Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa
Ryszard J. Barczyński, 2020
Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego
Strumień pola elektrycznego
Natężenie pola elektrycznego
niektórych rozkładów ładunku da się znaleźć w wyjątkowo
prosty sposób, ale musimy w tym celu wprowadzić nowe pojęcie
- strumienia pola elektrycznego
Strumień
Zastanów się, jak opisać strumień wody przepływający przez powierzchnię A. Prawda, że wyrażenie (A * v * cos F ) jest tym, czego szukamy?
Strumień
pola elektrycznego
Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego FE przez powierzchnię A. Gdy powierzchnia A jest prostopadła do wektora
natężenia pola elektrycznego mamy FE = A E cos f = A E = A E
pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E, a normalną do powierzchni A
Strumień
pola elektrycznego
Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego FE przez powierzchnię A. W ogólnym przypadku mamy
FE = A E cos f = A E
pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E, a normalną do powierzchni A
Strumień
pola elektrycznego
Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego FE przez powierzchnię A. Gdy powierzchnia A jest równoległa do wektora
natężenia pola elektrycznego mamy FE = A E cos f = A E = 0
pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E, a normalną do powierzchni A
Strumień pola elektrycznego
W życiu nic nie jest proste, a powierzchnie są zwykle dosyć skomplikowane. Całkowity
strumień pola elektrycznego możemy policzyć jako sumę strumieni cząstkowych:
= ∫
S
E dS
Wektor elementu powierzchni jest zdefiniowany jako wektor o wartości równej powierzchni elementu,
a o kierunku normalnej (zewnętrznej) do powierzchni.
Strumień pola elektrycznego
Spróbujemy teraz policzyć wyrażenie na strumień pola elektrycznego przechodzący przez
powierzchnię kulistą, w środku której znajduje
się punktowy ładunek q.
Strumień pola elektrycznego
Widzimy, że całkowity strumień przez naszą powierzchnię sferyczną wynosi q/ e
0= ∮
A
E dA= ∮
A
q r 4
0r
2dA= q
4
0r
2∮
A
dA= q 4
04 r
2r
2= q
0Strumień pola elektrycznego
Uogólnimy teraz nasz rezultat i policzymy wyrażenie na strumień pola elektrycznego przechodzący przez
dowolną zamkniętą powierzchnię.
Strumień pola elektrycznego
Rozważmy kontur o dowolnym kształcie otaczający kulę.
Przeprowadźmy stożek o wierzchołku w q,
wycinający z kuli element o powierzchni a, a z konturu element A.
Porównajmy strumienie przez te dwa elementy:
d
A= E
r A=E
rA cos=[ E
R R r
2
][ a r R
2
1
cos ] cos=E
Ra=d
aStrumień pola elektrycznego
Rozważmy kontur o dowolnym kształcie otaczający kulę.
Przeprowadźmy stożek o wierzchołku w q,
wycinający z kuli element o powierzchni a, a z konturu element A.
Porównajmy strumienie przez te dwa elementy:
d
A= E
r A=E
rA cos=[ E
R R r
2
][ a r R
2
1
cos ] cos=E
Ra=d
aStrumień pola elektrycznego
Udowodniliśmy, że strumienie
przez oba elementy są sobie równe.
Ponieważ każdemu elementowi
powierzchni zewnętrznej możemy przypisać element sfery, zatem
całkowity strumień jest jednakowy dla obu powierzchni.
Strumień pola elektrycznego
Jeżeli będziemy rozważać wiele ładunków zawartych w naszej powierzchni możemy zastosować zasadę
superpozycji: natężenie pola elektrycznego od wielu źródeł można przedstawić jako sumę natężeń pola
od pojedynczych źródeł
= ∮
S
E dS= ∮
S
E
1... E
n dS= q
1
0 .. q
n
0= q
0Otrzymaliśmy w ten sposób prawo Gaussa:
Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu
ładunkowi zawartemu w tej powierzchni podzielonemu przez e
0∮
SE ⃗ ⃗ dS= q
e
0Prawo Gaussa
Prawo Gaussa wyprowadziliśmy korzystając z prawa Coulomba
(w rzeczywistości prawo Gaussa okazuje się ogólniejsze).
Prawo Gaussa umożliwia nam rozwiązanie wielu
- na pozór bardzo skomplikowanych - problemów.
Policzymy...
Prawo Gaussa umożliwia łatwe policzenie natężenia pola elektrycznego w sytuacjach, gdy potrafimy
wykorzystać symetrię ładunku. Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego we wnętrzu oraz
w sąsiedztwie:
●
jednorodnego ładunku kulistego;
●
jednorodnego ładunku w kształcie walca;
●
nieskończenie rozciągłej cienkiej płyty naładowanej
ze stałą gęstością powierzchniową.
Policzymy...
Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego we wnętrzu oraz w sąsiedztwie:
●
jednorodnego ładunku kulistego
Policzymy...
Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego w sąsiedztwie:
●
jednorodnego długiego ładunku liniowego
Policzymy...
Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego w sąsiedztwie:
●
