TRANSFORMATA LAPLACE’A
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Zadanie 1 (Rachunek Operatorowy)
Problem:Rozwiązać metodą operatorową równanie różniczkowe
( )
( )
t x( )
t y dt t dy T + =( )
t
( )
t
x
=
1
przy warunkach początkowych
a. y(0) = 0 b. y(0) = 0,5 c. y(0) = 1 d. y(0) = 2.
Rozwiązanie:
Stosując przekształcenie Laplace’a z uwzględnieniem warunków początkowych otrzymuje się:
T [ s y(s) – y(0) ] + y(s) =
s 1 (Ts + 1) y(s) = s 1 + T
•
y(0) y(s) =(
)
1
( )
0
1
1
1
y
Ts
T
Ts
s
+
+
+
y(t) = (1- T t e− ) + y(0) - T t e− . Dla y(0)= 0 yt) = 1 - T t e− y(0) = 0,5 y(t) = 1 – 0,5 - T t e− y(0) = 1 y(t) = 1 y(0) = 2 y(t) = 1 + T t e−Zadanie 2 (Rachunek Operatorowy)
Problem:
Za pomocą rozkładu na ułamki proste znaleźć funkcje czasowe odpowiadające następującej funkcji operatorowej: F(s) =
(
1) (
2 1)
1 2 2 + + s s s Rozwiązanie:Rozkładamy funkcję operatorową na ułamki proste
( )
(
) (
)
(
)
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 + + + + + + + = + + = s E s D s C s B s A s s s s F (1)Współczynniki A,B,C,D,E obliczamy metodą podaną przez Heavside’a. Mnożymy równanie (1) przez s2
(
) (
)
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
2
1
1
1
1
)
1
(
1
1
2
1
1
2 2 2s
E
s
D
s
C
s
sB
A
s
s
(2)w równaniu (2) podstawiamy s = 0, otrzymamy
A = 1
Różniczkujemy równanie (2) względem s.
(
) (
)
(
)
(
) (
)
[
1 2 1]
2[ ]
...[ ]
... 4 10 6 1 2 1 1 2 2 2 2 2 ds d s s B s s s s s s ds d + + = + + + + − = + +W otrzymanym równaniu podstawimy s = 0, otrzymamy
B = -4
Mnożymy równanie (1) przez (s+1)2
(
)
(
)
C
(
s
)
D
s
E
s
B
s
A
s
s
s
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2 2 2+
+
+
+
+
+
+
=
+
(3)Wstawiamy s = -1 otrzymujemy
C = -1
Różniczkujemy równanie (3) względem s i podstawiamy s = -1, otrzymamy D = -4 Mnożymy (1) przez ( s + 2 1 ) i podstawiamy s = - 2 1 otrzymamy E = 8.
Rozkład funkcji F(s) na ułamki proste wyraża się wzorem
( )
(
)
2 1 1 8 1 1 4 1 1 1 4 1 2 2 + + + − + − − = s s s s s s FZadanie 3 (rachunek operatorowy)
Problem:Metodą operatorową rozwiązać równanie różniczkowe x
e
y
dx
y
d
=
−
4
2 2przyjmując zerowe wartości warunków początkowych.
Rozwiązanie:
Tok postępowania przy zastosowaniu metody operatorowej jest następujący: 1° Dokonujemy obustronnej transformacji równania różniczkowego
{ }
xe
L
y
dx
y
d
L
=
−
4
2 2 1 1 ) ( 4 )] 0 ( ) 0 ( ) ( [ 2 ' − = − − − s s Y y s y s s Y2° Podstawiamy warunki początkowe:
0
)
0
(
0
)
0
(
'=
∩
=
y
y
1 1 ) ( 4 ) ( 2 − = − s s Y s s Y3° Wyznaczamy operatorową postać rozwiązania:
(
1)
(
4)
1 ) ( 2 − − = s s s Y4° Wyznaczamy transformatę odwrotną:
{
(
)
}
(
)
1x
y
s
Y
L
−=
Wykorzystujemy twierdzenia:{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
0 1 1 0 2 2 1 ) ( ) ( ... ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = − − = − − − − − − − − = ± = ± ± = t n n t n f n n n n n dt t f d dt t f d s s f s t f L s dt t f d L t g L t f L t g t f L t f cL t kf LWykorzystujemy metodę Heviside’a: 1° L1(s)=1 Mm(s)=(s2 −4)(s−1)
Y(s)-jest funkcją wymierną. 2° l=0 m=3→ l <m
3° L1(s) nie ma miejsc zerowych
1
2
2
0
)
1
)(
2
)(
2
(
0
)
1
)(
4
(
)
(
3 2 1 2=
−
=
=
⇒
=
−
+
−
=
−
−
=
s
s
s
s
s
s
s
s
s
M
mMiejsca zerowe licznika i mianownika są różne od zera.
4° Na podstawie 3° można stwierdzić, że wielomian mianownika nie ma miejsc zerowych wielokrotnych. Wyznaczamy pochodną mianownika
(
)
(
)
[
4 1]
2 ( 1) ( 4) ) ( ) ( ' = = s2 − s− = s s− + s2 − ds d ds s dM s MWartość wielomianu licznika L1(s) jest stała i równa 1.
3
)
4
1
(
)
(
'
12
)
1
2
)(
2
(
2
)
(
'
4
)
1
2
(
2
2
)
(
'
3 2 1−
=
−
=
=
−
−
−
=
=
−
⋅
⋅
=
s
M
s
M
s
M
Wyznaczamy transformatę odwrotną:
(
)
(
)
x x xe
e
e
s
s
L
3
1
12
1
4
1
1
4
1
2 2 2 1−
+
=
−
−
− −Zadanie 4 (rachunek operatorowy)
Problem:Wyznaczyć równania i znaleźć transmitancję operatorową układu podanego na rys.2.1 jeśli wielkość wejściowa – U1, wielkość wyjściowa – U2 .
Parametry podane na rysunku są różne od zera i skończone.
Rys.2.1. Czwórnik RC
Rozwiązanie:
Układ z rys.2.1 można przedstawić w postaci ogólnej jak na rys.2.2, gdzie Z1 , Z2 - impedancje.
{
}
s t n m m m m le
ms
M
s
L
t
f
s
F
L
∑
= = −=
=
1 1)
(
'
)
(
)
(
)
(
Rys.2.2 Schemat ogólny czwórnika biernego
Transmitancje tego czwórnika łatwo określić z jego równań operatorowych
[
]
=
+
=
),
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
2 2 2 1 1s
I
s
Z
s
U
s
I
s
Z
s
Z
s
U
gdzie Z1(s), Z2(s) – impedancje operatorowe, stąd
[
]
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2 2 1 1s
Z
s
U
s
Z
s
Z
s
U
=
+
A zatem)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1 2s
Z
s
Z
s
Z
s
U
s
U
+
=
W rozpatrywanym przypadku
+
=
+
=
.
)
(
,
1
)
(
2 2 1 1 1sL
R
s
Z
sCR
R
s
Z
Stąd.
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
(
1
)
(
)
(
1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2sCR
sL
sCR
R
R
sCR
sL
R
sL
R
sCR
R
sL
R
s
U
s
U
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
Wyrażenie to można przekształcić do postaci
,
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
(
)
(
)
(
)
(
1 1 2 1 1 2 1 2sT
sL
sT
R
R
sT
sL
R
s
U
s
U
s
G
+
+
+
+
+
+
=
=
gdzie T1=R1C .Zadanie 5 Rachunek operatorowy (Transformata Laplace’a)
Problem:Znaleźć transformatę Laplace’a równania:
t e y dt dy 2 5 3 = + (1)
przy warunku początkowym y(0)=4
Poddajemy obie strony równania (1) przekształcenia Laplace’a
}
{
5
}
{
3
}
'
{
y
L
y
L
e
2tL
+
=
(2) W metodzie operatorowej: R⇒R C⇒1/sC L⇒sLZastępcza impedancja operatorowa Z1 powstała z
równolegle połączonych C i R1.Przy połączeniu
równoległym impedancja zastępcza jest iloczynem składników impedancji podzielonym przez sumę składników impedancji.
Zastępcza impedancja operatorowa Z2 powstała z
szeregowo połączonych L i R2.Przy połączeniu
szeregowym impedancja zastępcza jest sumą składników impedancji.
Funkcje e2t przekształcamy za
pomocą transformat Laplace’a
a s e L at − = 1 } { Przyjmujemy że ) (t y y ≡
2 1 } { 2 − = s e L t (3)
Wykorzystując tablice transformat i podstawiając do wzoru (2) otrzymujemy wzór (3)
2 5 } { 3 ) 0 ( } { − = + − + s y L f y sL (4)
Otrzymaliśmy w ten sposób algebraiczne równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
} {y
L . Podstawiając
f
(
0
+)
=
4
oraz wyznaczamy2 5 } { 3 4 } { − = + − s y L y sL (5)
)
3
(
1
4
2
5
}
{
3
}
{
+
−
−
=
+
s
s
y
L
y
sL
(6))
3
)(
2
(
3
4
}
{
+
−
−
=
s
s
s
y
L
(7)Rozkładając prawą stronę na sumę dwóch ułamków prostych
(
2
) (
3
)
)
3
)(
2
(
3
4
+
+
−
=
+
−
−
s
B
s
A
s
s
s
(8) ) 2 ( ) 3 ( 3 4s− = A s+ +B s− (9) a podstawiając B sB A As s 3 3 2 4 − = + + − (10) B A B A s s 3 ( ) 3 2 4 − = + + − (11)
−
=
−
+
=
B
A
B
A
s
s
2
3
3
)
(
4
(12)
−
+
−
=
−
⇒
−
−
−
=
−
−
=
B
B
B
B
B
A
2
4
3
2
)
4
(
3
4
Korzystamy z własności transformat pochodnej funkcji Laplace’a
)
0
(
)}
(
{
)}
(
{
'=
−
+f
t
f
sL
t
f
L
Aby ułatwić rozwiązywani równanie (7)rozkładamy na sumę ułamków prostych, wymnażamy, porządkujemy doprowadzając do układu równań, po rozwiązaniu, którego mamy współczynniki A,B, które podstawiamy powrotem do równania (8) i otrzymujemy w ten sposób o wiele prostszą postać równania (7)
3 1 = − = A B (13) A więc 3 1 2 3 } { + + − = s s y L (14)
na podstawie wzoru (2) otrzymujemy równanie t
t
e
e
y
=
3
2+
3 (15)Zadanie 6 Rachunek operatorowy (Transformata Laplace’a)
Problem:Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji: z funkcji
) sin( ) (t t f =
ω
(1)∫
∞ −=
0)
sin(
)}
{sin(
t
t
e
dt
L
ω
ω
st (2)∫
∞ − ∞+
−
−
=
0 0 1sin(
)
cos(
)
)}
{sin(
t
e
dt
s
st
t
t
L
ω
sω
e
ω
ω
st (3)∫
∞ − ∞−
−
−
=
0 0)
cos(
1
(
)}
{sin(
e
dt
s
st
t
s
s
t
L
ω
ω
ω
e
ω
st (4)Po przeniesieniu stronami otrzymujemy
∫
∞ −=
+
0 2 2 2)
sin(
)
1
(
s
dt
e
t
s
stω
ω
ω
(5) po podzieleniu(
1
)
2 2s
ω
+
(5) otrzymujemy∫
∞ −+
=
0 2 2 2)
1
(
)
sin(
s
s
dt
e
t
stω
ω
ω
(6)Wykorzystując tablice transformat Laplace’a przechodzimy z postać transformaty funkcji do jej postaci czasowej Korzystamy z definicji transforanaty Laplace’a ) ( ) ( )} ( {f t f t e dt F s L = st =
∫
∞ −Do obliczenia tej całki korzystamy z podstawienia st st e s v t du e dv t u − − − = = = = 1 ); cos( ); sin(
ω
ω
ω
Do obliczenia tej całki korzystamy z podstawienia st st e s v t du e dv t u − − − = − = = = 1 ); sin( ); cos(
ω
ω
ω
∫
∞ −+
=
+
=
0 2 2 2 2 2 2)
sin(
ω
ω
ω
ω
ω
s
s
s
s
dt
e
t
st (7)∫
∞ −+
=
0 2 2)
sin(
ω
ω
ω
s
dt
e
t
st (8)Wzór (8) jest taki sam w tablicy transformat Laplace’a .
DODATEK
Definicja transformaty Laplace’a:
( )
[
]
∫
( )
( )
∞ −=
=
0s
F
e
t
f
t
f
L
stTransformata pochodnej funkcji we wzorze ogólnym:
( )
( )
∑
− −( )
− −−
=
1 10
k n k n k n n ndt
f
d
s
s
F
s
dt
t
f
d
L
Właściwości transformaty Laplace’a: 1. Twierdzenie o liniowości:
( )
( )
[
a
f
t
a
f
t
]
a
L
[
f
( )
t
]
a
L
[
f
( )
t
]
L
1 1±
2 2=
1 1±
2 2 2. Twierdzenie o podobieństwie:( )
[
]
( )
[
( )
]
= ⇒ = a s F a at f L s F t f L 1 3. Transformata iloczynu:( )
[
af
t
]
aL
[
f
( )
t
]
L
=
4. Transformata sumy i różnicy dwóch funkcji:
( )
( )
[
f
t
f
t
]
L
[
f
( )
t
]
L
[
f
( )
t
]
Transformaty Laplace’a F(s) i odpowiadające im funkcje f(t) F(s) F(t) s 1
