Udowodnij, że podane szeregi są zbieżne

#9. Zadania z analizy IB, ćwiczenia 07/01, kolokwium 14/01 Uwaga: 07/01 to „poniedziałek”

1. Udowodnij, że podane szeregi są zbieżne:

∞

X

n=1

sin n log n

n ,

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n log n,

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ nγ_n ,

∞

X

n=1

sin n n

1+1 2+1

3+· · ·+1 n

.

2. Udowodnij, że podane szeregi są zbieżne:

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹√ⁿ a

n , (a > 0),

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹arc tg n

n .

3. Oblicz sumy nieskończone otrzymane w wyniku permutacji wyrazów szeregu an- harmonicznego:

A = 1 −1 2−1

4 +1 3 −1

6− 1 8+ . . . , B = 1 −1

2−1 4 −1

6 −1 8+ 1

3− 1 10 − 1

12 − 1 14 − 1

16 + . . .

4. Nich σ : N → N będzie permutacją liczb naturalnych. Pokaż, że ^P∞_n=1σ(n)¹ = ∞.

5. Oblicz sumę szeregu ^P∞_n=1cn, gdzie c_n=^Pn_k=1 k(k+1)(n−k+1)!¹ . 6. Oblicz sumy szeregów

∞

X

n=1

1 (n + 4)²,

∞

X

n=1

1 4n²− 1,

∞

X

n=1

sin 1 2ⁿcos 1

2ⁿ,

∞

X

n=1

sinn!π 6 ,

∞

X

n=1

n − 1 n! ,

7. Oblicz sumy szeregów

∞

X

n=1

n −√ n²− 1 pn(n + 1) ,

∞

X

n=1

log (n + 1)² n(n + 2),

∞

X

n=1

2n + 1 n²(n + 1)².

8. Sprawdź, że

∞

X

k=1

k + 1

k! = 2e − 1,

∞

X

k=1

k

(k + 1)! = 1,

∞

X

k=1

k²

(k + 1)! = e − 1.

9. Dany jest malejący ciąg a_n> 0, taki że ^P∞_n=1a_n< ∞. Pokaż, że na_n→ 0.

10. Oblicz sumę szeregu ^P∞_n=2^(n−1)(n+1)_n4 . 11. Udowodnij, że szereg

∞

X

n=1

cos n · sin 1 n jest zbieżny warunkowo.

12. Dany jest malejący ciąg (a_n) o wyrazach dodatnich. Pokaż, że jeśli^P∞_n=1a_n< ∞, to na_n→ 0.