Konstrukcja portfeli efektywnych z zastosowaniem wielorownaniowych modeli

Vol. XLVIII (2007) PL ISSN 0 0 7 1 -6 7 4 X

KONSTRUKCJA PORTFELI EFEKTYWNYCH

Z ZASTOSOWANIEM W IELORÓW NANIO W YCH MODELI GARCH1

PIOTR FISZEDER

K a te d ra E k o n o m e t r ii i S ta ty s ty k i W N E iZ U n i w e r s y t e t M ik o ła ja K o p e r n ik a w T o r u n i u

PL 8 7 - 1 0 0 T o r u ń , u l. G a g a r i n a 13a e-m ail: p iter@ im i.to m n .p l

P rac a p r z e d s ta w i o n a n a p o s i e d z e n i u K o m isji N a u k E k o n o m i c z n y c h PA N w d n i u 7 l i s t o p a d a 2 0 0 6 r.

ABSTRACT

P io tr Fiszeder, Construction o f E fficient Portfolios w ith A pplication o f M ultivariate G A R C H M odels, Folia O e c o n o m i c a C r a c o v ie n s ia 2 0 0 7 , 4 8 : 4 7 - 6 8 . T h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r is t o p r e s e n t d y n a m i c a p p r o a c h t o s e l e c t io n o f e f f ic i e n t p o r t f o li o s u s i n g a fo re ca sts o f v a r ia n c e s a n d c o v a r ia n c e s f r o m t h e m u lt i v a r i a te G A R C H m o d e l s . E v a lu ­ a ti o n o f e f f ic ie n c y fo r d i f f e r e n t m e t h o d s o f a s s e t a l l o c a t i o n is a ls o p e r f o r m e d f o r s to c k s f r o m t h e WSE. T w e lv e s p e c if ic a tio n s o f t h e m u l t i v a r i a t e G A R C H m o d e ls , t h e u n i v a r i a t e G A R C H m o d e l a n d six o t h e r c o v a r i a n c e m a t r i x e s t i m a t i o n m e t h o d s a r e u s e d . T a k i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n t im e v a r y in g v a r ia n c e s a n d c o v a r i a n c e s o f s t o c k r e t u r n s i n p o r t f o l i o s e l e c t io n s i n c r e a s e s , w i t h s o m e e x c e p t io n s , e f f ic ie n c y o f a ss e t a l l o c a t i o n p r o c e s s . S im p le s p e c if i c a t i o n s o f t h e m u l t i v a - riateG A R C H m o d e ls , w h i c h p a r a m e t e r s a re e s t i m a t e d i n o n e sta g e, a r e t h e b e s t p e r f o r m i n g m o d e ls . F r o m e c o n o m i c p o i n t o f v iew , t h e d if f e r e n c e s b e t w e e n t h e m o d e l s a re n o t s i g n i f ic a n t, w ith e x c e p t io n o f t h e f a c t o r a n d o r t h o g o n a l m o d e l s . R isk M e tric s m e t h o d o l o g y c o m m o n l y used b y p r a c t i t i o n e r s d o e s n o t g iv e g o o d r e s u lts fo r c o n s t r u c t i o n s o f e f f ic i e n t p o r t f o li o s .

S Ł O W A K L U C Z O W E — KEY W O R D S

m u lt i v a r i a te G A R C H m o d e l s , p o r t f o l i o s e le c tio n , e f f ic ie n t p o r t f o li o s w i e l o r ó w n a n i o w e m o d e l e G A R C H , k o n s t r u k c ja p o r t f e l a , p o r f e le e f e k t y w n e

1 Praca n a u k o w a fin an s o w a n a ze śro d k ó w n a n a u k ę w lata ch 2 0 0 5 -2 0 0 7 , p ro jek t b a d aw cz y n r 1-H02B-033-29.

1. WPROWADZENIE

Przy wyznaczaniu portfeli efektywnych dużą rolę odgrywa wybór estymatorów wartości oczekiwanej, wariancji i kowariancji stóp zwrotu oraz ściśle z tym związany wybór m etod prognozow ania wartości oczekiwanej, wariancji i kowa­ riancji stóp zwrotu. Proces budow y portfela według kryteriów zaproponow anych przez Markowitza jest bardzo wrażliwy na wybór estym atora wartości oczekiwa­ nej stopy zwrotu. Niewielkie różnice w szacunkach wartości oczekiwanych stóp zwrotu często prowadzą do znaczącej przebudowy portfela. W ybór estymatorów wariancji i kowariancji ma również istotny wpływ na alokację aktywów. Trady­ cyjnie stosowane estym atory wartości oczekiwanej, wariancji i kowariancji stopy zwrotu, czyli średnia arytmetyczna, wariancja i kowariancja obliczane na pod­ stawie dostępnych danych historycznych, nie dają najlepszych wyników przy wyznaczaniu portfeli efektywnych.

W artykule zaprezentow ano dy n am iczne podejście do wyznaczania p o rt­ feli efektywnych, wykorzystujące prognozy wariancji i kowariancji stóp zwro­ tu skonstruow ane n a podstaw ie w ielorów naniow ych m odeli GARCH. Istnieje bardzo obszerna literatura dotycząca zm ienności wariancji warunkowej proce­ sów finansowych. Okazuje się jednakże, że zm ieniają się nie tylko w arunkowe wariancje, ale rów nież w arunkow e kowariancje, jak i w arunkow e w spółczyn­ niki korelacji pom iędzy procesami finansowym i. W ielorów naniow y proces GARCH pozwala opisać zarów no zmieniające się w czasie w arunkow e w arian­ cje, jak i zmieniające się w arunkow e kowariancje stóp zwrotu. Jeżeli wariancje i kowariancje stóp zwrotu nie są stałe w czasie, to prognozy uzyskane na podstaw ie w ielorów naniow ych m odeli GARCH p o w in n y przynieść dodatkow e korzyści przy w yznaczaniu portfeli efektywnych. Literatura dotycząca wyko­ rzystania m odeli GARCH przy budow ie portfeli jest uboga. W yniki tych analiz z uwagi n a złożoność problem u są n a razie fragm entaryczne. G łów nym celem zaprezentow an ych b ad ań jest ocena skuteczności różnych m eto d tworzenia portfeli, w tym przede wszystkim z wykorzystaniem różnych specyfikacji w ielorów naniow ych m odeli GARCH. Przedstawione podejścia do tworzenia portfela różnią się wyłącznie m etodą prognozow ania macierzy kowariancji stóp zwrotu.

Układ artykułu jest następujący. W części drugiej przedstawiono sposób konstrukcji portfeli efektywnych. W części trzeciej zaprezentow ano stosowane w badaniu m etody estymacji macierzy kowariancji. Część czwarta zawiera ana­ lizę skuteczności konstrukcji portfeli efektywnych dla trzech spółek giełdowych. W części piątej badanie zostało rozszerzone na dwadzieścia spółek. Część szósta zawiera podsum ow anie.

2. DYNAMICZNY PROCES BUDOWY PORTFELA

Proces budow y portfela według kryteriów zaproponow anych przez Markowitza jest bardzo wrażliwy na wybór estym atora wartości oczekiwanej stóp zwrotu. Konstruując portfel efektywny tru d n o jest odróżnić wpływ wyboru estym atora macierzy kowariancji od wyboru estymatora wartości oczekiwanej. Jednym ze sposobów na wyeliminowanie wpływu wyboru estym atora wartości oczekiwanej jest konstrukcja portfela o m inim alnej wariancji. Udziały poszczególnych akty­ wów w portfelu o m inim alnej wariancji zależą wyłącznie od macierzy kow arian­ cji. Dynam iczny proces budowy portfela został przedstaw iony najpierw dla portfela o m inimalnej wariancji, jednakże — jak zostało pokazane dalej — cała procedura może być łatwo rozszerzona na wyznaczanie dow o ln y ch portfeli efektywnych.

Dla danego t na podstaw ie dostępn y ch d a n y c h z okresu (1, f) estym ow ane są param etry m odelu GARCH2. Na podstaw ie oszacowanego m o d elu k o n stru o ­ w ana jest prognoza macierzy kowariancji stóp zwrotu dla okresu t + r, gdzie r oznacza ho ry zo n t prognozy. W yznaczoną prognozę wykorzystuje się do konstrukcji portfela efektywnego. Niech W'l+T = (wu+T, w2t+t, ..., w№+r), gdzie wil+T

oznacza udział i-tego aktywu w portfelu dla okresu t + x, Ht+X to prognoza warunkowej macierzy kowariancji dla okresu t + t. W ariancja portfela jest

wówczas rów na W'l+THt„ W l+r. Aby wyznaczyć portfel o m in im aln ej wariancji (m inim um globalne), wystarczy rozwiązać następujące zadanie pro g ram o w a­ nia kwadratowego:

w ' , + r H ,+r W,+rH> m in , (1)

przy warunkach:

W'(łt/ = 1 , (2)

gdzie / jest kolum now ym wektorem o N składowych, przy czym każda z nich równa jest jedności.

Jeżeli nie występuje krótka sprzedaż, to należy dodatkow o wprowadzić warunki brzegowe:

w,f+r-0 dla i = 1 , 2 ...N. (3) Całą procedurę powtarza się następnie dla kolejnych okresów (w miarę napływu kolejnych danych).

2 Jeżeli w a ru n k o w e w artości oczek iw an e s tó p z w ro tu są ró ż n e o d zera, to n a le ż y ró w n ie ż estymow ać p a ram etry w ró w n a n ia c h dla w a ru n k o w y c h śre d n ich .

Jeżeli dopuszcza się krótką sprzedaż, to udziały aktywów w portfelu o m ini­ m alnej wariancji dla okresu t + r określone są za pom ocą wzoru:

t-L-T

(4)

gdzie Cl„ = l'H -JJ.

W ariancja portfela o m inim aln ej wariancji jest wówczas rów na V( + r = l/C ł + t. Inne portfele efektywne m ożna wyznaczyć poprzez znalezienie portfeli o m inim alnej wariancji przy zadanym m inim alnym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu. Należy w tym przypadku znaleźć rozwiązanie spełniające nastę­ pujące warunki:

w ',+r H„rw ,+r -> m in, W\+T l = 1 oraz W'l+T rl+t = /i, (5) gdzie r(+1 jest to wektor oczekiwanych stóp zwrotu dla okresu t + r o wymiarach

N x 1, n to przyjęta m in im alna oczekiwana stopa zwrotu portfela.

Jeżeli występuje krótka sprzedaż, to udziały aktywów w portfelu dla okresu

t + tokreślone są za pom ocą w zoruł:

W „r = Kt+r+h,+rM,

(

)

gdzie Xt+z= ~jj [B t+r(H jz Z) — /4(+r (/f(+'r r(+r)J, ht+r = — [^C(+r (Ht+'r il+r) - Al+r ^ł+v ~ l tfu , *7+v ®<+r— * t+r H(+r r(+r, D[+T = B(+T C(+r —

Za oczekiwane stopy zwrotu dla okresu t + r przyjmuje się prognozy skonstruow ane n a podstawie modeli dla warunkowych średnich.

3. SPECYFIKACJE WIELORÓWNANIOWYCH MODELI GARCH

W badaniu zastosowano dwanaście specyfikacji wielorównaniowego m odelu GARCH: m odel BEKK z warunkowym rozkładem norm alnym , m odel BEKK z w arunkow ym rozkładem f-Studenta, diagonalną i skalarną postać modelu BEKK, m odel skalarno-diagonalny, m odel zintegrowany, m odel stałych w arun­ kowych w spółczynników korelacji, K-czynnikowy model, m odel ortogonalny dla dw óch i trzech czynników, m odel DCC oraz zintegrowany model DCC. Dodatkowo wykorzystano również jednorów naniow y m odel GARCH. Wyniki uzyskane dla m odeli GARCH porów nano z wynikami dla sześciu innych metod:

równe udziały dla wszystkich aktywów, bezwarunkowa macierz kowariancji stóp zwrotu, ruchom a macierz kowariancji, ruchom a macierz kowariancji ze stałą wygładzania równą 25, m odel wyrównyw ania wykładniczego dla macierzy kowariancji oraz model wyrównywania wykładniczego dla macierzy kowariancji z param etrem wygasania rów nym 0,94 (tzw. m odel RiskMetrics). Poniżej p o d an o tylko podstawowe informacje dotyczące stosow anych m odeli wielorów nanio- wych. Więcej informacji na tem at własności i m etod estymacji m o żn a znaleźć na przykład w pracy Bauwens, Laurent i Rombouts (2006).

Estymacja param etrów ogólnej postaci wielorównaniowego m odelu GARCH, zwanej postacią VECH, jest trud n a już nawet dla kilku aktywów. Z tego względu w badaniu zastosowano prostsze specyfikacje wielorównaniowego m o ­ delu GARCH. Rozważano tylko specyfikacje zapewniające d o d atn ią określoność macierzy kowariancji. Baba i wsp. (1990) przedstawili następującą postać m odelu nazywaną m odelem BEKK (p,q)4 (Engle i Kroner, 1995):

gdzie y/,.\ oznacza zbiór wszystkich inform acji d o stęp n y ch w okresie t - 1,

D(0, Ht) oznacza określoną postać wielowymiarowej funkcji gęstości o w a rto ­ ściach oczekiwanych rów nych zeru i macierzy kowariancji Ht, C, Di oraz £, są macierzami param etrów o wym iarach N x N, a macierz C jest m acierzą trójkątną.

W pracy przyjęto dwa warunkowe rozkłady e(: wielowymiarowy rozkład norm alny oraz t-Studenta. Diagonalna postać m odelu BEKK (diagonalny BEKK) zakłada, że macierze D, i Ej są macierzami diagonalnym i, n ato m iast skalarna postać (skalarny BEKK) zakłada, że powyższe macierze są zastąpione skalarami pom nożonym i przez macierz jedynek. Zastępując macierze D/ i Ej skalarami

d}/2. j e \ri otrzym am y m odel skalarno-diagonalny. Dalsze uproszczenie m odelu uzyskujemy zakładając: є, I y/(_, ~ D (0, Ht), (7)

(

)

Taka specyfikacja m odelu jest określana jako m odel zintegrowany.

Bollerslev (1990) wprowadzi! m odel stałych w arunkow ych współczynników korelacji, w którym zakłada się, że zmieniające się w czasie warunkowe kowa­ riancje są proporcjonalne do iloczynu odpow iednich w arunkow ych odchyleń standardowych:

Ht = Dt rD„ (9)

gdzie Dt oznacza macierz diagonalną o wym iarach N x N, której elem entam i są w arunkow e odchylenia standardowe opisane za pom ocą dow olnych jednorów-n ajednorów-n io w y ch m odeli GARCH — D, = diag(/i]f, h \ f,..., h ffi, a T jest macierzą sta­ łych w arunkow ych współczynników korelacji.

Kolejna rozważana specyfikacja modelu to JC-czynnikowy m odel GARCH(p,q), z a p roponow an y przez Engle'a (1987). Model ten m ożna przedstawić w postaci:

K

+ (10)

*=i

gdzie D. jest symetryczną macierzą param etrów o wym iarach N x N, gk jest wektorem param etrów o wym iarach N x 1, h'kt oznaczają wariancje warunkowe czynników opisane za pom ocą jednorów naniow ych m odeli GARCH.

Badano również ortogonalny m odel GARCH (Alexander i C hibum ba, 1996): V_1/2e( = i i( = Amf t, (11)

Ht = Vm VtVl/z, (12)

gdzie V = diag (v1( v2, ..., vN), v, jest bezwarunkową wariancją e„, A,„ to macierz wektorów własnych (ortogonalnych) o wymiarach N x m, f, = ( f t f2l .... fnJ jest procesem o warunkowych parametrach: = 0, Vart_x(ft = Q, = diag (a,2, a j, ..., a 2 ), a j jest opisane za pomocą jednorównaniowego stacjonarnego m odelu GARCH (dla i = 1, 2, ..., m), V, = y a r M =

Model DCC (dynamie conditional correlation) w prow adzony przez Engle'a (2002) m ożna przedstawić w następującej formie:

(13) (14) u p

l-I

«,-lĄ

gdzie D, = d ia g ^ i]f, h \ f , I i f f j , warunkowe wariancje hkt (dla k = 1, 2, N)

opisane są za pom ocą jednorów naniow ych modeli GARCH, z, to wektor stan ­ daryzowanych wartości ekt, takich że zkt = £kt/'lh^ , R, to macierz zm ien n y ch w czasie warunkowych współczynników korelacji dla z„ S oznacza bezw arunko­ wą macierz kowariancji dla z„ a Q,* jest macierzą diagonalną, której elem entam i są pierwiastki kwadratowe z elem entów diagonalnych macierzy Q,.

Jeżeli Q, jest opisane równaniem :

Q = ( l - A ) ( z , _ 1z'M) + AQ_1, (16)

to m odel DCC jest wówczas określany jako zintegrow any m odel DCC.

W badaniu dla dwudziestu aktywów zastosowano również upraszczające parametryzacje dla procesów kowariancyjnie stacjonarnych, tzw. celowanie w wariancję (Engle i Mezrich, 1996). Na przykład dla skalarno-diagonalnego modelu (1,1) iloczyn macierzy wyrazów w olnych określony jest jako:

CC' (1 - d, - e x) 5. (17) Estymacja upraszczającej parametryzacji m odelu przebiega w dw óch kro­ kach5. W pierwszym kroku estymuje się bezwarunkową macierz kowariancji

T

S = -=, ^ e t e't, uzyskane szacunki podstawia się do estymacji w ielorów naniow ego t=i

modelu GARCH w drugim kroku.

4. OCENA EFEKTYWNOŚCI DLA TRZECH SPÓŁEK

Ocenę skuteczności przedstawionego podejścia do wyznaczania portfeli efektyw­ nych dok onano na podstawie rzeczywistych danych finansowych. Przeprowa­ dzono dwie analizy. Pierwsza dotyczyła małej liczby aktywów, m ianow icie trzech spółek akcyjnych. Budowa portfela n a podstawie tylko trzech aktywów wydaje się być problem em m ało istotnym z praktycznego p u n k tu widzenia, ponieważ przy konstrukcji portfela na ogół bierze się pod uwagę od co najm niej kilkunastu do nawet kilkuset aktywów. Jednakże przyjęcie małej liczby aktywów pozwoliło na zastosowanie dużej liczby specyfikacji wielorów naniow ych m odeli GARCH, a także umożliwiło analizę określonych restrykcji w m odelach. Takie badanie nie byłoby możliwe dla dużej liczby aktywów. Do analizy przyjęto dzienne stopy zwrotu od 4 stycznia 1999 roku do 30 czerwca 2006 roku (1880 obserwacji). Spośród spółek no to w any ch przez cały przyjęty okres na Giełdzie

Papierów Wartościowych w Warszawie wybrano trzy spóiki o największej kapi­ talizacji: KGHM Polska Miedź, Bank Pekao SA oraz Telekomunikacja Polska. W ybrane spółki należą do najbardziej pły n n y ch spółek. Przyjęto jednodniowy h o ry zo n t prognozy, poniew aż prognozy zm ienności uzyskane na podstawie m odeli GARCH są bardziej trafne w przypadku bardzo krótkiego horyzontu prognozy (np. West i Cho, 1995; Andersen i Boilerslev, 1998), w przeciwień­ stwie do długiego horyzontu, dla którego prognozy obliczone na podstawie in nych m odeli są bardzo często dokładniejsze. Dane z trzech pierwszych lat zostały wykorzystane jedynie przy estymacji m odelu. Ocena skuteczności przed­ stawionej m eto d y została dokonana dla stosunkow o długiego okresu, m ianow i­ cie na podstawie danych z okresu od stycznia 2002 do czerwca 2006 roku (1131 obserwacji). Własności procesów w krótkim okresie mogą znacznie odbiegać od własności w długim okresie, dlatego wyniki analiz przeprowadzonych dla krót­ kiego okresu m ogą być mylące. Zaczynając od 31 grudnia 2001 roku na podstawie dany ch od początku 1999 roku szacowano param etry wszystkich rozw ażanych modeli. Na podstawie każdego m odelu konstruow ano prognozę warunkowej macierzy kowariancji n a następną sesję. Na podstawie sformułowa­ nej prognozy wyznaczono dwa portfele efektywne. Pierwszy, to portfel o m ini­ malnej wariancji, drugi — o m inim alnej wariancji przy dziennym m inim alnym poziom ie oczekiwanej stopy zwrotu rów nym 0,5%. W obu przypadkach założo­ n o nieskończoną podzielność aktywów, możliwość krótkiej sprzedaży oraz brak kosztów transakcyjnych. Następnie — ex post — obliczano osobno wariancje dla tych portfeli jako kwadrat zaobserwowanych stóp zwrotu. Dla następnych okresów dodaw ano kolejno jedną obserwację do danych, na podstawie których szacowano m odel i powtarzano całą procedurę aż do 29 czerwca 2006 roku. Zatem param etry każdego z zastosowanych w pracy modeli były szacowane 1131 razy. Dla każdego m odelu z oszacowanych ex post wariancji portfeli dla okresu od stycznia 2002 do czerwca 2006 roku obliczono średnie, osobno dla portfeli o m inim alnej wariancji oraz portfeli o m inim alnej wariancji przy zadanej m in i­ malnej oczekiwanej stopie zwrotu. W tym drugim przypadku prognozy stóp zwrotu były konstruow ane na podstawie m odelu VAR. Otrzym ane wyniki zostały przedstawione w tabeli 1 (przedstawiono odchylenia standardowe). Przy budowie portfela o m inim alnej wariancji przy zadanej m inim alnej oczekiwanej stopie zwrotu nie w iadomo, czy skuteczność (bądź nieskuteczność) m etody wynika z prognoz stóp zwrotu, czy też z prognoz wariancji i kowariancji stóp zwrotu. Głównym celem tej analizy jest ocena efektywności tworzenia portfeli z wykorzystaniem różnych specyfikacji wielorównaniowych modeli GARCH, dlatego interpretację wyników przeprowadzono w stosunku do procedury bu ­ dow y portfela o m inim alnej wariancji, która nie zależy od wyboru metody prognozow ania stóp zwrotu (z pewnym i wyjątkami miejsca w rankingu, przy ocenie efektywności budow y portfela o m inim alnej wariancji przy zadanej m inim alnej oczekiwanej stopie zwrotu, dla większości modeli były zbliżone).

TahcUi 1 Szacunki ś re d n ich o d c h y le ń s ta n d a r d o w y c h stó p z w ro tu portfeli o m in im a ln e j w arian cji

oraz portfeli o m in im a ln e j w arian cji p rz y z a d a n y m p o z io m ie oczek iw an ej s to p y z w ro tu dla trzech spółek

O zn a cz en ie portfeli Bez o g ra n ic ze n ia s to p y z w ro tu R anking M in . sto p a z w ro tu 0 ,5 % R a n k in g J e d n o ró w n . m o d e le GARCH 0,016331 6 0 ,1 1 2 9 1 9 7 BEKK 0 ,0 1 6 4 3 0 10 0 ,1 2 3 3 1 5 17

BEKK rozkład t-Studenta 0 ,0 1 6 5 2 9 11 0 ,1 2 1 5 3 6 16 D ia g o n a ln y BEKK 0,016311 4 0 ,1 1 4 2 7 6 12 Skalarny BEKK 0,016821 13 0 ,1 1 4 0 7 4 10 S k a larn o -d ia g o n aln y 0 ,0 1 6 2 7 7 1 0 ,1 1 1 8 4 7 5 Z in te g ro w a n y 0 ,0 1 6 3 2 9 5 0 ,1 1 4 6 0 6 13 Stałych w spół, korelacji 0 ,0 1 6 3 0 4 3 0 ,1 1 3 6 5 0 9 K -czynnikow y 2 czynniki 0,01 6 9 1 5 16 0 ,1 1 5 4 0 8 14 O r to g o n a ln y 2 czynniki 0 ,1 4 2 2 6 0 19 0 ,2 3 0 8 9 8 18 O r to g o n a ln y 3 czynniki 0 ,0 1 6 9 0 2 15 0 ,1 1 7 2 5 0 15 DCC 0 ,0 1 6 3 6 0 7 0 ,1 1 1 5 2 3 1 D C C z in te g ro w an y 0 ,0 1 6 3 9 7 8 0 ,1 1 1 8 1 7 4 R ów ne wagi 0 ,0 1 6 9 3 6 17 — —

B ezw arunkow a m acierz kow ariancji 0 ,0 1 6 8 9 9 14 0 ,1 1 4 0 7 4 11 R u c h o m a m acierz kow ariancji 0 ,0 1 6 2 8 2 2 0 ,1 1 1 6 6 6 2 Ruch. m acierz ko w arian cji k = 25 0 ,0 1 7 0 4 9 18 0 ,1 1 2 6 5 6 6 W y ró w n y w a n ie w yk ład n icze 0 ,0 1 6 4 2 4 9 0 ,1 1 3 4 6 0 8

RiskMetrics 0 ,0 1 6 5 8 6 12 0 ,1 1 1 7 1 3 3

Źródło: o bliczenia w łasne.

W badaniu zastosowano m etody prognozow ania macierzy kowariancji stóp zwrotu opisane w punkcie 3.

W większości prac dotyczących efektywności m eto d tworzenia portfeli bar­ dzo ogólnikowo analizuje się własności b ad an y ch szeregów czasowych, przez co nie możliwe jest sform ułowanie bardziej ogólnych wniosków dotyczących poszczególnych m etod estymacji macierzy kowariancji stóp zwrotu. W tabeli 2 zaprezentowano wyniki testów dotyczących zarów no własności szeregów stóp

Tabela 2 Analiza w łasności i c h a ra k te ru zależności b a d a n y c h szeregów dla trzech spółek

W ery fik o w a n e h ip o te z y Statystyka

O c e n y statystyk Pekao BP TP SA KGHM Brak au to k o relacji Ljunga-Boxa(12) 19,31 13,85 11,37

Brak efek tu ARCH LM(12) 56,03* 149,02* 92,36*

N o r m a ln o ś ć ro z k ła d ó w b e zw a ru n k o w y c h Jarque-B era 372,01* 224,70* 944,14* N o r m a ln o ś ć ro zk ład u w a ru n k o w e g o w m o d e lu BEKK LR 174,08* Stałość w a r u n k o w y c h w s p ó łc z y n n ik ó w korelacji LMC 5,58 BEKK — m acierze d ia g o n a ln e LR 42,72* BEKK — skalary razy m acierz jed y n e k LR 482,01*

BEKK — skalary LR 71,78*

D ia g o n a ln y BEKK — skalary LR 28,92*

S k a la rn o -d ia g o n a ln y — C C ' = 0, ei = 1 - rfi LR 96,21* Z in te g ro w a n y GARCH — 1 - d i = 0,94 LR 149,41*

G w iazd k ą o z n a c z o n o o c e n y statystyk, w p rz y p ad k u k tó ry ch w e ry fik o w an a h ip o te z a została o d r z u ­ c o n a n a p o z io m ie isto tn o ś ci 0,05.

Źródło: o b liczen ia w łasne.

zwrotu badanych spółek, jak i charakteru zależności m iędzy nimi. Stopy zwrotu były pozbawione autokorelacji, miały zm ienną wariancję warunkową, a ich rozkłady bezwarunkowe były różne od rozkładu n orm alnego. Do opisu w arunko­ wej macierzy kowariancji wystarczająca okazała się parametryzacja GARCH(1,1). Uzyskane wyniki testowania restrykcji nakładanych na param etry modeli GARCH, om aw iane w dalszej części pracy, były niewrażliwe na przyjętą spe­ cyfikację rozkładu warunkowego.

Najbardziej złożoną parametryzacją spośród rozważanych m odeli jest model BEKK. Estymowano m odel BEKK z w arunkowym rozkładem norm alnym oraz f-Studenta. Według testu LR m odel BEKK z w arunkowym rozkładem norm alnym został zdecydowanie odrzucony na korzyść m odelu z w arunkowym rozkładem t-Studenta. Jednakże, jak się okazuje, lepsze dopasowanie w próbie w tym przypadku nie przekłada się na wzrost skuteczności przy tworzeniu portfeli efektywnych. Ten rezultat jest o tyle ważny, że estymacja param etrów modelu BEKK z w arunkow ym rozkładem t-Studenta była najbardziej czasochłonna i czę­ sto występowały problem y ze znalezieniem odpow iednich wartości startowych.

W celu wykluczenia przypuszczenia, że uzyskany wynik jest charakterystyczny tylko dla m odelu BEKK i jest następstwem trudności z estymacją param etrów tego m odelu, rozważono jeszcze dodatkow o najlepszy w rankingu model, czyli model skalarno-diagonalny z w arunkowym rozkładem f-Studenta. Dla tego m odelu nie było żadnych problem ów z estymacją parametrów. Okazało się, że również w tym przypadku lepsze dopasowanie w próbie nie przekłada się na wzrost efektywności przy konstrukcji portfeli. Szacunki średnich odchyleń standardowych portfeli o m inim alnej wariancji wynosiły 0,016277 i 0,016303 odpowiednio dla modeli z w arunkowym rozkładem n o rm aln y m i t-Studenta.

Liczba param etrów w m odelu BEKK w przypadku dużej liczby walorów w portfelu jest na tyle duża, że ich estymacja jest bardzo tru d n a lub wręcz niemożliwa. Z tego względu zbadano, jaki wpływ na efektywność procesu alokacji aktywów m a uproszczenie postaci wielorównaniowego m odelu GARCH. W pierwszej kolejności rozważano diagonalną i skalarną postać m odelu BEKK oraz m odel skalarno-diagonalny. Wszystkie trzy specyfikacje m odelu są zagnież­ dżone w m odelu BEKK, a wyniki testu LR wskazują na odrzucenie restrykcji nałożonych przez te postacie modelu. O ile skalarna postać m odelu BEKK prowadzi do spadku efektywności przy konstrukcji portfeli o m inim alnej wa­ riancji, o tyle zaskakujący jest wzrost efektywności dla diagonalnego m odelu BEKK oraz m odelu skalarno-diagonalnego. Model skalarno-diagonalny m a tyle samo param etrów co skalarny m odel BEKK (dwa param etry poza wyrazami wolnymi), jednakże jego parametryzacja jest znacznie prostsza. Pom im o tak prostej specyfikacji postać ta okazała się być najlepszą przy konstrukcji portfeli o m inimalnej wariancji. Najprostszą postacią m odelu przy tej parametryzacji jest zintegrowany m odel GARCH. Jest on m odelem zagnieżdżonym w m odelu skalarno-diagonalnym. W edług testu LR m odel zintegrow any został odrzucony na korzyść m odelu skalarno-diagonalnego. Zatem wyniki testu są zgodne z wy­ nikami skuteczności konstrukcji portfeli efektywnych.

Kolejnym uproszczeniem m odelu jest przyjęcie założenia, że w arunkow e korelacje stóp zwrotu są stałe w czasie. W pierwszej kolejności zastosowano jednorównaniowe m odele GARCH, które pozwalają opisać i prognozow ać zmie­ niające się w czasie warunkowe wariancje stóp zwrotu. Estymacja jednorów na- niowych modeli GARCH jest znacznie prostsza, jednakże m odele te nie pozwa­ lają opisać zmieniających się w czasie warunkowych korelacji. Macierz korelacji była estymowana na podstawie rozkładu brzegowego standaryzow anych reszt. Na podobnych założeniach opiera się m odel stałych w arunkow ych współczyn­ ników korelacji. Jest to jednakże m odel wielorównaniowy i w odróżnieniu od modeli jednorów naniow ych wszystkie param etry są estym ow ane łącznie, co przełożyło się na wzrost efektywności przy konstrukcji portfela o m inim alnej wariancji. Zauważmy, że powyższe m odele uplasowały się n a wysokich m iej­ scach w rankingu, wyprzedzając większość specyfikacji pozwalających opisać zmieniające się warunkowe współczynniki korelacji. Jak się okazuje bardziej

złożone modele, nie muszą dawać lepszych prognoz macierzy kowariancji szczególnie, że w tym przypadku hipoteza o stałości warunkowych współczyn­ ników korelacji nie została odrzucona n a podstawie testu Tse (2000). Na podkreślenie zasługuje szóste miejsce w rankingu modeli jednorównaniowych, które m ożna zastosować dla dowolnie dużej liczby aktywów, a ich estymacja jest znacząco krótsza6.

N astępne parametryzacje, m ianowicie K-czynnikowy m odel GARCH oraz o rtogonalny m odel GARCH zakładają, że stopy zwrotu aktywów są zależne od w spólnych niezależnych czynników. Podstawową zaletą tych specyfikacji jest łatwość estymacji param etrów naw et dla bardzo dużej liczby szeregów za pom ocą uproszczonych procedur opartych na m odelach jednorównaniowych. W obu przypadkach czynniki zostały wyodrębnione na podstawie analizy głów nych składowych. W spólne czynniki wyjaśniały odpow iednio 64%, 21% i 15% zmienności stóp zwrotu badanych spółek. Model /(-czynnikowy oraz ortogonalny plasują się na odległych miejscach w rankingu, co wynika przede wszystkim z utraty istotnych inform acji7. Dla dwóch czynników zdecydowanie lepiej wypada m odel K-czynnikowy*, ponieważ wszystkie param etry tego m ode­ lu są estym owane. Jednakże przy dużej liczbie aktywów w przypadku modelu ortogonalnego zwiększanie liczby czynników nie powoduje wzrostu trudności w estymacji param etrów modelu.

Kolejną rozważaną parametryzacją wielorównaniowego m odelu GARCH był m odel DCC. Podobnie, jak w przypadku dw óch poprzednich modeli główną zaletą tej parametryzacji jest możliwość estymacji param etrów za pom ocą procedury dwustopniowej. Model DCC i jego zintegrowana wersja uplasowały się n a odpow iednio siódm ym i ósmym miejscu.

Słabsza efektywność w procesie alokacji aktywów najbardziej złożonych postaci modeli, takich jak m odel BEKK może wynikać z dwóch powodów. Po pierwsze, rzeczywiste zależności mogą mieć prostszą strukturę i parametryzacja m odelu BEKK jest zbyt złożona. Po drugie, uzyskane oceny param etrów nie gw arantow ały stacjonarności wielowymiarowego procesu. Znalezienie ekstre­ m u m funkcji wiarygodności przy nałożonych restrykcjach gwarantujących sta- cjonarność okazało się niemożliwe. Trudności z estymacją param etrów modelu BEKK już przy tak małej liczbie aktywów przemawiają na korzyść prostszych postaci modeli.

Uzyskane wyniki dla m odeli GARCH zostały porów nane z wynikami otrzy­ m an y m i n a podstawie in n ych m etod konstrukcji portfeli, w tym również m etod 6 Dla trzech spółek esty m a cja w ie lo ró w n a n io w e g o m o d e lu GARCH była ok o ło dziesięć razy dłuższa, dla większej liczby a k ty w ó w różnica jest jeszcze bardziej znacząca.

7 M o d e le c zy n n ik o w e w y p a d a ją słabo już p rz y opisie szeregów fin an s o w y c h — p a trz b a d an ie O siew alskiego i Pipienia (2004) dla m o d e lu GARCH z u k ry ty m czy n n ik iem .

K Dla trze ch c zy n n ik ó w jest p o d o b n ie , z ty m że esty m acja 3 -czy n n ik o w e g o m o d e lu nie ma p o d s ta w teo re ty c z n y c h .

stosowanych przez praktyków rynku finansowego. Budowano sześć portfeli. Pierwszy portfel — statyczny został skonstruowany w ten sposób, że dla wszy­ stkich okresów przyjęto równe wagi dla trzech walorów — W'M = (1/3, 1/3, 1/3). Portfel ten służy wyłącznie jako p u n k t odniesienia. Pozostałe portfele różniły się jedynie m etodą prognozow ania macierzy kowariancji stóp zwrotu. Tradycyjny sposób konstrukcji portfela polega na zastosowaniu bezwarunkowej macierzy kowariancji. Uzyskane wyniki wskazują, że klasyczne podejście zakładające stałość warunkowych wariancji i kowariancji prowadzi do spadku efektywności, choć należy zauważyć, że występowały m odele o zm iennej macierzy kowariancji, które plasowały się jeszcze dalej w rankingach.

Praktycy rynku finansowego do prognozow ania macierzy kowariancji sto­ sują najczęściej ruchom ą macierz kowariancji oraz m odel w yrów nyw ania w y­ kładniczego. W badaniu przyjęto dwa m odele stosowane przez analityków J. P. Morgan — ruchom ą macierz kowariancji ze stałą wygładzania równą 25 oraz m odel wyrównywania wykładniczego z param etrem wygasania rów nym 0,94. Modele te uplasowały się na dalekich pozycjach w rankingu przy k o n stru ­ kcji portfela o najmniejszej wariancji, choć należy podkreślić, że wypadły znacznie lepiej w rankingu przy budowie portfela o m inim alnej wariancji dla zadanej oczekiwanej stopy zwrotu. Zauważmy, że m odel w yrów nyw ania wykład­ niczego z param etrem wygasania 0,94 jest szczególnym przypadkiem zintegro­ wanego wielorównaniowego m odelu GARCH. W ynik testu LR zdecydowanie odrzuca m odel RiskMetrics na korzyść m odelu zintegrowanego. Tak jak m ożna było przypuszczać estymacja param etru wygasania daje lepsze rezultaty niż przyjmowanie pewnych wartości z góry. Dodatkowo zastosowano również pro­ cedurę zaproponow aną w pracy Fiszedera (2004a), polegającą n a wyborze stałej wygładzania w modelu średniej ruchomej oraz param etru wygasania w m odelu wyrównywania wykładniczego dla każdego okresu na podstaw ie próbki wstę­ pnej. Próbka w stępna miała 150 obserwacji, stała wygładzania m ogła przyjm o­ wać wartości od 5 do 120, a param etr wygasania od 0,69 do 0,99 (co 0,01). Wybierano te wartości, dla których średnie o dchylenie standardow e stóp zwrotu wyznaczonych portfeli o m inim alnej wariancji było najm niejsze w próbce wstę­ pnej. Przy takiej procedurze znacznie gorzej wypadł m odel w yrów nyw ania wykładniczego, natom iast m odel ruchom ej macierzy kowariancji uplasował się na drugim miejscu w rankingu, wyprzedzając wszystkie poza m odelem skalar- no-diagonalnym specyfikacje wielorównaniowego m odelu GARCH.

Dodatkowo dla modeli, których param etry były szacowane jednocześnie oraz tam gdzie było możliwe oszacowanie łącznej funkcji wiarygodności p o d an o szacunki bayesowskiego kryterium Schwarza (tab. 3). Wprawdzie uzyskany ranking modeli według tego kryterium nie pokrywa się z rankingiem

otrzyma-9 W m o d e lu w y ró w n y w an ia w yk ład n iczeg o dla m acierzy kow ariancji b a r d z o rzadko się zdarza, aby w y z n aczo n y p a ra m e tr w yg asan ia p rz y jm o w a ł w artości p o n iże j 0,9.

Tabela 3 R a n k in g m o d eli w e d łu g bayesow skiego k ry te riu m Schw arza dla trzech spółek

O z n a cz en ia portfeli SC R anking BEKK - 2 7 698 8 BEKK rozkład t-S tu d en ta - 2 7 882 1 D ia g o n a ln y BEKK - 2 7 746 6 S kalarny BEKK - 2 7 337 10 S k a la rn o -d ia g o n a ln y - 2 7 748 5 Z in te g ro w a n y - 2 7 704 7 S tałych w spół, korelacji - 2 7 783 4 D C C - 2 7 806 3 D C C z in te g ro w a n y - 2 7 807 2 RiskMetrics - 2 7 562 9

Źródło: o b liczen ia w łasne.

n y m na podstawie wyników konstrukcji portfeli o m inim alnej wariancji, ale jest bardziej do niego zbliżony, niż wyniki bezpośredniego testowania restrykcji przedstaw ione w tabeli 2.

W n i o s k i

Uwzględnienie zmieniających się w czasie wariancji i kowariancji stóp zwrotu przy budowie portfela, z pewnym i wyjątkami, wpływa na wzrost efektywności alokacji aktywów. Uproszczenie postaci warunkowej macierzy kowariancji pro­ wadzi n a ogól do zmniejszenia szacunków odchyleń standardow ych portfeli o m inim alnej wariancji, często na przekór wynikom testów. Wydaje się, że parametryzacja m odelu BEKK jest zbyt złożona. Wynik ten jest ważny z prakty­ cznego p u n k tu widzenia, poniew aż estymacja uproszczonych postaci wielo- rów naniow ego m odelu GARCH jest znacznie łatwiejsza. W yjątkiem od tej zasady jest skalarny m odel BEKK oraz modele: K-czynnikowy i ortogonalny, przy których występuje znaczna utrata informacji. Wyniki przeprowadzonych testów statystycznych tylko w części zostały potwierdzone przez badanie skuteczności tworzenia portfeli. Jako ważny wyjątek, warto zauważyć, że w przypadku modelu BEKK zastąpienie warunkowego rozkładu f-Studenta rozkładem n o rm aln y m nie pow oduje spadku skuteczności przy budowie portfeli.

Niespełnienie klasycznych założeń dotyczących testowania (np. brak normal­ ności rozkładu) oraz złożoność rozważanych parametryzacji nie pozwala na

zbadanie statystycznej istotności różnic pomiędzy odchyleniami standardowymi portfeli otrzymanymi dla rozważanych specyfikacji modeli. Możliwa jest jednak ocena ekonomiczna występujących różnic. Na przykład zastosowanie modelu skalarno-diagonalnego przy konstrukcji portfela o m inimalnej wariancji prowadzi do spadku dziennego odchylenia standardowego portfela o m inimalnej wariancji o 3,7% w stosunku do tradycyjnej metody szacowania macierzy kowariancji, czyli bezwarunkowej macierzy kowariancji. Ważniejsze od zmian stosunkowych są dla inwestorów różnice w poziomach zmiennych (stóp zwrotu), które w tym przypadku wynoszą 0,0642 punktu procentowego dla dziennych stóp zwrotu, co w skali roku daje zmianę o ponad 1 punkt procentowy (spadek z około 26,9% do 25,9%)10. W tym przypadku różnica jest istotna z ekonomicznego punktu widzenia11, jednakże różnice pomiędzy niektórymi modelami są dużo mniejsze. Na przykład różnica pomiędzy pierwszym a szóstym modelem w rankingu w skali roku jest mniejsza niż 0,1 punktu procentowego. Zatem dla większości inwestorów wystarczające jest zastosowanie najprostszej metody estymacji macierzy kowariancji stóp zwrotu, czyli modelu ruchomej macierzy kowariancji ze stałą wygładzania wybieraną dla każdego okresu na podstawie próbki wstępnej lub jednorównaniowych modeli GARCH.

Oczywiście otrzym anych wyników nie m ożna uogólnić n a dow olne spółki czy aktywa finansowe. W ybrane spółki należą do największych pod względem kapitalizacji oraz najbardziej płynnych spółek n otow anych n a GPW w Warsza­ wie. W podobnym badaniu przeprowadzonym n a danych tygodniow ych dla spółek mniejszych i mniej płynnych (Fiszeder, 2004b) różnice pom iędzy p o ­ szczególnymi m odelam i były bardziej istotne z ekonom icznego p u n k tu widze­ nia. Jednakże główne wnioski wynikające z analizy były zbliżone do przedsta­ wionych wyżej. Podobnie uzyskanych rezultatów nie m ożna jednoznacznie uogólnić na dowolną liczbę aktywów, dlatego w dalszej części rozdziału przed­ stawiono wyniki analizy dla dwudziestu spółek.

5. OCENA EFEKTYWNOŚCI DLA DWUDZIESTU SPÓŁEK

Badanie dla dwudziestu aktywów było analogiczne do tego, które zostało przeprowadzone dla trzech aktywów. Dla dużej liczby aktyw ów jest bardzo mało analiz, w których ocenia się skuteczność bu dow y portfeli efektyw nych z zastosowaniem prognoz macierzy kowariancji k o n stru o w an y ch na p o d sta ­ wie w ielorów naniow ych m odeli GARCH. Takie badania zostały przeprow adzo­ ne między in n y m i przez Engle'a i Shepparda (2001), jednakże oceniali oni tylko dwa modele, m ianow icie m odel DCC i m odel RiskMetrics. Porównywali

111 W yniki zostały przeliczone na zwykłe sto p y zw rotu.

11 Do pełnej o c e n y n a leżało b y jeszcze zbadać jaki jest w p ły w u w z g lę d n ie n ia kosztów t r a n s a k ­ cyjnych.

o n i w ariancję portfela z prognozow aną wariancją portfela i doszli do wniosku, że przy dużej liczbie aktywów oba m odele nie są skuteczne przy konstrukcji portfeli efektywnych. W niniejszej pracy do analizy przyjęto taki sam okres, jak przy b a d a n iu trzech spółek, czyli od 4 stycznia 1999 roku do 30 czerwca 2006 roku. Spośród spółek n o to w a n y c h przez cały przyjęty okres na GPW w Warszawie w ybrano dwadzieścia spółek o największej kapitalizacji: Bank BPH, Bank M illennium , Bank Pekao S.A., BRE Bank, Bank Zachodni WBK, Budimex, Cersanit, Citibank Handlowy, C o m p u terlan d , Firma Oponiarska Dębica, ING Bank Śląski, G rupa Kęty, KGHM Polska Miedź, Kredyt Bank, M ondi Packaging Paper Świecie, Orbis, Polska Grupa Farmaceutyczna, Prokom Software, Softbank, Telekom unikacja Polska. Przy wyborze p o m in ięto spółki, dla których udział liczby sesji, podczas których nie były n o to w a n e przekraczał 5%. Miało to n a celu uniknięcie problem u n iesy n ch ro n iczn y ch transakcji. Dla większości specyfikacji jednoczesna estym acja param etrów wielorównaniowe- go m o d elu GARCH jest znacznie trudniejsza w przypadku dw udziestu akty­ wów. Dla najbardziej złożonych param etryzacji estym acja okazała się naw et niem ożliw a z uwagi n a bardzo dużą liczbę param etrów . Na przykład n a jp ro ­ stsza postać m odelu BEKK z K = 1 oraz p = q = 1 m a tysiąc dziesięć param etrów w sam ym ró w n a n iu dla macierzy kowariancji. Dlatego konieczne było ograni­ czenie rozw ażanych specyfikacji m odelu. Przyjęto tylko te postacie, których param etry m o żn a oszacować bez konieczności poszukiw ania „dobrych" war­ tości startow ych w czasie nie przekraczającym kilkunastu godzin (między zam knięciem sesji a otwarciem dnia następnego). W b a d an iu zastosowano osiem specyfikacji w ielorów naniow ego m o d elu GARCH: m odel skalarno-dia­ gonalny, m odel skalarno-diagonalny z w arunkow ym rozkładem f-Studenta, m odel zintegrow any, K-czynnikowy m odel GARCH dla trzech czynników, m odel o rto g o n a ln y dla trzech oraz dw udziestu czynników, m odel DCC oraz zintegrow any m odel DCC. W yniki uzyskane dla m odeli GARCH p o rów nano z w ynikam i uzyskanym i n a podstaw ie in n y c h m etod, które zastosowano przy badaniu trzech spółek. Otrzymane rezultaty zaprezentowano w tabeli 4.

Miejsca poszczególnych modeli w rankingach są bardzo zbliżone, niezależ­ nie od tego czy portfel o m inim alnej wariancji konstruow any jest bez ograni­ czenia m inim alnej stopy zwrotu, czy przy zadanej m inim alnej oczekiwanej dziennej stopie zwrotu n a poziom ie 0,5%. Dalej interpretow ane są tylko wyniki dla portfeli o m inim alnej wariancji.

Przeprowadzono również w ybrane testy dotyczące własności stóp zwrotu badanych spółek. Poza czterema spółkami (Com puterland, M illennium , Prokom i Softbank) stopy zwrotu były pozbawione autokorelacji. Stopy zwrotu wszy­ stkich spółek miały zm ienną wariancję warunkową, a ich rozkłady bezwarunko­ we były różne od rozkładu norm alnego. W tabeli 5 przedstawiono wyniki testów dotyczących charakteru zależności m iędzy stopam i zwrotu badanych spółek. Uzyskane wyniki testowania restrykcji nakładanych n a param etry modeli

T abela 4 Szacunki ś re d n ic h o d c h y le ń s t a n d a r d o w y c h stó p z w ro tu portfeli o m in im a ln e j w arian cji

o raz p ortfeli o m in im a ln e j w ariancji przy z a d a n y m p o z io m ie o c ze k iw an ej s to p y z w ro tu dla d w u d z ies tu spółek

O z n a cz en ia portfeli Bez o g ra n ic ze n ia s to p y zw ro tu R an k in g M in . sto p a z w ro tu 0 ,5 % R a n k in g J e d n o r ó w n a n io w e m o d e le GARCH 0 ,0 0 8 2 6 2 8 0 ,0 1 1 4 3 7 7 S k a larn o -d ia g o n aln y 0 ,0 0 7 8 1 0 3 0,011221 4 S k a larn o -d ia g o n aln y rozkład f-S tudenta 0 ,0 0 7 8 2 9 4 0 ,0 1 1 2 3 5 5 Z in te g ro w a n y 0 ,0 0 7 7 9 4 1 0 ,0 1 1 1 5 4 2 K -czynnikow y 3 czy n n ik i 0,04 9 7 3 9 14 0 ,0 7 3 7 2 7 13 O r to g o n a ln y 3 czy n n ik i 0,27 4 1 4 3 15 0 ,4 3 7 2 1 8 14 O r to g o n a ln y 20 c zy n n ik ó w 0 ,0 0 8 3 2 0 9 0 ,0 1 1 5 2 0 8 DCC 0 ,0 0 8 0 1 4 6 0 ,0 1 1 1 5 7 3 D C C z in te g ro w a n y 0,007801 2 0 ,0 1 1 0 3 6 1 Równe wagi 0 ,0 1 0 2 5 4 12 — —

B ezw arunkow a m ac ierz k o w ariancji 0 ,0 0 8 3 8 4 10 0,011811 9 R u c h o m a m acierz kow ariancji 0 ,0 0 8 0 3 8 7 0,01 1 5 9 1 12 Ruch. m acierz k ow ariancji k = 25 0 ,0 1 5 3 4 0 13 0 ,0 2 0 4 8 6 11 W y ró w n y w a n ie w yk ład n icze 0 ,0 07955 5 0 ,0 1 1 3 1 2 6

RiskMetrics 0,0 0 9 2 2 6 11 0 ,0 1 3 6 2 8 10

Źródło: o bliczenia w łasne.

T abela 5 Analiza w łasności i c h a ra k te ru zależności b a d a n y c h szeregów dla d w u d z ie s tu spółek

W e ry fik o w a n e h ip o te z y Statystyka O c e n y s ta ty s ty k N o rm a ln o ś ć ro zk ład u w a r u n k o w e g o w m o d e lu

s k a la rn o -d iag o n a ln y m

LR 8925*

Stałość w a r u n k o w y c h w s p ó łc z y n n ik ó w korelacji LMC 409* S k a larn o -d ia g o n aln y — C C ' = 0, ej = 1 - rfi LR 1192* Z in te g ro w a n y GARCH — 1 - d\ = 0,94 LR 26382* G w iazdką o z n a c z o n o o c e n y statystyk, w p rz y p ad k u k tó ry c h w e ry fik o w an a h ip o te z a zo stała o d r z u ­ co n a n a p o z io m ie isto tn o ś ci 0,05.

O z n a cz en ia portfeli SC R anking S k a la rn o -d ia g o n a ln y - 1 9 0 783 5 S k a la rn o -d ia g o n a ln y rozkład t-S tu d en ta - 1 9 4 311 1 Z in te g ro w a n y -1 9 1 179 4 D C C - 1 9 2 506 3 D C C z in te g r o w a n y -1 9 3 138 2 RiskMetrics - 1 6 4 814 6

Źródło: o b lic z en ia w łasne.

GARCH były niewrażliwe n a przyjętą specyfikację rozkładu warunkowego. Dodatkowo w tabeli 6 przedstaw iono ranking modeli na podstawie bayesowskie­ go kryterium Schwarza.

W celu ograniczenia liczby param etrów dla modeli skalarno-diagonalnego, zintegrow anego oraz DCC zastosowano upraszczające parametryzacje dla proce­ sów kowariancyjnie stacjonarnych. W pierwszej kolejności estym ow ano para­ m etry m odelu skalarno-diagonalnego z w arunkowym rozkładem norm alnym oraz f-Studenta. W edług testu LR m odel z w arunkow ym rozkładem norm alnym został zdecydowanie odrzucony n a korzyść m odelu z warunkow ym rozkładem f-Studenta. Zastąpienie warunkowego rozkładu norm alnego rozkładem f-Studen- ta nie pow oduje jednakże spadku szacunków odchyleń standardow ych portfeli 0 m inim alnej wariancji.

Uproszczeniem modelu skalarno-diagonalnego jest model zintegrowany. We­ dług testu LR m odel zintegrowany został odrzucony na korzyść modelu skalarno- diagonalnego. Wobec wyniku testu dosyć zaskakujące jest pierwsze miejsce m odelu zintegrowanego w rankingu skuteczności przy konstrukcji portfela o m i­ nimalnej wariancji. Należy jednakże zauważyć, że różnica między odchyleniami standardowymi portfeli o m inimalnej wariancji dla modeli skalarno-diagonalnego 1 zintegrowanego nie jest istotna z ekonomicznego punktu widzenia. Zastosowa­ nie modelu zintegrowanego przy konstrukcji portfela o minimalnej wariancji prowadzi do spadku dziennego odchylenia standardowego portfela o minimalnej wariancji o 7% w stosunku do tradycyjnej m etody szacowania macierzy kowarian­ cji, czyli bezwarunkowej macierzy kowariancji. Ważniejsze od zmian stosunko­ wych są dla inwestorów różnice w poziomach zm iennych (stóp zwrotu), które w tym przypadku wynoszą 0,059 punktu procentowego dla dziennych stóp zwrotu, co w skali roku daje zmianę prawie 1 punkt procentowy (spadek z około 13,31% do 12,37%). Różnice pomiędzy wieloma modelami są jednakże dużo

mniejsze. Różnica pomiędzy modelem zintegrowanym a trzecim w rankingu m o­ delem skalarno-diagonalnym w skali roku jest równa 0,03 punktu procentowego.

Następne rozważane param etryzacje w ielorów naniow ego m o d elu GARCH, to m odele K-czynnikowy oraz o rtogonalny. W obu przypadkach przy estym a­ cji p aram etrów zastosowano uproszczone procedury op arte n a m odelach jednorów naniow ych. Czynniki zostały w y od ręb n io n e na podstaw ie analizy głównych składowych. W większości prac dotyczących m odeli czynnikow ych autorzy sugerują, że dwa lub trzy czynniki wyjaśniają większość zm ienności stóp zwrotu aktyw ów i są wystarczające do opisu macierzy kowariancji. Z tego względu w badaniu przyjęto trzy czynniki. W yjaśniały o n e o d p o w ied n io 32,4%, 5,9% oraz 5,1% zm ienności stóp zw rotu b ad an y ch spółek. M odele te uplasowały się n a o statn ich m iejscach w rankingu. N ieuw zględnienie części zm ienności prowadzi do zbyt dużej utraty informacji. D odatkow o estym acja w drugim kroku ró w nań dla m od elu czynnikow ego okazała się być bardzo wrażliwa n a przyjęte wartości startowe. Model o rto g o n a ln y w ypada zdecydo­ w anie gorzej, poniew aż część jego param etrów jest w yznaczana n a podstaw ie analizy głów nych składowych. Ta wada w przypadku małej liczby czynników okazuje się być zaletą przy większej ich liczbie. M ianow icie rozszerzenie m odelu i uw zględnienie większej liczby czynników (naw et wszystkich) nie pow oduje wzrostu trudności w estymacji param etró w m odelu. Dlatego rozwa­ żono również m odel o rtog o naln y z dw udziestom a czynnikam i. D ing i Engle (2001) określali taki m odel jako m odel GARCH głów nych składowych. Model ten wypadł zdecydow anie lepiej przy ocenie skuteczności konstrukcji portfeli efektywnych, jednakże gorzej niż in n e nieczynnikow e postacie wielorówna- niow ych m odeli GARCH.

Kolejną rozważaną parametryzacją m odelu GARCH był m odel DCC. Przy estymacji param etrów m odelu zamiast procedury dwustopniow ej zastosowano procedurę trzystopniową. W pierwszym kroku szacowane są param etry jed n o ­ równaniow ych modeli GARCH, w drugim kroku, estym uje się bezw arunkow ą macierz kowariancji dla standaryzowanych reszt z m odeli jednorów naniow ych, w trzecim kroku szacuje się param etry odpowiedzialne za zm ienne kowariancje warunkowe. W przypadku zintegrowanej wersji m odelu DCC m ożna było zasto­ sować procedurę dwustopniową, poniew aż parametryzacja m odelu jest znacznie prostsza. Model DCC i zintegrowany m odel DCC uplasowały się wysoko w ra n ­ kingu, m ianowicie na szóstym i drugim miejscu.

Obok modeli wielorównaniowych zastosowano również jednorów naniow y model GARCH. Niestety skuteczność tego m odelu przy konstrukcji portfeli efektywnych jest znacznie mniejsza niż dla trzech aktywów, choć ciągle daje lepsze rezultaty niż zastosowanie bezwarunkowej macierzy kowariancji. Może to wynikać z faktu, że warunkowe współczynniki korelacji dla dwudziestu spółek są zmienne w czasie (zob. wynik testu Tse w tabeli 5). Przyjęcie w takiej sytuacji stałej macierzy korelacji jest nieprawidłowe.

Pozostałe m etod y szacowania macierzy kowariancji uplasowały się na dal­ szych miejscach w rankingu. Najlepiej wypadł m odel wyrównywania wykładni­ czego dla macierzy kowariancji (piąte miejsce), w którym param etr wygasania w ybierano dla każdego okresu na podstawie próbki wstępnej. W ynik testu LR zdecydowanie odrzuca natom iast m odel RiskMetrics, czyli m odel z parametrem wygasania rów nym 0,94 n a korzyść m odelu zintegrowanego. Ten w ynik został później potw ierdzony przy badaniu skuteczności tworzenia portfela o m inim al­ nej wariancji. W przeprowadzonej analizie param etr wygasania przyjmował najczęściej wartość 0,98 lub 0,99. W arto zwrócić uwagę na słabszy rezultat w p o rów naniu z trzem a spółkami m odelu ruchomej macierzy kowariancji z wy­ bieraną stałą wygładzania. W ynika to praw dopodobnie z ograniczenia maksy­ m alnej wartości stałej wygładzania do 120. W przeprowadzonej analizie stała wygładzania przyjmowała najczęściej wartość 120 lub nieco niższą. Potwierdze­ niem tego jest bardzo dalekie miejsce w rankingu m odelu ruchom ej macierzy kowariancji ze stalą wygładzania rów ną 25. Otrzym ane wyniki wskazują, że modele, w których do konstrukcji prognoz macierzy kowariancji wykorzystuje się większą ilość danych z przeszłości, wypadają lepiej w rankingu.

6. PODSUMOWANIE

W pracy doko n an o oceny skuteczności różnych m etod tworzenia portfeli efe­ ktywnych, w tym przede wszystkim z wykorzystaniem różnych specyfikacji w ielorów naniow ych m odeli GARCH. Generalnie wnioski wynikające z analizy dla dwudziestu spółek są zbliżone do tych, jakie otrzym ano dla trzech spółek. Uwzględnienie zmieniających się w czasie wariancji i kowariancji stóp zwrotu przy budow ie portfela z pewnym i wyjątkami wpływa na wzrost efektywności alokacji aktywów. W yjątkiem są czynnikowe m odele GARCH: K-czynnikowy i ortogonalny oraz m odel ruchom ej macierzy kowariancji ze stalą wygładzania rów ną 25 oraz m odel wyrównyw ania wykładniczego dla macierzy kowariancji z param etrem wygasania rów nym 0,94. Przyjmowana w metodologii RiskMe­ trics wartość param etru stałej wygładzania, dla danych dziennych 0,94, nie jest wartością o pty m alną dla polskiego rynku akcji (jest zdecydowanie za niska).

Przy dw udziestu aktyw ach tru d n o jest oceniać wpływ uproszczenia postaci w arunkow ej m acierzy kowariancji, poniew aż w zasadzie wszystkie rozważane param etryzacje należą do uproszczonych postaci w ielorów naniow ego m odelu GARCH. Należy jednakże zauważyć, że zarów no przy trzech, jak i dwudziestu spółkach wysoko w rankingach wypadły proste postacie m odeli GARCH, których p aram etry szacowane są jednocześnie, m ianow icie m odel skalarno­ diag o n aln y i zintegrow any. W arto podkreślić, że oba m odele, obok m odelu stałych w spółczynników korelacji, okazały się najlepsze ze względu n a wyniki testów diagnostycznych w przypadku pięciu spółek z rynku amerykańskiego

(Ding i Engle, 2001). W yniki przeprow adzonych w niniejszym b a d a n iu testów statystycznych, z pew nym i wyjątkam i, zostały potw ierdzone przez bad an ie skuteczności tw orzenia portfeli. Rankingi m odeli uzyskane na podstaw ie bayesowskiego kryterium Schwarza okazały się naw et bardziej zbliżone do rankingów uzyskanych na podstaw ie w yników konstrukcji portfeli o m in im a l­ nej wariancji, niż wynikałoby to z bezpośredniego testow ania restrykcji d o ty ­ czących szacow anych modeli.

Wyniki dotyczące zarówno trzech, jak i dwudziestu spółek sugerują, że zastąpienie warunkowego rozkładu norm alnego w m odelach GARCH rozkładem f-Studenta nie powoduje spadku szacunków odchyleń standardow ych portfeli o m inim alnej wariancji. Ten wynik jest ważny z praktycznego p u n k tu widzenia, ponieważ estymacja param etrów m odelu z w arunkowym rozkładem t-Studenta jest trudniejsza i bardziej czasochłonna.

Podstawowa różnica w wynikach między trzema a dwudziestom a spółkami dotyczy modeli zintegrowanych. Zarówno m odel zintegrowany, jak i zintegro­ wany m odel DCC wypadły zdecydowanie lepiej w rankingu dla dwudziestu aktywów. Ten rezultat może sugerować, że w przypadku większej liczby aktywów wielowymiarowy proces stóp zwrotu nie jest procesem kowariancyjnie stacjo­ narnym , co jak w iadom o może być związane ze zm ianam i bezw arunkow ych macierzy kowariancji w długim okresie.

Stosowanie jednorów naniow ych modeli GARCH oraz szacowanie macierzy korelacji n a podstawie rozkładów brzegowych standaryzow anych reszt wydaje się być dopuszczalne tylko w przypadku, gdy w arunkowe współczynniki korela­ cji są stałe w czasie. Przy większej liczbie aktywów wydaje się, że rośnie prawdopodobieństwo, iż warunkowe współczynniki korelacji są zm ienne w cza­ sie i konieczne będzie zastosowanie m odelu wielorównaniowego.

BIBLIOGRAFIA

A lexander C., C h ib u m b a A. 1996. M u ltiv ariate O rth o g o n a l Factor GARCH, U n iv e rsity of Sussex Discussion Papers in M a th em a tic s.

A n d e rsen T., Bollerslev T. 1998. A nsw erin g t h e Skeptics: Yes, S ta n d a rd V olatility M o d e ls D o Pro v id e Accurate Forecasts, In te rn a tio n a l E co n o m ic Review 39, 4, 8 8 5 -9 0 5 .

Baba Y., Engle R.F., Kraft D.F., K roner K.F. 1990. M u ltiv a riate S im u lta n e o u s G e n e ra liz e d ARCH. m aszy n o p is, D e p a rtm e n t o f E conom ics, U niv ersity o f C a lifo rn ia a t San Diego.

Bauwens L., L aurent S., R o m b o u ts J.V.K. 2006. M u ltiv a riate GARCH M odels: A Survey, J o u r n a l of A pplied E co n o m etrics 21, No. 1, 7 9 -1 1 0 .

Bollerslev T. 1990. M o d e llin g t h e C o h e re n c e in S hort-R un N o m in a l E x ch an g e Rates: A M u ltiv a riate G e n eralized ARCH A p p ro ach , Review o f E co n o m ics a n d Statistics 72, 4 9 8 -5 0 5 .

C am p b e ll J.Y., Lo A.W., M acK inlay A.C. 1997. T h e E co n o m e tric s o f F inancial M arkets, P rin c e to n U n iv ersity Press.

D ing Z., Engle R.F. 2001. Large Scale C o n d itio n a l C o v a ria n c e M a trix M o d e lin g , E stim a tio n a n d Testing, A cadem ia E co n o m ic Papers 29, 2, 1 5 7 -1 8 4 .

E ngle R.F. 1987. M u ltiv a riate ARCH w ith Factor S tru c tu re s-C o in te g ra tio n in V ariance. Discussion P aper 87, U n iv ersity o f C alifornia, San Diego.

Engle R.F. 2002. D y n a m ic C o n d itio n a l C o rre la tio n — A Sim ple Class of M u ltiv a riate GARCH Models, J o u r n a l of B usiness a n d E co n o m ic Statistics, 20, 3 3 9 -3 5 0 .

E ngle R.F., K roner K.F. 1995. M u ltiv a riate S im u lta n e o u s G en eralized ARCH, E c o n o m e tric T h e o ry 11, 1 2 2 -1 5 0 .

E ngle R.F., M ezrich J. 1996. GARCH for G ro u p s, Risk 9, 8, 3 6 -4 0 .

E ngle R.F., S h e p p a rd K. 2001. T h eo retical a n d Empirical P roperties of D y n a m ic C o n d itio n a l C o r r e la tio n M u ltiv a riate GARCH, M im eo , UCSD.

Fiszeder P. 2 004a. D y n a m ic z n a alokacja a k ty w ó w — M odel M arkow itza , Rynki fin an s o w e — p r o g n o z y a decyzje, Acta U niversitatis Lodziensis, Folia O e c o n o m ic a, 177, W y d aw n ic tw o U n iw e rs y te tu Łódzkiego, Łódź.

Fiszeder P. 2 0 0 4 b . D y n a m ic z n a teo ria portfela, Acta U n iversitatis N icolai C o p e rn ic i, E k o n o m ia 34, UMK T o ru ń .

O siew alski ]., Pipieri M. 2004. Bayesian C o m p a r is o n o f Bivariate ARCH-Type M o d els for t h e M ain E x ch a n g e Rates in P o lan d , Jo u rn a l o f E co n o m etrics 123, 3 7 1 -3 9 1 .

Tse Y.K. 2000. A Test for C o n s ta n t C o rre la tio n s in A M u ltiv a riate GARCH M odel, Jo u rn a l of E co n o m e tric s 98, 1 0 7 -1 2 7 .

W es t K.D., C h o D . 1995. T h e Predictive A bility o f Several M odels o f E x ch a n g e Rate V olatility, Jo u rn a l o f E co n o m e tric s 69, 3 6 7 -3 9 1 .