Jacek Kredenc – szkic rozwiązania
Poszukiwania złota
Zadanie 1. Dokonano złotego podziału pręta o długości 5 m. Wyznacz długość każdego z
kawałków tak podzielonego pręta.
Rozwiązanie: 𝑥 𝑦= 5 𝑥 𝑥2 = 5𝑦 I 𝑥 + 𝑦 = 5 𝑥 +𝑥 2 5 = 5 𝑥2 + 5𝑥 − 25 = 0 ∆= 25 + 100 = 125 √∆= 5√5 𝑥1 =−5√5 − 52 ≈ −8,09 𝑥2 =5√5 − 52 ≈ 3,09
Jeden kawałek ma 3,09 m, a drugi 1,91m.
Zadanie 2. Za pomocą jednego cięcia dokonano podziału złotego prostokąta na kwadrat i
prostokąt. Wyznacz wymiary otrzymanego prostokąta wiedząc, że odcięty kwadrat ma pole 64 cm2. Rozwiązanie: 𝟖 + 𝒙 𝟖 = 𝟖 𝒙 𝑥2 + 8𝑥 − 64 = 0 ∆= 64 + 256 = 320
√∆= 8√5 𝑥1 =−8√5 − 8 2 ≈ −12,9 𝑥2 =8√5 − 8 2 ≈ 4,9 Prostokąt ma wymiary 8cm x 4,9 cm
Zadanie 3. Niech φ będzie złotą liczbą. Następujące wielkości: 𝜑−1; 𝜑0; 𝜑1; 𝜑2; 𝜑3; 𝜑4; 𝜑5
przedstaw w postaci 𝑎𝜑 + 𝑏, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Jeśli wykonasz to zadanie poprawnie, to powinieneś dostrzec pewną zaskakującą prawidłowość. Stosując tę prawidłowość zapisz: 𝜑10 i 𝜑15. Rozwiązanie: Przypominamy, że 𝜑 =√5 + 1 2 𝜑−1= 1 𝜑 = 1 √5 + 1 2 = 2 √5 + 1= 2 ∙ (√5 − 1) (√5 + 1)(√5 − 1)= 2(√5 − 1) 5 − 1 = 2(√5 − 1) 4 = =√5 − 1 2 = √5 + 1 − 2 2 = √5 + 1 2 − 1 = 𝜑 − 1 𝝋𝟎= 𝟏 𝜑1 = 𝜑 𝜑2 = (√5 + 1 2 ) 2 = 5 + 2√5 + 1 4 = 6 + 2√5 4 = 2(√5 + 3) 4 = √5 + 3 2 = √5 + 1 + 2 2 = = √5 + 1 2 + 1 = 𝜑 + 1 𝜑3 = 𝜑2 ∙ 𝜑 = (𝜑 + 1)𝜑 = 𝜑2+ 𝜑 = 𝜑 + 1 + 𝜑 = 2𝜑 + 1 𝜑4 = 𝜑3∙ 𝜑 = (2𝜑 + 1)𝜑 = 2𝜑2+ 𝜑 = 2(𝜑 + 1) + 𝜑 = 2𝜑 + 2 + 𝜑 = 3𝜑 + 2 𝜑5 = 𝜑4∙ 𝜑 = (3𝜑 + 2)𝜑 = 3𝜑2+ 2𝜑 = 3(𝜑 + 1) + 2𝜑 = 3𝜑 + 3 + 2𝜑 = 5𝜑 + 3
Aby zauważyć interesującą nas prawidłowość zapiszmy wyprowadzone wzory inaczej: 𝜑1 = 𝜑 = 𝐹 1𝜑 𝜑2 = 𝜑 + 1 = 𝐹 2𝜑 + 𝐹1 𝜑3 = 2𝜑 + 1 = 𝐹 3𝜑 + 𝐹2 𝜑4 = 3𝜑 + 2 = 𝐹 4𝜑 + 𝐹3 𝜑5 = 5𝜑 + 3 = 𝐹 5𝜑 + 𝐹3
Gdzie 𝐹𝑛 to kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego. Można, więc wykazać, że
𝜑𝑛 = 𝐹
𝑛𝜑 + 𝐹𝑛−1
Czyli
𝜑10 = 55𝜑 + 34
