Modelowanie funduszu nadwyżkowego w ubezpieczeniach majątkowych z wykorzystaniem procesów autoregresji

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 740. 2007. Akademii Ekonomicznej w Krakowie. Stanis∏aw Wanat Katedra Statystyki. Modelowanie funduszu nadwy˝kowego w ubezpieczeniach majàtkowych z wykorzystaniem procesów autoregresji 1. Wprowadzenie Obecnie w ramach ubezpieczeń majątkowych można wyróżnić dwa zasadnicze podejścia do analizy, w określonym horyzoncie czasowym, finansowych efektów realizacji różnych strategii rozwoju ubezpieczycieli. Pierwsze to testowanie scenariuszy. Tego rodzaju modele umożliwiają użytkownikom uzyskanie odpowiedzi na pytanie dotyczące przyszłości postaci: „Co, jeśli…?”. Do tej klasy modeli zalicza się testy odporności na stresy (stress tests), testy wrażliwości (sensitivity tests) oraz testy elastyczności (reilience tests). Za pomocą tych testów bada się wpływ kluczowych czynników ryzyka ubezpieczyciela m.in. na przepływy pieniężne, wysokość rezerw, wartość aktywów. Przykładem może tu być analiza wpływu ryzyka finansowego (np. zmian stóp procentowych) na wysokość rezerw techniczno-ubezpieczeniowych, których utworzenie jest konieczne do wywiązania się przez ubezpieczyciela z przyjętych zobowiązań z tytułu zawartych umów ubezpieczenia, jak również wpływ tego ryzyka na wysokość i rozkład w czasie przepływów pieniężnych. W wyniku zastosowania tych metod można wyznaczyć najlepszą i najgorszą ścieżkę rozwoju zakładu ubezpieczeń. Testy tego rodzaju są stosowane do oceny działalności ubezpieczycieli np. w Wielkiej Brytanii, Holandii i Francji. Drugim sposobem są metody symulacyjne (tzw. metody Monte Carlo). W metodach tych w celu uzyskania wyniku (zaproksymowania wyniku) komputerowo generuje się bardzo dużą liczbę losowych prób, które następnie poddaje.

(2) 94. Stanisław Wanat. się analizie statystycznej. Są to metody relatywnie elastyczne, mogą uwzględniać złożone relacje i zależności oraz niestandardowe rozkłady prawdopodobieństwa. Ich przewaga nad analitycznymi modelami to zdolność do modelowania każdej sytuacji z życia wziętej na pożądanym przez użytkownika poziomie precyzji. Podstawą tych metod jest model formalny (matematyczny), opisujący najistotniejsze zależności i relacje występujące w działalności zakładu ubezpieczeń między różnymi wyszczególnionymi zmiennymi. Przedmiotem symulacji mogą być np. przepływy pieniężne, wynik finansowy, kapitały własne, fundusz nadwyżkowy. Są one wykorzystywane na dwa sposoby: – do estymacji prawdopodobieństwa realizacji, w pewnym ustalonym horyzoncie czasowym, określonych wartości kluczowych zmiennych charakteryzujących działalność ubezpieczyciela (np. przekroczenia bariery wypłacalności), – do określenia konsekwencji realizacji pewnych możliwych zdarzeń (np. znaczny wzrost inflacji, spadek popytu na niektóre produkty ubezpieczeniowe, wystąpienie ryzyka katastrofalnego). W artykule omówiono przedstawiony w pracy [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994] sposób symulacji funduszu nadwyżkowego, w którym wykorzystywany jest model autoregresji pierwszego rzędu AR(1). Następnie zaprezentowano ogólniejszą wersję zaproponowanego w tej pracy modelu wykorzystującego proces AR(2). Z kolei, na przykładzie portfela ubezpieczeń hipotetycznego ubezpieczyciela, przedstawiono, jak zaproponowany model można wykorzystać do symulacji funduszu nadwyżkowego „generowanego” przez ten portfel. Celem tej symulacji było opracowanie strategii gwarantującej, że ruina w tym portfelu w określonym horyzoncie czasowym może nastąpić z prawdopodobieństwem mniejszym od z góry ustalonego. 2. OkreÊlenie funduszu nadwy˝kowego i ogólny schemat symulacji działalnoÊci ubezpieczyciela Operacje finansowe ubezpieczyciela można przedstawić w postaci ciągu wpływów i odpływów gotówki. Modelem dobrze opisującym ten proces może być zbiornik wody charakteryzujący się w miarę regularnym i zrównoważonym dopływem oraz nieregularnym i trudnym do przewidzenia odpływem (por. np. [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994, s. 4], [Ronka-Chmielowiec 2003, s. 83]). Zbiornik w postaci aktywów jest zasilany przede wszystkim w miarę regularnymi wpływami z tytułu składek i dochodów z inwestycji oraz „uszczuplany” głównie przez wypłaty odszkodowań, charakteryzujących się dużą losowością ze względu na momenty ich powstania i wysokość. Należy jednak podkreślić, że o ile w fizycznym zbiorniku zmiana poziomu wody może być spowodowana tylko jej dopływem lub odpływem, o tyle przyczyną zmian wartości aktywów, oprócz tej.

(3) Modelowanie funduszu nadwyżkowego…. 95. związanej z dopływem i dopływem gotówki, mogą być zmiany na rynku finansowym. Związane jest to z rynkową wartością aktywów i pasywów. Wartość aktywów At na koniec okresu t, przy założeniu, że jest znana ich wartość początkowa At – 1 oraz są znane wartości zmiennych na nie wpływających, można określić następującym równaniem przepływów pieniężnych (por. [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994, s. 3]): At = At −1 + Pt' + I t + Xtre + U tnew − Z t' − Et − Pt re − Dt ,. (1). gdzie: Pt' – wpływy z tytułu składek, są to tzw. składki przypisane1, It – wpływy z inwestycji na okres t, Xtre – wpłaty reasekuratorów, U tnew – wpływy z emisji akcji, Zt' – wypłacone2 odszkodowania i świadczenia w okresie t, Et – wydatki związane z kosztami działalności ubezpieczyciela, Pt re – składki zapłacone z tytułu reasekuracji, Dt – wypłacone dywidendy. Model (1) koncentruje się głównie na transakcjach gotówkowych i nie jest wystarczający do określenia kompleksowej sytuacji finansowej ubezpieczyciela. W tym celu należy posłużyć się także bilansem, który zawiera składniki aktywów i pasywów uporządkowane w odpowiednich grupach, o określonej wartości na dany dzień bilansowy. Opierając się na bilansie i wykorzystując zasady rachunkowości ubezpieczeniowej, można wyprowadzić model równorzędny do (1). Niech Ut oznacza różnicę: Ut = At – Lt , gdzie: At – aktywa, Lt – zobowiązania (z wyłączeniem zobowiązań wobec udziałowców). Zobowiązania w tym modelu będą określone następująco: Lt = Vt + Rt + L0t ,. 1. (2). (3). Składki przypisane brutto obejmują kwoty należne w trakcie okresu sprawozdawczego z tytułu zawartych umów ubezpieczenia bez względu na to, czy kwoty takie odnoszą się w całości lub w części do następnych okresów sprawozdawczych. 2 Odszkodowania i świadczenia wypłacone obejmują wszelkie wypłaty i obciążenia (rozliczenia w kompensacie z należnościami) dokonywane w okresie sprawozdawczym z tytułu odszkodowań i świadczeń za szkody i wypadki powstałe w okresie sprawozdawczym i w okresach ubiegłych..

(4) Stanisław Wanat. 96. gdzie: Vt – rezerwa składki na koniec okresu sprawozdawczego t, Rt – rezerwa szkód na koniec okresu sprawozdawczego t, L0t – zobowiązania inne niż rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe (tzn. inne niż rezerwy składek i szkodowe). Rezerwa składki (rezerwa na niezarobioną składkę) jest to część składki przypisanej (po potrąceniach) przeznaczonej na pokrycie przyszłych zobowiązań, które mogą wynikać z umów niewygasających w chwili liczenia tej rezerwy. Wykorzystując rezerwę składek Vt i składkę przypisaną Pt' można zdefiniować tzw. składkę zarobioną Pt: Pt = Pt' − Vt + Vt −1 .. (4). Składka zarobiona w okresie rozrachunkowym t jest to ta część składki przypisanej na okres t lub okresy wcześniejsze, która jest związana ze szkodami powstałymi w tych okresach. Z kolei rezerwa szkód3 Rt związana jest z sytuacjami, w których szkody zaistniały w okresie sprawozdawczym, jednak nie zostały w tym okresie wypłacone. ' Wykorzystując rezerwę Rt oraz szkody wypłacone Zt można określić tzw. szkody powstałe w okresie sprawozdawczym t: Zt = Zt' + Rt − Rt −1 .. (5). Szkody powstałe w okresie sprawozdawczym t są to wszystkie szkody, których źródłem były wypadki ubezpieczeniowe z okresu t, niezależnie od tego, czy zostały wypłacone w tym okresie sprawozdawczym, czy w następnych. Wielkość bilansująca aktywa i zobowiązania Ut (wzór (2)) w literaturze i praktyce aktuarialnej ma wiele różnych nazw. W pracy [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994] nazywana jest marginesem wypłacalności (solvency margin). W Wielkiej Brytanii, aby odróżnić to pojecie od marginesu wypłacalności ustalonego przez 3 Jest to rezerwa na niewypłacone odszkodowania i świadczenia, tworzona w wysokości odpowiadającej ustalonej lub przewidywanej ostatecznej wartości przyszłych wypłat odszkodowań i świadczeń związanych z zaistniałymi szkodami, powiększonej o koszty likwidacji szkód. W szczególności dotyczy to szkód, które: zostały zgłoszone zakładowi ubezpieczeń do dnia, na który tworzona jest rezerwa i dla których została ustalona wysokość odszkodowania i świadczenia, bądź gdy posiadane informacje pozwalają na ocenę wysokości odszkodowań i świadczeń; zostały zgłoszone zakładowi ubezpieczeń do dnia, na który tworzona jest rezerwa, a posiadane informacje nie pozwalają na ocenę wysokości odszkodowań i świadczeń; zaistniały, lecz nie zostały zgłoszone zakładowi ubezpieczeń do dnia, na który tworzona jest rezerwa (§ 34 ust. 1 Rozporządzenia Ministra Finansów z dnia 8 grudnia 2003 r. w sprawie szczególnych zasad rachunkowości zakładów ubezpieczeń, Dz.U. nr 218, poz. 2144)..

(5) Modelowanie funduszu nadwyżkowego…. 97. Nadzór Ubezpieczeniowy, określa się jako asset margin. W Ameryce Północnej nazywana jest funduszem nadwyżkowym (surplus). Z kolei w teorii ryzyka określana jest jako: risk reserve, equalization reserve, capital at risk, adjustment reserve (zob. [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994, s. 10–11]). W niniejszym artykule będzie stosowane pojęcie „fundusz nadwyżkowy”. Wyznaczając At , Pt', Zt' z równań (2)–(5) i podstawiając do równania (1), otrzymuje się następujące równanie określające wartość funduszu nadwyżkowego: U t = U t −1 + Pt + I t + U tnew − ∆L0t * + Zt − Et − Btre − Dt .. (6). W równaniu tym ∆L0* t oznacza zmianę w zobowiązaniach netto innych niż rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe, z wyłączeniem zmian w kapitałach pożyczonych i udzielonych oraz zmian w wielkościach uwzględnionych już w innych pozycjach równania (1). Natomiast Btre oznacza bilans działalności reasekuracyjnej. Podstawą modelowania działalności ubezpieczeniowej mogą być opisane wyżej dwa równania (1) i (6). Wybór jednego z nich zależy od celu, w jakim jest budowany model. W obydwu przypadkach muszą być jednak wyspecyfikowane metody modelowania wartości poszczególnych składowych tych równań, czyli wysokości odszkodowań, strumienia składek, rezerw, wpływów z inwestycji, kosztów i dywidend. Symulację wartości poszczególnych zmiennych wchodzących w skład modelu, jak również wyników działalności ubezpieczyciela na kolejne okresy t = 1, …, T (t = 0 oznacza okres wyjściowy) otrzymanych za pomocą danego modelu, można przeprowadzić zgodnie ze schematem przedstawionym na rys. 1. Przebieg symulacji można podzielić na dwa etapy: wybór odpowiedniego modelu oraz symulacja wartości modelowanych wielkości na kolejne okresy. Wybierając model powinno uwzględnić się wiedzę teoretyczną i praktyczną na temat analizowanej zmiennej. Opierając się na tej wiedzy należy wstępnie wybrać model, ustalić jego parametry i wartości początkowe (kalibracja) oraz przetestować go. Testowanie modelu może polegać na analizie retrospektywnej (wygenerowaniu realizacji modelowanych zmiennych na okresy, dla których znamy ich rzeczywiste wartości), przeprowadzeniu testów odporności i wrażliwości. W przypadku gdy spełnia on odpowiednie wymagania, można przystąpić do drugiego etapu, w przeciwnym wypadku należy wybrać inny model i powtórzyć kalibrację i testowanie. W drugim etapie przeprowadza się n symulacji wartości modelowanej zmiennej na kolejne okresy t = 1, …, T, czyli symuluje się n tzw. trajektorii tej zmiennej. Na przedstawionym schemacie w tym etapie wyróżniono fazę symulacji ustalonej trajektorii..

(6) Stanisław Wanat. 98. Wiedza i doświadczenie. Dane. Wybór modelu. Kalibracja. Tak. Wybór modelu. Testowanie. Inny model Nie Analiza ostatecznych wyników. i := 1. i>n. Symulacja Zapoczątkowanie i-tej trajektorii. i≤n. t := 1 Symulacja i-tej trajektorii. Następna trajektoria. i := i + 1 t>T. Symulacja wartości modelowanego zjawiska dla okresu t. t≤T. Zapamiętanie wyników. Następny okres. t := t + 1. Rys. 1. Schemat procesu symulacji Źródło: opracowanie własne na podstawie: [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994] oraz [Klugman, Panjer, Wilmot 1998].. 3. Konstrukcja modelu symulacyjnego Podstawą konstrukcji modelu symulacyjnego jest równanie (6) zredukowane do postaci4: (7) Ut = Ut – 1 + Pt + It – Zt – Et . 4 W modelu tym uwzględniono tylko składowe związane z działalnością techniczno-ubezpieczeniową, czyli składki i odszkodowania oraz zysk i koszty związane z tą działalnością. Pominięto przepływy innych kapitałów, dywidendy oraz reasekurację..

(7) Modelowanie funduszu nadwyżkowego…. 99. Ze względu na to, że model będzie wykorzystywany do symulacji długoterminowej, wygodniej jest posługiwać się wyrażeniami względnymi. W tym celu wszystkie składowe równania (7) zostaną odniesione do tzw. składki znormalizowanej (por. [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994, s. 336]): t. Pt* = P0 ⋅ ∏ rtP ,. (8). τ =1. przy czym rtP = (1 + jtw )(1 + jtI ) , gdzie współczynnik (1+ jtw ) oznacza realny wzrost portfela, natomiast (1+ jtI ) wpływ inflacji. W wyniku podzielenia równania (7) przez (8) otrzymuje się równanie postaci: ut =. 1 ut −1 + pt + it − zt − et , rtP. (9). gdzie mała litera odpowiada dużej i oznacza iloraz zmiennej oznaczanej dużą literą i składki znormalizowanej. Ponieważ składkę brutto można przedstawić w postaci: Pt = Stθ + Et ,. (10). θ. gdzie St oznacza składkę netto wraz z dodatkiem bezpieczeństwa, równanie (9) przyjmuje postać: 1 ut = P ut −1 + stθ + it − zt . (11) rt Drugim po składkach źródłem dochodu ubezpieczyciela wpływającym na fundusz nadwyżkowy są dochody z inwestycji. Dochody te w okresie t można podzielić na dwa komponenty; dochody z inwestycji funduszu nadwyżkowego z okresu poprzedniego Ut oraz dochody z inwestycji rezerw techniczno-ubezpieczeniowych Lt – 1. Zatem: I t = jtUU t −1 + jtL Lt −1 , (12) gdzie: jtU – stopa zwrotu z inwestycji funduszu nadwyżkowego, jtL – stopa zwrotu z inwestycji rezerw techniczno-ubezpieczeniowych. Przyjmując, że wypłaty dokonane w następnych okresach zostały uwzględnione w Zt z odpowiednim dyskontem, można w przybliżeniu przyjąć5, że drugi składnik sumy występującej w równaniu (12) jest już zawarty w Zt. W związku 5 Tego typu rozwiązanie jest proponowane w wielu pracach, np. [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994], [Kaufmann, Gadmer, Klett 2001])..

(8) Stanisław Wanat. 100. z tym, po dokonaniu niezbędnych przekształceń, do symulacji funduszu nadwyżkowego można wykorzystać następujący model: ut = rt ut −1 + stθ − zt ,. (13). (1 + jtU ) . (1 + jtw )(1 + jtI ). (14). gdzie: rt =. Analizując model (13) można stwierdzić, że ubezpieczyciel może wpływać na wskaźnik nadwyżki ut , obrazujący stosunek funduszu nadwyżkowego do składki znormalizowanej (8), poprzez: – współczynnik rt, – sposób określania składki zawierającej dodatek bezpieczeństwa, za co w modelu odpowiada składnik stQ , – część zt związaną z prognozowanymi przyszłymi zdyskontowanymi wypłatami szkód. Postać współczynnika rt wskazuje, że jego wartość zależy od stopy zwrotu z inwestycji funduszu nadwyżkowego, realnego wzrostu portfela oraz inflacji. Zatem można przyjąć, że obrazuje on wpływ na ut przyjętej przez ubezpieczyciela strategii inwestycyjnej oraz marketingowej. Z kolei zt można traktować jako wskaźnik szkodowości obrazujący stosunek szkód Zt powstałych w okresie t (niezależnie od tego, czy zostały wypłacone w tym okresie, czy w następnych) do składki znormalizowanej. Ze wzoru (5) widać, że obrazuje on wpływ na wskaźnik ut przyjętego przez ubezpieczyciela sposobu tworzenia rezerw oraz ich adekwatności. Sposób określania składki zawierającej dodatek bezpieczeństwa określa wpływ na ut przyjętej przez ubezpieczyciela polityki cenowej, jak również jest jednym z podstawowych instrumentów wpływających na wypłacalność ubezpieczyciela. W dalszym ciągu zostaną omówione dwie postacie modelu (13), w zależności od sposobu ustalania składki uwzględniającej dodatek bezpieczeństwa6. Pierwsza z nich to model proponowany w pracy [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994, s. 357]. Przyjmuje się w nim, że: stθ = (1 + θt )st ,. (15). 6 Dodatek ten spełnia wiele bardzo ważnych funkcji. Przede wszystkim jest zabezpieczeniem przed ryzykiem odchylenia rzeczywistych szkód w danym portfelu od oczekiwanych. Ponadto generuje on zysk i jest podstawową zmienną decyzyjną, która może wpływać na pozycję finansową ubezpieczyciela. Kryteria ustalania wysokości dodatku bezpieczeństwa są zasadniczym tematem klasycznej teorii ryzyka, która proponuje w tym względzie bardzo wiele różnych rozwiązań..

(9) Modelowanie funduszu nadwyżkowego…. 101. gdzie st oznacza stosunek składki netto do składki znormalizowanej, natomiast θt jest tzw. współczynnikiem bezpieczeństwa. Model (13) przyjmuje wówczas postać: ut = rtut – 1 + (1 + θt )st – zt . (16) Jeżeli modele dla zmiennych st i zt zostaną określone następująco: st = µ z + εts ,. (17). zt = µ z + εtz ,. (18) gdzie: μz = E(zt ) dla wszystkich modelowanych okresów t, εts ~ N ( 0, σ s ) , εts ~ N ( 0, σ z ) , takie że ε1s , ε2s , … są niezależne, ε1z , ε2z , … są niezależne, a także εts , εtz są niezależne dla dowolnych t1, t2, oraz przy założniu, że współczynniki rt i θt są stałe w modelowanym okresie i równe, odpowiednio, r i θ, równanie (16) przyjmuje postać: 1. przy czym. 2. ut = θμz + rut – 1 + εu ,. (19). εu = (1 + θ)εs – εz .. (20). Ponieważ E(εu ) = 0, jest to proces autoregresji rzędu pierwszego AR(1), który dla ⏐r⏐ < 1 jest stacjonarny i wówczas jego średnia wynosi: θµ z , 1− r. (21). (1 + θ)2 σ 2s + σ 2z . 1− r2. (22). µ u = E ( ut ) = a wariancja: σ u2 =. σ ε2. u. 1− r2. =. W przedstawionym wyżej modelu (19) wysokość składki zależała od współczynnika bezpieczeństwa θ oraz zmiennej εst . W drugim wariancie modelu (13) wysokość składki będzie uzależniona od wysokości funduszu nadwyżkowego z dwóch wcześniejszych okresów oraz od spełnienia wymogów bezpieczeństwa. Przyjmując, że wartość uopt określa optymalną wielkość funduszu nadwyżkowego gwarantującą spełnienie wymogów bezpieczeństwa, wielkość wskaźnika składki można określić za pomocą następującego równania: stθ = s0 + α(uopt − (βut −1 + (1 − β)ut − 2 )) , gdzie: s0 – wyjściowy wskaźnik składek, α, β ∈ (0, 1).. (23).

(10) Stanisław Wanat. 102. Z jego postaci wynika, że wysokość składki uzależniona jest od odchylenia od optymalnej wartości funduszu nadwyżkowego jego średniej ważonej z dwóch poprzednich okresów. Podstawiając równanie (23) do (13) i dokonując niezbędnych przekształceń, można otrzymać następujący model: ut – uopt = (r –αβ)(ut – 1 – uopt) – α(1 – β)(ut – 2 – uopt) + (r – 1)uopt + s0 – zt . (24) Przy założeniu, że zmienna zt jest modelowana za pomocą (18) oraz wyjściowy poziom składek będzie równy: s0 = μz – (r – 1)uopt ,. (25). wartość oczekiwana sumy trzech ostatnich składników prawej strony równania (24) wynosi zero. Wówczas model (24) można potraktować jako proces autoregresji rzędu drugiego AR(2), w którym składnikiem losowym jest ta suma. Proces ten jest stacjonarny, gdy spełnione są następujące warunki: r – α < 1, 2αβ – r – α < 1,. –1 < –α(1 – β) < 1 .. (26). Jeżeli w opisywanym modelu parametr β przyjmie graniczną wartość równą 1, to otrzymuje się proces AR(1), w którym (na podstawie (23)) wysokość składki w modelowanym okresie jest determinowana odchyleniem funduszu nadwyżkowego (z poprzedniego okresu) od wartości uopt . Z kolei dla drugiej skrajnej wartości tego parametru, czyli dla β = 0, otrzymuje się proces AR(2) proponowany w pracy [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994, s. 337]. 4. Przykład symulacji funduszu nadwy˝kowego Poniżej przedstawiono, jak zaproponowany model (24) można wykorzystać do symulacji funduszu nadwyżkowego „generowanego” przez portfel ubezpieczeń hipotetycznego ubezpieczyciela. Celem symulacji było opracowanie strategii gwarantującej, że ruina w portfelu w określonym horyzoncie czasowym może nastąpić z prawdopodobieństwem mniejszym od z góry ustalonego. Przy czym ruina jest rozumiana jako przyjęcie przez wskaźnik ut wartości ujemnej, natomiast prawdopodobieństwo ruiny w zadanym okresie T oznacza, że do zdarzenia tego dojdzie do momentu T włącznie. W dalszym ciągu prawdopodobieństwo to będzie oznaczane7 przez ψ(T) i będzie szacowane na podstawie metody przedstawionej w pracy [Daykin, Pentikäinen, Pesonen 1994, rozdz. 13.1(c)]. 7. W literaturze najczęściej wykorzystuje się oznaczenie ψ (u 0, T), gdyż z teorii ruiny wynika, że prawdopodobieństwo to głównie zależy od wartości początkowej nadwyżki. Ponieważ dalsze rozważania prowadzone są przy założeniu, że dana jest stała wartość u 0, symbol ten pominięto w oznaczeniu prawdopodobieństwa ruiny..

(11) Modelowanie funduszu nadwyżkowego…. 103. Wskaźnik nadwyżki. a) realizacje ut dla kolejnych 20 okresów (skrajne grube linie przerywane oznaczają wartości największe i najmniejsze, linie grube ciągłe – 10 i 90 kwantyl, punkty tworzące grubą linię środkową – średnią realizacji ut w kolejnych okresach) 1,7 1,5 1,3 1,1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 –0,1 –0,3 –0,5 –0,7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t. Liczba trajektorii. b) liczba trajektorii prowadzących do ruiny w kolejnych okresach 16 14 12 10 8 6 4 2 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t. c) ocena prawdopodobieństwa ruiny w kolejnych okresach 0,25. ψ (t). 0,2 0,15 0,1 0,05 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t. Rys. 2. Wyniki symulacji wskaźników nadwyżki na kolejne 20 okresów (wariant 1). Wartości parametrów: jU = 0,05; jw = 0,02; jI = 0,03; μz = 0,6; σ z = 0,12; uopt = 0,8; u 0 = 0,3; α = 0,05; β = 0,8; średni czas do ruiny: 8,79; średni czas przeżycia: 10,06 Źródło: opracowanie własne..

(12) Stanisław Wanat. 104. W przykładzie przyjęto, że współczynnik szkodowości zt dla rozważanego portfela ubezpieczeń jest modelowany za pomocą równania (18), gdzie μz = 0,6 oraz σz = 0,12. Ponadto założono, że dla tego portfela początkowy wskaźnik nadwyżki u 0 = 0,3, a jego wartość optymalna uopt = 0,8. Przyjęto również, że w badanym okresie inflacja bazowa będzie wynosić 3%. Zadaniem jest opracowanie strategii, która zapewni utrzymanie wskaźnika nadwyżki na poziomie, który nie doprowadzi do ruiny w ciągu 20 lat z prawdopodobieństwem większym niż 0,04. W pierwszym wariancie rozważano strategię, w której składka jest modelowana za pomocą równania (23) z parametrami α = 0,05, β = 0,08 oraz zakłada się realny wzrost portfela j w = 0,02 i zwrot z inwestycji na poziomie jU = 0,05. Wyniki symulacji 500 realizacji wskaźnika ut dla tego wariantu przedstawiono na rys. 2. Z rys. 2c wynika, że strategia ta może doprowadzić do ruiny w ciągu 20 lat z prawdopodobieństwem ok. 0,25 (dokładnie 0,238). Należy zatem zweryfikować założenia dotyczące parametrów. Jeżeli chodzi o parametry α, β odpowiadające a) zależność od β (pozostałe parametry jak w wariancie wyjściowym) 0,250. ψ (t). 0,200 0,150 0,100 0,050 0. 0. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Prametr β. ψ(1). ψ(10). ψ(5). ψ(15). ψ(20). b) zależność od α (pozostałe parametry jak w wariancie wyjściowym) 0,5. ψ (t). 0,4 0,3 0,2. 0,15. 0,14. 0,13. 0,12. 0,1. 0,11. 0,09. 0,08. 0,07. 0,06. 0,05. 0,04. 0,03. 0,02. 0. 0. 0,01. 0,1. Prametr α ψ(1). ψ(5). ψ(10). ψ(15). ψ(20). Rys. 3. Uzyskana na podstawie symulacji zależność prawdopodobieństwa ruiny do 1, 5, 10, 20 roku w zależności od parametrów określających składkę Źródło: opracowanie własne..

(13) Modelowanie funduszu nadwyżkowego…. 105. za składkę, to w zasadzie mogą one być ustalane w dowolny sposób (oczywiście w określonych przez model granicach). Ustalając natomiast wartości dwóch pozostałych parametrów jw, jU trzeba się liczyć z tym, że zależą one, odpowiednio, od rozwoju portfela (czyli np. skuteczności działań marketingowych) oraz od właściwej polityki inwestycyjnej. W celu ustalenia tych parametrów pomocne będą uzyskane na drodze symulacji i przedstawione na rys. 3 i 4 wartości prawdopodobieństwa ruiny do 1, 5, 10 i 20 roku w zależności od zmiany jednego z parametrów, przy stałych wartościach pozostałych (takich jak w wariancie pierwszym). Z wykresów tych wynika, że na obniżenie prawdopodobieństwa ruiny znaczny wpływ ma większa realna stopa wzrostu portfela oraz zwiększenie parametru α. Niewielki wpływ na to prawdopodobieństwo ma parametr β, który odpowiada za tempo, z jakim wskaźnik nadwyżki osiąga wartość optymalną. Z kolei wzrost stopy zwrotu zwiększa prawdopodobieństwo ruiny. Ten trochę zaskakujący wynik tłumaczy teoretyczna. ψ (t). a) zależność od realnej stopy wzrostu portfela (pozostałe parametry jak w wariancie wyjściowym) 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0. 0. 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Realna stopa wzrostu portfela ψ(1). ψ(5). ψ(10). ψ(15). ψ(20). b) zależność od stopy zwrotu (pozostałe parametry jak w wariancie wyjściowym) 0,6 0,5 ψ (t). 0,4 0,3 0,2 0,1 0. 0. 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Stopa zwrotu. ψ(1). ψ(5). ψ(10). ψ(15). ψ(20). Rys. 4. Uzyskana na podstawie symulacji zależność prawdopodobieństwa ruiny do 1, 5, 10, 20 roku w zależności od realnego wzrostu portfela i stopy zwrotu Źródło: opracowanie własne..

(14) Stanisław Wanat. 106. wariancja procesu, która wzrasta wraz ze wzrostem stopy zwrotu (rys. 5a), przy czym znaczny wzrost wariancji można odnotować właśnie dla α = 0,05 (np. przy układzie parametrów: α = 0,05, jU = 0,1 i pozostałych jak w wariancie pierwszym, proces jest bliski granicy stacjonarności). Z kolei przy ustalonej stopie zwrotu wariancja procesu maleje wraz ze wzrostem parametru α. Zależność tę dla wybranych kombinacji tych dwóch parametrów gwarantujących stacjonarność procesu (pozostałe parametry jak w wariancie 1) przedstawiono na rys. 5b. Na podstawie rys. 3b można wnioskować, że przyjmując α = 0,15 prawdopodobieństwo ruiny zmniejszy się do ok. 0,05 (przy założeniu, że pozostałe parametry nie zmieniają się i przyjmują wartości takie jak w wariancie wyjściowym). Zmiana parametru α wpływa na poziom składki, co wynika z równania (23). Zależność tę, uzyskaną na podstawie symulacji, przedstawiono na rys. 6. Wynika z niej (por.. a) zależność wariancji procesu od stopy zwrotu dla wybranych wartości α (pozostałe parametry jak w wariancie wyjściowym) 3 Wariancja. 2,5 2 1,5 1 0,5 0. 0. 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 Stopa zwrotu α = 0,05. α = 0,10. α = 0,15. b) zależność wariancji procesu od wartości α dla wybranych stóp zwrotu (pozostałe parametry jak w wariancie wyjściowym) 3 Wariancja. 2,5 2 1,5 1 0,5 0. 0. 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 Parametr α. stopa zwrotu: 0,01. stopa zwrotu: 0,05. stopa zwrotu: 0,1. Rys. 5. Teoretyczna wariancja procesu w zależności od wybranych wartości stopy zwrotu i parametru α Źródło: opracowanie własne..

(15) Modelowanie funduszu nadwyżkowego…. 107. rys. 6a), że zwiększanie parametru α powoduje wzrost wskaźnika składki dla pierwszego roku przy jednoczesnym spadku tego wskaźnika dla 20 roku. Procentowy spadek wartości wskaźnika składki w 20 roku w porównaniu z pierwszym w zależności od α przedstawiono na rys. 6b.. a) średni wskaźnik składki dla 20 lat oraz wskaźniki składki dla 1 i 20 roku w zależności od α (pozostałe parametry jak w wariancie wyjściowym) 0,68 0,67 0,66 0,65 0,64 0,63 0,62 0,61 0,60 0,59. 0. 0,02. 0,04. 0,06 0,08 0,1 Parametr α. 0,12. 0,14. 0,16. średni wskaźnik składki dla 20 lat wskaźnik składki dla 1 roku wskaźnik składki dla 20 roku. b) procentowy spadek wskaźnika składki w 20 roku w porównaniu z 1 rokiem w zależności od α (pozostałe parametry jak w wariancie wyjściowym) 12 10 8 % 6 4 2 0. 0. 0,02. 0,04. 0,06. 0,08 0,1 Parametr α. 0,12. 0,14. 0,16. Rys. 6. Uzyskana na podstawie symulacji zależność wskaźnika składki od parametru α Źródło: opracowanie własne.. Otrzymane wyniki wskazują, że parametr α nie może być zbyt wysoki, gdyż jego wzrost powoduje wzrost wskaźnika składki w pierwszych latach symulacji. Wzrost tego wskaźnika oznacza większe składki, co może negatywnie wpłynąć na rozwój portfela, czyli realną stopę wzrostu portfela..

(16) Stanisław Wanat. 108. a) realizacje ut dla kolejnych 20 okresów (skrajne grube linie przerywane oznaczają wartości największe i najmniejsze, linie grube ciągłe – 10 i 90 kwantyl, punkty tworzące grubą linię – środkową średnią realizacji ut w kolejnych okresach). Wskaźnik nadwyżki. 1,7 1,5 1,3 1,1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 –0,1 –0,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 –0,5 –0,7 t. Liczba trajektorii. b) liczba trajektorii prowadzących do ruiny w kolejnych okresach 16 14 12 10 8 6 4 2 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t. c) ocena prawdopodobieństwa ruiny w kolejnych okresach 0,25. ψ (t). 0,2 0,15 0,1 0,05 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t. Rys. 7. Wyniki symulacji wskaźników nadwyżki na kolejne 20 okresów (wariant ostateczny). Wartości parametrów: jU = 0,05; jw = 0,04; jI = 0,03; μz = 0,6; σz = 0,12; uopt = 0,8; u 0 = 0,3; α = 0,10; β = 0,5 Źródło: opracowanie własne..

(17) Modelowanie funduszu nadwyżkowego…. 109. Biorąc pod uwagę przedstawione wyżej wyniki, założone prawdopodobieństwo ruiny będzie można osiągnąć zwiększając parametr α oraz realną stopę wzrostu portfela. Strategia, w której α = 0,10, β = 0,5, realna stopa wzrostu portfela jest założona na poziomie 4%, a stopa zwrotu na poziomie 5%, zapewnia utrzymanie wskaźnika nadwyżki na poziomie gwarantującym, że prawdopodobieństwo ruiny w ciągu 20 lat nie przekroczy 0,038 (wyniki symulacji przedstawiono na rys. 7). Prezentowany model można także wykorzystać do określenia na drodze symulacji parametrów rozkładu czasu nastąpienia ruiny oraz parametrów rozkładu „głębokości deficytu” w momencie ruiny. Zagadnienia te będą rozważane w następnych pracach. 5. Uwagi koƒcowe W ramach projektu „Solvency II” Komisja Europejska zaproponowała zmiany w podejściu do oceny wypłacalności zakładów ubezpieczeń. Obowiązujący dotychczas system, oparty głównie na ocenie norm ilościowych, proponuje zastąpić systemem, którym podstawowym elementem nadzoru ubezpieczeniowego będzie ocena jakości zarządzania ryzykiem zakładu ubezpieczeń. Wprowadzenie tych zmiana sprawi, że zakłady ubezpieczeń będą zmuszone do samodzielnego wypracowania wewnętrznego systemu zarządzania ryzykiem i wykazania przed nadzorem, że gwarantuje on panowanie nad ryzykiem towarzyszącym ich działalności, a tym samym zapewnia ich wypłacalność8. Przedstawiony w pracy model (24) może być wykorzystany w takim systemie jako moduł służący do symulacji funduszu nadwyżkowego, czyli jednej z podstawowych zmiennych określających wypłacalność ubezpieczyciela. Należy jednak podkreślić, że za jego pomocą można modelować fundusz nadwyżkowy „generowany” przez jednorodny portfel ubezpieczeń (np. złożony z ubezpieczeń należących do tej samej grupy). Wynika to z wykorzystania w modelu współczynnika szkodowości, który kształtuje się inaczej dla różnych grup ubezpieczeń. Ponieważ zakłady ubezpieczeń prowadzą najczęściej działalność w ramach kilku grup ubezpieczeń, model symulacyjny funduszu nadwyżkowego dla całego zakładu powinien łączyć w sobie modele dla poszczególnych grup. W tym celu można uogólnić zaprezentowany model do przypadku wielowymiarowego, czyli do modelowania „łącznego” funduszu nadwyżkowego wykorzystać model wektorowej autoregresji (VAR). Opracowanie tego typu modelu będzie przedmiotem dalszych zainteresowań autora. 8. W przypadku gdy zakład nie opracuje wewnętrznych metod zarządzania ryzykiem lub opracuje, ale nie zostaną one zaakceptowane przez nadzór, w ramach „Solvency II” proponuje się, aby do oceny wypłacalności tych zakładów wykorzystać modele uznawane przez międzynarodowe agencje ratingowe..

(18) 110. Stanisław Wanat. Literatura Daykin C.D., Pentikäinen T., Pesonen M. [1994], Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman and Hall, London. Kaufmann R., Gadmer A., Klett R. [2001], Introduction to Dynamic Financial Analysis, „ASTIN Bulletin”, vol. 31(1). Klugman S.A., Panjer H.H., Wilmot G.E. [1998], Loss Models. From Data to Decisions, John Wiley and Sons, New York. Ronka-Chmielowiec W. [2003], Modelowanie ryzyka w ubezpieczeniach, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław. Modelling of a Surplus Fund in Asset Insurance Using Autoregression Processes In this article, the method of simulating a surplus fund using the first order autoregression model AR (1) presented in Practical Risk Theory for Actuaries by C.D. Daykin, T. Pentikäinen and M. Pesonen (1994) is discussed. Then, a more general version of the model using the AR (2) process also presented in the above-mentioned paper is proposed. Next, using the example of an insurance portfolio of a hypothetical insurer, the author shows how the proposed model can be used to simulate a surplus fund “generated” by this portfolio. The aim of this simulation is to develop a strategy guaranteeing that ruin in this portfolio in a defined time horizon may occur with a probability that is lower than that assumed at the outset..

(19)