Rozdzia IX – Mechanika (fizyka) kwantowa

(1)

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX.1. OPERACJE OBSERWACJI.

a) klasycznie – nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA

A – pomiar wielkości A B – pomiar wielkości B

b) kwantowo –wartość obserwacji zależy od kolejności. AB ≠ BA

IX.2. STAN UKŁADU.

a) klasycznie:

Stan układu jest opisywany przez podanie wartości wielkości opisujących ten układ ( p, E, v,...).

b) kwantowo:

– stan układu opisujemy poprzez jego funkcję falową (stanu)  . – cały problem sprowadza się do znalezienia funkcji stanu.

– wielkości opisywane są przez operatory, każdej wielkości A jest przypisany w sposób jednoznaczny operator A

(2)

IX.3. OPERATORY.

Operatorem nazywamy dowolną wielkość matematyczną, która działając na jakąś funkcję daje inną funkcję. Każdej wielkości fizycznej przypisany jest operator.

A= (IX.3.1) Przykład: A= x ,=axb A = xaxb=ax2 bx =ax2 _bx

[ A , B] =

df

A B − B A

– komutator

W mechanice kwantowej nie jest obojętne w jakiej kolejności dokonujemy pomiaru (np. po pomiarze prędkości dany elektron jest już w innym stanie).

Wielkości, których komutator jest równy zero nazywamy wielkościami komplementarnymi.

IX.4. RÓWNANIE WŁASNE OPERATORA.

A=a (IX.4.1)

a – liczba (skalar)

 – funkcja własna (operatora A ) a- wartość własna (operatora A ) Przykład 1: A



x , ∂ ∂ x



=−i ∂∂ x (IX.4.2) założenia:  xL= x  x=eianx (IX.4.3a)

(3)

a_n=2 n_L (IX.4.3b)

Wartość własna oznacza wynik pomiaru wielkości mierzonej – jest to możliwa wartość funkcji  . Na ogół dostajemy { i }, { ai } (zbiór funkcji i wartości własnych).

Przykład 2: p= px, py, px p=h = 2  h

=k ℏ – relacja pomiędzy pędem i wektorem falowym k p=k⋅ℏ k=kx, ky, kz p=k⋅h , gdy k=1   A_x=−i ∂ ∂ x – operator px  A_x= px (?) −i ℏ ∂ ∂ x= px

=ei k⋅r=exp[i kxxkyykzz] – funkcja własna operatora pędu

(L – Lewa strona równania, P – prawa strona) L=−ih ∂

∂ xexp[i kxxkyykzz] = −i ℏ ikxexp[i k⋅r] = ℏ kxexp[i k⋅r] = P

IX.5. KONSTRUKCJA OPERATORÓW (REGUŁY JORDANA)

a) operator położenia, r= x , y , z

r≡rx , y , z  –

x=x y= y

(4)

b) operator pędu, p= px, py, pz px=−i ℏ ∂ ∂ x py=−h ∂ ∂ y pz=−i ℏ ∂_{∂ z} (IX.5.2) c) A :

Wszystkie inne operatory konstruujemy za pomocą powyższych w sposób:

– A= Ar , p 

→ A A

– _{r r} ; _{p p}

Najpierw wielkość A przedstawiamy za pomocą wektorów położenia i pędu, następnie położenie i pęd przedstawiamy za pomocą operatorów i podstawiamy je odpowiednio do wzoru na A. Stąd otrzymujemy operator wielkości A.

IX.6. ZASADA ODPOWIEDNIOŚCI

Postać praw fizyki nie ulega zmianie, tylko zamiast samych wielkości fizycznych używamy ich operatorów.

Przykład 1: Energia kinetyczna Ek

A= Ek= 1 2mv 2 =m 2 v2 2m = mv2 2m = p2 2m= 1 2m



px 2  py 2  pz 2



E_k E_k p p  E_k= 1 2m⋅ p 2 = 1 2m



px 2  py 2  pz 2



= 1 2m

[



−i ℏ ∂∂ x



2 



−i ℏ ∂ ∂ y



2 



−i ℏ ∂ ∂ z



2

]

 E_k=−ℏ 2 2m



∂2 ∂ x2 ∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂ z2



(IX.6.1)

(5)

– reprezentuje całkowitą energię cząstki swobodnej Przykład 2: Kręt L=r×p=Lx, Ly, Lz L_x=r×px= y⋅pz−zpy L_x= y⋅ pz−z⋅ py=−i ℏ



y ∂ ∂ x−z ∂∂ y



(IX.6.2)

IX.7. INFORMACJE Z RÓWNANIA WŁASNEGO.

a) A−{a_i} - nie ma możliwości, żeby dana wielkość opisywana przez operator A miała inną wartość niż jej wartości własne

b) Operator A , j → aj  A j=ajj

– jedynym możliwym rozwiązaniem układu w stanie j jest wartość własna aj c) zbiór układów np. cząstek, wszystkie są w stanie 

< a_> - wartość średnia wielkości

< a_>=

∫

−∞ ∞ * x A x dx

∫

−∞ ∞ * x  x dx (IX.7.1) *

 x - funkcja sprzężona do  x  (różni sie znakiem części urojonej) Wartość średnia wielkości w stanie własnym jest równa wartości tej wielkości:

A1=a11 (IX.7.2) < a_₁>=

∫

1 * x  A 1 x dx

∫

1 *  x xdx = a₁

∫

1 * 1dx

∫

1 * dx =a1 – gdy funkcja ψ jest funkcją własną.

(6)

d) gdy układ nie jest w stanie własnym to możemy określić prawdopodobieństwo znalezienia wartości własnej

Pan=

|C_n|2

∑

1

∞

| C_i|2 (IX.7.3)

Każdą funkcję stanu możemy rozwinąć w szereg funkcji własnych.

=

∑

₁∞C_i__i (IX.7.4)

{ i } – zbiór funkcji własnych operatora A { a_1,a_2,... , a_n, .... , a_N }

C_n – współczynnik rozwinięcia odpowiedniej n-tej funkcji własnej n

IX.8. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA (ZALEŻNE OD CZASU)

[

−ℏ2 2m



∂ 2 ∂ x2 ∂ 2 ∂ y2 ∂ 2 ∂ z2



V x , y , z ,t

]

 x , y , z , t=i ℏ ∂ x , y , z ,t  ∂t (IX.8.1)

Równanie (IX.8.1) to równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego.

W żadnym równaniu fizyki klasycznej nie ma wielkości urojonej, tu w rozwiązaniu dostajemy funkcję urojoną.

Born(1926)

– interpretacja związana z prawdopodobieństwem

P(x,y,z,t)dV [x, x+dx] [y, y+dy] [z, z+dz] dV = dx dy dz

(7)

r= x , y , z P_{ x , y , z ,t dV =}*_dV (IX.8.2)  x , y , z , t=ℜx , y , z ,t i ℑ x , y , z ,t  (IX.8.3a) * x , y , z ,t =ℜx , y , z ,t −i ℑ x , y , z ,t  (IX.8.3b) Przykład 1:  x ,t  = exp[i kx− t] (IX.8.4a) *x ,t = exp[−i kx−t ] (IX.8.4b) Wzory (IX.8.4a) i (IX.8.4b) ilustrują różnicę pomiędzy funkcją i jej sprzężeniem.

Z zależności (IX.8.2), (IX.8.3a) i (IX.8.3b): *=ℜ2ℑ2=const.

– gęstość prawdopodobieństwa jest wielkością stałą i dodatnią

Warunek normalizacji:

∫

i

*

idV=1 (IX.8.5)

Skoro funkcja falowa powinna reprezentować cząstkę, to musi przyjmować duże wartości tam, gdzie może być cząstka i wartości zerowe tam gdzie ta cząstka nie może przebywać.

∫

m

*

ndV=0 (IX.8.6)

Jeżeli funkcje własne należą do dwóch różnych wartości własnych, to spełniają warunek ortogonalności (IX.8.6). Układ ortonormalny – układ spełniający warunki (IX.8.5) i (IX.8.6).

∫

i * idV=nm (IX.8.7) 0, n≠m nm = 1, n=m

(8)

IX.9. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA (NIEZALEŻNE OD CZASU)

Poszukujemy funkcji falowych, które dają się przedstawić w postaci iloczynu części zależnej tylko od położenia z częścią zależną tylko od czasu:

 x ,t = x⋅t  (IX.9.1)

 – funkcja zależna od położenia  – funkcja niezależna od czasu Założenie: V=V  x 



∂V_∂t =0



− ℏ 2 2m ∂ 2 ∂ x2 xx  V  xx x = i ℏ ∂∂t x x (IX.9.2) − ℏ 2 2mt  d2_{ x} dx2  V x  x x = i ℏ  x d_{t } dt (IX.9.3) 1  x

[

− ℏ2 2m d2_{ x} dx2 V  x x

]

= i ℏ 1  x dt dt (IX.9.4)

Rozdzieliliśmy zmienne tak, że lewa strona równania jest zależna tylko od położenia, prawa zaś tylko od czasu. Równość jest możliwa tylko wówczas, gdy obie strony będą równe pewnej stałej c'. Czyli:

i_ℏ 1 x  dt  dt =c ' (IX.9.5) d_  =−i c ' ℏ dt (IX.9.6)

∫

d_ = −ic ' ℏ

∫

dt (IX.9.7) ln_{t  = −i}c ' ℏ t (IX.9.8)

(9)

t  = exp [−ic ' t ℏ ] = cos c ' t ℏ − i sin c ' t ℏ (IX.9.9) Dla oscylatora harmonicznego mamy rozwiązanie postaci cos2  ft  .

A zatem: 2  f =c '

ℏ z czego wynika: f= c '

h = E

h . Związek ten otrzymaliśmy z postulatu Bohra. Z ostatniej równości wynika, że c '≡E . A zatem na podstawie powyższych obliczeń otrzymujemy: − ℏ 2 2m d2x  dx2  V  x x = E  x (IX.9.10)

Równanie (IX.9.10) nosi nazwę równania Schrödingera niezależnego od czasu (rozwiązania nie muszą być zespolone). Jest to inaczej mówiąc równanie własne operatora energii E .Często zapisuje się je również w postaci (IX.9.11):

H =E (IX.9.11)

przy czym operator:

H =− ℏ_2m2



∂2 ∂ x2  ∂ 2 ∂ y2  ∂ 2 ∂ z2



 V  x , y , z = − ℏ2 2m∇ 2  V x , y , z (IX.9.12)

- nazywany jest hamiltonianem lub też operatorem Hamiltona

 x ,t  = x exp

[

−i E

ℏ t

]

(IX.9.13) Wzór (IX.9.13) przedstawia postać funkcji falowej, przy czym postać funkcji przestrzennej zależy od potencjału podczas gdy postać funkcji czasowej jest znana.