Wykad 5

Podstawowe równania mechaniki płynów

- równanie Eulera,

- równanie ciągłości przepływu,

- równanie Bernoulliego.

PODSTAWY

MECHANIKI PŁYNÓW

1. Równanie Eulera

1. Równanie Eulera

Siła powierzchniowa działająca na element płynu Siła powierzchniowa działająca na element płynu

1

1

2

2

p

p

p

p

dx dydz

p

dx dydz

dxdydz

x

x

x









_



_



_



_{ }



_





_



_









1

1

2

2

p

p

p

p

dy dxdz

p

dy dxdz

dxdydz

y

y

y





















 



_





_



_









1

1

2

2

p

p

p

p

dz dxdy

p

dz dxdy

dxdydz

z

z

z









_



_



_



_{ }



_





_



_









Na ścianki płynu wzdłuż osi x działają składowe x,y,x siły powierzchniowej związane z ciśnieniem wewnątrz płynu wynoszące odpowiednio

przez analogie wzdłuż osi y i z

(1)

(2)

Na poruszający się płyn działa wektor siły bezwładności (d’Alemberta) , którego składowe wynoszą

,

,

x y z

dv

dxdydz

dt

dv

dxdydz

dt

dv

dxdydz

dt



























 

ma



 

7

Składowe siły masowej działające na płyn:

Składowe siły masowej działające na płyn:

Xdm

XdV

Xdxdydz

Ydm

YdV

Ydxdydz

Zdm

ZdV

Zdxdydz

























(4) (5) (6)

Suma sił czynnych masowych i bezwładności w każdym dowolnym kierunku ruchu jest równa 0, stąd

0

x

dv

p

Xdxdydz

dxdydz

dxdydz

x

dt















0

y

dv

p

Ydxdydz

dxdydz

dxdydz

y

dt















0

z

dv

p

Zdxdydz

dxdydz

dxdydz

z

dt















 

8

 

9

 

10

po uproszczeniu otrzymamy

0

x

dv

p

X

x

dt















0

y

dv

p

Y

y

dt















0

z

dv

p

Z

z

dt















 

11

 

12

 

13

po podzieleniu przez



1

0

x

dv

p

X

x

dt













1

0

y

dv

p

Y

y

dt













1

0

z

dv

p

Z

z

dt













ponieważ zmiana prędkości odbywa się w przestrzeni jak i w czasie uwzględniamy pochodną substancjalną równą x x x x x x y z

dv

v

v

v

v

v

v

v

dt

t

x

y

z

























y y y y y x y z

dv

v

v

v

v

v

v

v

dt

t

x

y

z

























z z z z z x y z

dv

v

v

v

v

v

v

v

dt

t

x

y

z

























 

14

 

15

otrzymamy

1

1

1

x x x x x y z y y y y x y z z z z z x y z

v

v

v

v

p

X

v

v

v

x

t

x

y

z

v

v

v

v

p

Y

v

v

v

y

t

x

y

z

v

v

v

v

p

Z

v

v

v

z

t

x

y

z

































































































są to równania Eulera dla płynu doskonałego, które w zapisie wektorowym mają postać

1

dv

q

grad p

dt











 

16

 

17

2. Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego

1

1

2

2

Masa płynu wpływającego w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi

a wypływającego przez przekrój 2-2:













_

 

_

 

_





_

 

_

 

_





 

 



A

v

ds A

ds v

ds dt

s

s

s



Avdt

 

18

 

19

Różnica pomiędzy obu masami, jeśli jest różna od 0, musi równać się zmianie masy płynu zawartego pomiędzy przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds.

Zmiana ta spowodowana jest zmianą gęstości płynu.



_

_

_



_

_





 

_



 

_







_

 

_

 

_





 

 



d

_{A ds dt}

_vAdt

_{ds A}

A

_{ds v}

v

_{ds dt}

dt

s

s

s

Po wymnożeniu oraz pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy

 

20



_

_



_





_

_





_







d

A

A

v

Av

A

0

dt

s

s

s

lub po uwzględnieniu zasady różniczkowania iloczyn równanie przybiera postać









_



_



vA

d

A

0

dt

s

Dla ruchu ustalonego (niezależnego od czasu) równanie przybiera postać













vA

0

s

 

21

 

22

 

22

Czyli dla płynu ściśliwego równanie jest spełnione jeśli



vA



const

natomiast dla płynu nieściśliwego równanie jest spełnione jeśli



vA

const

 

23

 

24

Pierwsza wielkość nazywa się strumieniem masy, a równanie równaniem ciągłości dla płynu ściśliwego









m 1 1 1 2 2 2

q

v A

v A

Druga wielkość nazywa się strumieniem objętości, a równanie równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego





V 1 1 2 2

q

v A

v A

 

25

 

26

Z równań wynika, że





m V

Na podstawie strumienia masy lub strumienia objętości można zdefiniować średnią prędkość v_śr w przekroju poprzecznym A (jeśli prędkość nie jest jednakowa)





m



v sr sr

q

q

v

A

A

 

28

• _{Jednostką strumienia objętości jest m}3_{/s, zatem strumień objętości pokazuje objętość}

płynu przepływającego w jednostce czasu.

• _{Jednostką strumienia masy jest kg/s, zatem strumień masy pokazuje masę płynu}

przepływającego w jednostce czasu.

Przykład 1. W liniowo rozszerzającym się przewodzie, średnica na jego początku wynosi

d₁=10 mm, a na końcu d₂=50 mm. Wiadomo, że prędkość przepływu wody na końcu przewodu wynosi 0,2 m/s. Obliczyć ile wynosi 1) prędkość na początku przewodu, 2) strumień objętości, 3) strumień masy 4) narysować wykres przedstawiający zmianę prędkości na długości

przewodu.













_















_

_







1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1

v A

v A

...

const.

d

d

v

v

4

4

d

50

m

v

v

0, 2

5

10

s

d











12



22



2





3 3



3 v 1 2

d

d

0, 01

m

dm

q

v

v

5

0, 39 10

0, 39

4

4

4

s

s











3 3



m v 3

kg

m

kg

q

q

1000

0, 39 10

0, 39

s

s

m

Ad. 1. Prędkość na początku przewodu

Ad. 2. Strumień objętości

Ad. 4. v=f(d)







2





v v 2

d

4q

q

v

v

4

d

Przez ściankę OABC (wzdłuż osi x) w czasie dt przepływa masa równa





_







_







x x

v

v

dx dy dz dt

x



v dy dz dt

_x

natomiast przez przeciwległą ściankę wypływa w tym samym czasie masa

Różnica pomiędzy masą wpływającą do prostopadłościanu a wypływającą wynosi









x

v

dx dy dz dt

x

Podobnie postępujemy dla pozostałych dwóch par ścianek, otrzymując różnice mas wpływu i wypływu równe

















y z

v

dx dy dz dt

y

v

dx dy dz dt

z

 

29

 

30

 

31

 

32

 

33

Suma tych różnic równa się zmianie masy zawartej w objętości prostopadłościanu wskutek zmiany gęstości czyli

d

dxdydzdt

dt



Porównując równanie (32) z sumą równań (29-31) otrzymamy

 

34

y x

v

z

v

v

d

dxdydzdt

dx dy dz dt

dx dy dz dt

dx dy dz dt

dt

x

y

z



_



_



_



 











 

35

po podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamy

0

y x z y x z

v

v

v

d

dt

x

y

z

v

v

v

d

dt

x

y

z



_

_

_

 







 























_





_













 

36

 

37

Zapis równania (37) można uprościć stosując pojęcie dywergencji



div v



y x

v

z

v

v

div v

x

y

z





















Otrzymując równanie w postaci

0

d

div v

dt

 







Dla płynu nieściśliwego =const stąd a zatem równanie ciągłości jest równe

d

₀

dt



_

0

div v





0

y x

v

z

v

v

x

y

z





_

_



_







lub

 

38

 

39

 

40

(41)

4. Równanie Bernoulliego

4. Równanie Bernoulliego

Założenia: płyn nielepki, nieściśliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prędkość jest stała w przekroju poprzecznym strugi.

 _{energii potencjalnej ciśnienia, równej iloczynowi siły powierzchniowej}

i przesunięcia , czyli

Wydzielimy odcinek strugi zawarty między przekrojami 1-1 i 2-2, określimy energię mechaniczną cieczy w czasie dt.

W czasie dt ciecz z przekroju 1-1 przemieści się o do przekroju 1’-1’, a z przekrój 2-2 o do 2’-2’.

Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego przez przekrój 1-1 w czasie dt składa się z:   1 1 ds dt   2 2 ds dt

 _{energii kinetycznej masy , poruszającej się z prędkością ,}

czyli 1 1 p A     12  12 k V E dm q dt. 2 2   1 1 ds dt    '' p 1 1 1 1 V E p A dt p q dt    ' p 1 1 V E gz dm gz q dt  _V dm pq dt



₁

 _{energii potencjalnej położenia}

 

42

 

43

Całkowita energia przepływająca w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi





   2 c1 V 1 1 V V 1 1 E gq z dt p q dt gq v dt, 2 a przez przekrój 2-2





   2 c2 V 2 2 V V 2 1 E gq z dt p q dt gq v dt. 2 (45) (46)

Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to:



c1 c2

E

E ,

(47) zatem









2











2 V 1 1 V V 1 V 2 2 V V 2

1

1

gq z dt p q dt

gq v dt

gq z dt p q dt

gq v dt.

2

2

(48)















2 2 1 1 2 2 1 2

p

v

p

v

z

z .

g

2g

g

2g

Po podzieleniu równania (48) obustronnie przez otrzymamy:gq dtV

(49) Równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci:





 

2

p

v

z

const

g

2g

(50)

z – wysokość położenia danego przekroju , m – wysokość ciśnienia (bezwględnego) , m

– wysokość prędkości , m  p g 2 v 2g

Po pomnożeniu równań (49-50) obustronnie przez g otrzymamy:











12







22



1 1 2 2

v

v

p

gz

p

gz .

2

2

(51)







v

2





p

gz

const

2

(52)

gz – wysokość położenia danego przekroju , Pa – ciśnienie statyczne , Pa – ciśnienie dynamiczne , Pa p  2 v 2

Przykład 2. W przykładzie 1 założyć, że ciśnienie na początku przewodu wynosi p₁=67 kPa. Obliczyć ciśnienie na końcu przewodu. Narysować rozkład ciśnień na długości przewodu.

Ad. 1. Ciśnienie na końcu przewodu





 _  _                                       _  _         _  _    2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 v v v i 2 1 2 4 2 2 4 i 1 2 2 2 2 v v v 2 1 2 4 2 4 1 4 4 2 1 2 1 2 2 3 2 4 4 2 v v p gz p gz 2 2 v v z z 0 p p 2 2 4q 8q 8q v p p d d d 8q 8q 1 1 8q p p p d d d d 8 0, 39 10 1000 1 1 p 67 000 79, 3 kPa 0, 01 0,50

Ad. 2. Rozkład ciśnienia na długości przewodu

 

  _  _{ }    2 v 2 x 1 4 4 2 1 x 8q 1 1 p d p d d

Przykład 3. W pionowym rurociągu o średnicach d₁=50 mm i d₂=10 mm o długościach odpowiednio l₁=1000 mm, l₂=2000 mm przepływa woda o strumieniu objętości 0,5 dm3/s.

Obliczyć 1) prędkości przepływu w przewodach, 2) różnicę ciśnienia pomiędzy początkiem, a końcem rurociągu, 3) strumień masy.

Ad. 1. Prędkości w przewodach

                      2 2 1 2 v 1 2 3 v 1 2 2 1 3 v 2 2 2 2 d d q v v 4 4 4q 4 0, 5 10 m v 0, 25 s d 0, 05 4q 4 0, 5 10 m v 6, 37 s d 0, 01

Ad. 2. Różnica ciśnienia pomiędzy początkiem, a końcem rurociągu













     _                           2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 v v v i 2 2 4 2 4 1 2 i 2 1 v v p 0 p g l l 2 2 v v p p p g l l 2 2 4q 8q 8q v p g l l d d d









_

_

 _        _  _            _  _          2 v 1 2 4 4 2 2 1 2 3 4 4 2 8q 1 1 p g l l d d 8 0, 05 10 1000 1 1 p 1000 9, 81 1 2 0, 01 0, 05

p 22, 2 kPa 29, 4 kPa 51, 6 kPa

Ad. 3. Strumień masy

             2 2 1 2 m v 1 2 3 m d d q q v v 4 4 kg q 1000 0, 5 10 0, 5 s

Przykład 4. Narysować interpretację geometryczną równania Bernoulliego dla przepływu oleju (gęstość =900 kg/m3_{) o strumieniu masy q}

m=0,8 kg/s przez przewód o średnicy d=15 mm,

długości l=2 000 mm, nachylony pod kątem =30 . Ciśnienie bezwzględne na wlocie przyjąć p₁=80 kPa.                 2 m m 2 2 2 2 m 2 2 4 2 2 4 d 4q q v v 4 d 8q v 8 0, 8 1, 29 m 2g d g 900 0, 015 9, 81

Obliczenie wysokości prędkości

Obliczenie wysokości położenia przekroju 2-2

  2       

2

z

sin z lsin 2 sin30 1 m

l

Obliczenie wysokości ciśnienia w przekroju 1-1

1   

p 80000

9, 06 m

g 900 9, 81

Obliczenie wysokości ciśnienia w przekroju 2-2

         2 2 1 2 p p v z 9, 06 1, 29 1 6, 77 m g g 2g