : ∂(c) = 0}, 27.

(29) 2.7. O uniwersalnych grupach nakrywających grup homeomorfizmów. zaś obrazem jest tak zwana grupa brzegów, zdefiniowana jako Br (G) = {c ∈ Cr (G) : (∃b ∈ Cr+1 (G)), ∂(b) = c} . Definicja 2.59. r-tą grupą homologii grupy G nazywamy iloraz Zr (G)/Br (G) i oznaczamy symbolem Hr (G). W dalszym ciągu zapis [c] = h ∈ Hr (G) będzie oznaczać, że cykl c ∈ Cr (G) reprezentuje h. To pozwoli nam używać o wiele prostszych w rachunkach kompleksów łańcuchowych. Wiadomo, że H1 (G) = G/[G, G], tj. pierwsza grupa homologii jest równa abelianizacji grupy G. Niech G, H będą grupami topologicznymi. Odwzorowanie f : G → H indukuje homomorfizm f∗ : Hr (G) → Hr (H) dla dowolnego r > 0. Wiadomo, że dla dowolnego g ∈ G sprzężenie conjg : G → G indukuje identyczność na poziomie homologii, zatem (conjg )∗ (h) = h dla dowolnego h ∈ Hr (G), (patrz [11]). Dla dowolnego g ∈ PG oznaczmy g˜ := [g]∼ ∈ G∼ , zaś dla dowolnego P P c ∈ Cr (PG) postaci c = kj (g1j , . . . , grj ), gdzie kj ∈ Z, oznaczmy przez c˜ := kj (˜ g1j , . . . , g˜rj ) ∼ odpowiadajacy element Cr (G ). Wówczas g ˜ c) = [∂(c)]∼ = ∂(c), ∂(˜. (2.7.1). gdzie ∂˜ jest różniczkowaniem kompleksu łańcuchowego Cr (G∼ ). Oznacza to, że (2.7.1) ˜ W celu obliczenia Hr (Hc (Rn )∼ ) ustalmy następującą może służyć jako P definicja ∂. notację: niech c = kj (g1j , . . . , grj ), gdzie kj ∈ Z, będzie łańcuchem z Cr (PHc (Rn )). Definiujemy suport c jako [ supp(c) := supp(gij ), i,j. gdzie supp(g) := t∈I supp(gt ) dla g : I 3 t 7→ gt ∈ H(Rn ). Zatem supp(c) ⊂ U wtedy i tylko wtedy, gdy supp(gij ) ⊂ U dla dowolnych i, j lub, gdy (gij )t ∈ HU (Rn ) dla dowolnych i, j, t. Niech B ⊂ Rn będzie kulą (lub półkulą dla Rn+ i n ≥ 2). Symbolem ι : HB (Rn )∼ → Hc (Rn )∼ (odp. ι : HB (Rn+ )∼ → Hc (Rn+ )∼ ) oznaczamy inkluzję, zaś ι∗ : Hr (HB (Rn )∼ ) → Hr (Hc (Rn )∼ ) (odp. ι∗ : Hr (HB (Rn+ )∼ ) → Hr (Hc (Rn+ )∼ )) będzie oznaczać odwzorowanie odpowiadające ι na poziomie homologii. S. Lemat 2.60. ι∗ jest izomorfizmem. Dowód. Dowód poprowadzimy dla przypadku Rn , przypadek Rn+ dla n ≥ 0 wykazuje się analogicznie. Zaczniemy od wykazania surjektywności ι∗ . P Niech h ∈ Hr (Hc (Rn )∼ ) i niech h = [˜ c], gdzie c = kj (g1j , . . . , grj ) będzie cyklem reprezentującym h. Zgodnie z lematem 2.58 możemy założyć, że gij ∈ P ? Hc (Rn ). Niech C = supp(c). Ponieważ C jest zwarty, znajdziemy ϕ¯ ∈ PHc (Rn ) takie, że ϕ¯1 (C) ⊆ B. Zdefiniujmy ϕ := ϕ¯ ∈ P Hc (Rn ). Skoro każde sprzężenie indukuje 28.