Nakadanie si i interferencja fal.

Pełen tekst

(1)Nakładanie się i interferencja fal. 15.. 15-1. Nakładanie się i interferencja fal. Weźmy pod uwagę falę jednowymiarową biegnącą w kierunku osi x. ψ 1 ( x, t ) = A ⋅ sin(kx − ωt ) oraz taką samą falę biegnącą w kierunku przeciwnym. ψ 2 ( x, t ) = A ⋅ sin(kx + ωt ) .. W wyniku superpozycji (nałożenia się) fal otrzymujemy falę wypadkową. ψ = ψ 1 + ψ 2 = A ⋅ (sin( kx − ωt ) + sin(kx + ωt )) . Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów. sin α + sin β = 2 sin i ostatecznie. kx ) ⋅ cos(ωt ) ψ ( x, t ) = 2#A$sin( "$! #"! amplituda. drgan z czestoscia ω. α+β α−β cos 2 2.

(2) Nakładanie się i interferencja fal. 15-2. Amplituda drgań wypadkowych zależy od położenia x – inaczej niż dla fali biegnącej – zmieniając się od zera do 2A. Drgania odbywające się w różnych miejscach różnią się fazą o π lub wcale. Tego rodzaju ruch w ośrodku nazywa się falą stojącą. Kwadrat amplitudy fali stojącej jest proporcjonalny do energii drgań elementów ośrodka.. Miejsca zerowe sin(kx ) = 0 , o zerowej amplitudzie drgań, nazywają się węzłami fali stojącej. Miejsca ekstremów sin(kx ) = ±1 , o maksymalnej amplitudzie drgań, nazywają się strzałkami fali stojącej..

(3) Nakładanie się i interferencja fal. 15-3. Sąsiednie strzałki (lub węzły) fali stojącej dzieli odległość. ∆x =. λ . 2. Dudnienia Jeżeli nakładające się fale różnią się nieco długością. sin( k1 x + ω1t ) + sin( k2 x + ω 2t ) , to w yniku nałożenia otrzymujemy:. ω − ω2  ω + ω2  k +k k −k 2 sin 1 2 x + 1 t  ⋅ cos 1 2 x + 1 t 2 2  2  2   2#sin( k$ ⋅" x +$∆$ ⋅! t ) ⋅ cos( k" ⋅ x$ +ω t) ω$ $$ #$∆$ $⋅! wolnozmienna amplituda. drgan o czestosci ω. Kiedy ∆k = ∆ω = 0 to mamy do czynienia z interferencją..

(4) Nakładanie się i interferencja fal. 15-4. Interferencja fal na płaszczyźnie Fala kolista ze źródła punktowego ma postać:. r A ⋅ sin(kr − ωt ) = A ⋅ sin 2π ( − νt ) . λ W punktach (a,0) i (–a,0) są źródła punktowe fal kolistych z1 i z2: r z1 = A ⋅ sin 2π ( 1 − νt ) λ. z2 = A ⋅ sin 2π (. r2 − νt ) . λ. Wypadkowy ruch w ośrodku jest sumą drgań wywołanych przez każdą z fal z osobna. z = z1 + z2 r −r r +r z = 2 A ⋅ cos 2π ( 1 2 ) ⋅ sin 2π ( 1 2 − νt ) 2λ$ 2λ$$$ #$$ $"$$ ! #$$ $" ! amplituda wypadkowa. drgan o czestotliwosci ν. Jeżeli r1 − r2 = ( n + 12 ) λ , to amplituda drgań wypadkowych jest równa zero. Jeżeli r1 − r2 = nλ , to amplituda drgań wypadkowych jest maksymalna..

(5) Nakładanie się i interferencja fal. 15-5. Równanie r1 − r2 = const jest równaniem hiperboli o ogniskach w (a,0) i (–a,0). Równania hiperbol, wzdłuż których występują maksima amplitudy drgań wypadkowych wyglądają następująco:. r1 − r2 = nλ. n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,.... ( x + a ) 2 + y 2 − ( x − a ) 2 + y 2 = nλ 1 2 2 16a 2 x 2 y=± n λ + 2 2 − 4( a 2 + x 2 ) 2 n λ. Dla n = 0 otrzymujemy równanie osi y..

(6) Nakładanie się i interferencja fal. 15-6. W dużych odległościach od źródeł, tzn. dla r1 , r2 >> l , mamy. ∆r = nλ ≈ l cosα albo lim cosα = r→∞. nλ l. π kierunek głównego maksimum 2 λ  cosα1 = l   2λ  cosα 2 =  maksima interferencyjne rzędu n l  3λ  cosα 3 = l  α0 =. Kąty α n określają zarazem kierunki asymptot hiperbol. W tych kierunkach, w wyniku interferencji, rozchodzi się fala o maksymalnej amplitudzie. Wprowadźmy różnicę faz między źródłami fal. Wtedy. ϕ r1 − r2 ϕ 0 r +r − ) ⋅ sin( 1 2 − νt + 0 ) 2λ 2 2λ 2 r −r Warunkim na maksimum amplitudy jest 1 2 − ϕ 0 = n , i dla n = 0 λ λ cosα 0 = ϕ 0 , czyli zmienia się kierunek, w którym występuje l z = z1 + z2 = 2 A ⋅ cos 2π (. maksimum interferencyjne amplitudy fali..

(7)