1
Wykład IX Mechanika kwantowa
Moment pędu
Operator momentu pędu definiujemy jako
więc składowe Lˆ we współrzędnych kartezjańskich równe są
∂
− ∂
∂
− ∂
=
∂
− ∂
∂
− ∂
=
∂
− ∂
∂
− ∂
= y x
x y i z L
x x z i y L
z z y i
Lˆx h , ˆy h , ˆz h .
Obliczamy komutator
z y
x
L x i
y y x i y i
x x y
x z z y z x
z y x z
y z z x
y z
x z z x z y
y z L
L
) ˆ (
, ,
, ,
, ˆ ]
ˆ , [
2 2 2
0 0
h h
h h
43 42 43 1
42 1 h
h
=
∂
− ∂
∂
− ∂
=
∂
− ∂
∂
− ∂
=
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
− ∂
=
∂
− ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
− ∂
=
= =
Podobnie znajdujemy [Lˆy,Lˆz]=ihLˆx oraz [Lˆz,Lˆx]=ihLˆy, co ogólnie zapisujemy
Ponieważ poszczególne składowe operatora momentu Lˆ pędu nie komutują ze sobą, nie mają więc tych samych funkcji własnych, nie mogą być jednocześnie znane.
Wprowadzamy operator Lˆ2 =Lˆ2x+Lˆ2y +Lˆ2z i obliczamy komutator
(
2 2) (
2 2)
2 2
2 2
2 2
2, ˆ ] [ˆ ˆ ˆ , ˆ ] [ˆ , ˆ ] [ˆ ,ˆ ] [ˆ , ˆ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[ˆ
0
z x x z y x x y x z x y x x x z y x
x L L L L L L L L L L L L L L LL L L
L = + + = + + = − + −
= 3 2
L 1 .
Ponieważ LˆyLˆx =LˆxLˆy +[Lˆy,Lˆx]=LˆxLˆy−ihLˆz, mamy
(
x y z)
x y(
z y y z)
y y x x y y y x x y x
y L L L L L L L L L L L L L i L L L i LL L L
Lˆ ,ˆ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[ 2 = 2 − 2 = − 2 = − h − 2 =−h + .
Natomiast LˆzLˆx =LˆxLˆz+[Lˆz,Lˆx]=LˆxLˆz +ihLˆy, co daje
(
x z y)
x z(
z y y z)
z z x x z z z x x z x
z L LL L L L L L L L L L L i L L L i LL L L
Lˆ ,ˆ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
[ 2 = 2 − 2 = − 2 = + h − 2 = h + .
Ostatecznie znajdujemy [Lˆ2,Lˆx]=0. Podobnie wyliczamy [Lˆ2,Lˆy]=[Lˆ2,Lˆz]=0.
∇
×
−
=
×
≡r p r
Lˆ ˆ ih
z y x k j i L i L
Lˆi, ˆj] ijkˆk, , , , , ,
[ = hε =
z y x i Lˆi] 0, , , ˆ ,
[L2 = =
2
Wykład IX cd. Mechanika kwantowa
Funkcje własne moment pędu
Ponieważ operator Lˆ2 komutuje ze składowymi operatora Lˆ , więc operator Lˆ2 i, powiedzmy, Lˆz mają wspólny zbiór funkcji własnych.
Wprowadzamy współrzędne sferyczne (r,θ,ϕ)
+
=
+ +
=
+ +
=
2 2
2 2 2
2 2 2
cos cos
y x
x z y x
z z y x r
ϕ
θ
=
=
=
θ ϕ θ
ϕ θ cos
sin sin
cos sin
r z
r y
r x
We współrzędnych sferycznych składowe momentu pędu wrażają się:
∂
− ∂
=
∂
− ∂
∂
− ∂
=
∂ + ∂
∂
= ∂
ϕ
ϕ ϕ θ θ
ϕ
ϕ ϕ θ θ
ϕ
h h h
i L
i L
i L
z y x
ˆ
sin ctg ˆ cos
cos ctg ˆ sin
Najłatwiej znaleźć funkcje własne Lˆz =−ih∂/∂ϕ określone równaniem
) ( )
(ϕ ϕ
ϕΦ = Φ
∂
−ih ∂ Lz ,
gdzie Lz jest wartością własną Lˆz, a Φ(ϕ) funkcja własną, którą natychmiast znajdujemy jako h
ϕ
ϕ
Lz
ei
=C
Φ( ) . Należy pamiętać, że ϕ jest kątem azymutalnym, więc musi zachodzić Φ(ϕ)=Φ(ϕ+2π). Sprawia to, że
K h , =±1,±2,±3,
= m m Lz
A zatem
ϕ
ϕ π im
m e
2 ) 1
( =
Φ ,
gdzie stała normalizacyjna C została tak wybrana, że ( ) 1
2
0
2 =
∫
πdϕΦ ϕ .3
Wykład IX cd. Mechanika kwantowa
Rachunek pokazuje, że
∂ + ∂
∂
∂
∂
− ∂
= + +
= 2
2 2 2
2 2 2 2
sin sin 1
sin ˆ 1
ˆ ˆ ˆ
ϕ θ θ θ
θ h θ
z y
x L L
L
L ,
równanie na funkcje własne operatora Lˆ2 ma postać
) , ( ) , sin (
sin 1 sin
1 2
2 2 2
2 θ ϕ θ ϕ
ϕ θ θ θ
θ
θ Y =LY
∂ + ∂
∂
∂
∂
− h ∂ ,
gdzie L2 jest wartością własną operatora Lˆ2 odpowiadającą funkcji własnej
) , (θ ϕ
Y . Ponieważ Lˆ2 i Lˆz komutują i dzięki temu mają wspólny zbiór funkcji własnych, więc przyjmujemy Y(θ,ϕ)=Θ(θ)Φm(ϕ). Po podstawieniu do ostatniego równania mamy
) ( ) ( )
sin ( ) 1 ( ) ( sin sin
) 1
( 2 2
2 2 2
2 ϕ θ ϕ
ϕ θ θ
θ θ θ θ
ϕ θ m m
m Φ = Θ Φ
∂ Θ ∂
−
∂ Θ
∂
∂ Φ ∂
−h h L ,
co daje
0 ) sin (
sin sin 1
2 2 2
2
=
Θ
− + θ
θ θ θ
θ
θ h
m L d
d d
d .
Wprowadzając zmienną z≡cosθ oraz λ≡L2/ h2 i P(z)≡Θ(θ), równanie przybiera postać
0 ) 1 (
) 1
( 2
2
2 =
+
− −
− P z
z m dz z d dz
d λ ,
gdzie z∈[−1,1]. Równanie ma rozwiązanie skończone dla z=±1 tylko wtedy, gdy λ = ll( +1), przy czym l=0,1,2,3,K Równanie
0 ) ( ) 1 1 (
) 1
( 2
2
2 =
+ +
− −
− l l P z
z m dz z d dz
d m
l ,
jest równaniem na stowarzyszone funkcje Legendre’a1 Plm(z) wyrażające się poprzez wielomiany Legendre’a Pl(z) następująco:
) ( )
1 ( )
( 2 /2 P z
dz z d
z
P m l
m m m
l = − , l l
l
l l z
dz d z l
P ( 1)
! 2 ) 1
( = 2− , m ≤l.
2 1 2 ) 3 (
) (
1 ) (
2 2
1 0
−
=
=
=
z z P
z z P
z P
Pl0(z)=Pl(z)
) 1 ( 3 ) (
1 3 ) (
1 ) (
2 2
2
2 1
2
2 1
1
z z
P
z z z P
z z
P
−
=
−
=
−
=
1 Adrien-Marie Legendre 1752 – 1833
∂z
−∂
∂ =
∂ θ θ sin
1
4
Wykład IX cd. Mechanika kwantowa
Podsumowując
) , ( ) 1 ( ) ,
ˆ2Ylm(θ ϕ = h2l l+ Ylm θ ϕ
L , l=0,1,2,3,K )
, ( )
,
ˆzYlm(θ ϕ mYlm θ ϕ
L =h , m=−l,−(l−1),K,−1,0,1,K,l−1,l
Funkcje Ylm(θ,ϕ) nazywane harmonikami sferycznymi wyrażają się wzorem θ ϕ
ε π ϕ
θ lm im
lm P e
m l
m l
Y l (cos )
)!
( 4
)!
)(
1 2 ) (
,
( +
−
= + ,
gdzie ε =(−1)m dla m>0 i ε =1 dla m≤0. Współczynnik normalizacyjny jest tak wybrany, że
1 ) , ( sin )
,
( 2
2
0 0
2 2
=
=
Ω
∫ ∫
∫
d Ylm θ ϕ πdϕπdθ θYlm θ ϕ .Harmoniki sferyczne tworzą zbiór funkcji ortonormalnych tzn.
' ' '
'
*
2 Ylm( , )Ylm( , ) ll mm d Ω θ ϕ θ ϕ =δ δ
∫
.Pierwszych kilka harmonik wyraża się następująco:
ϕ π
θ 4
) 1 ,
00( =
Y (3cos 1)
16 ) 5 ,
( 2
20 = θ−
ϕ π θ Y
π θ ϕ
θ cos
4 ) 3 ,
10( =
Y θ θ ϕ
ϕ π
θ e i
Y± = sin cos ±
8 ) 15 ,
1(
2 m
θ ϕ
ϕ π
θ e i
Y± = sin ±
8 ) 3 ,
1(
1 m θ ϕ
ϕ π
θ e i
Y2 2 sin2 2
32 ) 15 ,
( ±
± =
