Anna Pajor Konstrukcja optymalnego portfela w bayesowskim modelu MSF-SBEKK. Portfele funduszy inwestycyjnych PKO TFI

Bank i Kredyt 45(1), 2014, 53–78

Konstrukcja optymalnego portfela

w bayesowskim modelu MSF-SBEKK.

Portfele funduszy inwestycyjnych PKO TFI

Anna Pajor*

Nadesłany: 7 lutego 2013 r. Zaakceptowany: 5 sierpnia 2013 r.

Streszczenie

W tradycyjnej teorii wyboru optymalnego portfela sformułowanej przez Markowitza wykorzystuje się dwa pierwsze momenty rozkładów stóp zwrotu z aktywów finansowych: wartości oczekiwane oraz wariancje i współczynniki korelacji. W poniższej pracy pokazano, że w modelu MSF-SBEKK, w którym logarytmiczne stopy zwrotu spełniają równanie wektorowej autoregresji, warunkowa (względem całej przeszłości procesu) wartość oczekiwana prostych stóp zwrotu jest nieskończona. W tego typu modelach nie można zastosować analizy portfelowej z wykorzystaniem średniej i wariancji. Zaproponowano więc wykorzystanie rozkładów predyktywnych prostych stóp zwrotu z portfela, uzyskanych za pomocą modelu MSF-SBEKK, oraz kryteriów wyboru składu portfela opartych na prymacie bezpieczeństwa. Na przykładzie funduszy inwestycyjnych pokazano, że portfele konstruowane w wyniku minimalizacji wartości zagrożonej dają przeciętnie niższe stopy zwrotu niż portfele zmniejszające prawdopodobieństwo zwrotu poniżej ustalonej wartości. Uzyskane wyniki potwierdzają przydatność modelu MSF-SBEKK do budowy portfeli optymalnych.

Keywords: modele MSV, model MSF-SBEKK, bayesowska predykcja, optymalizacja portfela

JEL: C3, C58, C53, G11, G17

* Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, Wydział Zarządzania, Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych; e-mail: e-mail:eopajor@cyf-kr.edu.pl.

A. Pajor

54

1. Wstęp

W analizie portfelowej najczęściej wykorzystywanymi parametrami rozkładu prawdopodobieństwa sto-py zwrotu z portfela są: wartość oczekiwana (jako miernik tendencji centralnej) i wariancja lub odchy-lenie standardowe (jako miernik dyspersji ryzyka). Zakłada się, że inwestor maksymalizuje oczekiwa-ną użyteczność stóp zwrotu z portfela, posługując się średnią i wariancją. Teoria wyboru optymalnego portfela zaproponowana przez Markowitza (Markowitz 1959) opiera się na wartości oczekiwanej i wa-riancji stopy zwrotu z portfela. Wyznacza się portfele efektywne, czyli takie, które maksymalizują ocze-kiwaną stopę zwrotu przy zadanym ryzyku (odchyleniu standardowym) lub minimalizują ryzyko przy zadanej oczekiwanej stopie zwrotu. W pracach Harveya i in. (2010) oraz Kemalbaya, Özkuta i Franko (2011) wykorzystano momenty nawet wyższych rzędów.

Powszechnie wiadomo, że empiryczne rozkłady stóp zmian cen instrumentów finansowych charakteryzują się m.in. grubymi ogonami, co zmusza badaczy do stosowania narzędzi matematycznych uwzględniających tę własność. Można wyróżnić dwie popularne klasy procesów stochastycznych, wykorzystywanych do modelowania zmienności cen instrumentów finansowych: procesy GARCH (ang. Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedastic processes) oraz procesy SV (ang. Stochastic Variance processes, Stochastic Volatility processes); zob. np. Pajor (2010). Do klasy procesów SV należą również tzw. procesy hybrydowe, łączące strukturę GARCH i SV (por. Osiewalski 2009; Osiewalski, Osiewalski 2011; 2012; Osiewalski, Pajor 2007; 2009). Wielowymiarowe modele hybrydowe, a w szczególności model MSF-SBEKK, mogą być z powodzeniem wykorzystywane w analizach portfeli kilkudziesięciowymiarowych (liczących około 100 składowych).

Celem pracy jest pokazanie, że w modelu MSF-SBEKK, w którym logarytmiczne stopy zwrotu opi-sywane są za pomocą wektorów losowych, spełniających równanie wektorowej autoregresji ze składni-kami losowymi tworzącymi proces MSF-SBEKK, warunkowa wartość oczekiwana prostej stopy zwrotu i w konsekwencji wariancja warunkowa są nieskończone. Wynik ten zaskakuje, tym bardziej że różnica miedzy logarytmiczną a prostą stopą zwrotu jest niewielka, jeżeli wartość bezwzględna stopy zwrotu nie jest duża. Założenia dotyczące logarytmicznych stóp zwrotu są jednak implikowane przez własno-ści prostych stóp zwrotu. Warto wspomnieć, że jeżeli warunkowy rozkład logarytmicznej stopy zwro-tu jest rozkładem t Szwro-tudenta, to warunkowa wartość oczekiwana prostej stopy zwrozwro-tu jest nieskończo-na. Założenie to wydaje się niezgodne z intuicją, ale np. modele GARCH z warunkowym rozkładem t Studenta, w formalnych, bayesowskich porównaniach, opartych na prawdopodobieństwach

a posteriori modeli, wypadają zwykle lepiej niż modele GARCH z warunkowym rozkładem normalnym

(Osiewalski 2001; Pipień 2005).

W modelach z nieskończoną, warunkową wartością oczekiwaną prostej stopy zwrotu analiza port-felowa nie może opierać się na teorii Markowitza, bazującej na momentach rozkładów prawdopo-dobieństwa. Również wykorzystywanie próbkowych momentów w takich sytuacjach wydaje się

nie-uzasadnione1_{. Konieczne jest więc poszukiwanie kryteriów opartych na innych charakterystykach}

rozkładu prawdopodobieństwa niż momenty.

W niniejszej pracy zaproponujemy dwie bayesowskie metody budowy optymalnego portfela, opar-te na kryopar-teriach Roya i Kataoki, a określane mianem prymatu bezpieczeństwa (Elton, Gruber 1998, s. 280). Tworzenie optymalnego portfela będzie przebiegać dwuetapowo. Na pierwszym etapie

wyzna-1 _{Istnienie momentów można jednak zapewnić przez sztuczne ucięcie rozkładów „daleko w ogonach”. Momenty takich}

Konstrukcja optymalnego portfela ...

55

czymy predyktywne rozkłady prostych stóp zwrotu z aktywów potencjalnie wchodzących w skład port-fela. Następnie na podstawie tych rozkładów zbudujemy rozkłady predyktywne prostych stóp zwrotu z różnych portfeli. Na drugim etapie będziemy poszukiwać takiego składu portfela, który pozwoli zmi-nimalizować prawdopodobieństwo uzyskania stopy zwrotu poniżej ustalonego poziomu (zgodnie z kry-terium Roya) lub zminimalizować wartość zagrożoną (ang. value-at-risk, VaR, definiowaną jako minus kwantyl rozkładu) z zadanym poziomem tolerancji (zgodnie z kryterium Kataoki). Metody bayesowskie umożliwiają uwzględnienie nie tylko niepewności dotyczącej przyszłych stóp zwrotu, ale również nie-pewności co do wartości parametrów modelu i zmiennych ukrytych.

Warto wspomnieć, że bayesowskie podejście do budowy portfela było rozważane m.in. w następu-jących opracowaniach: Winkler, Barry (1975), Polson, Tew (2000), Aguilar, West (2000), Pástor (2000), Johannes, Polson, Stroud (2002) − ich przegląd można znaleźć w pracy Quintana i in. (2003) − oraz Soy-er, Tanyeri (2006), Harvey i in. (2010). Winkler i Barry (1975) przedstawili problem wyboru portfela, który maksymalizuje oczekiwaną użyteczność inwestora. Rozważane przez nich przykłady i podawane rozwiązania zagadnień decyzyjnych dotyczą jednak modelu, w którym dla stóp zwrotu założono roz-kład normalny ze stałą i znaną wariancją. Polson i Tew (2000) wykorzystali podejście Markowitza. Za-łożyli przy tym, że macierz kowariancji między zmiennymi losowymi opisującymi stopy zwrotu z ak-tywów wchodzących w skład portfela jest stała. Pástor (2000) również wykorzystał momenty rozkładów predyktywnych, przyjmując wielowymiarowy rozkład normalny dla stóp zwrotu z aktywów finanso-wych. Johannes, Polson i Stroud (2002) rozważyli portfel złożony z dwóch instrumentów: ryzykowne-go i pozbawioneryzykowne-go ryzyka. W celu uzyskania optymalneryzykowne-go portfela maksymalizowali oczekiwaną uży-teczność, przy założeniu, że stopa zwrotu z ryzykownych aktywów jest pojedynczą realizacją procesu wariancji stochastycznej. Ich podejście sprowadziło się do określenia składu portfela za pomocą funk-cji m.in. odpowiednich momentów predyktywnego rozkładu stopy zwrotu z ryzykownych aktywów. Aguilar i West (2000) do budowy jednookresowego portfela o minimalnym ryzyku (mierzonym warian-cją warunkową portfela) wykorzystali czynnikowy, sześciowymiarowy model wariancji stochastycznej, w którym przedmiotem opisu były proste stopy zwrotu. Soyer i Tanyeri (2006) zaproponowali sposób budowy portfela wielookresowego oparty na rozkładach predyktywnych stóp zwrotu oraz maksyma-lizacji wartości oczekiwanej funkcji użyteczności. Ich rozważania i przykłady symulacyjne dotyczyły przede wszystkim tych modeli, w których warunkowy rozkład stóp zwrotu był normalny (m.in. mode-lu GARCH). Z kolei Harvey i in. (2010) do modelowania stóp zwrotu z instrumentów finansowych za-stosowali skośny rozkład normalny. Aby ustalić skład portfela, maksymalizowali wartość oczekiwaną funkcji użyteczności, będącej liniową funkcją trzech pierwszych momentów rozkładu predyktywnego stóp zwrotu.

Jak widać, w większości przypadków do budowy portfeli optymalnych wykorzystywano momenty odpowiednich rozkładów. Takie podejście nie jest możliwe w modelach, w których momenty stosow-nych rozkładów prawdopodobieństwa nie istnieją lub są nieskończone.

W drugiej części niniejszej pracy przedstawiono bayesowski model MSF-SBEKK. W trzeciej części pokazano, że wartość oczekiwana prostej stopy zwrotu w modelu MSF-SBEKK jest nieskończona, oraz omówiono problem konstrukcji portfela optymalnego w tym modelu. Wyniki empiryczne, związane z ustaleniem składu optymalnego portfela złożonego z 20 wybranych funduszy inwestycyjnych, zamieszczono w czwartej części. Cześć piąta zawiera uwagi końcowe.

A. Pajor

56

2. Model VAR(1)-MSF-SBEKK

W zagadnieniach dotyczących budowy portfela spekulacyjnego ogromne znaczenie ma łączne mode-lowanie zmienności szeregów stóp zwrotu z aktywów finansowych. Do łącznego modelowania zmien-ności i współzmienzmien-ności finansowych szeregów czasowych powszechnie stosuje się wielowymiarowe procesy z klasy GARCH (ang. multivariate GARCH, MGARCH). Macierz warunkowych kowariancji jest w nich funkcją przeszłości procesu (zob. np. Osiewalski, Pipień 2002; 2004a; 2004b; Fiszeder 2007; 2009; Bauwens, Laurent, Rombouts 2006; Silvennoinen, Teräsvirta 2008). Wykorzystuje się też wielowymiaro-we procesy wariancji (zmienności) stochastycznej (ang. Multivariate Stochastic Volatility, MSV). W od-różnieniu od procesów typu GARCH elementy macierzy warunkowych kowariancji są w nich odrębny-mi procesaodrębny-mi stochastycznyodrębny-mi, niezdeterodrębny-minowanyodrębny-mi przeszłością procesu. Inaczej mówiąc, nie są

pro-gnozowalne według Y, gdzie Y = {ψ}_t∈Z jest filtracją procesu MSV (zob. Pajor 2010; Asai, McAleer, Yu

2006). Proponowane są również tzw. procesy hybrydowe, łączące koncepcję procesów MGARCH i MSV. Są nimi m.in. procesy MSF-DCC-GARCH oraz MSF-SBEKK, zaproponowane w pracach Osiewalskiego i Pajor (2007; 2009) i Osiewalskiego (2009). Z jednej strony procesy te są dość oszczędnie sparametryzo-wane, a z drugiej strony, jak pokazują wyniki badań, nadają się do opisu zmienności cen na rynkach finansowych. Wektory losowe tworzące proces hybrydowy (z jednym procesem ukrytym) można

przed-stawić jako iloczyny trzech czynników: pierwiastka kwadratowego macierzy2 _{(macierze te zmieniają się}

zgodnie ze strukturą MGARCH), zmiennej losowej (zmienne te tworzą proces ukryty) i wektora loso-wego o ustalonym, wielowymiarowym rozkładzie. Obecność procesu ukrytego w strukturze MGARCH pozwala lepiej (niż za pomocą samych procesów MGARCH) opisać dynamikę zjawisk finansowych oraz pojawianie się obserwacji odstających (odległych o kilka odchyleń standardowych od modalnej). Proces ukryty może reprezentować informacje napływające na rynek. Z kolei struktura MGARCH ma ogrom-ne znaczenie w opisie m.in. zależności między stopami zwrotu z różnych aktywów finansowych (zob. Osiewalski, Pajor 2009; Osiewalski, Osiewalski 2011). Poniżej przedstawimy bayesowski model MSF--SBEKK. Jest on na tyle oszczędnie sparametryzowany, że może być z powodzeniem wykorzystany do budowy portfeli o kilkudziesięciu składowych (zob. Osiewalski, Pajor 2010; 2012).

Warto również wspomnieć, że w ekonometrii finansowej przedmiotem modelowania najczęściej są logarytmiczne stopy zwrotu. Proces opisujący obserwowane logarytmy cen występuje w modelach z czasem ciągłym (np. w równaniach dyfuzji). Proste stopy zwrotu mieszczą się w przedziale [-1, + ∞), logarytmiczne stopy zwrotu przyjmują zaś wartości z całej osi rzeczywistej, co ułatwia ich modelowa-nie. Z drugiej strony w analizie portfelowej wygodnie jest wykorzystywać proste stopy zwrotu, gdyż są one średnią ważoną stóp zwrotu z aktywów wchodzących w skład tego portfela (wagami są udzia-ły aktywów w portfelu). W pracy Pajor (2009) pokazano, że w jednowymiarowym modelu z klasy SV dla większości zbadanych szeregów czasowych transformacje ilorazu cen zaproponowane przez Boxa i Coxa bliskie logarytmicznej stopie zwrotu były a posteriori bardziej prawdopodobne niż transforma-cje prowadzące do prostej stopy zwrotu. Dlatego w niniejszym artykule przedmiotem modelowania są logarytmiczne stopy zwrotu cen instrumentów finansowych wchodzących w skład portfela, a rozkła-dy prerozkła-dyktywne budowane są dla prostych stóp zwrotu składowych portfela i całego portfela. W uję-ciu bayesowskim konstrukcja rozkładów predyktywnych dla prostych stóp zwrotu, jako mierzalnych (w sensie Lebesgue’a) funkcji logarytmicznych stóp zwrotu, odbywa się zgodnie z zasadami rachunku

Konstrukcja optymalnego portfela ...

57

prawdopodobieństwa i nie stwarza większych problemów. Na podstawie próby pseudolosowej pocho-dzącej z rozkładu predyktywnego logarytmicznych stóp zwrotu łatwo, za pomocą prostych przekształ-ceń, uzyskać próbę pseudolosową z rozkładu predyktywnego prostych stóp zwrotu.

Niech x_j,t (j = 1, 2, ..., n, t = 1, 2, ..., T + s) oznacza cenę j-tego instrumentu finansowego w chwili

t. Zakładamy, że wektory stóp zwrotu y_t = (y1,t, y2,t, ..., yn,t)', gdzie yj,t = ln(xj,t/xj,t-1), tworzą proces wekto-rowej autoregresji rzędu pierwszego:

yt = Ryt 1 t t t t g H1/2 ( 1 1') 1 ) 1 ( t t t t A H H 0, 0, 1 t Ry μ ) , ( ~ , , | t1 t t t t t g N μ gH y ) ( )' ( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , , | ( /2 1/2 1 1 0 k t t t t t t t t t t g g g p y y H y μ H y μ )' , , , , , )' ( , ( vec R g h0 )' )' ( ( 0 vec R )' ,..., ( _,1t+_{s:t n,t}+_s:t t s t i,+: 0 = + + n i i i i t t s t n p t s t W W W R R 1 , , , , 1 : t :+st ,t+s:t i,t+s i, t i, t i,t :+st i,t :+st +st t :

)

(

)

/

t :+st t :+st

,...,

(

x x x R ( )/ t i t x W a / , 1 , , , ln t j t j t j _xx y t j y t j t j x e x , 1 , , , 1 1 , 1 , , , = = yjt t j t j t j t j x _x x e z 1 1

)

)

1 (ln(

)'

)

1 (ln( 2 1 exp

)

det(

)

2

(

)

,

,

|

(

1 _, 1 1 2 / 1 2 / 1 + + + = n j _jt t t t t t t t t k t t t z g g g p μ z H μ

z

H z

)

,

|

1

(

)

,

|

(

_{, 1} , ₁ t y t t i E e it z E

)

,

|

)

,

,

|

(

(

)

,

|

(

, , t y y _{E E}

_e

_g e E it it ) , ( ~ , , | , , ,t t it t iit i g N gh y μ t ii t t i t i gh t y _{g e} e E

(

,

|

,

,

)

μ,+0,5 ,

)

,

ln

(

~

,

|

ln 2 g t N g g t ii th g e0,5 , + = ) (_eeX E 0 x 2 5 , 0 x ex = + + = = 0 2 2 0 2 0 2 2 _{0,5 0,5 0,5 0,5} 5 , 0 ₀ x x x x x e x x e x e _{e dx e e dx e e dx e e dx} e x x x + = =

(

+

|

)

)

,

|

(

eyi,t

E

e

i,t 0,5gthii,t E μ ) ( ~_{i,t f} t i, ~ t ii t t i t i, = ~, 0,5gh , ) ( ~ ,t= i f

E

e

yi,t

E

e

i,t

e

i,t ~ ~

)

|

(

)

|

(

μ μ = = = + =

)

|

(

2 , t i

z

E

= =

₍

+ .

_|

₎

₍

+

_|

₎

)

|

(

_e

2yi,t

_E

_e

2~i,t gthii,t 0,54gthii,t

_E

_e

2~i,t gthii,t

E

μ μ ) | ) ,..., ( ( min arg )' ,..., ( : 1, : , : : 0 1 ... ] 1 , 0 [ )' ,..., ( : , : , 1 , , : , 1 T l T s T T s T n T s T p T s T op T s T n op T s T P R R n n n T s T y + + + + = + + + + = < + : , 1T+sT T+s:T :T s T+ l T s T R +_: ) ,..., ( : p T s T R + )' ,..., ( 1,T+s:T n,T+s:T ] ... [ _{0 1} 0 T T _{y y y} y = ) | ) ,..., ( ( _{: 1, : , :} l _{: 0}T T s T T s T n T s T p T s T R R P + + + < + y i θ ψ ψ

,

θ ∞ +_∞ +∞ +∞ + – ∞ +∞ ∞ –

∫

∞

∫

∫

∫

,

θ ψ

,

θ ψ

,

θ ψ

,

θ ψ ψ

,

θ ψ

,

θ

,

θ ψ

,

θ ψ , to δ δ δ δ δ θ θ θ ψ ξ ξ ξ t ξ ε β β β β β ω ω ω ω

Σ

ω ω ω σ φ γ γ γ γ γ + + + + + ≥ + – – – – 1 t– – 1 t ψ– π – – – – – – – – – – – – – – – ≥ < – – = = = = = )' )' ( ( 0 vec R δ = δ = = = = = = = = = = =

(

(

(

)

)

)

≥ – – – 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– – 1 t– – 1 t– t–1 1 t– t–1 1 t– 1 t– 1 t– – – – 1 t– 1 t– t–1 – – – – ψ

Π

π θ θ θ θ θ θ θ θ θ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ × × φ σ ∞ ∈ ∈ ≥ ≥ ω ω : , 1T+sT ω ω ω ω ω ω : ,T sT n + ω ω ω ω ω ω , μ μ μ μ μ , _{t = 1, 2, ... ,T, T + 1, ..., T + s (1)}

gdzie {ξ_t} jest procesem o zmiennej wariancji warunkowej, δ jest n-wymiarowym wektorem, R jest

macierzą o wymiarach n × n, T oznacza liczbę obserwacji, a s jest horyzontem prognozy.

Za pracą Osiewalskiego i Pajor (2009) przyjmujemy, że wektory losowe ξ_t spełniają równanie

defi-niujące proces MSF-SBEKK(1,1) typu pierwszego:

t t t Ry y = ₁ t t t g H1/2 ( 1 1') 1 ) 1 ( t t t t A H H 0, 0, 1 t Ry μ ) , ( ~ , , | t 1 t t t t t g N μ gH y ) ( )' ( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , , | ( /2 1/2 1 1 0 k t t t t t t t t t t g g g p y y H y μ H y μ )' , , , , , )' ( , ( vec R g h0 )' )' ( ( 0 vecR )' ,..., ( _,1t+_{s:t n,t}+_s:t t s t i, +: 0 = + + n i i i i t t s t n p t s t W W W R R 1 , , , , 1 : t :+st ,t+s:t i,t+s i, t i, t i,t :+st i,t :+st +st t :

)

(

)

/

t :+st t :+st

,...,

(

x x x R ( )/ t i t x W a / , 1 , , , ln t j t j t j _xx y t j y t j t j x e x , 1 , , , 1 1 , 1 , , , = = yjt t j t j t j t j x _x x e z 1 1

)

)

1 (ln(

)'

)

1 (ln( 2 1 exp

)

det(

)

2

(

)

,

,

|

(

1 _, 1 1 2 / 1 2 / 1 + + + = n j _jt t t t t t t t t k t t t z g g g p μ z H μ

z

H z

)

,

|

1

(

)

,

|

(

_{, 1} , ₁ t y t t i E e it z E

)

,

|

)

,

,

|

(

(

)

,

|

(

, , t y y _{E E}

_e

_g e E it it ) , ( ~ , , | , , ,t t it t iit i g N gh y μ t ii t t i t i gh t y _{g e} e E

(

,

|

,

,

)

μ,+0,5 ,

)

,

ln

(

~

,

|

ln 2 g t N g g t ii th g e0,5 , + = ) (_eeX E 0 x 2 5 , 0 x ex = + + = = 0 2 2 0 2 0 2 2 _{0,5 0,5 0,5 0,5} 5 , 0 ₀ x x x x x e x x e x e _{e dx e e dx e e dx e e dx} e x x x + = =

(

+

|

)

)

,

|

(

eyi,t

E

e

i,t 0,5gthii,t E μ ) ( ~_{i,t f} t i, ~ t ii t t i t i, = ~, 0,5gh , ) ( ~ ,t= i f

E

e

yi,t

E

e

i,t

e

i,t ~ ~

)

|

(

)

|

(

μ μ = = = + =

)

|

(

2 , t i

z

E

= =

₍

+ .

_|

₎

₍

+

_|

₎

)

|

(

_e

2yi,t

_E

_e

2~i,t gthii,t 0,54gthii,t

_E

_e

2~i,t gthii,t

E

μ μ ) | ) ,..., ( ( min arg )' ,..., ( : 1, : , : : 0 1 ... ] 1 , 0 [ )' ,..., ( : , : , 1 , , : , 1 T l T s T T s T n T s T p T s T op T s T n op T s T P R R n n n T s T y + + + + = + + + + = < + : , 1T+sT T+s:T :T s T+ l T s T R +_: ) ,..., ( : p T s T R + )' ,..., ( 1,T+s:T n,T+s:T ] ... [ _{0 1} 0 T T _{y y y} y = ) | ) ,..., ( ( _{: 1, : , :} l _{: 0}T T s T T s T n T s T p T s T R R P + + + < + y i θ ψ ψ

,

θ ∞ +_∞ +∞ +∞ + – ∞ +∞ ∞ –

∫

∞

∫

∫

∫

,

θ ψ

,

θ ψ

,

θ ψ

,

θ ψ ψ

,

θ ψ

,

θ

,

θ ψ

,

θ ψ , to δ δ δ δ δ θ θ θ ψ ξ ξ ξ t ξ ε β β β β β ω ω ω ω

Σ

ω ω ω σ φ γ γ γ γ γ + + + + + ≥ + – – – – 1 t– – 1 t ψ– π – – – – – – – – – – – – – – – ≥ < – – = = = = = )' )' ( ( 0 vecR δ = δ = = = = = = = = = = =

(

(

(

)

)

)

≥ – – – 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– – 1 t– – 1 t– t–1 1 t– t–1 1 t– 1 t– 1 t– – – – 1 t– 1 t– t–1 – – – – ψ

Π

π θ θ θ θ θ θ θ θ θ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ × × φ σ ∞ ∈ ∈ ≥ ≥ ω ω : , 1T+sT ω ω ω ω ω ω : ,T sT n + ω ω ω ω ω ω , μ μ μ μ μ , t = 1, 2, ... , T + s (2) lngt = lngt 1+ g t {( t,' t)'}~iiN(0[(n+1) 1],In+1) )' ,' ( t t 1 ... _{, :} : , 2 : , 1t+st t+st nt+st l T s T op T s T n op T s T R T s T n T s T n T s T n T s T : 1 ... ] 1 , 0 [ )' ,..., ( , : , , : , 1 : , : , 1 : , : , 1 max arg )' ,..., ( + + ₊ + + + + + + ( ,..., ) | ) (RTps:T 1,T s:T n,T s:T RTl s:T T0 P y φ σ η η η α α α ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ε ε = = = ≤ < + + + – × ∈ + + + + , |φ| < 1, σ_g > 0 (3) gdzie { t g t t g g = ln 1+ ln {( t ,' t)'}~iiN(0[(n+1) 1],In+1) )' ,' ( t t 1 ... _{, :} : , 2 : , 1t+st t+st nt+st l T s T op T s T n op T s T R T s T n T s T n T s T n T s T : 1 ... ] 1 , 0 [ )' ,..., ( , : , , : , 1 : , : , 1 : , : , 1 max arg )' ,..., ( + + ₊ + + + + + + ( ,..., ) | ) (RTps:T 1,T s:T n,T s:T RTl s:T 0T P y φ σ η η η α α α ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ε ε = = = ≤ < + + + – × ∈ + + + +

} jest ciągiem niezależnych wektorów losowych o rozkładzie normalnym z zerowym wek-torem średnich i jednostkową macierzą kowariancji.

t t t Ry y = ₁ t t t g H1/2 ( 1 1') 1 ) 1 ( t t t t A H H 0, 0, 1 t Ry μ ) , ( ~ , , | t 1 t t t t t g N μ gH y ) ( )' ( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , , | ( /2 1/2 1 1 0 k t t t t t t t t t t g g g p y y H y μ H y μ )' , , , , , )' ( , ( vec R g h0 )' )' ( ( 0 vec R )' ,..., ( _,1t+_{s:t n,t}+_s:t t s t i, +: 0 = + + n i i i i t t s t n p t s t W W W R R 1 , , , , 1 : t :+st ,t+s:t i,t+s i, t i, t i,t :+st i,t :+st +st t :

)

(

)

/

t :+st t :+st

,...,

(

x x x R ( )/ t i t x W a / , 1 , , , ln t j t j t j _xx y t j y t j t j x e x , 1 , , , 1 1 , 1 , , , = = yjt t j t j t j t j x _x x e z 1 1

)

)

1 (ln(

)'

)

1 (ln( 2 1 exp

)

det(

)

2

(

)

,

,

|

(

1 _, 1 1 2 / 1 2 / 1 + + + = n j _jt t t t t t t t t k t t t z g g g p μ z H μ

z

H z

)

,

|

1

(

)

,

|

(

_{, 1} , ₁ t y t t i E e it z E

)

,

|

)

,

,

|

(

(

)

,

|

(

, , t y y _{E E}

_e

_g e E it it ) , ( ~ , , | , , ,t t it t iit i g N gh y μ t ii t t i t i gh t y _{g e} e E

(

,

|

,

,

)

μ,+0,5 ,

)

,

ln

(

~

,

|

ln 2 g t N g g t ii th g e0,5 , + = ) (_eeX E 0 x 2 5 , 0 x ex = + + = = 0 2 2 0 2 0 2 2 _{0,5 0,5 0,5 0,5} 5 , 0 ₀ x x x x x e x x e x e _{e dx e e dx e e dx e e dx} e x x x + = =

(

+

|

)

)

,

|

(

eyi,t

E

e

i,t 0,5gthii,t E μ ) ( ~_{i,t f} t i, ~ t ii t t i t i, = ~, 0,5gh , ) ( ~ ,t= i f

E

e

yi,t

E

e

i,t

e

i,t ~ ~

)

|

(

)

|

(

μ μ = = = + =

)

|

(

2 , t i

z

E

= =

₍

+ .

_|

₎

₍

+

_|

₎

)

|

(

_e

2yi,t

_E

_e

2~i,t gthii,t 0,54gthii,t

_E

_e

2~i,t gthii,t

E

μ μ ) | ) ,..., ( ( min arg )' ,..., ( : 1, : , : : 0 1 ... ] 1 , 0 [ )' ,..., ( : , : , 1 , , : , 1 T l T s T T s T n T s T p T s T op T s T n op T s T P R R n n n T s T y + + + + = + + + + = < + : , 1T+sT T+s:T :T s T+ l T s T R +_: ) ,..., ( : p T s T R + )' ,..., ( 1,T+s:T n,T+s:T ] ... [ _{0 1} 0 T T _{y y y} y = ) | ) ,..., ( ( _{: 1, : , :} l _: T₀ T s T T s T n T s T p T s T R R P + + + < + y i θ ψ ψ

,

θ ∞ +_∞ +∞ +∞ + – ∞ +∞ ∞ –

∫

∞

∫

∫

∫

,

θ ψ

,

θ ψ

,

θ ψ

,

θ ψ ψ

,

θ ψ

,

θ

,

θ ψ

,

θ ψ , to δ δ δ δ δ θ θ θ ψ ξ ξ ξ t ξ ε β β β β β ω ω ω ω

Σ

ω ω ω σ φ γ γ γ γ γ + + + + + ≥ + – – – – 1 t– – 1 t ψ– π – – – – – – – – – – – – – – – ≥ < – – = = = = = )' )' ( ( 0 vecR δ = δ = = = = = = = = = = =

(

(

(

)

)

)

≥ – – – 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– – 1 t– – 1 t– t–1 1 t– t–1 1 t– 1 t– 1 t– – – – 1 t– 1 t– t–1 – – – – ψ

Π

π θ θ θ θ θ θ θ θ θ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ × × φ σ ∞ ∈ ∈ ≥ ≥ ω ω : , 1T+sT ω ω ω ω ω ω : ,T sT n + ω ω ω ω ω ω , μ μ μ μ μ (4)

Warunkowy (względem przeszłości procesu {ξ_t} i zmiennej g_t) rozkład wektora losowego ξ_t jest

rozkładem normalnym z zerowym wektorem średnich i macierzą kowariancji _gtH_t, gdzie {g_t} jest

pro-cesem ukrytym (nieobserwowalnym), a H_t = [h_ij,t] jest macierzą kwadratową o wymiarach n × n, której

elementy zmieniają się wraz z t, zgodnie ze strukturą skalarnego procesu BEKK(1,1). Warunkowy

roz-kład wektora stóp zwrotu, y_t, przy ustalonej przeszłości procesu {y_t}, wartości g_t oraz danych parame-trach, jest zatem rozkładem normalnym z wektorem średnich

t t t Ry y = 1 t t t g H1/2 ( 1 1') 1 ) 1 ( t t t t A H H 0, 0, 1 t Ry μ ) , ( ~ , , | t1 t t t t t g Nμ gH y ) ( )' ( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , , | ( /2 1/2 1 1 0 k t t t t t t t t t t g g g p y y H y μ H y μ )' , , , , , )' ( , ( vec R g h0 )' )' ( ( 0 vecR )' ,..., ( ,1t+s:t n,t+s:t t s t i,+ : 0 = + + n i i i i t t s t n p t s t W W W R R 1 , , , , 1 : t :+st ,t+s:t i,t+s i, t i, t i,t :+st i,t :+st +st t :) ( )/ t :+st t :+st ,..., ( x x x R ( )/ t i t x W a / , 1 , , , ln t j t j t j _xx y t j y t j t j x e x , 1 , , , 1 1 , 1 , , , = = jt y t j t j t j t j _x e x x z 1 1 ) ) 1 (ln( )' ) 1 (ln( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , | ( 1 _, 1 1 2 / 1 2 / 1 + + + = n j _jt t t t t t t t t k t t t z g g g p μ z H μ z H z ) , | 1 ( ) , | ( , 1 , t1 y t t i E e it z E ) , | ) , , | ( ( ) , | ( , , t y y _{E E e g} e E it it ) , ( ~ , , | , , ,t t it t iit i g N gh y μ t ii t t i t i gh t y _{g e} e E( , | , , ) μ,+0,5 , ) , ln ( ~ , | ln 2 g t N g g t ii th g e0,5 , + = ) (_eeX E 0 x 2 5 , 0 x ex = + + = = 0 2 2 0 2 0 2 2 _{0,5 0,5 0,5 0,5} 5 , 0 ₀ x x x x x e x x e x e _{e dx e e dx e e dx e e dx} e x x x + = = + ) | ( ) , | (eyi,t E e i,t 0,5gthii,t E μ ) ( ~ ,t i f t i, ~ t ii t t i t i, = ~, 0,5gh , ) ( ~ ,t= i f E eyi,t E e i,t e i,t ~ ~ ) | ( ) | ( μ μ = = = + = ) | ( 2 , t i z E = = + . + ) | ( ) | ( ) | ( 2y_i,t 2~i,t gthii,t 0,54gthii,t 2~_i,t g_th_ii,t e E e E e E μ μ ) | ) ,..., ( ( min arg )' ,..., ( : 1, : , : : 0 1 ... ] 1 , 0 [ )' ,..., ( : , : , 1 , , : , 1 T l T s T T s T n T s T p T s T op T s T n op T s T P R R n n n T s T y + + + + = + + + + = < + : , 1T+sT T+s:T :T s T+ l T s T R + : ) ,..., ( : p T s T R+ )' ,..., ( _1,T+s_:T n_,T+s_:T ] ... [ 0 1 0 T T _{y y y} y = ) | ) ,..., ( (RTps:T 1,T s:T n,T s:T RTl s:T 0T P + + + < + y i θ ψ ψ ,θ ∞ +∞ +_∞ +∞ + – ∞ +∞ ∞ –

∫

∞

∫

∫

∫

,θ ψ ,θ ψ ,θ ψ ,θ ψ ψ ,θ ψ ,θ ,θ ψ ,θ ψ , to δ δ δ δ δ θ θ θ ψ ξ ξ ξ t ξ ε β β β β β ω ω ω ω

Σ

ω ω ω σ φ γ γ γ γ γ + + + + + ≥ + – – – – 1 t– – 1 t ψ– π – _– – – – – – – – – – – – – – ≥ < – – = = = = = )' )' ( ( 0 vecR δ = δ = = = = = = = = = = =

(

(

(

)

)

)

≥ – – – 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– – 1 t– – 1 t– t–1 1 t– t–1 1 t– 1 t– 1 t– – – – 1 t– 1 t– t–1 – – – – ψ

Π

π θ θ θ θ θ θ θ θ θ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ × × φ σ ∞ ∈ ∈ ≥ ≥ ω ω : , 1T+sT ω ω ω ω ω ω : ,T sT n + ω ω ω ω ω ω , μ μ μ μ μ i macierzą kowariancji _gtH_t

(co zapisujemy jako

t t t Ry y = ₁ t t t g H1/2 ( 1 1') 1 ) 1 ( t t t t A H H 0, 0, 1 t Ry μ ) , ( ~ , , | t1 t t t t t g N μ gH y ) ( )' ( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , , | ( /2 1/2 1 1 0 k t t t t t t t t t t g g g p y y H y μ H y μ )' , , , , , )' ( , ( vec R g h0 )' )' ( ( 0 vec R )' ,..., ( ,1t+s:t n,t+s:t t s t i,+: 0 = + + n i i i i t t s t n p t s t W W W R R 1 , , , , 1 : t :+st ,t+s:t i,t+s i, t i, t i,t :+st i,t :+st +st t :) ( )/ t :+st t :+st ,..., ( x x x R ( )/ t i t x W a / _, 1 , , , ln t j t j t j _xx y t j y t j t j x e x , 1 , , , 1 1 , 1 , , , = = jt y t j t j t j t j _x e x x z 1 1 ) ) 1 (ln( )' ) 1 (ln( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , | ( 1 _, 1 1 2 / 1 2 / 1 + + + = n j _jt t t t t t t t t k t t t z g g g p μ z H μ z H z ) , | 1 ( ) , | ( , 1 , t1 y t t i E e it z E ) , | ) , , | ( ( ) , | ( , , t y y _g e E E e E it it ) , ( ~ , , | , , ,t t it t iit i g N gh y μ t ii t t i t i gh t y _{g e} e E( , | , , ) μ,+0,5 , ) , ln ( ~ , | ln 2 g t N g g t ii th g e0,5 , + = ) ( _eX e E 0 x 2 5 , 0 x ex = + + = = 0 2 2 0 2 0 2 2 _{0,5 0,5 0,5 0,5} 5 , 0 ₀ x x x x x e x x e x e _{e dx e e dx e e dx e e dx} e x x x + = = ₍ + _{| )} ) , | (eyi,t E e i,t 0,5gthii,t E μ ) ( ~ ,t i f t i, ~ t ii t t i t i, = ~, 0,5gh , ) ( ~ ,t= i f E eyi,t E e i,t e i,t ~ ~ ) | ( ) | ( μ ₌ μ = = + = ) | ( 2 , t i z E = = ₍ + . _{| ) (} + _{| )} ) | (_e2yi,t _{E e}2~i,t gthii,t 0,54gthii,t _{E e}2~i,t gthii,t E μ μ ) | ) ,..., ( ( min arg )' ,..., ( : 1, : , : : 0 1 ... ] 1 , 0 [ )' ,..., ( : , : , 1 , , : , 1 T l T s T T s T n T s T p T s T op T s T n op T s T P R R n n n T s T y + + + + = + + + + = < + : , 1T+sT T+s:T :T s T+ l T s T R _+: ) ,..., ( : p T s T R+ )' ,..., ( 1,T+s:T n,T+s:T ] ... [ 0 1 0 T T _{y y y} y = ) | ) ,..., ( (RTps:T 1,T s:T n,T s:T RTl s:T 0T P + + + < + y i θ ψ ψ ,θ ∞ +∞ +∞ +∞ + – ∞ +∞ ∞ –

∫

∞

∫

∫

∫

,θ ψ ,θ ψ ,θ ψ ,θ ψ ψ ,θ ψ ,θ ,θ ψ ,θ ψ , to δ δ δ δ δ θ θ θ ψ ξ ξ ξ t ξ ε β β β β β ω ω ω ω

Σ

ω ω ω σ φ γ γ γ γ γ + + + + + ≥ + – – – – 1 t– – 1 t ψ– π – – – – – – – – – – – – – – – ≥ < – – = = = = = )' )' ( ( 0 vec R δ = δ = = = = = = = = = = =

(

(

(

)

)

)

≥ – – – 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– – 1 t– – 1 t– t–1 1 t– t–1 1 t– 1 t– 1 t– – – – 1 t– 1 t– t–1 – – – – ψ

Π

π θ θ θ θ θ θ θ θ θ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ × × φ σ ∞ ∈ ∈ ≥ ≥ ω ω : , 1T+sT ω ω ω ω ω ω : ,T sT n + ω ω ω ω ω ω , μ μ μ μ μ ): t t t Ry y = ₁ t t t g H1/2 ( 1 1') 1 ) 1 ( t t t t A H H 0, 0, 1 t Ry μ ) , ( ~ , , | t1 t t t t t g N μ gH y ) ( )' ( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , , | ( /2 1/2 1 1 0 k t t t t t t t t t t g g g p y y H y μ H y μ )' , , , , , )' ( , ( vec R g h0 )' )' ( ( 0 vec R )' ,..., ( ,1t+s:t n,t+s:t t s t i,+: 0 = + + n i i i i t t s t n p t s t W W W R R 1 , , , , 1 : t :+st ,t+s:t i,t+s i, t i, t i,t :+st i,t :+st +st t :) ( )/ t :+st t :+st ,..., ( x x x R ( )/ t i t x W a / _, 1 , , , ln t j t j t j x x y t j y t j t j x e x , 1 , , , 1 1 , 1 , , , = = yjt t j t j t j t j _x e x x z 1 1 ) ) 1 (ln( )' ) 1 (ln( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , | ( 1 _, 1 1 2 / 1 2 / 1 + + + = n j _jt t t t t t t t t k t t t z g g g p μ z H μ z H z ) , | 1 ( ) , | ( , 1 , t1 y t t i E e it z E ) , | ) , , | ( ( ) , | ( , , t y y _g e E E e E it it ) , ( ~ , , | , , ,t t it t iit i g N gh y μ t ii t t i t i gh t y _{g e} e E( , | , , ) μ,+0,5 , ) , ln ( ~ , | ln 2 g t N g g t ii th g e0,5 , + = ) ( _eX e E 0 x 2 5 , 0 x ex = + + = = 0 2 2 0 2 0 2 2 _{0,5 0,5 0,5 0,5} 5 , 0 ₀ x x x x x e x x e x e _{e dx e e dx e e dx e e dx} e x x x + = = ₍ + _{| )} ) , | (eyi,t E e i,t 0,5gthii,t E μ ) ( ~_{i,t f} t i, ~ t ii t t i t i, = ~, 0,5gh , ) ( ~ ,t= i f E eyi,t E e i,t e i,t ~ ~ ) | ( ) | ( μ ₌ μ = = + = ) | ( 2 , t i z E = = + . + ) | ( ) | ( ) | (_e2yi,t _{E e}2~i,t gthii,t 0,54gthii,t _{E e}2~i,t gthii,t E μ μ ) | ) ,..., ( ( min arg )' ,..., ( : 1, : , : : 0 1 ... )' [0,1] ,..., ( : , : , 1 , , : , 1 T l T s T T s T n T s T p T s T op T s T n op T s T P R R n n n T s T y + + + + = + + + + = < + : , 1T+sT T+s:T :T s T+ l T s T R +_: ) ,..., ( : p T s T R ₊ )' ,..., ( 1,T+s:T n,T+s:T ] ... [ 0 1 0 T T _{y y y} y = ) | ) ,..., ( (RTp s:T 1,T s:T n,T s:T RTl s:T T0 P + + + < + y i θ ψ ψ _,θ ∞ +∞ +∞ +∞ + – ∞ +∞ ∞ –

∫

∞

∫

∫

∫

,θ ψ ,θ ψ ,θ ψ ,θ ψ ψ ,θ ψ ,θ ,θ ψ ,θ ψ , to δ δ δ δ δ θ θ θ ψ ξ ξ ξ t ξ ε β β β β β ω ω ω ω

Σ

ω ω ω σ φ γ γ γ γ γ + + + + + ≥ + – – – – 1 t– – 1 t ψ– π – _– – – – – – – – – – – – – – ≥ < – – = = = = = )' )' ( ( 0 vec R δ = δ = = = = = = = = = = =

(

(

(

)

)

)

≥ – – – 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– – 1 t– – 1 t– t–1 1 t– t–1 1 t– 1 t– 1 t– – – – 1 t– 1 t– t–1 – – – – ψ

Π

π θ θ θ θ θ θ θ θ θ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ × × φ σ ∞ ∈ ∈ ≥ ≥ ω ω : , 1T+sT ω ω ω ω ω ω : ,T sT n + ω ω ω ω ω ω , μ μ μ μ μ (5) gdzie t t t Ry y = ₁ t t t g H1/2 ( 1 1') 1 ) 1 ( t t t t A H H 0, 0, 1 t Ry μ ) , ( ~ , , | t 1 t t t t t g N μ gH y ) ( )' ( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , , | ( /2 1/2 1 1 0 k t t t t t t t t t t g g g p y y H y μ H y μ )' , , , , , )' ( , ( vec R g h0 )' )' ( ( 0 vecR )' ,..., ( ,1t+s:t n,t+s:t t s t i,+: 0 = + + n i i i i t t s t n p t s t W W W R R 1 , , , , 1 : t :+st ,t+s:t i,t+s i, t i, t i,t :+st i,t :+st +st t :) ( )/ t :+st t :+st ,..., ( x x x R ( )/ t i t x W a / _, 1 , , , ln t j t j t j _xx y t j y t j t j x e x , 1 , , , 1 1 , 1 , , , = = yjt t j t j t j t j _x e x x z 1 1 ) ) 1 (ln( )' ) 1 (ln( 2 1 exp ) det( ) 2 ( ) , , | ( 1 _, 1 1 2 / 1 2 / 1 + + + = n j _jt t t t t t t t t k t t t z g g g p μ z H μ z H z ) , | 1 ( ) , | ( , 1 , t1 y t t i E e it z E ) , | ) , , | ( ( ) , | ( , , t y y _g e E E e E it it ) , ( ~ , , | , , ,t t it t iit i g N gh y μ t ii t t i t i gh t y _{g e} e E( , | , , ) μ,+0,5 , ) , ln ( ~ , | ln 2 g t N g g t ii th g e0,5 , + = ) ( _eX e E 0 x 2 5 , 0 x ex = + + = = 0 2 2 0 2 0 2 2 _{0,5 0,5 0,5 0,5} 5 , 0 ₀ x x x x x e x x e x e _{e dx e e dx e e dx e e dx} e x x x + = = ₍ + _{| )} ) , | (eyi,t E e i,t 0,5gthii,t E μ ) ( ~_{i,t f} t i, ~ t ii t t i t i, = ~, 0,5gh , ) ( ~ ,t= i f E eyi,t E e i,t e i,t ~ ~ ) | ( ) | ( μ ₌ μ = = + = ) | ( 2 , t i z E = = ₍ + . _{| ) (} + _{| )} ) | (_e2yi,t _{E e}2~i,t gthii,t 0,54gthii,t _{E e}2~i,t gthii,t E μ μ ) | ) ,..., ( ( min arg )' ,..., ( : 1, : , : : 0 1 ... )' [0,1] ,..., ( : , : , 1 , , : , 1 T l T s T T s T n T s T p T s T op T s T n op T s T P R R n n n T s T y + + + + = + + + + = < + : , 1T+sT T+s:T :T s T+ l T s T R +_: ) ,..., ( : p T s T R + )' ,..., ( 1,T+s:T n,T+s:T ] ... [ 0 1 0 T T _{y y y} y = ) | ) ,..., ( (RTp s:T 1,T s:T n,T s:T RTl s:T 0T P + + + < + y i θ ψ ψ _,θ ∞ +∞ +∞ +∞ + – ∞ +∞ ∞ –

∫

∞

∫

∫

∫

,θ ψ ,θ ψ ,θ ψ ,θ ψ ψ ,θ ψ ,θ ,θ ψ ,θ ψ , to δ δ δ δ δ θ θ θ ψ ξ ξ ξ t ξ ε β β β β β ω ω ω ω

Σ

ω ω ω σ φ γ γ γ γ γ + + + + + ≥ + – – – – 1 t– – 1 t ψ– π – _– – – – – – – – – – – – – – ≥ < – – = = = = = )' )' ( ( 0 vec R δ = δ = = = = = = = = = = =

(

(

(

)

)

)

≥ – – – 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– 1 t– – 1 t– – 1 t– t–1 1 t– t–1 1 t– 1 t– 1 t– – – – 1 t– 1 t– t–1 – – – – ψ

Π

π θ θ θ θ θ θ θ θ θ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ × × φ σ ∞ ∈ ∈ ≥ ≥ ω ω : , 1T+sT ω ω ω ω ω ω : ,T sT n + ω ω ω ω ω ω , μ μ μ μ μ

, a y0 oznacza wektor warunków początkowych (pominięty

w dalszej notacji).

W bayesowskim modelu VAR(1)-MSF-SBEKK, podobnie jak w pracy Osiewalskiego i Pajor (2009),

przyjmujemy następujące rozkłady a priori dla nieznanych parametrów modelu: dla parametrów _{β i γ}

łączny rozkład jednostajny na zbiorze _{{(β, γ): β ≥ 0, γ ≥ 0, β} + γ < 1}; dla parametru φ rozkład

normal-ny o średniej 0 i odchyleniu standardowym równormal-nym 10, ucięty restrykcją _{|φ| < 1; parametr σg}-2 _ma