11 październik 2005

11 pa¹dziernika 2005

1. Zbada¢ i¡gªo±¢ funk ji

f

z

R

2

w

R

danej wzorem (a)

f

(x, y) =

(

x

2

y

2

x

2

_+y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

; (b)

f

(x, y) =

(

x

3

y

3

x

2

_+y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

; ( )

f

(x, y) =

(

x

4

−y

4

x

4

_+y

4

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

; (d)

f

(x, y) =



1

x

2

_+y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

; (e)

f

(x, y) =



xy

x−y

dla

x

6= y

,

0

dla

x

= 0

; (f)

f

(x, y) =



sin(xy)

x

dla

x

6= 0

,

y

dla

x

= 0

; (g)

f

(x, y) =



sin(xy)

x

2

_+y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

; (h)

f

(x, y) =

(

sin(xy

2

₎

x

2

_+y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

; (i)

f

(x, y) =

(

sin(x

3

_)+sin

3

_(y)

x

2

_+y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

; (j)

f

(x, y) =

(

sin(y

2

)

x

2

_+y

2

· e

−

_x4+y2

1

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

.

2. Sprawdzi¢, »e funk ja

f

(x, y) =



2xy

x

2

_+y

2

dla

(x, y) 6= (0, 0)

,

0

dla

(x, y) = (0, 0)

jest i¡gªawzgldem ka»dej ze zmienny h, alenie jest i¡gªa jako funk ja z

R

2

w

R

. 3. Sprawdzi¢, »e funk ja

f(x, y) =

(

x

2

y

x

4

_+y

2

dla

x

2

_{+ y}

2

_{6= 0}

,

0

dla

x

2

_{+ y}

2

_{= 0}

jest i¡gªawpunk ie

(0, 0)

wzdªu» ka»dej póªprostej posta i

x

= t cos α, y = t sin α, 0 ≤ t < +∞,

aleniejest i¡gªaw punk ie

(0, 0)

.

Uwaga: sformuªowanie 

f

jest i¡gªa w punk ie

(0, 0)

wzdªu» ka»dej póªprostej posta i... ozna za, »e dla ka»dego

α

∈ [0, 2π)

lim

t→0

+

f

(t cos α, t sin α) = f (0, 0).

4. Czyzbiór punktównie i¡gªo± i funk ji

f

: R

2

_{→ R}

danej wzorem

f(x, y) =

 x · sin

1

y

dla

y

6= 0

,

0

w pozostaªy h przypadka h jestzbiorem

(a) otwartym,

(b) domknitym,

( ) ograni zonym?

5. Znale¹¢zbiór punktów i¡gªo± i nastpuj¡ y h funk ji

(a)

f

(x, y) =

 px

2

_{+ y}

2

dla

x

≥ 0

;

2

dla

x <

0

. (b)

f

(x, y, z) =

xy+1

x

2

_+z

2

−1

. ( )

f

(x, y) =

 p1 − x

2

_{− y}

2

dla

x

2

_{+ y}

2

_{≤ 1}

;

0

dla

x

2

_{+ y}

2

_>

₁

. (d)

f

(x, y) =

 sin x

dla

y

≥ 0, x ∈ R

;

1

wpozostaªy hprzypadka h. (e)

f

(x, y) =

 e

x

dla

x < y

;

e

y

dla

x

≥ y

. 6. Sprawdzi¢, »e je»eli funk ja

f

: R

2

_{→ R}

speªnia warunek Lips hitza wzgldem ka»dej ze

zmienny h, tofunk ja

f

jest i¡gªa.

Wskazówka: pokaza¢, »e funk ja

f

speªnia warunek Lips hitza (jako funk ja z

R

2

w

R

). Uwaga: przez sformuªowanie funk ja

f

speªnia warunek Lips hitza wzgldem zmiennej

x

rozumiemy, »e istnieje staªa

L

, taka »e dlaka»dego

y

i dladowolny h

x

1

, x

2

|f (x

1

, y

) − f (x

2

, y

)| ≤ L · |x

1

− x

2

| .

7. (*) Pokaza¢, »e je±li funk ja

f

: R

2

_{→ R}

jest i¡gªa wzgldem ka»dej zmiennej i rosn¡ a

wzgldem jednejze zmienny h, to

f

jest i¡gªa. 8. (*)Sprawdzi¢,»eje»elifunk ja

f

: R

2

_{→ R}

jest i¡gªawzgldemka»dejzezmienny hispeªnia

warunek Lips hitza wzgldem jednej ze zmienny h, tofunk ja

f

jest i¡gªa. Czy funk ja

f

musispeªnia¢ warunek Lips hitza?