Poka», »e je»eli funkcja f ma ograniczon¡ pochodn¡, to speªnia warunek Lipschitza

Analiza I, ISIM Lista zada« nr 12

1. Poka», »e je»eli funkcja f ma ograniczon¡ pochodn¡, to speªnia warunek Lipschitza.

2. Niech h(x) = f(x)g(x). Udowodnij h⁽ⁿ⁾(x) =

n

X

k=0

n k



f^(k)(x)g^(n−k)(x), przy zaªo»eniu, »e f⁽⁰⁾(x) = f (x).

3. Znajd¹ wzór na n-t¡ pochodn¡ funkcji x⁻¹log x i e^xcos x. 4. Oblicz (x²e^x)⁽²⁰¹²⁾ i (x²⁰¹¹e^x1)⁽²⁰¹²⁾

5. Wyka», »e funkcja sin : [π, 2π] → R jest wypukªa, a funkcja (0, ∞) 3 x →√

x jest wkl¦sªa.

6. Poka», »e funkcja f jest wypukªa na przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dych x, y ∈ (a, b)odcinek ª¡cz¡cy punkty (x, f(x)) i (y, f(y)) le»y nad wykresem funkcji f.

7. Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡ wypukª¡. Udowodnij przez indukcj¦ nierówno±¢ Jensena f

 n

X

k=1

λkxk



≤

n

X

k=1

λkf (xk), dla xj ∈ (a, b) i Pⁿ_k=1λ_k= 1, λk≥ 0.

8. Udowodnij nierówno±¢ ab ≤ ¹_pa^p+ ¹_qb^q, gdzie ¹_p + ¹_q = 1 i p, q > 0, korzystaj¡c z tego, »e logarytm jest funkcj¡ ±cisle wkl¦sª¡

9. Poka», »e je»eli funkcja f : R → R jest jednocze±nie wypukªa i wkl¦sªa, to f(x) = ax + b dla pewnych a, b.

10. Niech f : I → R b¦dzie funkcj¡ wypukª¡. Zbadaj wypukªo±¢ funkcji: |f|, p|f|, f², e^{|f |}, log(1 + |f |), _{|f |}¹ .

11. Gracz baseballa biegnie po linii prostej, aby schwyta¢ piªk¦ przy ±rodku ogrodzenia boiska.

Pr¦dko±¢ gracza w stopach na sekund¦ wynosi v(x) = 1

100x²−11 10x + 25

gdy znajduje si¦ w odlegªo±ci x stóp od ±rodka ogrodzenia. Jakie jest przy±pieszenie gracza, gdy znajduje si¦ w odlegªo±ci 1 stopy od ±rodka pªotu?

12. Stosuj¡c ró»niczkowanie niejawne, oblicz dy/dx w podanym punkcie x²+ xy + 2y² = 4; (−1, −1) (√

x + 1)(√

y + 2) = 8; (1, 4) 13. Znajd¹ styczn¡ do wykresu x³+ y³ = 3xy w punkcie (3/2, 3/2).

14. Okr¡g o promieniu 1 i ±rodku na osi y jest wpisany w parabol¦

y = 2x². Znajd¹ punkty, w których parabola i okr¡g stykaj¡ si¦.

Wskazówka: w tych punktach okr¡g i parabola maj¡ wspólne styczne.

15. Lemniskata (rysunek obok) zadana jest wzorem (x²+ y²)² = x²− y². Znajd¹ punkty wykresu, w których styczna jest pozioma.

16. Oblicz d²y/dx² w poni»szych przykªadach

x²− y⁴= 6 x²sin 2y = 1

17. Funkcja y = f(x) jest ró»niczkowalna, posiada funkcj¦ odwrotn¡ x = g(y) i speªnia równanie x³ = y⁴+ x²sin y + 1.

Zakªadaj¡c, »e f(1) = 0 znale¹¢ f⁰(1) oraz pochodn¡ funkcji odwrotnej w punkcie 0. Znale¹¢

równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) i funkcji odwrotnej g(y) w punktach (1,0) i (0, 1) odpowiednio.

18. Dla 0 < aj < π, udowodnij nierówno±¢

p| sin an ₁sin a₂.. sin a_n| ≤ sin1

n(a₁+ a₂+ .. + a_n) 19. Udowodnij nierówno±¢ (dla x, y > 0)

x log x + y log y ≥ (x + y) logx + y 2 .