Analiza nieliniowa

8.



8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

8.1. Wprowadzenie

Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości:

1) geometryczne:

• wynikające z uwzględnienia konfiguracji początkowej i końcowej Na przykład w sytuacji przedstawionej poniżej:

=P l

3

3 EI zależy liniowo od obciążenia. Jeśli geometria po odkształceniu zmienia się nieznacznie to można zadanie takie utożsamić z układem niezmienionym i postępować zgodnie z zasadą zesztywnienia. W rzeczywistości równowaga układu wystąpi, gdy zapiszemy jej warunki w układzie przemieszczonym (a więc mamy do czynienia z układem nieliniowym).

• wynikające z uwzględnienia deformacji:

ij=

1

2ui , juj , i u



i , kuj , k efekt duzych deformacji

 _(8.1)

2) fizyczne – ze względu na przyjęty materiał.

δ P

W naszych rozważaniach zakładaliśmy materiał liniowy:

W rzeczywistości mamy do czynienia z materiałem nieliniowym, którym jest stal:

czy też beton:

3) uwzględnienie tarcia ε σ ε σ ε≈0 ε T>0

stal w temp. ok. 300o_C

ε σ mikrorysy makrorysy w wyniku dalszych obciążeń odciążenia nie są po tej samej ścieżce odciążenia

4) uwzględnienie zmieniających się warunków brzegowych, na przykład:

Wszystkie wyżej wymienione czynniki mogą wystąpić jednocześnie, co stanowi przyczynę dużej nieliniowości.

8.2. Efekt nieliniowości w obliczeniach numerycznych

Analizę przeprowadzimy dla elementów prętowych i cięgnowych) Układ równań nieliniowych algebraicznych

k

d d =

p (8.2)

Macierz sztywności układu zależy od przemieszczeń, co zapisujemy

[

2−x

1 2

1

−x

1

x

2

]

[

x

1

x

₂

]

=

[

4

2

]



(8.3)

Zakładamy obciążenie jednoparametrowe (uproszczenie)

K

=K

o

K

NL (8.4)

gdzie

K

_NL

−macierz nieliniowa , geometryczna

EA

L

[

1

−1

−1

1

]



P

A

[

0 1

1 0

]

(8.5)

Zmiana energii sprężystej na kroku

δ P δ₀ P P δ₀

U

=

∫

L

∫

A

[

∫

o oa

 d 

]

dAdL

=E 

o

∫

L

∫

A



a

dAdx



E

2

∫

_L

∫

_A



a 2

_dAdx

_(8.6) gdzie



a

=

du

dx



1

2



dv

dx



2

− y

d

2

v

dx

(8.7)

jest odkształceniem na kroku Po podstawieniu

U

=E 

o

A

∫

L

[

du

dx



1

2



dv

dx



2

]

dx



E

2

∫

_L

[

A



du

dx



2

I



d

2

v

dx

2



2

A

du

dx



du

dx



2



A

4



dv

dx



4

]

dx

(8.8)

∫

0 

 d =

∫

0 

E

 d =

E



2

2

(8.9) gdzie

=

1

2



u

i , j

u

j ,i

u

i , k

u

j , k



(8.10) Aproksymacja

u

=a

0

a

1

x

(8.11)

v

=b

0

b

1

x

b

2

x

2

b

3

x

3 _(8.12)

u

=



1−

x

l



u

1



x

l

u

2 (8.13)

v

=



1−

3 x

2

l

2



2 x

3

l

3



v

1





3 x

2

l

2

−

2 x

3

l

3



v

2





−2 x

2

l

x

x

3

l

2





1





−x

2

l



x

3

l

2





2 (8.14)

d

T

=[u

1

, v

1

,



1

, u

2

, v

2

,



2

,

]

(8.15)

Przyrostowa macierz sztywności

K

_I

 d = f

(8.16)

Obliczamy początkową macierz sztywności ze wzoru

K

I

=K

0

K

P



AE

2

K

1



AE

3

K

2 (8.17) następnie wyznaczamy

d

1

K

d =0d =

p (8.18)

dla obliczonego

d

₁ obliczamy

_{ d}

K

d

1

 d =

p (8.19)

Dodajemy przemieszczenia zgodnie ze wzorem

d

₂

=d

1

 d

(8.20)

i obliczamy macierz sztywności od przemieszczeń

d

₂. Następnie obliczamy

_{ d}

K

d

2

 d =

p (8.21)

Pełna metoda Newtona – tok obliczeń pokazano poniżej

Obliczamy przemieszczenia

d

₁ dla macierzy sztywności

K

d =0

K

d =0d

1

=

p (8.22)

następnie obliczamy macierz sztywności dla

d

₁ i obliczamy przemieszczenia

 d

₂

K

d

1

 d

2

=−r

1 (8.23)

dodajemy przemieszczenia

dla sumarycznych przemieszczeń obliczamy nową macierz sztywności i obliczamy

 d

3

K

d

2

 d

3

=−r

2 (8.25)

Kończymy iterację gdy:

∣

∣

r

i

∣

∣



(8.26)

Przyjmujemy kolejne poziomy obciążeń i dążymy do znalezienia odpowiedniego przemieszczenia przez iteracje. Przy każdej iteracji buduje się nową macierz sztywności zależną od odkształceń z

poprzedniego kroku.

K

d

0

 d

1

 d =−r

1 (8.27)

Jeżeli iteracja się zbiega, to wielkości niezrównoważonych sił zmniejszają się.

K

d

0

 d

1

 d

2

 d =−r

2 (8.28)

W nieliniowych zagadnieniach mechaniki konstrukcji pomiędzy wielkościami typu statycznego i geometrycznego zachodzi relacja proporcjonalności wyrażona przy pomocy współczynnika K charakteryzującego sztywność konstrukcji. W układach o wielu stopniach swobody rolę współczynnika proporcjonalności przejmuje macierz sztywności

q

=K

−1

_Q

_(8.29)

Przy braku proporcjonalności pomiędzy Q i q ich wzajemne zależności są nieliniowe. Macierz sztywności zależy od przemieszczeń. Wyznaczana jest przez styczna do krzywej o równaniu

Q

= f q

(8.30)

zatem jest różna dla poszczególnych punktów

8.3. Przyczyny nieliniowości

Przyczyny nieliniowości mogą wynikać ze struktury materiału (np. materiały niejednorodne jak np. beton), czyli w braku proporcjonalności pomiędzy naprężeniami  a odkształcenia . Jest to nieliniowość,

którą nazywamy nieliniowością fizyczną, która może wystąpić również przy odkształceniach liniowo zależnych od przemieszczeń q. Ma to miejsce np. w zagadnieniach dotyczących plastyczności.

Innym rodzajem nieliniowości jest ta, która wynika z braku proporcjonalności pomiędzy odkształceniami  i przemieszczeniami q, co może mieć miejsce np. przy liniowych zależnościach pomiędzy odkształceniami  a naprężeniami . Mamy tu na myśli np. zagadnienia stateczności sprężystej. Jest to nieliniowość geometryczna, związana z dużymi przemieszczeniami, które należy uwzględnić przy budowaniu równań równowagi.

Niekiedy mogą występować takie przypadki, że pomimo małych przemieszczeń należy uwzględnić ich wpływ, aby w ogóle możliwe było zapisanie warunków równowagi.

Stosowane współcześnie konstrukcje wiotkie, często o dużych rozpiętościach, albo też zbudowane z materiałów pracujących w stanie plastycznym wymagają obliczeń nieliniowych. Nieliniowość może mieć także charakter łączny, czyli jednocześnie mogą występować nieliniowość fizyczna i geometryczna np. w konstrukcjach z materiałów gumowych lub gumopochodnych. Dotyczy to również asfaltów i gruntów, stąd też zagadnienia dotyczące obliczeń gruntów należą do bardzo trudnych. Wymagają odpowiedniego podejścia i przyjęcia skomplikowanych założeń przy matematycznych tworzeniu modelu.

8.4. Rozwiązanie

W zagadnieniach nieliniowych wyznaczenie Q przy danych q, lub też odwrotnie wyznaczeniu q przy znanych Q, jest praktycznie niewykonalne przy pomocy metod bezpośrednich. Możliwe jest uzyskanie wyników (rozwiązań) przybliżonych poprzez zastosowanie linearyzacji lub też przez stosowanie specjalnych algorytmów obliczeniowych.

Równanie równowagi można zapisać w postaci:

K

qq=Q

(8.31)

W ogólności macierz sztywności zależy od niewiadomych przemieszczeń q. Otrzymaliśmy zatem układ równań nieliniowych. Rozwiązanie równania jest skomplikowane. Macierz sztywności w zagadnieniach nieliniowych może być osobliwa. W zagadnieniach liniowych taka sytuacja nie mogła się zdarzyć. Analiza takiej sytuacji jest złożona numerycznie. Przyczyna nieliniowości może leżeć w materiale i w braku proporcjonalności między naprężeniami i odkształceniami. Nieliniowość może też mieć inne przyczyny, np.: jednostronne podpory, jednostronne podłoże, konstrukcje prętowo-cięgnowe nawet w zakresie liniowym. Do rozwiązania tych zadań stosujemy techniki numeryczne.

8.5. Sposoby rozwiązywania

Rozpatrujemy zagadnienie nieliniowe opisane zależnością

Q

= f q

(8.32)

w zakresie obciążenia (0,Q)

Dla danego obciążenia Q będziemy poszukiwać przemieszczenia q. Metoda polega na tym, że obliczenia przeprowadzamy etapowo, zwiększając obciążenie na każdym etapie o pewien przyrost Q_i

oraz odpowiadający mu przyrost przemieszczeń  q_i. Jako punkt startu przyjmujemy wartość Q₀ dostatecznie małą, tak aby można było założyć, że w zakresie obciążenia (0,Q) konstrukcja zachowuje się liniowo, czyli macierz sztywności K₀ ma być stała i taka jak w konstrukcji liniowej.

Zaletami metody są:

➔ możliwość zastosowania do wszelkiego rodzaju nieliniowości (z wyjątkiem przypadków o malejącej sztywności),

➔ pełny opis relacji obciążenia - przemieszczenia dla każdego przyrostu Wady:

➔ duża chłonność obliczeniowa (odwracanie różnych macierzy dla każdego cyklu) ➔ trudność w określeniu wartości przyrostu obciążeń dla uzyskania założonej dokładności ➔ brak możliwości oceny poprawności rozwiązania, o ile nie istnieje jakaś baza porównawcza

➔ trudności algebraiczne związane z rozwiązywaniem źle uwarunkowanego układu równań w otoczeniu punktów krytycznych

8.5.2. Metoda iteracyjna

Jest to bardzo popularna metoda ze względu na wielostronność zastosowań i wysoką dokładność obliczeń. Nazywa się ją również metodą Newtona-Raphsona (w skrócie NR).

Rozwiązywanie przy pomocy tej metody polega na tym, że w każdym cyklu iteracyjnym operujemy pełnym obciążeniem Q. W poszczególnych cyklach przyjmujemy stałe, przybliżone macierze sztywności, co powoduje niespełnienie warunków równowagi. Po każdym cyklu oblicza się obciążenie niezrównoważone w danej konfiguracji odkształcenia. To obciążenie służy do wyznaczania dodatkowych przemieszczeń, czyli zmian konfiguracji zmierzających do konfiguracji odpowiadającej równowadze. Proces obliczeniowy kończymy po osiągnięciu równowagi z przyjętą dokładnością.

Startujemy przy pełnym obciążeniu Q oraz macierzy sztywności KL równej macierzy sztywności traktowanej jako liniowa. Dla tego stanu obciążenia i sztywności obliczamy przemieszczenia.

Zalety tej metody:

➔ większa łatwość w programowaniu niż w metodzie przyrostowej,

➔ duża efektywność, szczególnie w przypadku kilku wariantów obciążeń, przy nieliniowości fizycznej możliwość uwzględniania zmian własności materiału zależnie od stanu naprężeń.

Wady:

➔ brak pewności co do zbieżności rozwiązania dokładnego (spełnienie równowagi to tylko jeden z warunków),

➔ niemożliwość zastosowania do dynamiki (można operować tylko stałym obciążeniem),

➔ brak informacji o stanie obciążenia - przemieszczenia, kiedy stosujemy obciążenie o niepełnych wartościach

8.5.3. Pełny algorytm Newtona (Full Newton Iteration)

Metoda Newtona, zwana też metodą stycznych, należy do metod iteracyjnych. Kd d = p

Kd  d = p (8.33)

Kd0  d1d =−R1 (8.34)

Kd0  d1  d2d =−R2 (8.35)

Iterację przeprowadzamy do momentu w którym dokładność jest satysfakcjonująca . Oszacowanie błędu:

∥r∥ (8.36)

∥ di∥

∥d∥  (8.37)





∑

i

Ri 2

 _{- suma wszystkich niezrównoważonych sił w w węzłach (8.38)}

8.5.4. Metoda Newtona-Raphsona i i+1 k=1 2 Ri4 R1_i d di+1 d_{i Δ d} i+1 λp λp Δ 3 4